一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 直線傾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由傾斜角與斜率關系，結合傾斜角的范圍即可求解.
【詳解】由得，故傾斜角滿足為，，故.
故選：C
2. 若方程x2＋ky2＝2表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是（ ）
A. (0，＋∞)B. (0，2)C. (1，＋∞)D. (0，1)
【答案】D
【解析】
【分析】要利用條件橢圓焦點在軸上，應將橢圓的方程化為標準方程，由橢圓的焦點在軸上，可得，進而可解得實數(shù)的取值范圍．
【詳解】因為方程，即 表示焦點在軸上的橢圓，
所以 ，即 ，
所以實數(shù)的取值范圍是．
故選：D．
【點睛】本題考查橢圓的標準方程，要判斷橢圓焦點的位置，應將橢圓的方程化為標準方程．對于橢圓，①表示焦點在x軸上的橢圓；②表示焦點在y軸上的橢圓．；③表示橢圓．
3. 過點，且與橢圓有相同焦點的橢圓的標準方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設所求橢圓方程為，依題意可得，解得、，即可求出橢圓方程.
【詳解】橢圓的焦點為或，
設所求橢圓方程為，
則，解得，所以橢圓方程為.
故選：D
4. 已知點.若直線與線段相交,則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. 或D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出直線所過定點坐標,設定點是,求出斜率,由圖形可得結論.
【詳解】由已知直線恒過定點,
如圖所示,若與線段相交,則,

因為,
所以.
故選:D.
5. 已知圓的一條直徑的端點分別是，，則該圓的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用中點坐標公式求出圓心，由兩點間距離公式求出半徑，即可得到圓的方程．
【詳解】解：由題意可知，，的中點為，
又圓的半徑為，
故圓的方程為．
故選：B．
6. 若橢圓弦AB被點平分，則AB所在直線的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用點差法求解得，再根據點斜式求解即可得答案.
【詳解】設，則
所以，整理得，
因為為弦的中點，
所以，
所以，
所以弦所在直線的方程為，即.
故選：A.
7. 直線分別與軸，軸交于兩點，點在圓上，則面積取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出兩點坐標得到，再計算圓心到直線距離，得到點P到直線距離的范圍，由三角形的面積公式計算即可.
【詳解】因為線分別與軸，軸交于兩點，
所以，所以，
由，可得圓的圓心為，半徑為，
因為點在圓上，所以圓心到直線的距離為，
故到直線的距離的范圍為，
則.
故選：A.
8. 直線與圓的位置關系是( )
A. 相交但直線不過圓心B. 相切
C. 相離D. 相交且直線過圓心
【答案】A
【解析】
【分析】要判斷圓與直線的位置關系，方法是利用點到直線的距離公式求出圓心到此直線的距離，和圓的半徑比較即可得到此圓與直線的位置關系．
【詳解】由圓的方程得到圓心坐標為，半徑r=1，直線為，
∴到直線的距離，
∴圓與直線的位置關系為相交，
又圓心不在直線上，
故選：A．
9. 已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A，B兩點.若，，則C的方程為
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知可設，則，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，從而可求解.
【詳解】法一：如圖，由已知可設，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得．
所求橢圓方程為，故選B．
法二：由已知可設，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B．
【點睛】本題考查橢圓標準方程及其簡單性質，考查數(shù)形結合思想、轉化與化歸的能力，很好的落實了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng)．
10. 吹奏樂器“塤”（如圖1）在古代通常是用陶土燒制的，一種“塤”的外輪廓的上部是半橢圓，下部是半圓，已知半橢圓（且為常數(shù)）和半圓組成的曲線C如圖2所示，曲線C交x軸的負半軸于點A，交y軸的正半軸于點G，點M是半圓上任意一點，當點M的坐標為時，的面積最大，則半橢圓的方程是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由點在半圓上，可求，再根據已知的面積最大的條件可知，，即，代入可求，進而可求橢圓方程
【詳解】由點在半圓上，所以，
由橢圓可知圖中，

