2.提高觀察圖形、探索規(guī)律的能力，培養(yǎng)創(chuàng)新意識.
知識點(diǎn)01 規(guī)律探究常見的數(shù)字規(guī)律
知識點(diǎn)02 規(guī)律探究方法總結(jié)
1.規(guī)律探究的核心是找出每個(gè)數(shù)與對應(yīng)的位次（即n）之間的關(guān)系；
2.若數(shù)列為分?jǐn)?shù)數(shù)列，則分子分母分開找規(guī)律；
3.若數(shù)列是正負(fù)交替排列，則在答案前加上；若數(shù)列是負(fù)正交替排列，則在答案前加上；
4.若是選擇題，則可以用代值法，再利用排除法選出正確答案即可.
知識點(diǎn)03 高斯求和定理
.
題型01 數(shù)字類規(guī)律探索之排列問題
【典例1】（2023·浙江衢州·?？家荒＃┯^察下列數(shù)據(jù)：，，，，，…，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第個(gè)數(shù)據(jù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】觀察不難發(fā)現(xiàn)，各數(shù)據(jù)都等于完全平方數(shù)減，然后列式計(jì)算即可得解．
【詳解】∵，
，
，
，
，
…，
∴第個(gè)數(shù)據(jù)是：，
故選：．
【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)字變化規(guī)律，觀察出各數(shù)據(jù)都等于完全平方數(shù)減是解題的關(guān)鍵．
【變式1】（2022春·黑龍江哈爾濱·六年級校考期中）一組數(shù)據(jù)，，，，…請按這種規(guī)律寫出第十個(gè)數(shù)是 ．
【答案】
【分析】由所給的單項(xiàng)式可得第個(gè)單項(xiàng)式為，當(dāng)時(shí)即可求解．
【詳解】∵，，，，…，
∴第個(gè)式子的指數(shù)是，系數(shù)是，
則第個(gè)單項(xiàng)式為，
當(dāng)時(shí)，，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，通過所給的單項(xiàng)式，探索出系數(shù)與次數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【變式2】（2022秋·浙江金華·七年級校考期中）從3開始的連續(xù)奇數(shù)按右圖的規(guī)律排列，其余位置數(shù)字均為．

