知識點01數(shù)軸上的基本公式
如果數(shù)軸上點A（x1），B（x2），線段AB的中點為M（x），則
(1)向量AB的坐標為x2-x1;
(2)|AB|=|AB|=|x2-x1|;
(3)x=x1+x22.
【即學即練1】（20-21高一·全國·課后作業(yè)）在數(shù)軸上，已知A3，B-1，則AB= ；AB的中點的坐標為 .
【答案】 4 1
【分析】利用數(shù)軸上的距離公式和中點公式，即得解
【詳解】由題意，AB=|-1-3|=4，AB的中點的坐標為3-12=1
故答案為：4，1
【即學即練2】（20-21高一上·西藏昌都·期中）在平面直角坐標系中，點M在第四象限，到x軸?y軸的距離分別為6?4，則點M的坐標為（ ）
A．4,-6B．-4,-6C．6,-4D．-6,-4
【答案】A
【解析】已知點M在第四象限內(nèi)，那么橫坐標大于0，縱坐標小于0，進而根據(jù)到坐標軸的距離判斷坐標.
【詳解】因為點M在第四象限，
所以其橫、縱坐標分別為正數(shù)、負數(shù)，
又因為點M到x軸的距離為6，到y(tǒng)軸的距離為4，
所以點M的坐標為(4，-6) .
故選：A
知識點02平面直角坐標系中的基本公式
已知A（x1，y1），B（x2，y2）是平面直角坐標系中的兩點，M（x，y）是線段AB的中點，則
(1)AB=(x2-x1,y2-y1);
(2)|AB|=|AB=（x2-x1）2+（y2-y1）2
(3)x=x1+x22，y=y1+y22
【即學即練3】（22-23高一下·北京·期中）已知點A1,1，B-1,5，則線段AB中點C的坐標為 .
【答案】(0,3)
【分析】利用中點坐標公式直接求解作答.
【詳解】點A1,1，B-1,5，所以線段AB中點C的坐標為(0,3).
故答案為：(0,3)
【即學即練4】（20-21高二上·上海·課后作業(yè)）已知△ABC的頂點A(1,2)和重心G(3,4)，則BC上的中點坐標是 ．
【答案】(4,5)
【分析】根據(jù)中點坐標公式以及重心坐標公式求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2)，則由重心坐標公式得x1+x2+13=3y1+y2+23=4∴x1+x2=8y1+y2=10
再由中點坐標公式得BC上的中點坐標是(x1+x22,y1+y22)=(4,5)
故答案為：(4,5)
【點睛】本題考查中點坐標公式以及重心坐標公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.
難點：含參問題
示例1：（23-24高二上·全國·單元測試）已知不同的兩點P(a,-b),Q(b+1,a-1)關(guān)于點(3,4)對稱，則ab＝ .
【答案】-14
【分析】由點對稱，應用中點公式列方程組求出參數(shù)，即可得結(jié)果.
【詳解】由題意知a+b+12=3a-b-12=4，即a+b=5a-b=9，解得a=7b=-2，故ab=-14.
故答案為：-14
【題型1：兩點間的距離公式】
例1．（21-22高二·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)軸上A(-2),B(10)，求這兩點之間的距離以及它們的中點坐標．
【答案】12;(4)
【分析】根據(jù)數(shù)軸上表示的點的幾何意義直接求得答案.
【詳解】數(shù)軸上A(-2),B(10)兩點之間的距離為|AB|=|10-(-2)|=12 ,
它們的中點坐標為10+(-2)2=4 ，故中點坐標為（4）.
變式1．（21-22高二·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)軸上的點P到A(-9)的距離是它到B(-3)的距離的2倍，求點P的坐標．
【答案】-5或3
【分析】設(shè)點P(x)，可得|x-(-9)|=2|x-(-3)|，求解即可
【詳解】由題意，設(shè)點P(x)
故|x-(-9)|=2|x-(-3)|
即(x+9)2=4(x+3)2?x2+2x-15=(x+5)(x-3)=0
解得：x=-5或3
故點P的坐標為-5或3
變式2．（20-21高一·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)軸上，A(-1),B(x)，且AB=3，求x的值.
【答案】2
【分析】根據(jù)數(shù)軸上兩點數(shù)量的坐標表示，即可求解.
【詳解】因為數(shù)軸上A(-1),B(x),且AB=3,
所以AB=x-(-1)=3，
解得：x=2.
