北京市第八十中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期12月階段測評數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

班級_____姓名_____考號_____
（考試時間90分鐘滿分100分）
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
1. 設(shè)集合，，那么下列結(jié)論正確的是（）
A. B. C. ? D. ?
【答案】C
【解析】
【分析】
利用集合與集合的關(guān)系直接求解．
【詳解】∵集合,,
∴?．
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查集合的關(guān)系的判斷,考查子集定義等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題．
2. 若，則下列不等式一定成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】可用特殊值法檢驗每個選項，即可判斷.
【詳解】對于選項A：若，顯然選項A錯誤；
對于選項B：因為在上單調(diào)增加，，則，所以，所以選項B正確；
對于選項C：若，則無意義，所以選項C錯誤；
對于選項D：若，則，所以選項D錯誤.
故選：B.
3. 設(shè)，則（）
A. 8B. 11C. 12D. 18
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)冪的運(yùn)算性質(zhì)和對數(shù)恒等式求解.
【詳解】因為，
所以.
故選：D.
4. 命題“，”的否定是（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】全稱量詞命題的否定是特稱量詞命題，把任意改為存在，把結(jié)論否定.
【詳解】“，”的否定是“，”.
故選：A
5. 函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的，則“”是“函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)”的（）
A 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】由零點(diǎn)存在性定理，及充分必要條件的判定即可得解.
【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的，
由零點(diǎn)存在性定理，可知由可得函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，
即由函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，可得，
而由推不出函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，如，，函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，
所以“”是“函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)”的必要不充分條件.
故選：B.
6. 已知扇形的圓心角為8rad，其面積是4，則該扇形的弧長是（）
A. 10cmB. 8cm
C. cmD. cm
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)扇形弧長公式和面積公式，準(zhǔn)確計算，即可求解.
【詳解】設(shè)扇形所在圓的半徑為，
因為扇形的圓心角為，其面積是，可得，解得，
又由扇形的弧長公式，可得.
故選：B.
7. 若函數(shù)至少有一個零點(diǎn)，則的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，問題轉(zhuǎn)化為與的圖象有交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求解.
詳解】函數(shù)有零點(diǎn)，即方程有根，
即有根，即與的圖象有交點(diǎn)，如圖，

，解得.
故選：C.
8. 已知，，，則，，的大小關(guān)系（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合對數(shù)的換底公式，即可得出答案.
【詳解】因為，，，
由于，利用換底公式得：，即，
所以有，
故選：A.
9. “開車不喝酒，喝酒不開車”.一個人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時25%的速度減少，為了保障交通安全，某地根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)定：駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.09mg/mL，那么，一個喝了少量酒后的駕駛員，至少經(jīng)過（）小時，才能開車？（精確到1小時）（參考數(shù)據(jù)：，）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意列出不等式，根據(jù)對數(shù)運(yùn)算求解即可.
【詳解】設(shè)小時后，該駕駛員血液中的酒精含量不超過0.09mg/mL，
則有，即，
取常用對數(shù)，可得，
即，
所以，
即至少經(jīng)過5小時，血液中的酒精含量不超過0.09mg/mL，才能開車.
故選：C
10. 設(shè)集合是實(shí)數(shù)集的子集，如果滿足：對任意，都存在，使得，稱為集合的聚點(diǎn)，則在下列集合中，以0為聚點(diǎn)的集合有（）
① ②
③ ④
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①③④
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)聚點(diǎn)的含義，一一判斷各集合是否滿足聚點(diǎn)定義，即可判斷答案.
【詳解】對于①，對任意，都存在，
使得，故0是集合的聚點(diǎn)；
對于②，取，此時對于任意，
都有，即不可能成立，故0不是集合的聚點(diǎn)；
對于③，對任意，都存在，即，
使得，故0是集合的聚點(diǎn)；
對于④，，即隨n的增大而增大，
故的最小值為，故當(dāng)時，不存在x，使得，
故0不是集合的聚點(diǎn)；
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是理解聚點(diǎn)的含義，判斷所給集合是否滿足聚點(diǎn)定義.
