班級______姓名______學(xué)號______
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.）
1. 已知點，則點關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】關(guān)于軸對稱，則坐標(biāo)值不變，坐標(biāo)變?yōu)榛橄喾磾?shù)即可.
【詳解】解：因為關(guān)于軸對稱，則坐標(biāo)值不變，坐標(biāo)變?yōu)榛橄喾磾?shù)
所以，點關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)為
故選：D.
2. 已知向量，，且，那么（ ）
A. B. 6C. 9D. 18
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量共線的充要條件求出的值，然后代入模的計算公式即可求解.
【詳解】因為，且向量，，
所以，解得：，
所以，
故選：A.
3. 如圖，在三棱錐O－ABC中，D是BC的中點，若，，，則等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算計算即可.
【詳解】因為D為BC的中點，所以，
又，
所以．
故選:C．
4. 已知正四棱錐，底面邊長是，體積是，那么這個四棱錐的側(cè)棱長為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)正四棱錐的高為h，由體積是，求出.利用勾股定理求出側(cè)棱長.
【詳解】因為正四棱錐，底面邊長是，所以底面積為.
設(shè)正四棱錐的高為h，由，所以.
所以側(cè)棱長為.
即側(cè)棱長為.
故選：C
5. 如圖，在三棱錐中，，且，E，F(xiàn)分別是棱，的中點，則EF和AC所成的角等于
A 30°B. 45°C. 60°D. 90°
【答案】B
【解析】
【分析】取BC的中點G，連接FG、EG，則為EF與AC所成的角．解．
【詳解】如圖所示，取BC的中點G，連接FG，EG．
，F(xiàn)分別是CD，AB中點，
，，
且，．
為EF與AC所成的角．
又，．
又，，，
為等腰直角三角形，
，即EF與AC所成的角為45°．
故選：B．
【點睛】本題主要考查異面直線所成的角，找角證角求角，主要是通過平移將空間角轉(zhuǎn)化為平面角，再解三角形，屬于基礎(chǔ)題．
6. 已知是兩條不重合的直線，，，是三個兩兩不重合的平面，給出下列四個命題：
①若則；
②若則；
③若則；
④若是異面直線，則．其中真命題是（ ）
A. ①和②B. ①和③C. ③和④D. ①和④
【答案】D
【解析】
【分析】由題意逐一考查所給命題的真假即可確定真命題的編號.
【詳解】逐一考查所給的命題：
①由線面垂直的性質(zhì)定理可得若則α//β，該命題正確；
②如圖所示的正方體中，取平面分別為平面，滿足但是不滿足α//β，該命題錯誤；
③如圖所示的正方體中，取平面分別為平面，
直線分別為，滿足但是不滿足α//β，該命題錯誤；
④若是異面直線，由面面平行的性質(zhì)定理易知α//β，該命題正確；
綜上可得，真命題是①和④
本題選擇D選項.
【點睛】本題考查了空間幾何體的線面位置關(guān)系判定與證明：
（1）對于異面直線的判定要熟記異面直線的概念：把既不平行也不相交的兩條直線稱為異面直線；
（2）對于線面位置關(guān)系的判定中，熟記線面平行與垂直、面面平行與垂直的定理是關(guān)鍵.
7. 在正方體中，直線是底面所在平面內(nèi)的一條動直線，記直線與直線所成的角為，則的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】過作的平行線，過作該平行線的垂線，垂足為，則，，
根據(jù)可求出結(jié)果.
【詳解】如圖：過作的平行線，過作該平行線的垂線，垂足為，
則，所以，
設(shè)正方體的棱長為，則，，
所以,當(dāng)且僅當(dāng)與重合時，取得等號，
所以的最小值是.
故選：.
8. 如圖，在平行六面體中，，，則（ ）
A. 1B. C. 9D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)圖形，利用向量的加法法則得到，
再利用求的模長.
【詳解】在平行六面體中，
有，，
由題知，，，，，
所以，，與的夾角為，
與的夾角為，與的夾角為，
所以
.
所以.
故選：D.
9. 如圖，在長方體中，為棱的中點，為四邊形內(nèi)（含邊界）的一個動點.且，則動點的軌跡長度為（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正方體性質(zhì)以及線面垂直判定定理可證明平面，由線面垂直的性質(zhì)可得當(dāng)時，動點的軌跡為.
【詳解】如下圖所示：
作交于點，易知四邊形是邊長為4的正方形，
利用三角形相似可知，即可得，所以，
由勾股定理可知，
利用正方體性質(zhì)可知平面，平面，所以；
又，，平面，
可知平面；
由可知平面，又為四邊形內(nèi)（含邊界）的一個動點，
所以動點的軌跡為平面與四邊形的交線，即為，
因此可得動點的軌跡長度為.