（1）第行第列的數(shù)字是 ．
（2）數(shù)字在圖中的第 行，第 列．
【答案】
【分析】（1）根據(jù)第行的第1至第列是非零數(shù)字，可得第行第列的數(shù)字是；
（2）觀察數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)第行第1個(gè)數(shù)字為，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．
【詳解】解：（1）觀察數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)根據(jù)第（為奇數(shù)）行第1至第列有非零數(shù)字，可得第行第列的數(shù)字是；
故答案為：0．
（2）第1行第1個(gè)數(shù)字為
第3行第1個(gè)數(shù)字為
第5行第1個(gè)數(shù)字為
……
∴第行的第1個(gè)數(shù)字為
∵
∴第行第1個(gè)數(shù)字為
，
∴數(shù)字在圖中的第行，第列
故答案為：，．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律，有理數(shù)的乘方運(yùn)算，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
題型02 數(shù)字類規(guī)律探索之末尾數(shù)字問題
【典例2】（2022秋·江蘇連云港·七年級?？茧A段練習(xí)）觀察下列算式：，，，，，，，…歸納各計(jì)算結(jié)果中個(gè)位數(shù)字的規(guī)律，可得的個(gè)位數(shù)字是（ ）
A．1B．3C．9D．7
【答案】D
【分析】先由前面8個(gè)具體的計(jì)算歸納得到個(gè)位數(shù)每四次循環(huán)，再利用規(guī)律解題即可．
【詳解】解：，，，，，，，…，
歸納可得：個(gè)位數(shù)每四次循環(huán)，
∵，
∴與的個(gè)位數(shù)相同，是7；
故選D
【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)字變化規(guī)律的探究，乘方的含義，掌握探究的方法并靈活應(yīng)用規(guī)律解決問題是解題關(guān)鍵．
【變式1】（2023春·江蘇南京·七年級?？茧A段練習(xí)）觀察下列算式：①；②；③尋找規(guī)律，并判斷的值的末位數(shù)字為（ ）
A．1B．3C．5D．7
【答案】C
【分析】根據(jù)題意找出規(guī)律，當(dāng)時(shí)代入規(guī)律求解，再找出2的次方末尾數(shù)字規(guī)律即可得到答案；
【詳解】解：由題意可得，
，
當(dāng)時(shí)，
，
∴，
∵，，，，，
∴尾數(shù)是4個(gè)一循環(huán)，
∵，
∴尾數(shù)為：，
故選C；
【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到式子的規(guī)律，再根據(jù)冪的運(yùn)算得到尾數(shù)的規(guī)律．
【變式2】（2023春·江蘇泰州·七年級統(tǒng)考期中）發(fā)現(xiàn)規(guī)律解決問題是常見解題策略之一．已知數(shù)，則這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】依次求出的個(gè)位數(shù)字，而底數(shù)是兩位數(shù)的時(shí)候，它們的5次方的結(jié)果的個(gè)位數(shù)與前面一位數(shù)的時(shí)候相同，最后把這些個(gè)位數(shù)字相加即可解答．
【詳解】解：∵的個(gè)位數(shù)是1，的個(gè)位數(shù)是2，的個(gè)位數(shù)是3，的個(gè)位數(shù)是4，的個(gè)位數(shù)是5，的個(gè)位數(shù)是6，的個(gè)位數(shù)是7，個(gè)位數(shù)是8，個(gè)位數(shù)是9，的個(gè)位數(shù)是0，
由此可發(fā)現(xiàn)：的個(gè)位數(shù)與n的個(gè)位數(shù)相同．
所以a的個(gè)位數(shù)應(yīng)是：的結(jié)果的個(gè)位數(shù)，且該結(jié)果的個(gè)位數(shù)是5．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字規(guī)律，發(fā)現(xiàn)的個(gè)位數(shù)與n的個(gè)位數(shù)相同是解答本題的關(guān)鍵．
【變式3】（2023春·江蘇連云港·七年級統(tǒng)考期末）生物學(xué)中，描述、解釋和預(yù)測種群數(shù)量的變化，常常需要建立數(shù)學(xué)模型．在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細(xì)胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數(shù)學(xué)模型來表示，即：，，，，，……，請你推算的個(gè)位數(shù)字是（ ）
A．8B．6C．4D．2
【答案】C
【分析】利用已知得出數(shù)字個(gè)位數(shù)的變化規(guī)律，丙求出每一個(gè)循環(huán)4個(gè)數(shù)相加后的個(gè)位數(shù)字為0，進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：∵，，，，，……，
∴尾數(shù)每4個(gè)一循環(huán)，
∵，
又∵，
∴每一組的4個(gè)數(shù)相加以后個(gè)位數(shù)字為0，
∴505組相加后個(gè)位數(shù)字為0，
∵，
∴的個(gè)位數(shù)字為4，故C正確．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了尾數(shù)特征，根據(jù)題意得出數(shù)字變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．
題型03 數(shù)字類規(guī)律探索之新運(yùn)算問題
【典例3】（2022·湖南株洲·統(tǒng)考二模）定義一種關(guān)于整數(shù)n的“F”運(yùn)算：（1）當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為；（2）當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，結(jié)果是（其中k是使是奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行．例如：取，第一次經(jīng)F運(yùn)算是29，第二次經(jīng)F運(yùn)算是92，第三次經(jīng)F運(yùn)算是23，第四次經(jīng)F運(yùn)算是74，……；若，則第2020次運(yùn)算結(jié)果是（ ）
A．1B．2C．7D．8
【答案】A
【分析】由題意所給的定義新運(yùn)算可得當(dāng)時(shí)，第一次經(jīng)F運(yùn)算是32，第二次經(jīng)F運(yùn)算是1，第三次經(jīng)F運(yùn)算是8，第四次經(jīng)F運(yùn)算是1，，由此規(guī)律可進(jìn)行求解．
【詳解】解：由題意時(shí)，第一次經(jīng)F運(yùn)算是，第二次經(jīng)F運(yùn)算是，第三次經(jīng)F運(yùn)算是，第四次經(jīng)F運(yùn)算是，；
從第二次開始出現(xiàn)1、8循環(huán)，奇數(shù)次是8，偶數(shù)次是1，
∴第2020次運(yùn)算結(jié)果1，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用，關(guān)鍵是從題中所給新運(yùn)算得出數(shù)字的一般規(guī)律，然后可進(jìn)行求解．
【變式1】（2022秋·江蘇揚(yáng)州·七年級?？茧A段練習(xí)）a是不為2的有理數(shù)，我們把稱為a的“哈利數(shù)”．如：3的“哈利數(shù)”是，的“哈利數(shù)”是，已知，是的“哈利數(shù)”，是的“哈利數(shù)”，是的“哈利數(shù)”，．．．，依此類推，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)每四次運(yùn)算結(jié)果循環(huán)出現(xiàn)，由此可求．
【詳解】解：∵，
∴，
，
，
，
，
∴每四次運(yùn)算結(jié)果循環(huán)出現(xiàn)，
∵，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過計(jì)算，探索出運(yùn)算結(jié)果的循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【變式2】（2023秋·全國·七年級專題練習(xí)）已知整數(shù)，，，，……滿足下列條件：，，，…，以此類推，則的值為 ，的值為
【答案】
【分析】先求出前4個(gè)值，從而得出這一列整數(shù)兩個(gè)循環(huán)，第奇數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)為0，第偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)為，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：由題意得：
，
，
，
…，
∴整數(shù)，，，，……，
∴這一列整數(shù)兩個(gè)循環(huán)，第奇數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)為0，第偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)為
∴，；
故答案為：，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是計(jì)算出前幾個(gè)數(shù)值，從而得出這一列整數(shù)兩個(gè)循環(huán)，第奇數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)為0，第偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)為的規(guī)律．
題型04 數(shù)字類規(guī)律探索之等式問題
【典例4】（2022秋·江西九江·七年級統(tǒng)考期中）觀察下面的變形規(guī)律：
；；；
解答下面的問題：
(1)若為正整數(shù)，請你猜想 ______ ；
(2)計(jì)算．
(3)計(jì)算；．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）分析所給的等式的形式，猜想規(guī)律即可解答；
（2）利用（1）所得的規(guī)律對代數(shù)式進(jìn)行變形即可解答；
（3）利用（1）所得的規(guī)律對代數(shù)式進(jìn)行變形即可解答．
【詳解】（1）解：∵；；；
猜想．
故答案為：．
（2）解：