二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分）
11. 函數(shù)的定義域為_____．
【答案】[0,1)
【解析】
【分析】由二次根式有意義的條件以及復(fù)合對數(shù)函數(shù)的定義域即可得解.
【詳解】根據(jù)題意，得，解得，
所以函數(shù)的定義域為.
故答案為：.
12. 等于_____．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】由誘導(dǎo)公式計算．
【詳解】，
故答案為：．
13. 若，則_____，_____．
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系，即可求得答案.
【詳解】由題意知，故，
則，
故答案為：；
14. 函數(shù)的最小值是_____，此時的值是_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】整理，利用基本不等式求解即可；
【詳解】，
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立.
故函數(shù)的最小值為4，此時；
故答案為：4；1
15. 設(shè)，函數(shù)，當(dāng)時，的值域是_____；若恰有一個零點(diǎn)，則的取值范圍是_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】第一空：把分段的兩部分值域求出來取并集即可；第二空，對分類討論即可求解.
【詳解】當(dāng)時，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以此時的值域是；
當(dāng)時，若，則令，解得，
若，則，
所以此時恰有一個零點(diǎn)，故，滿足題意，
當(dāng)時，若，則，
若恰有一個零點(diǎn)，則只能當(dāng)時，有解，
即當(dāng)時，有解，所以，
綜上所述，若恰有一個零點(diǎn)，則的取值范圍是.
故答案為：；.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第二空的關(guān)鍵是找到合適的臨界值對進(jìn)行分類討論，由此即可順利得解.
16. 某池塘里原有一塊浮萍，浮萍蔓延后的面積（單位：平方米）與時間（單位：月）的關(guān)系式為（且）圖象如圖所示. 則下列結(jié)論：
①浮萍蔓延每個月增長的面積都相同；
②浮萍蔓延個月后的面積是浮萍蔓延個月后的面積的；
③浮萍蔓延每個月增長率相同，都是；
④浮萍蔓延到平方米所經(jīng)過的時間與蔓延到平方米所經(jīng)過的時間的和比蔓延到平方米所經(jīng)過的時間少.
其中正確結(jié)論的序號是_____．
【答案】②④
【解析】
【分析】由，可求得的值，可得出，計算出萍蔓延月至月份增長的面積和月至月份增長的面積，可判斷①的正誤；計算出浮萍蔓延個月后的面積和浮萍蔓延個月后的面積，可判斷②的正誤；計算出浮萍蔓延每個月增長率，可判斷③的正誤；利用指數(shù)運(yùn)算可判斷④的正誤.
【詳解】由已知可得，則.
對于①，浮萍蔓延月至月份增長的面積為（平方米），
浮萍蔓延月至月份增長的面積為（平方米），①錯；
對于②，浮萍蔓延個月后的面積為（平方米），
浮萍蔓延個月后的面積為（平方米），
所以，浮萍蔓延個月后的面積是浮萍蔓延個月后的面積的，②對；
對于③，浮萍蔓延第至個月的增長率為，
所以，浮萍蔓延每個月增長率相同，都是，③錯；
對于④，浮萍蔓延到平方米所經(jīng)過的時間、蔓延到平方米所經(jīng)過的時間的和蔓延到平方米的時間分別為、、，
則，，，所以，，
所以，浮萍蔓延到平方米所經(jīng)過的時間與蔓延到平方米所經(jīng)過的時間的和比蔓延到平方米所經(jīng)過的時間少，④對.
故答案為：②④.
三、解答題：本大題有4小題，共46分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17. 已知集合，全集．
（1）求；
（2）設(shè)，若，求的取值范圍．
【答案】（1）或，
（2）的取值范圍.
【解析】
【分析】（1）化簡集合，結(jié)合補(bǔ)集定義求；
（2）根據(jù)集合的包含關(guān)系列不等式求的取值范圍.
【小問1詳解】
不等式可化為，
所以不等式的解集為，
所以或，
【小問2詳解】
因為，
又，或，
所以或，
故或，
所以的取值范圍.
