北京市第一六六中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期12月期末模擬數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 已知全集，集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出集合A，然后求出，進(jìn)而求得.
詳解】由，得，所以,
因為，所以,
所以.
故選：D.
2. 設(shè)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算和復(fù)數(shù)對應(yīng)點的特征求解即可.
【詳解】因為，所以，
故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是，故C正確.
故選：C
3. 圓的圓心到直線的距離為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出圓心坐標(biāo)，再利用點到直線距離公式即可.
【詳解】由題意得，即，
則其圓心坐標(biāo)為，則圓心到直線的距離為.
故選：D.
4. 已知拋物線的焦點為，點在上．若到直線的距離為5，則（）
A. 7B. 6C. 5D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】利用拋物線的定義求解即可.
【詳解】因為拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為，點在上，
所以到準(zhǔn)線的距離為，
又到直線的距離為，
所以，故.
故選：D.
5. 已知是兩個不同的平面，是兩條不同的直線，能使成立的一組條件是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用給定條件得到，判斷A，利用給定條件得到判斷B，舉反例判斷C，D即可.
【詳解】對于A，若，則，故A錯誤，
對于B，若，則，故B正確，
對于C，若，則可能相交，平行或異面，故C錯誤，
對于D，若，則可能相交，平行或異面，故D錯誤.
故選：B
6. 設(shè)函數(shù)，已知，，則的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用的性質(zhì)，得到和，從而得到，即可求解.
【詳解】因為，且，
所以，得到①
又，則，得到②，
由①②得到，，即，又，所以的最小值為，
故選：B.
7. 已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出拋物線與直線相切時的斜率，由數(shù)形結(jié)合得解.
【詳解】設(shè)直線與相切于點，
由，則，
所以切線方程為，又切線過，
所以，解得，
所以，作出及切線的圖象，如圖，

由圖象可知，當(dāng)時，成立.
故選：D
8. 已知是函數(shù)的圖象上的兩個不同的點，則（）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出已知兩點的中點坐標(biāo)及的圖象上縱坐標(biāo)為的點，結(jié)合函數(shù)圖象建立不等式，借助基本不等式即可得解.
【詳解】如圖所示，設(shè)，，的中點為，
點在的圖象上，且軸，則，
由圖知點在的左側(cè)，即，
所以.
故選：D
9. 的外接圓的半徑等于，，則的取值范圍是（）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以為原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出點坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算求得，結(jié)合三角函數(shù)的取值范圍求得的取值范圍.
【詳解】依題意，的外接圓的半徑等于，，
以為原點，為軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，，
圓心到，也即軸距離為，
故圓心，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
設(shè)，與不重合.
所以，由于，所以.
故選：C
10. 正方體的棱長為1，動點在線段上，動點在平面上，且平面.線段長度的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運算，代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】
以為坐標(biāo)原點，以分別為軸的正半軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，
則，則，
因為平面，所以，
即，解得，
所以，所以，
又，所以當(dāng)時，即是的中點時，取得最小值，
當(dāng)或，即與點或重合時，取得最大值，
所以線段長度的取值范圍為.
故選：C
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.
11. 展開式中含的項的系數(shù)為_______．
【答案】
【解析】
【分析】寫出展開式的通項公式，令，即可求得答案.
【詳解】展開式的通項為，
令，得，所以展開式中含的項的系數(shù)為.
故答案為：-160
12. 設(shè)向量，且，則_____，和所成角為__________
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】將化簡變形，并將坐標(biāo)代入求出，根據(jù)判斷兩個向量夾角為直角．
【詳解】因為，所以，
化簡整理得，所以，所以．
因為，所以和所成角為．
故答案為：；.
13. 已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為______.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，根據(jù)圓錐和圓柱的側(cè)面積相等可得半徑的方程，求出解后可求圓錐的體積.
【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，則圓錐的母線長為，
而它們的側(cè)面積相等，所以，即，
故，故圓錐的體積為.
故答案為：.
14. 直線與雙曲線的右支只有一個公共點，則的取值范圍為______.
【答案】
【解析】
【分析】直線過定點,作出直線與雙曲線的圖象,通過圖象即可求解.