．
（3）解：
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算、數(shù)字規(guī)律等知識點(diǎn)，熟練掌握與運(yùn)用對相應(yīng)的運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵．
【變式1】（2022秋·湖南永州·七年級?？计谥校┯^察算式：按規(guī)律填空： ．
【答案】2500
【分析】觀察所給算式，找出規(guī)律，利用規(guī)律求解．
【詳解】解：觀察算式可得，
因此
，
故答案為：2500．
【點(diǎn)睛】本題考查用代數(shù)式表示數(shù)字的規(guī)律，解題的關(guān)鍵是分析已知算式，找出規(guī)律，利用規(guī)律解題．
【變式2】（2023春·安徽合肥·七年級校考期末）觀察算式：①；②；③；④；，
根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決下列問題：
(1)寫出第個(gè)算式：______；
(2)寫出第個(gè)算式：______；
(3)計(jì)算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)所給的等式的形式進(jìn)行求解即可；
（2）分析所給的等式的形式進(jìn)行總結(jié)即可；
（3）利用所給的等式的形式，把所求的式子進(jìn)行整理，從而可求解．
【詳解】（1）解：由題意得：第個(gè)算式為：，
故答案為：；
（2）解：由題意得：第個(gè)算式為：，
故答案為：；
（3）解：．




．
【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)算式中的規(guī)律并靈活運(yùn)用．
題型05 圖形類規(guī)律探索之?dāng)?shù)字問題
【典例5】（2022秋·湖北黃岡·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，根據(jù)圖形中數(shù)的規(guī)律，可推斷出a的值為（ ）
A．128B．216C．226D．240
【答案】C
【分析】根據(jù)圖形得出右下角三角形中的數(shù)字等于左下角與中間三角形中數(shù)字的積再加2，然后計(jì)算即可．
【詳解】解：由圖可得：，
，
，
，
即右下角三角形中的數(shù)字等于左下角與中間三角形中數(shù)字的積再加2，
所以，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型—數(shù)字的變化類，解決本題的關(guān)鍵是觀察數(shù)字的變化尋找規(guī)律，總結(jié)規(guī)律，運(yùn)用規(guī)律．
【變式1】（2023春·貴州畢節(jié)·七年級統(tǒng)考期末）根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，若第n個(gè)圖中的值為196，則（ ）