18. 已知關(guān)于的不等式．
（1）若不等式的解集為{或}，求，的值．
（2）求不等式的解集．
【答案】（1），（2）答案見詳解
【解析】
【分析】（1）由一元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系可知得方程的兩根為和，由韋達(dá)定理列式求解；
（2）不等式可轉(zhuǎn)化為，對分類討論求解.
【小問1詳解】
根據(jù)題意，，方程的兩根為和，
，解得.
【小問2詳解】
不等式可轉(zhuǎn)化為，即，
當(dāng)時，上式變?yōu)?，解得?br>當(dāng)時，方程的根為或，
當(dāng)時，，所以原不等式的解集為或，
當(dāng)時，，所以原不等式的解集為，
當(dāng)時，，所以原不等式的解集為，
當(dāng)時，，所以原不等式的解集為.
綜上所述，原不等式解集為：
當(dāng)時，不等式的解集為；
當(dāng)時，不等式的解集為；
當(dāng)時，不等式的解集為；
當(dāng)時，不等式的解集為；
當(dāng)時，不等式的解集為.
19. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）求證：函數(shù)定義域內(nèi)單調(diào)遞減；
（3）若，且關(guān)于的方程在上有解，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）證明見解析；（3）
【解析】
【分析】（1）令對數(shù)的真數(shù)大于零，求解可得結(jié)果；
（2）由單調(diào)性的定義，設(shè)，作差判斷的正負(fù)可得結(jié)果；
（3）分離出參數(shù)，使得在上有解，根據(jù)單調(diào)性求出的范圍，可得結(jié)果.
【小問1詳解】
，，解得：．
所以函數(shù)的定義域為．
【小問2詳解】
任取，
則，
，，則，
即，所以函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減.
【小問3詳解】
由題設(shè)知，關(guān)于的方程在上有解，
令，
由于在上單調(diào)遞增，
故在上單調(diào)遞減，而，則，
所以，即.
20. 已知集合，其中且，，非空集合，記為集合中所有元素之和，并規(guī)定當(dāng)中只有一個元素時，．
（1）若，，寫出所有可能的集合；
（2）若，，且是12的倍數(shù)，求集合的個數(shù)；
（3）若；證明：存在非空集合，使得是的倍數(shù)．
【答案】（1），，，；
（2）4；（3）證明見解析．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)定義直接寫出集合；
（2）由和只有為12或24，直接寫出集合，即可得個數(shù)．
（3）進(jìn)行分類討論，先根據(jù)和分類，在時，則是從這個數(shù)所取，對個數(shù)按和為分組，再取數(shù)即可證，對，設(shè)，然后在剩下的個數(shù)中找到若干個數(shù)的和是的倍數(shù)，再按這個倍數(shù)的奇偶性分類取得集合證得結(jié)論成立．
【小問1詳解】
，集合可能為：，，，；
【小問2詳解】
不妨設(shè)，則，，
因此或，
時，，
時，，
因此中只能選項一個，中選兩個，為，
綜上集合有，共有4個；
【小問3詳解】
（1）若，則是從這個數(shù)所取，
把這個數(shù)分成組，每組中兩個數(shù)的和為，
從這組中取個數(shù)，必有兩個數(shù)屬于同一組，例如，則取，是的倍數(shù)，結(jié)論成立；
（2）若，不妨設(shè)，
從中任取3個數(shù)，，
若與都是的倍數(shù)，則，這與矛盾，
所以中任意兩個數(shù)的差都不是的倍數(shù)，不妨設(shè)不是倍數(shù)，
考慮這個數(shù)：，
①若這個數(shù)除以的余數(shù)各不相同，則必有一個是的倍數(shù)，又且均不為，
故存在，使得，
若為偶數(shù)，取，則，結(jié)論成立；
若為奇數(shù)，取，則，結(jié)論成立；
②若這個數(shù)除以的余數(shù)中有兩個相同，由它們的差是的倍數(shù)，又均不為的倍數(shù)，
所以存在，使得，
若是偶數(shù)，取，，結(jié)論成立，
若是奇數(shù)，取，，結(jié)論成立，
綜上，存在非空集合，使得是倍數(shù)．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的新定義，關(guān)鍵點(diǎn)是如何找到集合，使得是的倍數(shù)．

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