2.3　圓及其方程2.3.1　圓的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué) 習(xí) 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)1．會用定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征．(重點(diǎn))2．能根據(jù)所給條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(重點(diǎn))3．掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．(重點(diǎn))4．會根據(jù)已知條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(難點(diǎn))1．通過圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其特征的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．2．借助圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解與應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．我們的祖先很早就發(fā)明了建橋技術(shù)，現(xiàn)存最早的拱橋是由著名工匠李春設(shè)計建造于1 400多年前、橫跨在我國河北趙縣的河上的趙州橋．趙州橋又名安濟(jì)橋，全長50多米，拱圓凈跨37米多，是一座單孔坦拱式橋梁．趙州橋外形秀麗，結(jié)構(gòu)合理，富有民族風(fēng)格．雖然歷經(jīng)千年風(fēng)霜及車壓人行，但趙州橋至今仍可通行車輛，被公認(rèn)為是世界上最古老的一座拱橋．由橋拱的一部分能求出拱橋所在圓的方程嗎？知識點(diǎn)1　圓的定義平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合是圓，其中定點(diǎn)是圓心，定長是圓的半徑．1．確定一個圓需要幾個要素？[提示]　圓心——確定圓的位置(定位)．半徑——確定圓的大小(定形)．2．平面直角坐標(biāo)系中的一個圓，是否可以用方程表示？[提示]　可以．知識點(diǎn)2　圓的標(biāo)準(zhǔn)方程方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)是以點(diǎn)(a，b)為圓心，r為半徑的圓的方程，叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)圓心位置和圓的半徑確定，圓就唯一確定． (　　)(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圓． (　　)(3)圓(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圓心坐標(biāo)是(2，3)，半徑是9． (　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)×[提示]　(1)正確．確定圓的幾何要素就是圓心和半徑．(2)錯誤．當(dāng)m＝0時，不表示圓．(3)錯誤．圓(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圓心為(－2，－3)，半徑為3．知識點(diǎn)3　點(diǎn)與圓的位置關(guān)系設(shè)點(diǎn)P到圓心的距離為d，圓的半徑為r，則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系對應(yīng)如下：位置關(guān)系點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓內(nèi)d與r的大小關(guān)系d＞rd＝rd＜r3．若點(diǎn)P(x0，y0)在圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，需要滿足(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，那么P在圓C內(nèi)和圓C外又滿足怎樣的關(guān)系？[提示]　若點(diǎn)P在圓C內(nèi)，則有(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2．若點(diǎn)P在圓C外，則有(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2．2．點(diǎn)P(m，5)與圓x2＋y2＝24的位置關(guān)系是(　　)A．在圓外　　　B．在圓內(nèi)　　C．在圓上　　D．不確定A　[∵m2＋25＞24，∴點(diǎn)P在圓外．] 類型1　直接法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】　根據(jù)下列條件，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)圓心在點(diǎn)C(－2，1)，且過點(diǎn)A(2，－2)；(2)已知一圓的圓心為點(diǎn)(2，－3)，一條直徑的兩個端點(diǎn)分別在x軸和y軸上．[解]　(1)所求圓的半徑r＝|CA|＝＝5．又因?yàn)閳A心為(－2，1)，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y－1)2＝25．(2)設(shè)此直徑兩端點(diǎn)分別為(a，0)，(0，b)，由于圓心坐標(biāo)為(2，－3)，所以a＝4，b＝－6，所以圓的半徑r＝＝，從而所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13．確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程只需確定圓心坐標(biāo)和半徑，因此用直接法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，一般先從確定圓的兩個要素入手，即首先求出圓心坐標(biāo)和半徑，然后直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．求圓心在x軸上，半徑為5且過點(diǎn)A(2，－3)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．[解]　設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋y2＝25，因?yàn)辄c(diǎn)A(2，－3)在圓上，所以有(2－a)2＋(－3)2＝25，解得a＝－2或a＝6，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋y2＝25或(x－6)2＋y2＝25． 類型2　待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2】　(對接教材人教B版P99例2)求下列各圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)圓心在y＝0上且過兩點(diǎn)A(1，4)，B(3，2)；(2)圓心在直線x－2y－3＝0上，且過點(diǎn)A(2，－3)，B(－2，－5)．[解]　(1)設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，b)，半徑為r，則所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2．∵圓心在y＝0上，故b＝0，∴圓的方程為(x－a)2＋y2＝r2．又∵該圓過A(1，4)，B(3，2)兩點(diǎn)，∴解得a＝－1，r2＝20．∴所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋y2＝20．(2)設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由條件知解得故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (x＋1)2＋(y＋2)2＝10．待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟是什么？[提示]　設(shè)方程((x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0))→列方程組(由已知條件，建立關(guān)于a，b，r的方程組)→解方程組(解方程組，求出a，b，r)→得方程(將a，b，r代入所設(shè)方程，得所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．求經(jīng)過點(diǎn)A(10，5)，B(－4，7)，半徑為10的圓的方程．[解]　設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝100，將A，B兩點(diǎn)代入得①－②得7a－b－15＝0，即b＝7a－15．　