要使的面積最大，可平行移動AG，當AG與半圓相切于時，
M到直線AG的距離最大， 此時，即，
又
，
所以半橢圓的方程為
故選：D.
11. 油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，使用歷史已有1000多年.以手工削制的竹條做傘架，以涂刷天然防水桐油的皮棉紙做傘面.油紙傘是世界上最早的雨傘，純手工制成，全部取材于天然，是中國古人智慧的結晶.在某市開展的油紙傘文化藝術節(jié)中，某油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個半徑為1的圓，圓心到傘柄底端的距離為1，陽光照射油紙叢在地面上形成了一個橢圓形的影子，此時陽光照射方向與地面的夾角為75°，若傘柄底端正好位于該橢圓的左焦點位置，則該橢圓的長軸長為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以傘面直徑，為其投影，畫出平面示意圖，易知且，，為左焦點，為橢圓長軸長，，，即可求長軸長.
【詳解】由題設，為傘面直徑，為其投影，如下圖示：
由題意，且，，為左焦點，為橢圓長軸長，
所以，，
而，所以，
所以.
故選：C
12. 已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左，右焦點分別為，過點垂直于軸的直線交橢圓于，兩點，，若點是橢圓上的動點，則下列說法錯誤的是（ ）
A. 的最小值為
B. 的面積的最大值為
C. 的取值范圍為
D. 上有且只有個點，使得是直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】由題意得是等邊三角形，從而可求得，再根據通徑可求得，即可求得橢圓方程，由當點位于上下頂點時，最大，結合余弦定理即可判斷A；設，再根據即可判斷B；根據數(shù)量積坐標表示結合的范圍，即可判斷C；分別分析以三個點為直角頂點的直角三角形的個數(shù)，即可判斷D.
【詳解】由題意得是等邊三角形，
所以的周長為，所以，
令，則，
則，所以，
所以橢圓，
對于A，當點位于上下頂點時，最大，
此時的最小為，
故A錯誤；
對于B，設，
則，
所以的面積的最大值為，故B正確；
對于C，設，
則，所以，
又，
則，
因為，所以，
所以，故C正確；
對于D，由A選項可知，最大時為銳角，
所以以點為直角頂點的不存在，
以點為直角頂點的分別有個，
所以上有且只有個點，使得是直角三角形，故D正確.
故選：A.
二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分．
13. 兩條直線和的交點為_______.
【答案】
【解析】
【分析】聯(lián)立兩條直線方程即可得交點坐標．
【詳解】聯(lián)立，解得,
即直線2x+y﹣8＝0和x﹣2y+1＝0交于點（3，2），
故答案為．
【點睛】本題考查兩條直線相交的問題，屬基礎題.
14. 點關于直線：的對稱點的坐標為______.
【答案】
【解析】
【分析】設Q的坐標，由題意可得直線l為線段PQ的中垂線，可得點的坐標．
【詳解】設是點關于直線：的對稱點，
由題意可得，解得，，可得.
故答案為：.
15. 直線和將單位圓分成長度相等的四段弧，則__________.
【答案】2
【解析】
【詳解】試題分析：依題意，設與單位圓相交于兩點，則∠°.如圖，當時滿足題意，所以.
考點：直線與圓相交，相等弧的概念，容易題.
16. 已知分別為橢圓的左，右焦點，為C上一點，內切圓的半徑為____________．
【答案】
【解析】
【分析】將點代入得出方程，畫出圖形，直角三角形中用等面積法求出內切圓半徑即可.
【詳解】將代入中，，
即，，則橢圓方程為，
如圖所示，