A．12B．13C．14D．15
【答案】C
【分析】通過觀察可知，若第n個(gè)圖中A位置上的數(shù)是，B位置上的數(shù)是，C位置上的數(shù)是，D位置上的數(shù)是，所以，帶入數(shù)值求出即可．
【詳解】解：通過觀察可知，若第n個(gè)圖中A位置上的數(shù)是，B位置上的數(shù)是，C位置上的數(shù)是，D位置上的數(shù)是，
所以，
當(dāng)時(shí)，
，
是正整數(shù)，
．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形中有關(guān)數(shù)字的變化規(guī)律，能準(zhǔn)確觀察到相關(guān)規(guī)律是解決問題關(guān)鍵．
【變式2】（2022秋·河南周口·七年級?？计谥校┤鐖D所示，下列各三角形中的三個(gè)數(shù)之間均具有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，則第（為正整數(shù)）個(gè)三角形中，用表示的式子為（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題意可得各三角形中下邊第三個(gè)數(shù)是上邊兩個(gè)數(shù)字的和，而上邊第一個(gè)數(shù)的數(shù)字規(guī)律為1，2，3，，，第二個(gè)數(shù)的數(shù)字規(guī)律為：2，，，，，由此即可得到答案．
【詳解】解：由題意可得：
三角形上邊第一個(gè)數(shù)的數(shù)字規(guī)律為：1，2，3，，，
三角形上邊第二個(gè)數(shù)的數(shù)字規(guī)律為：2，，，，，
三角形下邊的數(shù)的數(shù)字規(guī)律為： ，，，，
第個(gè)三角形中的數(shù)的規(guī)律為：，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，根據(jù)題意得出：第個(gè)三角形中的數(shù)的規(guī)律為：，是解題的關(guān)鍵．
題型06 圖形類規(guī)律探索之?dāng)?shù)量問題
【典例6】（2023·江蘇·七年級假期作業(yè)）用大小一樣的黑白兩種顏色的小正方形紙片，按如圖的規(guī)律擺放：
(1)第5個(gè)圖案有 張黑色小正方形紙片；
(2)第n個(gè)圖案有 張黑色小正方形紙片；
(3)第幾個(gè)圖案中白色紙片和黑色紙片共有81張？
【答案】(1)16
(2)
(3)20
【分析】（1）觀察圖形，發(fā)現(xiàn)：黑色紙片在4的基礎(chǔ)上，依次多3個(gè)；
（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律，用字母表示即可；
（3）根據(jù)（2）的規(guī)律，得出，解之得出n的值即可作出判斷．
【詳解】（1）∵第1個(gè)圖形中黑色紙片的數(shù)量，
第2個(gè)圖形中黑色紙片的數(shù)量，
第3個(gè)圖形中黑色紙片的數(shù)量，
……，
∴第5個(gè)圖片中黑色紙片的數(shù)量為，
故答案為：16；
（2）由（1）知，第n個(gè)圖案中黑色紙片的數(shù)量為，
故答案為：；
（3）設(shè)第n個(gè)圖案中共有81張紙片，
由，
解得：，
即第20個(gè)圖案中共有81張紙片．
【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律型：圖形的變化類，解題時(shí)必須仔細(xì)觀察規(guī)律，通過歸納得出結(jié)論．注意由特殊到一般的分析方法，此題的規(guī)律為：第n個(gè)圖案中有張黑色紙片．
【變式1】（2023秋·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，用棋子擺方陣，那么，圖⑥要擺 枚棋子，圖n要擺 枚棋子．
【答案】 25
【分析】根據(jù)已知圖形，觀察歸納出一般規(guī)律：圖n需要的棋子數(shù)量為，據(jù)此即可得到答案．
【詳解】解：由圖形可知，圖①需要的棋子數(shù)量為
圖②需要的棋子數(shù)量為
圖③需要的棋子數(shù)量為
圖④需要的棋子數(shù)量為，
……
觀察歸納可知，圖n需要的棋子數(shù)量為，
圖⑥需要的棋子數(shù)量為，
圖n需要的棋子數(shù)量為，
故答案為：25；．
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類規(guī)律探索，根據(jù)題目正確歸納一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．
【變式2】（2023·安徽淮北·淮北市第二中學(xué)校考二模）如圖，利用黑白兩種顏色的五邊形組成的圖案，根據(jù)圖案組成的規(guī)律回答下列問題：
(1)圖案④中黑色五邊形有______個(gè)，白色五邊形有______個(gè)；
(2)圖案中黑色五邊形有______個(gè)，白色五邊形有______個(gè)；（用含的式子表示）
(3)圖案中的白色五邊形可能為2023個(gè)嗎？若可能，請求出的值；若不可能，請說明理由．
【答案】(1)4，13
(2)，
(3)可能，
【分析】（1）觀察可知，除第一個(gè)以外，每增加一個(gè)黑色五邊形，相應(yīng)的白色五邊形增加三個(gè)，即可解答．
（2）根據(jù)觀察分析出白色五邊形的塊數(shù)與圖形序號之間的關(guān)系，并由此猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，解答問題．
（3）根據(jù)通項(xiàng)公式解答出的值即可判斷．
【詳解】（1）∵第1個(gè)圖形中黑色五邊形的個(gè)數(shù)為1，白色五邊形的個(gè)數(shù)為4；
第2個(gè)圖形中墨色五邊形的個(gè)數(shù)為2，白色五邊形的個(gè)數(shù)為，
第3個(gè)圖形中墨色五邊形的個(gè)數(shù)為3，白色五邊形的個(gè)數(shù)為；
∴第4個(gè)圖形中界色五邊形的個(gè)數(shù)為4，白色五邊形的個(gè)數(shù)為．
（2）由（1）可得：第個(gè)圖形中黑色五邊形的個(gè)數(shù)為，白色五邊形的個(gè)數(shù)為．
（3）可能，理由如下：由題意得，解得，故圖案中的白色五邊形可能為2023個(gè)．
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變化規(guī)律，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．
一、單選題
1．（2023秋·全國·七年級專題練習(xí)）觀察下列各單項(xiàng)式：，…，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，第10個(gè)單項(xiàng)式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)已知單項(xiàng)式發(fā)現(xiàn)規(guī)律：各系數(shù)依次為，字母a的次數(shù)為序數(shù)，由此得到答案．
【詳解】解：∵第n個(gè)單項(xiàng)式為 ，
∴第10項(xiàng)為．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)字類的規(guī)律題，根據(jù)已知單項(xiàng)式發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律并解決問題是解題的關(guān)鍵．
2．（2023秋·全國·七年級專題練習(xí)）一列數(shù)，，…，其中，，，…，，則（ ）
A．B．1C．2020D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出這列數(shù)的前幾個(gè)數(shù)據(jù)，從而可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)，然后即可求得所求式子的值．
【詳解】解：由題意可得，
，
，
，
，
，
即這列數(shù)依次以，，2循環(huán)出現(xiàn)，
，，
，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化特點(diǎn)，明確題意、發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
3．（2023春·河南信陽·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，用棋子擺出下列一組圖形，如果按照這種規(guī)律擺下去，那么第10個(gè)圖形里棋子的個(gè)數(shù)為（ ）