【詳解】直線過定點，直線與雙曲線圖象如圖所示，

又雙曲線的兩條漸近線為，
因為直線與雙曲線的右支只有一個公共點，
所以由圖可知，，
故答案為：
15. 設(shè)與是兩個不同的無窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合，給出下列4個結(jié)論：
①若與均為等差數(shù)列，則M中最多有1個元素；
②若與均為等比數(shù)列，則M中最多有2個元素；
③若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則M中最多有3個元素；
④若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則M中最多有1個元素.
其中正確結(jié)論的序號是______.
【答案】①③④
【解析】
【分析】利用兩類數(shù)列的散點圖的特征可判斷①④的正誤，利用反例可判斷②的正誤，結(jié)合通項公式的特征及反證法可判斷③的正誤.
【詳解】對于①，因為均為等差數(shù)列，故它們的散點圖分布在直線上，
而兩條直線至多有一個公共點，故中至多一個元素，故①正確.
對于②，取則均為等比數(shù)列，
但當(dāng)為偶數(shù)時，有，此時中有無窮多個元素，故②錯誤.
對于③，設(shè)，，
若中至少四個元素，則關(guān)于的方程至少有4個不同的正數(shù)解，
若，則由和的散點圖可得關(guān)于的方程至多有兩個不同的解，矛盾；
若，考慮關(guān)于的方程奇數(shù)解的個數(shù)和偶數(shù)解的個數(shù)，
當(dāng)有偶數(shù)解，此方程即為，
方程至多有兩個偶數(shù)解，且有兩個偶數(shù)解時，
否則，因單調(diào)性相反，
方程至多一個偶數(shù)解，
當(dāng)有奇數(shù)解，此方程即為，
方程至多有兩個奇數(shù)解，且有兩個奇數(shù)解時即
否則，因單調(diào)性相反，
方程至多一個奇數(shù)解，
因為，不可能同時成立，
故不可能有4個不同的整數(shù)解，即M中最多有3個元素，故③正確.
對于④，因為為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，前者散點圖呈上升趨勢，
后者的散點圖呈下降趨勢，兩者至多一個交點，故④正確.
故答案為：①③④.
【點睛】思路點睛：對于等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的討論，可以利用兩者散點圖的特征來分析，注意討論兩者性質(zhì)關(guān)系時，等比數(shù)列的公比可能為負(fù)，此時要注意合理轉(zhuǎn)化.
三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
16. 在中，內(nèi)角的對邊分別為，為鈍角，，，
（1）求；
（2）若，求的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由二倍角的正弦公式可得，結(jié)合正弦定理可求得，可求；
（2）法一：由已知可得，在中，利用余弦定理可求得，利用三角形的面積公式可求面積；法二：由已知可得，在中，利用正弦定理可求得，利用兩角和的正弦公式可求得，利用三角形的面積公式可求面積.
【小問1詳解】
由題意得，因為為鈍角，
則，則，則，解得，
因為為鈍角，則.
【小問2詳解】
法一：因為，所以，所以，
在中，由余弦定理可得，
所以，所以，解得或（舍去），
所以.
法2：因為，所以，所以，
在中，由正弦定理得，即，解得，
因為為三角形內(nèi)角，則，
則
，
則.
17. 如圖，四棱柱的底面是邊長為2的正方形，，側(cè)面底面，E是棱BC上一點，平面.
（1）求證：是的中點；
（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個條件作為已知，使四棱柱唯一確定，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）設(shè)直線與平面的交點為P，求的值.
條件①：；條件②：；條件③：.
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.
【答案】（1）證明見解析
（2）（i）；（ii）.
【解析】
【分析】（1）連接交于，連接，利用線面平行的判定定理找到可證；
（2）（i）選①：說明條件不能確定棱柱特點即可求解；選②③：證明平面，建立空間坐標(biāo)系，求得二面角；
（ii）設(shè)，可得，根據(jù)，可求得的值.
【小問1詳解】
連接交于，連接，
因為平面，平面，平面平面，
所以，又因為四邊形是平行四邊形，所以是的中點，
所以是的中點；
【小問2詳解】
（i）
選擇條件①：
因為底面是正方形，所以，
側(cè)面平面，且側(cè)面平面，平面，
故平面，又平面，則，
即四邊形為矩形，因為，則，
與選擇條件①：等價，故條件不能進(jìn)一步確定的夾角大小，故二面角不能確定；
選擇條件②：
連結(jié)，因為底面是正方形，所以，
又因為側(cè)面平面，且側(cè)面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
在中，因為，，所以，
在中，因為，，所以，
又平面，所以平面，又，
所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系，其中，，，，
且，，易知為平面的一個法向量，
設(shè)為平面面的一個法向量，則，即.