易得，
則，，，
因為(為三角形周長，為內切圓半徑).
又，代入得，解得.
故答案為： .
17. 把半橢圓：和圓?。汉铣傻那€稱為“曲圓”，其中點是半橢圓的右焦點，分別是“曲圓”與軸的左、右交點，分別是“曲圓”與軸的上、下交點，已知，過點的直線與“曲圓”交于兩點，則半橢圓方程為_________（），的周長的取值范圍是_______________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由橢圓的焦點坐標以及，可得橢圓的標準方程和圓的方程，從而得到半橢圓方程；易知是橢圓的左焦點，過橢圓的右焦點的直線與曲圓可得，，在直線轉動的過程中由，的位置可得三角形的周長的取值范圍．
【詳解】解：由，令，可得以及，
再由橢圓的方程及題意可得，，，
由，可得，
由可得，
所以，
所以半橢圓及圓弧的方程分別為，，
所以，
可得相當于橢圓的左焦點，
的周長為，
當從（不包括向運動時，，
當在軸右側時，，所以這時三角形的周長為8，
當從向運動時，在第四象限，則，，
這時三角形的周長小于8，
當運動到時，在處，不構成三角形，三角形的周長接近，
由曲圓的對稱性可得運動到軸下方時，與前面的一樣，
綜上所述，的周長的取值范圍為，．
故答案為：；．
三、解答題：本題共5小題，共65分．解答應寫出文字說明，證明
18. 已知頂點、、．
（1）求邊的垂直平分線的方程；
（2）若直線過點，且的縱截距是橫截距的倍，求直線的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據、，即可得中點及斜率，進而可得其中垂線方程；
（2）當直線過坐標原點時可得直線方程；當直線不過坐標原點時，根據直線的截距式可得解.
【小問1詳解】
由、，
可知中點為，且，
所以其垂直平分線斜率滿足，即，
所以邊的垂直平分線的方程為，即；
【小問2詳解】
當直線過坐標原點時，，此時直線，符合題意；
當直線不過坐標原點時，由題意設直線方程為，
由過點，則，解得，
所以直線方程為，即，
綜上所述，直線的方程為或.
19. 已知圓：.
（1）求過點的圓的切線方程；
（2）若直線與圓相交于A，B兩點，且弦AB的長為，求的值.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】(1)根據給定條件設出切線方程，再借助圓的切線的性質列式計算即得.
(2)由所給的弦長結合圓的性質求出弦心距，再借助點到直線距離公式即可得解.
【小問1詳解】
圓：的圓心，半徑，
設過點的圓的切線方程為：，
于是得，整理得：，則有：或，
當時，切線方程為：，當時，切線方程為：，
所以，所求切線方程為：或.
【小問2詳解】
因直線被圓所截弦AB的長為，則圓心C到直線AB的距離為，
于是得，解得，
所以的值為.
20. 已知橢圓長軸長為4，且橢圓的離心率，其左右焦點分別為．
（1）求橢圓的方程；
（2）設斜率為且過的直線與橢圓交于兩點，求的面積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由橢圓的基本性質得到橢圓的值，寫出橢圓方程.
（2）寫出直線方程，聯(lián)立方程組，由韋達定理得到和，用交點弦長公式得到線段長，由點到直線距離得到三角形高，從而算出三角形面積.
【小問1詳解】
由題意可知：，則，
∵，∴，
∴，
∴橢圓
【小問2詳解】
，∴直線：，
聯(lián)立方程組得
設，
則，
點到直線的距離
∴

21. 已知橢圓的左、右焦點分別為，，，且．
（1）求的方程．
（2）若，為上的兩個動點，過且垂直軸的直線平分，證明：直線過定點．
【答案】（1）；（2）證明見解析．
【解析】
【分析】(1)由條件，可得的值，再由條件結合，可得答案.
（2）由條件先得出，設，，設直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得出韋達定理，代入結論中可 求解.
【詳解】（1）解：因為，所以，所以，
又，所以，，
故的方程為．
（2）證明：由題意可知直線的斜率存在，，
設直線的方程為，
設，，
由，得，
則，
，．
設直線，的傾斜角分別為，，
則，，
所以，
即，
所以，
所以，
化簡可得，
所以直線的方程為，
故直線過定點．
【點睛】本題考查求橢圓的方程和直線過定點問題，解答本題的關鍵是根據條件得出，設出直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立由韋達定理代入解決，屬于中檔題.
22. 已知橢圓的離心率為，且橢圓C經過點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程;
（Ⅱ）已知過點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，與直線交于點Q，設，，求證：為定值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由離心率得，由橢圓過一點．得，兩者結合可解得，得橢圓方程；
（Ⅱ）設直線方程為，設，直線方程代入橢圓方程后可得，由，，把用表示，然后計算并代入即可得證．
【詳解】（Ⅰ）由題意，解得，
∴橢圓方程為；
（Ⅱ）易知直線斜率存在，設其方程為，設，
由，消元整理得，
∴，，
把代入得，即，
由，得，，
由，得，，
∴，
∴為定值．
【點睛】本題考查求橢圓標準方程，考查直線與橢圓相交問題．解題方法是設而不求的思想方法，即設直線方程為，設，直線方程代入橢圓方程應用韋達定理求得，把它代入題中需求的量化簡可得結論．

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