故選：B
10. 如圖，在直三棱柱中，，點在棱上，點在棱上，下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A. 三棱錐的體積的最大值為
B. 點到平面的距離為
C. 點到直線的距離的最小值為
D. 的最小值為
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)錐體的體積公式判斷A；根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)，結(jié)合，可得，進(jìn)而判斷B；建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出點到距離，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷C；將翻折到與矩形共面時連接交于點，此時取得最小值，進(jìn)而利用勾股定理求出距離最小值，即可判斷D.
【詳解】在直三棱柱中，平面，
對于A：因為點在棱上，，所以，
又，，點在棱上，
所以，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)在點、在點時取等號，故①正確；
對于B：在直三棱柱中，，
則，又點在棱上，
所以點到平面的距離，即為,故B正確；
對于C：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，
，所以，，
所以點到直線的距離為
，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，即，
則，即，
所以當(dāng)取最大值，且時，，
即當(dāng)在點，在點時，點到直線的距離的最小值為，故C正確；
對于D：如圖將翻折到與矩形共面時連接交于點，
此時取得最小值，
因為，，所以，
所以，
即的最小值為，故D錯誤.
故選：D.
二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分.）
11. 已知向量，，若，則______.
【答案】3
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示計算即可.
【詳解】因為，，，
所以，解得.
故答案為：3.
12. 已知正方體的棱長為，則點到直線的距離為______.
【答案】
【解析】
【分析】連接，利用等面積法可求點到直線的距離.
【詳解】連接，
由正方體，可得平面，
因為平面，所以，
因為正方體的棱長為1，
所以可得，
設(shè)點到直線的距離為，
由，可得，
解得，所以點到直線的距離為.
故答案為：.
13. 如圖，的二面角的棱上有，兩點，直線，分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于已知，，，則的長為__________

【答案】
【解析】
【分析】由向量的線性表示，根據(jù)向量模長根式即可代入求解.
【詳解】解：由條件，知，,
所以
，
所以,
故答案為：
14. 在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，四個面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑．已知在鱉臑中，平面ABC，．M為PC的中點，則點P到平面MAB的距離為______．
【答案】
【解析】
【分析】利用等體積法求得到平面的距離.
【詳解】因為平面ABC，平面ABC，所以，
依題意可知平面，
所以平面，
由于是的中點，所以到平面的距離是到平面的距離的一半，
即到平面的距離是.
,，
所以，
由于，所以，
，
設(shè)到平面的距離為，則，
即.
故答案為：
15. 如圖，在正方體中，點P在線段上運(yùn)動，則下列結(jié)論正確的是________．
①直線平面
②三棱錐的體積為定值
③異面直線AP與所成角的取值范圍是
④直線與平面所成角的正弦值的最大值為
【答案】①②④
【解析】
【分析】對于①，利用線面垂直的判定定理及線面垂直的性質(zhì)定理，即可進(jìn)行判斷；對于②，利用線面平行的判定定理，得出∥平面，再根據(jù)三棱錐的體積的計算方法，即可進(jìn)行判斷；對于③，利用異面直線所成角的計算方法，即可進(jìn)行判斷；對于④，通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求出直線與平面所成角的正弦值，然后借助二次函數(shù)，即可進(jìn)行判斷.
【詳解】
對于①，連接，
，，，平面，平面，
平面，平面，
，同理，，
，平面，平面，
直線平面，故①正確；
對于②，∥，平面，平面，∥平面，
點在線段上運(yùn)動，點到平面的距離為定值，
又的面積為定值，利用等體積法知三棱錐的體積為定值，故②正確；
對于③，∥，異面直線與所成的角即為與所成的角，
當(dāng)點位于點時，與所成的角為，
當(dāng)點位于的中點時，，，此時，與所成的角為，
異面直線與所成角的取值范圍是，故③錯誤；
對于④，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，，
則，，，，，，
設(shè)平面的法向量，則，即，
令，得，所以，直線與平面所成角的正弦值為：
，
當(dāng)時，直線與平面所成角的正弦值取得最大值，最大值為，故④正確.
故答案為：①②④
三、解答題（本大題共4小題，每小題10分，共40分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.）
16. 如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，分別為，的中點.
（1）求證：平面；
（2）若，平面，求證：平面.
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）連接，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理證明即可；
（2）由平面，可得，進(jìn)而結(jié)合可得面，再結(jié)合即可求證.