不妨設(shè)，則，可得，
所以，
因為二面角的平面角是鈍角，設(shè)為，故，
所以二面角的余弦值為.
選擇條件③：
因為底面是正方形，所以，
因為，且平面，
所以平面，因為平面，所以，
因為側(cè)面平面，且側(cè)面平面，平面，
所以平面，又，
所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系，（下面同選擇條件②）.
（ii）設(shè)，又，，
則，所以，
所以，因為平面，
所以，所以，解得，
所以.
18. 某社區(qū)計劃組織一次公益講座向居民普及垃圾分類知識，為掌握居民對垃圾分類知識的了解情況并評估講座的效果，主辦方從全體居民中隨機(jī)抽取10位參加試講講座活動，讓他們在試講講座前后分別回答一份垃圾分類知識問卷．試講講座前后，這10位居民答卷的正確率如下表：
根據(jù)居民答卷的正確率可以將他們垃圾分類的知識水平分為以下三個層級：
假設(shè)每位居民回答問卷的結(jié)果之間互相獨立，用頻率估計概率．
（1）正式講座前．從該社區(qū)的全體居民中隨機(jī)抽取1人，試估計該居民垃圾分類知識水平恰為“一般”的概率；
編號
正確率
1號
2號
3號
4號
5號
6號
7號
8號
9號
10號
試講講座前
65%
60%
0%
100%
65%
75%
90%
85%
80%
60%
試講講座后
90%
85%
80%
95%
85%
85%
95%
100%
85%
90%
答卷正確率p
垃圾分類知識水平
一般
良好
優(yōu)秀
（2）正式講座前，從該社區(qū)的全體居民中隨機(jī)抽取3人，這3人垃圾分類知識水平分別是“一般”、“良好”、“良好”．設(shè)隨機(jī)變量X為“這3人講座后垃圾分類知識水平達(dá)到‘優(yōu)秀’、的人數(shù)”，試估計X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）在未參加講座的全部居民中再隨機(jī)抽取若干人參加下一輪的公益講座并讓他們在講座前后分別填寫問卷．從講座后的答卷中隨機(jī)抽取一份，如果完成該答卷的居民的知識水平為“良好”，他在講座前屬于哪一知識水平的概率最大？（結(jié)論不要求證明）
【答案】（1）
（2）答案見解析（3）他在講座前屬于“一般”知識水平的概率最大.
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)給出的數(shù)據(jù)，求出居民垃圾分類知識水平恰為“一般”的頻率，可估計相關(guān)的概率.
（2）先明確正式講座前，垃圾分類水平為“一般”和 “良好”的人在試講講座后達(dá)到“優(yōu)秀”的概率，再求對應(yīng)的概率，可得的分布列，并求其期望.
（3）利用條件概率求解判斷.
【小問1詳解】
正式講座前，10位選取的居民中，垃圾分類知識水平為“一般”的人數(shù)為5人，所以垃圾分類知識水平位“一般”的頻率為：，
所以估計居民垃圾分類知識水平恰為“一般”的頻率為：.
【小問2詳解】
由表中提供的數(shù)據(jù)可得：正式講座前，垃圾分類知識水平為“一般”的人在講座后，達(dá)到“優(yōu)秀”的概率估計為：；
正式講座前，垃圾分類知識水平為“良好”的人在講座后，達(dá)到“優(yōu)秀”的概率估計為：.
由題意，的值可以為：0,1,2,3
且：，
.
所以的分布列為：
所以.
【小問3詳解】
從未參加講座的居民中抽取1人，垃圾分類水平為“一般”記為事件，則，講座后，知識水平為“良好”的概率估計為；
從未參加講座的居民中抽取1人，垃圾分類水平為“良好”記為事件，則，講座后，知識水平為“良好”的概率估計為；
從未參加講座的居民中抽取1人，垃圾分類水平為“優(yōu)秀”記為事件，則，講座后，知識水平為“良好”的概率估計為；
從參加講座后的居民中抽取1人，垃圾分類水平為“良好”記為事件，則.