③將③代入①得a2＋8－6a＝0，∴或故所求圓的方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝100或(x－4)2＋(y－13)2＝100． 類型3　圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的實(shí)際應(yīng)用【例3】　已知某圓拱橋，當(dāng)水面距拱頂2米時，水面寬12米，當(dāng)水面下降1米后，水面寬多少米？[解]　以拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過拱頂且與圓拱相切的直線為x軸，以過拱頂?shù)呢Q直直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則O(0，0)，A(6，－2)．設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y＋r)2＝r2(r＞0)．將A(6，－2)的坐標(biāo)代入方程得r＝10，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y＋10)2＝100．當(dāng)水面下降1米后，可設(shè)點(diǎn)A′(x0，－3)(x0＞0)．將A′(x0，－3)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得x0＝，∴水面下降1米，水面寬為2x0＝2(米)．解決圓的方程的實(shí)際應(yīng)用題時應(yīng)注意以下幾個方面[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．已知隧道的截面是半徑為4 m的半圓，車輛只能在道路中心線的一側(cè)行駛，問一輛寬為2.7 m，高為3 m的貨車能不能駛?cè)耄?/span>[解]　以隧道截面半圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓的直徑AB所在的直線為x軸，過圓心且垂直于直徑AB的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(如圖)，那么半圓的方程為x2＋y2＝16(y≥0)．將x＝2.7代入圓的方程，得y＝＝＜3，即在離中心線2.7米處，隧道的高度低于貨車的高度，因此貨車不能駛?cè)脒@個隧道． 類型4　與圓有關(guān)的最值問題【例4】　已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程(x－2)2＋y2＝3．求的最大值和最小值．1．點(diǎn)A(x，y)與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線斜率是什么？[提示]　kOA＝．2．代數(shù)式的幾何意義是什么？[提示]　點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)間的距離．[解]　原方程表示以點(diǎn)(2，0)為圓心，以為半徑的圓，設(shè)＝k，即y＝kx，當(dāng)直線y＝kx與圓相切時，斜率k取最大值和最小值，此時＝，解得k＝±．故的最大值為，最小值為－．1．在本例條件下，求y－x的最大值和最小值．[解]　設(shè)y－x＝b，即y＝x＋b，當(dāng)y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值和最小值，此時＝，即b＝－2±．故y－x的最大值為－2＋，最小值為－2－．2．在本例條件下，求x2＋y2的最大值和最小值．[解]　x2＋y2表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識知，它在原點(diǎn)與圓心所在直線與圓的兩個交點(diǎn)處取得最大值和最小值，又圓心到原點(diǎn)的距離為2，故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4．與圓有關(guān)的最值問題的幾種常見類型(1)形如u＝形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)(x，y)和(a，b)的動直線斜率的最值問題．(2)形如l＝ax＋by(b≠0)形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線y＝－x＋截距的最值問題．(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)(x，y)到定點(diǎn)(a，b)的距離的平方的最值問題．[跟進(jìn)訓(xùn)練]4．已知圓心在x軸上的圓C與x軸交于兩點(diǎn)A(1，0)，B(5，0)．(1)求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)P(x，y)為圓C上任意一點(diǎn)，求P(x，y)到直線x－y＋1＝0的距離的最大值和最小值．[解]　(1)由題意，并結(jié)合圖可知圓心C的坐標(biāo)為(3，0)，半徑r＝2，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝4．(2)如圖，過點(diǎn)C作CD垂直于直線x－y＋1＝0，垂足為D．由點(diǎn)到直線的距離公式可得|CD|＝＝2．又P(x，y)是圓C上的任意一點(diǎn)，而圓C的半徑為2，結(jié)合圖形易知點(diǎn)P到直線x－y＋1＝0的距離的最大值為2＋2，最小值為2－2．1．圓C：(x－2)2＋(y＋1)2＝3的圓心坐標(biāo)為(　　)A．(2，1)　　　　　 B．(2，－1)C．(－2，1) D．(－2，－1)B　[結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)形式可知，圓C的圓心坐標(biāo)為(2，－1)．]2．以(2 020，2 020)為圓心，2 021為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)A．(x－2 020)2＋(y－2 020)2＝2 0212B．(x＋2 020)2＋(y＋2 020)2＝2 0212C．(x－2 020)2＋(y－2 020)2＝2 021D．(x＋2 020)2＋(y＋2 020)2＝2 021A　[由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知(x－2 020)2＋(y－2 020)2＝2 0212．]3．圓心為點(diǎn)P(－2，3)，并且與x軸相切的圓的方程是(　　)A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4B．(x－2)2＋(y＋3)2＝4C．(x＋2)2＋(y－3)2＝9D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9C　[因?yàn)閳A心P(－2，3)到x軸的距離為3，且圓與x軸相切，所以圓的半徑為3，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y－3)2＝9．]4．點(diǎn)(2a，a－1)在圓x2＋(y－1)2＝5的外部，則a的取值范圍為________．∪(1，＋∞)　[因?yàn)?/span>(2a，a－1)在圓x2＋(y－1)2＝5的外部，所以4a2＋(a－2)2＞5，解得a＞1或a＜－．]5．點(diǎn)(1，1)在圓(x＋2)2＋y2＝m上，則圓的方程是________．(x＋2)2＋y2＝10　[因?yàn)辄c(diǎn)(1，1)在圓(x＋2)2＋y2＝m上，故(1＋2)2＋1＝m．∴m＝10，即圓的方程為(x＋2)2＋y2＝10．]回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：1．方程(x－a)2＋(y－b)2＝m一定表示圓嗎？[提示]　不一定．當(dāng)m＞0時，表示圓心為C(a，b)，半徑為的圓；當(dāng)m＝0時，表示一個點(diǎn)C(a，b)；當(dāng)m＜0時，不表示任何圖形．2．如何求解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？[提示]　(1)直接代入法：根據(jù)已知條件求圓心坐標(biāo)和半徑，直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)待定系數(shù)法：第一步：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．第二步：根據(jù)條件列方程組求待定系數(shù)a，b，r．第三步：代入所設(shè)方程中得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．   

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

2.3.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

版本： 人教B版 (2019)

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