【小問1詳解】
證明：連接，
∵四邊形是平行四邊形，且是的中點，
∴是的中點，
∵E為PC中點，
∴，
∵平面，平面，
∴平面.
【小問2詳解】
證明：∵平面，平面，
∴，
∵，，平面，
∴面，
∵，
∴平面.
17. 如圖，在直三棱柱中，，、分別為、的中點，.

（1）求證：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）求點到平面的距離.
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）首先通過線面垂直的判定定理得證平面，從而得證；
（2）法一：首先通過線面垂直的判定定理得證平面，從而得到即為所求角，求出該角的正弦值即可得到答案.法二：由已知可證，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角公式可求與平面所成角的正弦值.
（3）利用空間向量法的點到面的距離公式可求解.
【小問1詳解】
因為三棱柱是直三棱柱，所以平面，
因為平面，所以，
又因為，為中點，所以，
因為平面，所以平面，
因為平面，所以.
【小問2詳解】
方法一：
因為直三棱柱，所以平面，
因為平面，所以，
因為，，所以，
因為平面，所以平面.
因為平面，所以，
因為，平面，所以平面，
連結(jié)，即為直線與平面所成角,
因為，所以，，
.
所以與平面所成角的正弦值為.
方法二：
因為直三棱柱，所以平面，
因為平面，所以，
因為，，所以，
因為平面，所以平面.
因為,所以，
如圖所示，以為原點，以所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因為，
所以，，
易知平面，所以為平面的一個法向量，
設(shè)與平面所成角為θ，
所以，
所以與平面所成角的正弦值為.
【小問3詳解】
設(shè)到平面的距離為，
因為，
所以，
設(shè)為平面一個法向量，所以，即，
令，則，所以平面的一個法向量，
所以，
因此點到平面的距離為.
18. 如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)面為等腰直角三角形，且，點為棱上的點，平面與棱交于點.
（1）求證：；
（2）從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，求平面與平面所成銳二面角的大小.
條件①：；
條件②：平面平面；
條件③：.
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件可以證明平面，再利用線面平行的性質(zhì)定理即可證明出結(jié)論；
（2）選條件①②可以證明出兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)坐標(biāo)，再求出兩平面的法向量，進(jìn)而求出結(jié)果;選條件①③或②③同樣可以證明求解.
【小問1詳解】
證明：因為底面是正方形，所以，
平面，平面,
所以平面，
又因為平面與交于點.
平面，平面平面
所以.
【小問2詳解】
選條件①②
側(cè)面等腰直角三角形，且
即，
平面平面，
平面平面，平面,
則平面，又為正方形，
所以.
以點為坐標(biāo)原點，分別為軸,軸,軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則
因為，所以點為的中點，則
從而：，
設(shè)平面的法向量為：，
則，
令，可得
設(shè)平面的法向量為：，則
，
令，可得
所以
則兩平面所成的銳二面角為
選條件①③
側(cè)面為等腰直角三角形，且即
，且兩直線在平面內(nèi)，可得平面，平面，則.
又因為且兩直線在平面內(nèi)，
則平面平面則
因為，所以為等腰三角形，所以點為的中點
又因為，所以為等腰直角三角形，
下面同①②
選條件②③
側(cè)面為等腰直角三角形，且，
即
平面平面，
平面平面，平面,
則平面為正方形，
所以.
又因為且兩直線在平面內(nèi)，則平面，平面
則
因為，所以為等腰三角形，所以點為的中點.
下面同①②
19. 在梯形中，，，，為的中點，線段與交于點（如圖1）.將△沿折起到△位置，使得（如圖2）.
（1）求證：平面平面；
（2）線段上是否存在點，使得與平面所成角的正弦值為?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）先證明四邊形是菱形，從而證明平面ABC，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；
（2）以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.
【小問1詳解】
證明：∵在梯形中，，
，，為的中點，
∴，，，
∴是正三角形，四邊形為菱形，
∴，，
∵，
又∵平面ABC，
∴平面ABC，
∵平面，
∴平面⊥平面ABC.
【小問2詳解】
存在，，理由如下：
∵平面，OP⊥AC，
∴，，兩兩互相垂直，
如圖，以點為坐標(biāo)原點，，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系.
則，，，，
∴，，
設(shè)平面的一個法向量為，則
，即，令，則，，
，
設(shè)，
∵，，
∴，
設(shè)與平面所成角為，則，
即，，解得，
∴線段上存在點，且，使得與平面所成角的正弦值為.

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