變式3．（18-19高一·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)軸上四點A，B，C，D的坐標分別是-4，-2，c，d．
（1）若AC=5，求c的值；
（2）若|BD|=6，求d的值；
（3）若AC=-3AD，求證：3CD=-4AC．
【答案】（1）c=1；（2）d=4或d=-8；（3）見解析
【分析】（1）由AC=5，根據(jù)向量的坐標運算，得到c-(-4)=5，即可求解；
（2）由|BD|=6，得到|d-(-2)|=6，即可求解；
（3）由AC=c+4，AD=d+4，AC=-3AD，得到c=-3d-16，分別求得3CD和-4AC的坐標，即可求解.
【詳解】由題意，數(shù)軸上四點A，B，C，D的坐標分別是-4，-2，c，d，
（1）因為AC=5，所以c-(-4)=5，解得c=1．
（2）因為|BD|=6，所以|d-(-2)|=6，即d+2=6或d+2=-6，解得d=4或d=-8．
（3）因為AC=c+4，AD=d+4，AC=-3AD，
所以c+4=-3(d+4)，即c=-3d-16，
所以3CD=3(d-c)=3d-3c=3d-3(-3d-16)=12d+48，
所以-4AC=-4[c-(-4)]=-4c-16=-4(-3d-16)-16=12d+48，
所以3CD=-4AC．
【點睛】本題主要考查了數(shù)軸上向量的坐標表示與運算，以及向量模的計算，其中解答中熟記數(shù)軸上向量的坐標表示與運算法則是解答的關(guān)鍵，著重考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.
變式4．（18-19高一·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)軸上兩點A，B的坐標分別為x1，x2，根據(jù)下列條件，分別求點A的坐標x1．
（1）x2=-5，BA的坐標為-3；
（2）x2=-1，|AB|=2．
【答案】（1）x1=-8；（2）x1=1或x1=-3
【分析】（1）由向量BA的坐標為x1-(-5)=-3，即可求解；
（2）由|AB|=-1-x1=2，即可求解.
【詳解】由題意，數(shù)軸上兩點A，B的坐標分別為x1，x2，
（1）由向量BA的坐標為x1-(-5)=-3，所以x1=-8．
（2）由|AB|=-1-x1=2，解得x1=1或x1=-3．
【點睛】本題主要考查了數(shù)軸上向量的坐標表示與運算，以及向量模的計算，其中解答中熟記數(shù)軸上向量的坐標表示與運算法則是解答的關(guān)鍵，著重考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.
變式5．（18-19高一·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)軸上兩點A，B的坐標分別是-4，-1，則|AB|=（ ）
A．-3B．3C．6D．-6
【答案】B
【分析】根據(jù)數(shù)軸上向量的坐標表示，求得向量的坐標，即可求解.
【詳解】由題意，-1-(-4)=3．
故選:B．
【點睛】本題主要考查了數(shù)軸上向量的坐標表示與運算，其中解答中熟記數(shù)軸上向量的坐標表示與運算法則是解答的關(guān)鍵，著重考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.
變式6．（18-19高一·全國·課后作業(yè)）已知A，B，C三點在數(shù)軸上，且點B的坐標為3，|AB|=5，|AC|=2，則點C的坐標為 ．
【答案】-4或0或6或10
【分析】設(shè)A，C的坐標分別為xA，xC，根據(jù)數(shù)軸上向量的坐標運算，列出方程，即可求解.
【詳解】由題意，設(shè)A，C的坐標分別為xA，xC，
則|AB|=3-xA=5或|AB|=xA-3=5，∴xA=-2或xA=8，
∴|AC|=xC-xA=xC-(-2)=2，或|AC|=xC-xA=xC-8=2，
或|AC|=xA-xC=-2-xC=2，或|AC|=xA-xC=8-xC=2，
解得xC=0或xC=10或xC=-4或xC=6．
故答案為：-4或0或6或10
【點睛】本題主要考查了數(shù)軸上向量的坐標表示與運算，其中解答中熟記數(shù)軸上向量的坐標表示與運算法則是解答的關(guān)鍵，著重考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.
【方法技巧與總結(jié)】
對兩點間距離公式的幾點說明
（1）公式中，點A，B的位置沒有先后之分，即距離公式還可以寫為|AB|=（x2-x1）2+（y2-y1）2
（2）坐標平面內(nèi)的兩點間的距離公式是數(shù)軸上兩點間的距離公式的推廣.
（3）若B點為原點，則AB=|OA|=x2+y2
（4）若A，B兩點在x軸上，或在與x軸平行的直線上，此時AB|=|x2-x1|
(5)若A，B兩點在y軸上，或在與y軸平行的直線上，此時AB|=|y2-y1|
【題型2：中點坐標公式的應用】
例2.（18-19高一·全國·課后作業(yè)）已知A，B都是數(shù)軸上的點，A(3)，B(-2)，則3OA+4OB的坐標為
A．17B．1C．-1D．-17
【答案】B
【分析】先求得OA的坐標為3，向量OB的坐標為-2，進而可求解3OA+4OB的坐標，得到答案.