A．72B．66C．56D．78
【答案】C
【分析】根據(jù)圖形中棋子的個(gè)數(shù)寫出規(guī)律，利用規(guī)律解題即可．
【詳解】解：第個(gè)圖形中棋子個(gè)數(shù)為；
第個(gè)圖形中棋子個(gè)數(shù)為；
第個(gè)圖形中棋子個(gè)數(shù)為；
第個(gè)圖形中棋子個(gè)數(shù)為；
；
第個(gè)圖形中棋子個(gè)數(shù)為；
當(dāng)時(shí)，棋子個(gè)數(shù)為
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查圖形中的規(guī)律問題，分析題意找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
4．（2023春·云南臨滄·七年級統(tǒng)考期末）如圖，用字母“”、“”按一定規(guī)律拼成圖案，其中第個(gè)圖案中有個(gè)，第個(gè)圖案中有6個(gè)，第個(gè)圖案中有個(gè)，……，按此規(guī)律排列下去，第個(gè)圖案中字母的個(gè)數(shù)為( )

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題目中的圖案，可以寫出前幾個(gè)圖案中“”的個(gè)數(shù)，從而可以發(fā)現(xiàn)“”個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，進(jìn)而得到第個(gè)圖案中“”的個(gè)數(shù)，從而可求解．
【詳解】解：由圖可知，
第個(gè)圖案中“”的個(gè)數(shù)為：(個(gè))，
第個(gè)圖案中“”的個(gè)數(shù)為：(個(gè))，
第個(gè)圖案中“”的個(gè)數(shù)為：(個(gè))，
…，
則第個(gè)圖案中“”的個(gè)數(shù)為：，
∴第個(gè)圖案中字母的個(gè)數(shù)為：．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查圖形的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中“”個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
5．（2023春·福建寧德·七年級校聯(lián)考期中）我國宋代數(shù)學(xué)文楊輝所著《詳解九章算法》中記載了用如圖所示的一角形解釋了二項(xiàng)和的乘方展開式中的系數(shù)規(guī)律，我們把這種數(shù)字三角形叫做“楊輝三角”．請你利用楊輝三角，
計(jì)算的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)是（ ）
…………1
…………1 1
…………1 2 1
…………1 3 3 1
…………1 4 6 4 1
A．B．15C．D．20
【答案】C
【分析】根據(jù)圖中規(guī)律，可得的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)，再根據(jù)的展開式中，系數(shù)的絕對值與的展開式中的系數(shù)相同，符號從左往后為奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)．
【詳解】解：由題意可知，下排每個(gè)數(shù)等于上方兩個(gè)數(shù)字的絕對值之和，
的展開式系數(shù)從左往右分別是，
的展開式系數(shù)從左往右分別是，
根據(jù)圖中，可知含有項(xiàng)的項(xiàng)為從左往右第四項(xiàng)，且符號為負(fù)，
故的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)是，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字變化規(guī)律，通過觀察、分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
6．（2022秋·四川南充·七年級?？计谥校┱麛?shù)按圖中的規(guī)律排列．由圖知，數(shù)字6在第二行，第三列，請寫出數(shù)字2021在第 行，第 列．

