1.會用定義推導圓的標準方程,掌握圓的標準方程的特點;2.能準確判斷點與圓的位置關(guān)系;3.能用待定系數(shù)法求圓的標準方程;4.能用圓的幾何性質(zhì)處理與圓心及半徑有關(guān)的問題.
基礎落實·必備知識全過關(guān)
重難探究·能力素養(yǎng)全提升
成果驗收·課堂達標檢測
(1)圓的定義平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的　　　　是圓,其中定點是　　　　,定長是圓的　　　　.?(2)圓的標準方程
兩點間距離公式的應用
一般地,如果平面直角坐標系中☉C的圓心為C(a,b),半徑為r(r>0),設M(x,y)為平面直角坐標系中任意一點,則點M在☉C上的充要條件是|CM|=r,即 =r,兩邊平方,得　　　　　　　,通常稱為圓的標準方程.
(x-a)2+(y-b)2=r2
名師點睛1.圓的標準方程中等式右邊是r2,且r>0;2.當圓心為原點時,圓的標準方程為x2+y2=r2.
過關(guān)自診1.圓(x-1)2+y2=3的圓心坐標和半徑分別是(　　)A.(-1,0),3 B.(1,0),3
解析 根據(jù)圓的標準方程可得,圓(x-1)2+y2=3的圓心坐標為(1,0),半徑為 .故選D.
2.[北師大版教材習題改編]圓心是(3,-4),半徑是 的圓的標準方程是　　　　　　　　.?
3.[北師大版教材習題改編]下列方程是圓的方程嗎?若不是,請說明理由.(1)(x+1)2+(y-1)2=-5;(2)(x+1)2+(y-1)2=k.
(x-3)2+(y+4)2=5
解 (1)不是圓的方程,因為-50時是圓的方程,當k≤0時不是圓的方程.
點M(x0,y0)與☉C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置關(guān)系及判斷方法
過關(guān)自診點P(1,3)與圓x2+y2=24的位置關(guān)系是(　　)A.點在圓外B.點在圓內(nèi)C.點在圓上D.不確定
探究點一　求圓的標準方程
角度1.直接法求圓的方程【例1】 (1)圓心在點C(2,1),半徑為 的圓的標準方程為　　　　　　　　　　.?(2)圓心在點C(8,-3),且過點P(5,1)的圓的標準方程為　 .?(3)與y軸相切,且圓心坐標為(-5,-3)的圓的標準方程為　　　　　　　　.?
(x-2)2+(y-1)2=3
(x-8)2+(y+3)2=25
(x+5)2+(y+3)2=25
規(guī)律方法　1.確定圓的標準方程只需確定圓心坐標和半徑,因此用直接法求圓的標準方程時,要首先求出圓心坐標和半徑,然后直接寫出圓的標準方程.2.確定圓心和半徑時,常用到中點坐標公式、兩點間距離公式,有時還用到平面幾何知識,如“弦的中垂線必過圓心”“兩條弦的中垂線的交點必為圓心”等.
變式訓練1以兩點A(-3,-1)和B(5,5)為直徑端點的圓的方程是(　　)A.(x+1)2+(y+2)2=100B.(x-1)2+(y-2)2=100C.(x+1)2+(y+2)2=25D.(x-1)2+(y-2)2=25
解析 ∵線段AB為直徑,∴AB的中點(1,2)為圓心,
∴該圓的標準方程為(x-1)2+(y-2)2=25.
角度2.待定系數(shù)法求圓的方程【例2】 [北師大版教材例題]求經(jīng)過A(1,3),B(4,2)兩點,且圓心C在直線l:x+y-3=0上的圓的標準方程.
解 (方法一)設該圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.
①-②,得(1-a)2+(3-b)2=(4-a)2+(2-b)2,④化簡、整理,得3a-b-5=0.⑤
故所求圓的標準方程為(x-2)2+(y-1)2=5(如圖(1)).
(方法二)如圖(2),連接AB,作AB的垂直平分線交AB于點D,則圓心C是線段AB的垂直平分線與直線l的交點,線段AB的垂直平分線的方程為3x-y-5=0.
又該圓經(jīng)過點A,則r2=(1-2)2+(3-1)2=5,故所求圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=5.
規(guī)律方法　1.待定系數(shù)法求圓的標準方程的一般步驟
2.幾何法即是先利用平面幾何知識,求出圓心和半徑,再寫出圓的標準方程.3.有時待定系數(shù)法和幾何法交叉使用,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.
變式訓練2[人教A版教材例題]△ABC的三個頂點分別是A(5,1),B(7,-3), C(2,-8),求△ABC的外接圓的標準方程.
解 設所求圓的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.①因為A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)三點都在圓上,所以它們的坐標都滿足方程①,
觀察上面的式子,我們發(fā)現(xiàn),三式兩兩相減,可以消去a2,b2,r2,得到關(guān)于a,b的
r2=25.所以△ABC的外接圓的標準方程是(x-2)2+(y+3)2=25.
探究點二　點與圓的位置關(guān)系
【例3】 (1)已知a,b是方程x2-x- =0的兩個不相等的實數(shù)根,則點P(a,b)與圓C:x2+y2=8的位置關(guān)系是(　　)A.點P在圓C內(nèi)B.點P在圓C外C.點P在圓C上D.無法確定
(2)已知點P(2,1)和圓C:（x+ ）2+(y-1)2=1,若點P在圓C上,則實數(shù)a=　　　　　.若點P在圓C外,則實數(shù)a的取值范圍為　　　 　　.?
(-∞,-6)∪(-2,+∞)
規(guī)律方法　判斷點P(x0,y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的位置關(guān)系的方法
變式訓練3若原點在圓(x-3)2+(y+4)2=m的外部,則實數(shù)m的取值范圍是(　　)A.{m|m>25}B.{m|m>5}C.{m|0

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2.3.1 圓的標準方程

版本： 人教B版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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