【詳解】由題意，可得OA的坐標為3，向量OB的坐標為-2，
所以向量3OA+4OB的坐標為3×3+4×(-2)=1．
故選:B．
【點睛】本題主要考查了數(shù)軸上向量的坐標表示與運算，其中解答中熟記數(shù)軸上向量的坐標表示與運算法則是解答的關(guān)鍵，著重考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.
變式1．（23-24高二上·安徽安慶·階段練習）如圖所示，在平面直角坐標系中，以O(shè)0,0，A1,1，B3,0為頂點構(gòu)造平行四邊形，下列各點中不能作為平行四邊形頂點坐標的是（ ）
A．-3,1B．4,1C．-2,1D．2,-1
【答案】A
【分析】根據(jù)平行四邊形的對稱性，利用中點坐標公式進行求解即可.
【詳解】設(shè)第四個頂點為Cx,y，
當OA是對角線時，則有0+12=3+x20+12=0+y2?C-2,1，
當OB是對角線時，則有0+32=1+x20+02=1+y2?C2,-1，
當OC是對角線時，則有0+x2=1+320+y2=1+02?C4,1，
故選：A
變式2．（20-21高二·全國·課后作業(yè)）已知A-1,2，B3,-4，則線段AB的中點坐標為( )
A．1,-1B．-2,3C．2,-3D．12,-12
【答案】A
【分析】利用中點坐標公式即可求解.
【詳解】由A-1,2，B3,-4，
利用中點坐標可知，線段AB的中點坐標(-1+32,2+(-4)2)，即(1,-1).
故選：A.
變式3．（21-22高二上·河北邢臺·階段練習）已知線段AB的端點A3,4及中點O0,3，則點B的坐標（ ）
A．32,72B．-3,2C．3,2D．3,10
【答案】B
【分析】利用中點坐標公式計算即可.
【詳解】設(shè)B(x,y) ，AB的端點A3,4及中點O0,3，則0=3+x23=4+y2 ，解得：x=-3y=2，故點B的坐標為-3,2.
故選：B.
變式4．（20-21高一上·北京房山·期末）已知A=(3,-2)，B=(-1,2)，則線段AB中點的坐標為（ ）
A．(1,2)B．(2,0)C．(12,2)D．(1,0)
【答案】D
【解析】利用中點坐標公式即可求解.
【詳解】由A=(3,-2)，B=(-1,2)，
則線段AB中點的坐標為(1,0).
故選：D
變式5．（21-22高二上·河北衡水·階段練習）已知點（0，2）是點（－2，b）與點（2，4）的對稱中心，則b= .
【答案】0
【分析】由中心對稱的含義即得.
【詳解】∵點（0，2）是點（－2，b）與點（2，4）的對稱中心，
∴b+4=2×2，即b=0.
故答案為：0.
變式6．（20-21高二·全國·課后作業(yè)）已知△ABC三邊AB，BC，CA的中點分別為P3,-2，Q1,6，R-4,2，則頂點A的坐標為 ．
【答案】(-2,-6)
【分析】利用中點坐標公式即可求解.
【詳解】設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，
因為△ABC三邊AB，BC，CA的中點分別為P3,-2，Q1,6，R-4,2，
由中點坐標公式可得，x1+x2=6x1+x3=-8x2+x3=2，y1+y2=-4y1+y3=4y2+y3=12，解得，x1=-2，y1=-6，
故頂點A的坐標為(-2,-6).
故答案為：(-2,-6).
變式7．（20-21高一·全國·課后作業(yè)）若A-92,-7，B(2,6)是平行四邊形ABCD的兩個頂點，AC與BD交于點E3,32，則C，D的坐標分別為 .
【答案】212,10/10.5,10，(4,-3)
【分析】利用E為AC,BD的中點，以及中點坐標公式，即得解
【詳解】由題意，E為AC,BD的中點，不妨設(shè)C(x,y),D(a,b)
由中點坐標公式：
-92+x2=3-7+y2=32∴x=212y=10，即C212,10
2+a2=36+b2=32∴a=4b=-3，即D4,-3
故答案為：212,10，(4,-3)
變式8．（23-24高二下·全國·課后作業(yè)）已知?ABCD的三個頂點坐標分別為A(-1,-2),B(3,0),C(5,6)，求D點坐標．
【答案】(1,4)
【分析】根據(jù)平行四邊形的圖像性質(zhì)，平行四邊形對角線互相平分及中點坐標公式進行求解即可.