【答案】 45 5
【分析】找出規(guī)律：第一列的數(shù)為自然數(shù)的平方，而，則第行的第5列數(shù)為2021，從而完成解答．
【詳解】觀察圖中知：每行的第一個(gè)數(shù)為該行行數(shù)的平方，而，則第行的第5列數(shù)為2021；
故答案為：45，5．
【點(diǎn)睛】本題是規(guī)律探索問題，考查了學(xué)生的觀察歸納能力．關(guān)鍵是找出每行第一個(gè)數(shù)的規(guī)律．
7．（2023春·山東泰安·六年級?？计谥校┯^察下列各式，探索規(guī)律：
；；；；；
用含正整數(shù)n的等式表示你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律為 ．
【答案】
【分析】分析前面幾個(gè)等式對應(yīng)數(shù)據(jù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，再歸納總結(jié)即可得到規(guī)律．
【詳解】解：∵，整理得：；
，整理得：；
，整理得：；
，整理得：； …，
∴其規(guī)律為：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的等式分析出等式中各數(shù)之間的關(guān)系．
8．（2023春·黑龍江綏化·七年級校考期末）觀察下列算式：，，，，，，根據(jù)上述算式中的規(guī)律，你認(rèn)為的末位數(shù)字是 ．
【答案】7
【分析】根據(jù)，，，，，，得出末位數(shù)字以3、9、7、1，四個(gè)數(shù)字為一循環(huán)，由得出的末尾數(shù)字與的末位數(shù)字相同是7，從而得到答案．
【詳解】解：，末位數(shù)字為3，
，末位數(shù)字為9，
，末位數(shù)字為7，
，末位數(shù)字為1，
，末位數(shù)字為3，
，
3的1，2，3，4，5，6，7，，次冪的末位數(shù)字以3、9、7、1，四個(gè)數(shù)字為一循環(huán)，
，
的末尾數(shù)字與的末位數(shù)字相同是7，
故答案為：7．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了尾數(shù)特征及數(shù)字規(guī)律類探索，通過觀察得出3的乘方的末位數(shù)字以3、9、7、1，四個(gè)數(shù)字為一循環(huán)，是解題的關(guān)鍵．
9．（2023春·河北石家莊·七年級行唐一中?？奸_學(xué)考試）觀察下列圖形的構(gòu)成規(guī)律，按此規(guī)律，第6個(gè)圖形中棋子的個(gè)數(shù)為 個(gè)，第n個(gè)圖形中棋子的個(gè)數(shù)為 個(gè)．

【答案】 19
【分析】根據(jù)棋子發(fā)現(xiàn)規(guī)律：多一組圖形，則多3個(gè)棋子，列式計(jì)算可得第6個(gè)圖形棋子的數(shù)量，歸納可得第n個(gè)圖形中，有棋子個(gè)．
【詳解】解：第1個(gè)圖形有4個(gè)棋子，
第2個(gè)圖形有個(gè)棋子，
第3個(gè)圖形有個(gè)棋子，
第4個(gè)圖形有個(gè)棋子，
第5個(gè)圖形有個(gè)棋子，
第6個(gè)圖形有個(gè)棋子，
歸納可得：第n個(gè)圖形中棋子的個(gè)數(shù)為個(gè)棋子，
故答案為：19，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)與形結(jié)合的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)棋子個(gè)數(shù)與圖形個(gè)數(shù)之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．
10．（2022秋·江蘇宿遷·七年級?？茧A段練習(xí)）已知整數(shù)滿足下列條件：，，，，…，（為正整數(shù)）依此類推，則的值為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，求出、、、、的值，觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，據(jù)此即可求出的值．
【詳解】解：；
；
；
；
；
……
觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
是奇數(shù)，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，絕對值的意義，根據(jù)已知觀察歸納出一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
11．（2022春·黑龍江哈爾濱·六年級哈爾濱市第十七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）觀察下列三行數(shù)：
，4，，16，，64，……
0，6，，18，，66，……
，1，，4，，16……
(1)第①行數(shù)第七個(gè)數(shù)是，那么第二行數(shù)第七個(gè)數(shù)是_____，第三行第七個(gè)數(shù)是_____．
(2)列式計(jì)算：取每行的第9個(gè)數(shù)，求這三個(gè)數(shù)的和．
【答案】(1)，
(2)這三個(gè)數(shù)的和是
【分析】（1）根據(jù)各行數(shù)的特點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)第二行和第一行對應(yīng)數(shù)字的關(guān)系，第三行和第一行對應(yīng)數(shù)字的關(guān)系，即可得到第二行第七個(gè)數(shù)和第三行第七個(gè)數(shù)；
（2）根據(jù)（1）發(fā)現(xiàn)的關(guān)系，可以寫出每行的第九個(gè)數(shù)，然后相加即可解答本題．
【詳解】（1）解：由題目中的數(shù)據(jù)可知，第二行中的每個(gè)數(shù)是第一行對應(yīng)數(shù)字加2，第三行中的每個(gè)數(shù)是第一行對應(yīng)數(shù)字的，
∵第①行第七個(gè)數(shù)是，
∴第二行第七個(gè)數(shù)是，第三行第七個(gè)數(shù)是，
故答案為：，；
（2）∵第①行第一個(gè)數(shù)是，第一個(gè)數(shù)是，第一個(gè)數(shù)是，…，
∴第一行第9個(gè)數(shù)是
第二行第9個(gè)數(shù)是
第一行第9個(gè)數(shù)是
這三個(gè)數(shù)的和是：
答：這三個(gè)數(shù)的和是．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)，找出規(guī)律解答．
12．（2023春·云南昭通·七年級統(tǒng)考期中）小明計(jì)算：的過程如下：
解：令
則
得
∴
請參照小明的方法，計(jì)算：．
【答案】
【分析】仿照例子，令，等式兩邊同時(shí)乘以得，，兩者作差除以即可得出結(jié)論．
【詳解】解：令，
等式兩邊同時(shí)乘以得，
，
得，
，
，
∴．
【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)字的規(guī)律和有理數(shù)的乘方，結(jié)合題目中的例子進(jìn)行計(jì)算是解本題的關(guān)鍵．
13．（2023春·安徽阜陽·七年級校考階段練習(xí)）觀察下列圖形，完成下列問題．

(1)數(shù)一數(shù)，完成下列表格．
(2)若有條直線相交，則最多有交點(diǎn)__________個(gè)．（用含的代數(shù)式表示）
【答案】(1)，，，
(2)
【分析】（1）根據(jù)圖形信息即可求解；
（2）根據(jù)（1）中直線條數(shù)與交點(diǎn)的數(shù)量的關(guān)系即可求解．
【詳解】（1）解：根據(jù)圖示，
故答案為：，，，．
（2）解：根據(jù)題意設(shè)有條直線，則交點(diǎn)的數(shù)量為，
當(dāng)時(shí)，則；
當(dāng)時(shí)，則；
當(dāng)時(shí)，則；
當(dāng)時(shí)，則，符合題意；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形規(guī)律與整式的混合運(yùn)算，理解圖示含義，掌握整式的混合運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
14．（2022秋·江蘇連云港·七年級校考階段練習(xí)）觀察下列各式：，，，回答下面的問題：
(1) （寫出算式即可）；
(2)計(jì)算的值；
(3)計(jì)算的值．
【答案】(1)
(2)44100
(3)41075
【分析】（1）由前面的具體運(yùn)算歸納可得：等式左邊是幾個(gè)數(shù)的立方和，右邊是左邊的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)的平方以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)加上1的和的平方的積的，從而可得答案；
（2）直接運(yùn)用（1）中規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算即可；
（3）把原式化為，再運(yùn)用規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：∵，
，
，
，
歸納可得：；
（2）
；
（3）
．
【點(diǎn)睛】本題考查的是含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算的規(guī)律探究及其靈活應(yīng)用，掌握探究的方法是解本題的關(guān)鍵．
15．（2022秋·江蘇宿遷·七年級?？茧A段練習(xí)）探索規(guī)律：觀察下面※由組成的圖案和算式，解答問題：

(1)請猜想_________；
(2)請猜想_________；
(3)請用上述規(guī)律計(jì)算：的值．
【答案】(1)100
(2)
(3)9100
【分析】（1）觀察由※組成的圖案和下面算式，得出從1開始的連續(xù)奇數(shù)相加等于奇數(shù)個(gè)數(shù)的平方，即可得到結(jié)果；
（2）觀察由※組成的圖案和下面算式，得出從1開始的連續(xù)奇數(shù)相加等于奇數(shù)個(gè)數(shù)的平方，即可得到結(jié)果；
（3）原式變形后，利用得出的規(guī)律計(jì)算即可得到結(jié)果．
【詳解】（1）解：由圖得：，有1項(xiàng)；
，有2項(xiàng)；
，有3項(xiàng)；
，有4項(xiàng)；
，有5項(xiàng)；
∴共有項(xiàng)，
∴，
故答案為：；
（2）解：∵，
∴，
故答案為：；
（3）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
．
【點(diǎn)睛】此題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類及有理數(shù)的乘方運(yùn)算，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．
16．（2023秋·浙江·七年級專題練習(xí)）找規(guī)律，完成下列各題：

(1)如圖①，把正方形看作， ．
(2)如圖②，把正方形看作， ．
(3)如圖③，把正方形看作， ．
(4)計(jì)算： ．
(5)計(jì)算： ．
【答案】(1)
(2)
(3)，
(4)
(5)
【分析】（1）根據(jù)圖示規(guī)律，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算法則即可求解；
（2）根據(jù)圖示規(guī)律，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算法則即可求解；
（3）根據(jù)圖示規(guī)律，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算法則即可求解；
（4）根據(jù)（1），（2），（3）的運(yùn)算規(guī)律，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算法則即可求解；
（5）根據(jù)（1），（2），（3）的運(yùn)算規(guī)律，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算法則即可求解；
【詳解】（1）解：如圖①，把正方形看作把正方形看作，，
故答案為：．
（2）解：如圖②，把正方形看作把正方形看作，，
故答案為：．
（3）解：如圖③，把正方形看把正方形看作，，
故答案為：，．
（4）解：，
故答案為：．
（5）解：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形規(guī)律，有理數(shù)的混合運(yùn)算的綜合，理解圖示規(guī)律，掌握有理數(shù)的混合方法是解題的關(guān)鍵．
17．（2023春·安徽·九年級專題練習(xí)）用若干個(gè)“○”與“▲”按如圖方式進(jìn)行拼圖：