【詳解】設(shè)D(x,y)，在?ABCD的三個頂點坐標分別為A(-1,-2),B(3,0),C(5,6)，
根據(jù)平行四邊形的對角線互相評分，可得-1+52=3+x2-2+62=0+y2，解得x=1,y=4，
所以D點的坐標是(1,4)．
【方法技巧與總結(jié)】
中點公式的兩個應用
（1）知二求一．從公式上看，只要知道公式等號兩邊的任意兩個量，可求第三個量.
（2）從圖象上看，只要知道圖象上任意的兩點，可求第三個點.
一、單選題
1．（22-23高二上·江蘇連云港·期中）已知點A(8,10),B(-4,4)，則線段AB的中點坐標為（ ）
A．(2,7)B．(4,14)C．(2,14)D．(4,7)
【答案】A
【分析】利用兩點的中點坐標公式求出答案.
【詳解】由題意得：線段AB的中點坐標為8-42,10+42，即2,7.
故選：A.
2．（2020高三·全國·專題練習）點P(3，2)關(guān)于點Q(1，4)的對稱點M為（ ）
A．(1，6)B．(6，1)
C．(1，-6)D．(-1，6)
【答案】D
【解析】設(shè)M(x,y)，則由中點坐標公式可得3+x2=1，2+y2=4，解出x,y，從而可得點M的坐標
【詳解】設(shè)M(x,y)，則3+x2=1，2+y2=4，∴x=-1，y=6，
∴點M(-1，6)，
故選：D.
3．（19-20高二·全國·課后作業(yè)）已知線段AB的中點為坐標原點，且A(x,2),B(3,y)，則x+y等于（ ）
A．5B．-1C．1D．-5
【答案】D
【分析】直接根據(jù)中點坐標公式可得x=-3,y=-2，即可得答案；
【詳解】∵ 0=x+32,0=y+22,? x=-3,y=-2，故x+y=-5.
故選：D.
【點睛】本題考查中點坐標公式，屬于基礎(chǔ)題.
4．（18-19高一·全國·課后作業(yè)）已知A，B都是數(shù)軸上的點，A(3)，B(-a)，且AB的坐標為4，則a=（ ）
A．-1B．-7C．4D．-4
【答案】B
【分析】根據(jù)數(shù)軸上的向量的坐標表示，列出方程，即可求解.
【詳解】由題意，向量AB的坐標為終點B的坐標減去起點A的坐標，
即-a-3=4，解得a=-7．
故選:B．
【點睛】本題主要考查了數(shù)軸上向量的坐標表示，其中解答中熟記數(shù)軸上的向量的表示方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.
5．（18-19高一·全國·課后作業(yè)）已知A，B都是數(shù)軸上的點，A(3)，B(-1)，則向量AB的坐標為
A．4B．-4C．±4D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)向量的運算AB=OB-OA，結(jié)合數(shù)軸行向量的坐標表示，即可求解.
【詳解】由題意，根據(jù)向量的運算AB=OB-OA，
所以向量AB的坐標等于終點B的坐標減去起點A的坐標，即-1-3=-4．
故選:B．
【點睛】本題主要考查了向量的線性運算，以及數(shù)軸上向量的坐標表示，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.
二、多選題
6．（20-21高二·全國·課后作業(yè)）數(shù)軸上點P，M，N的坐標分別為－2，8，－6，則有（ ）
A．MN的坐標=NM的坐標B．MP=10
C．PN的坐標=-4D．MP的坐標=10
【答案】BC
【分析】已知點坐標，結(jié)合向量坐標的表示及模的坐標計算，判斷各選項的正誤.
【詳解】數(shù)軸上的兩點對應向量的坐標等于終點坐標減去起點坐標，故MN坐標≠NM坐標，A不正確；
數(shù)軸上兩點間的距離一定是非負的，|MP|=|MP|=|-2-8|=10，B正確；
PN的坐標=-6-(-2)=-4，C正確；
MP的坐標=-2-8=-10，D不正確.
故選：BC.
7．（17-18高二·全國·課后作業(yè)）（多選題）對于x2+2x+5，下列說法正確的是（ ）
A．可看作點x,0與點1,2的距離
B．可看作點x,0與點-1,-2的距離
C．可看作點x,0與點-1,2的距離
D．可看作點x,-1與點-1,1的距離
【答案】BCD
【分析】化簡x2+2x+5= (x+1)2+(0±2)2=(x+1)2+(-1-1)2，結(jié)合兩點間的距離公式，即可求解.
【詳解】由題意，可得x2+2x+5=(x+1)2+4= (x+1)2+(0±2)2=(x+1)2+(-1-1)2，
可看作點(x,0)與點(-1,-2)的距離，可看作點(x,0)與點(-1,2)的距離，可看作點(x,-1)與點(-1,1)的距離，故選項A不正確，
故答案為：BCD.
【點睛】本題主要考查平面上兩點間的距離公式及其應用，其中解答中熟記平面上兩點間的距離公式是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.
三、填空題
8．（23-24高二下·全國·課后作業(yè)）直線l經(jīng)過點P-4,6，與x軸、y軸分別交于A，B兩點，當P為AB中點時，|AB|= .
【答案】413
【分析】設(shè)Aa,0，B0,b，利用中點坐標公式即可得出a，b，
【詳解】設(shè)Aa,0，B0,b，
∵P為AB中點，∴-4=a+026=b+02，
解得a=-8，b=12，
即A-8,0，B0,12，
所以|AB|=OA2+OB2=413
故答案為：413.
9．（19-20高二·全國·課后作業(yè)）已知點A(1,3)，B(3,1)，C(0,0)，則△ABC中AB邊上的中線長|CM|= ，△ABC的面積為 ．
【答案】 22 4
【解析】由中點坐標公式，可求出點M的坐標，進而利用兩點間距離公式可求出|CM|，計算可知|AC|=|BC|，即△ABC為等腰三角形，由S△ABC=12|AB|?|CM|，求解即可.
【詳解】設(shè)AB的中點M的坐標為(x,y)，則{x=1+32=2y=3+12=2，
即M的坐標為(2,2)，則|CM|=22+22=22.
又|AB|=(3-1)2+(1-3)2=22，
|AC|=12+32=10，|BC|=32+12=10，
所以|AC|=|BC|，即△ABC為等腰三角形，
所以CM為底邊上的高，且S△ABC=12|AB|?|CM|=12×22×22=4.
故答案為：22；4.
【點睛】本題考查三角形的中線及三角形的面積，考查坐標運算，考查學生的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
四、解答題
10．（21-22高二·全國·課后作業(yè)）已知A(3,1),B(-2,2)，在y軸上的點P滿足PA⊥PB，求P的坐標．
【答案】(0,4) 或(0,-1)
【分析】設(shè)出點P坐標，根據(jù)PA⊥PB列出方程，解方程可得答案.
【詳解】由題意可設(shè)點P坐標為(0,y0) ，
由PA⊥PB得：|PA|2+|PB|2=|AB|2 ,
即9+(y-1)2+4+(y-2)2=(3+2)2+(1-2)2 ，
解得y=4 或y=-1 ，
故P的坐標 為(0,4) 或(0,-1).
11．（21-22高二·全國·課后作業(yè)）在數(shù)軸上，對坐標分別為x1和x2的兩點A和B，用絕對值定義兩點間的距離，表示為d(A,B)=x1-x2．
(1)在數(shù)軸上任意取三點A，B，C，證明d(A,B)≤d(A,C)+d(B,C)．
(2)設(shè)A和B兩點的坐標分別為-3和2，分別找出（1）中不等式等號成立和等號不成立時點C的范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)等號成立，點C的范圍是[-3,2]；等號不成立，點C的范圍是(-∞,-3)∪(2,+∞)
【分析】（1）討論點C與A和B兩點的位置關(guān)系，根據(jù)絕對值定義的兩點間的距離，可以證明結(jié)論；
（2）由（1）的證明過程可得等號成立或不成立時的點C的位置情況，由此可得答案.
【詳解】（1）證明：設(shè)A(x1),B(x2),C(x3) ，
不妨設(shè)x1x2時，也有上述結(jié)論成立，
綜合上述; d(A,B)≤d(A,C)+d(B,C);
（2）當A和B兩點的坐標分別為-3和2時，
由（1）的證明可知，當點C位于A和B兩點之間或者與A和B兩點重合時，等號成立，
此時點C的范圍是[-3,2] ,
當點C位于A和B兩點之外時，等號不成立，此時點C的范圍是(-∞,-3)∪(2,+∞).
課程標準
學習目標
1.理解實數(shù)與數(shù)軸上的點的!一一對應關(guān)系、
2.探索并掌握平面直角坐標系中兩點間的距離公式和中點坐標公式、
3.通過對兩點間距離和中點坐標公式的探索,進一步體會坐標法在解決幾何問題中的優(yōu)越性
重點:兩點間的距離公式和中點坐標公式
難點:坐標法在解決幾何問題中的運用

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高中數(shù)學人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

2.1 坐標法

版本： 人教B版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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