(1)觀察圖形，尋找規(guī)律，并將下面的表格填寫完整：
(2)根據(jù)你所觀察到的規(guī)律，分別寫出圖中“○”與“▲”的個(gè)數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．
【答案】(1)45，22
(2)圖n中，○的個(gè)數(shù)，▲的個(gè)數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)圖形總結(jié)規(guī)律，直接得出結(jié)果；
（2）根據(jù)（1）即可得到規(guī)律．
【詳解】（1）解：圖1，○的個(gè)數(shù)，▲的個(gè)數(shù)，
圖2，○的個(gè)數(shù)，▲的個(gè)數(shù)，
圖3，○的個(gè)數(shù)，▲的個(gè)數(shù)，
圖4，○的個(gè)數(shù)，▲的個(gè)數(shù)，
故答案為：45，22；
（2）解：由（1）得到規(guī)律，圖n，○的個(gè)數(shù)，▲的個(gè)數(shù)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查探求規(guī)律的問題，能夠結(jié)合圖形的數(shù)目探求規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
18．（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）為迎接七一建黨節(jié)，某社區(qū)黨委在廣場上設(shè)計(jì)了一座三角形展臺，需在它的每條邊上擺放上相等盆數(shù)的鮮花進(jìn)行裝飾．若每條邊上擺放兩盆鮮花，共需要3盆鮮花；若每條邊上擺放3盆鮮花，共需要6盆鮮花；……，按此要求擺放下去（如圖所示，每個(gè)小圓圈表示一盆鮮花）．
(1)填寫下表：
(2)寫出需要的鮮花總盆數(shù)y與n之間的關(guān)系式：__________
(3)能否用盆鮮花作出符合要求的擺放？如果能，請計(jì)算出每條邊上應(yīng)擺放的盆數(shù)；如果不能，請說明理由．
【答案】(1)12，15；
(2)；
(3)不能，見詳解．
【分析】（1）結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)：每條邊上每增加一盆鮮花，總數(shù)就增加3盆，依此可得出答案．
（2）結(jié)合（1）中的規(guī)律即可求出每條邊上擺n盆小菊花時(shí)需要小菊花的總盆數(shù)y；
（3）根據(jù)題意把代入中，求出n的值后，即可作出判斷．
【詳解】（1）解：由圖知，每條邊上每增加一盆鮮花，總數(shù)就增加3盆，，，
故答案為：12，15；
（2）解：每條邊擺兩個(gè)，則，
每條邊擺3個(gè)，則，
每條邊擺4個(gè)，則，
…
每條邊擺n個(gè)，則，
故答案為：．
（3）解：把代入，則，，，
∵不是整數(shù)，
∴不能用盆鮮花作出符合要求的擺放．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是圖形規(guī)律等內(nèi)容，注意培養(yǎng)由一般總結(jié)特殊規(guī)律的能力，認(rèn)真對比前后圖形，研究圖形變化特性，準(zhǔn)確總結(jié)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
規(guī)律總結(jié)
數(shù)列形式
1，3，5，7，9，···，
2，4，6，8，10，···，
4，7，10，13，16，···，
2，5，8，11，14，···，
2，4，8，16，32，···，
3，5，9，17，33，···，
2，5，10，17，26，···，
0，3，8，15，24，···，
，，，，，，···，
，，，，，，···，
1，3，6，10，15，21，···，
斐波那契數(shù)列
1，1，2，3，5，8，13，…，從第三個(gè)數(shù)開始每個(gè)數(shù)等于與它相鄰的前兩個(gè)數(shù)之和
直線的條數(shù)
交點(diǎn)的個(gè)數(shù)
直線的條數(shù)
交點(diǎn)的個(gè)數(shù)
圖1
圖2
圖3
圖4
○的個(gè)數(shù)
3
9
21
______
▲的個(gè)數(shù)
1
4
10
______
每條邊上擺放的盆數(shù)（n）
2
3
4
5
6
…
需要的鮮花總盆數(shù)（y）
3
6
9
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初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）七年級上冊（2024）電子課本 新教材

3 探索與表達(dá)規(guī)律

版本： 北師大版（2024）

年級： 七年級上冊（2024）

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