因為，，.
所以他在講座前屬于“一般”知識水平的概率最大.
19. 設(shè)橢圓，離心率為，長軸長為4.過點的直線l與橢圓交于，兩點，直線l與軸不重合.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知點，直線與軸交于，與軸交于，直線與軸交于，與軸交于，若，求直線的斜率.
0
1
2
3
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)根據(jù)橢圓的離心率和長軸求得即可；
（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示，，，，由可得，表示點，建立方程，解之即可求解.
【小問1詳解】
因為橢圓的長軸長為4，所以，解得；
又，所以，得，
所以.
【小問2詳解】
因為過點的直線l與橢圓交于兩點，直線l與軸不重合，所以直線l的斜率不為0.
設(shè)直線，
，
，即，即或，；
，；
，；
，
直線，直線，
令，，，
令，，，
則，
即
也即
則，，斜率為；
綜上，直線的斜率為.

20. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：當(dāng)，曲線的切線不經(jīng)過點；
（3）當(dāng)時，若曲線與直線在區(qū)間上有兩個不同的交點，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）證明見解析；（3）.
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性即可；
（2）將，利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，利用反證法證明即可；
（3）將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有兩個不同的解，即在區(qū)間上有兩個不同的解，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求解即可.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，的定義域為.
，
令，解得.
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減.
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
【小問2詳解】
當(dāng)時，，.
設(shè)曲線的切點為，
則切線方程為，
假設(shè)切線過原點，則有，
整理得：.
令，則.
所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以對任意，，
所以方程無解.
綜上可知，曲線在點的切線不過原點.
【小問3詳解】
曲線與直線在區(qū)間上有兩個不同的交點，
等價于在區(qū)間上有兩個不同的解，
即，在區(qū)間上有兩個不同的解，
設(shè)，則，
令，解得，
又因為，所以，
當(dāng)，，所以單調(diào)遞增；
當(dāng)，，所以單調(diào)遞減；
所以，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
要使在區(qū)間上有兩個不同的解，
只需使即可.
所以實數(shù)a的取值范圍是.
21. 已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列．
（1）判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；
（2）若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；
（3）若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．
【答案】（1）是連續(xù)可表數(shù)列；不是連續(xù)可表數(shù)列．
（2）證明見解析．（3）證明見解析．
【解析】
【分析】（1）直接利用定義驗證即可；
（2）先考慮不符合，再列舉一個合題即可；
（3）先證明，再說明時不合題意，找出且滿足題意的數(shù)列即可得解．
【小問1詳解】
，，，，，所以是連續(xù)可表數(shù)列；易知，不存在使得，所以不是連續(xù)可表數(shù)列．
【小問2詳解】
若,設(shè)為,則至多，6個數(shù)字，沒有個，矛盾；
當(dāng)時,數(shù)列，滿足，，，，，，，，．
【小問3詳解】
先證明.
從5個正整數(shù)中，取一個數(shù)字只能表示自身，最多可表示5個數(shù)字，
取連續(xù)兩個數(shù)字最多能表示4個數(shù)字，取連續(xù)三個數(shù)字最多能表示3個數(shù)字，
取連續(xù)四個數(shù)字最多能表示2個數(shù)字，取連續(xù)五個數(shù)字最多能表示1個數(shù)字，
所以對任意給定的5個整數(shù)，最多可以表示個正整數(shù)，不能表示20個正整數(shù)，即.
若，最多可以表示個正整數(shù)，
由于為連續(xù)可表數(shù)列，且，所以至少有一項為負(fù)數(shù)，
既然任意5個正整數(shù)都不可能為20-連續(xù)可表數(shù)列，那么中間若插人一個負(fù)數(shù)項，更不能連續(xù)表示的正整數(shù).
所以至少要有6個正整數(shù)才能連續(xù)表示的正整數(shù).所以中至少包含6個正整數(shù)和一個負(fù)數(shù)，故.
當(dāng)時，數(shù)列滿足題意，
．
【點睛】關(guān)鍵點睛，先理解題意，是否為可表數(shù)列核心就是是否存在連續(xù)的幾項（可以是一項）之和能表示從到中間的任意一個值．本題第二問時，通過和值可能個數(shù)否定；第三問先通過和值的可能個數(shù)否定，再驗證時，數(shù)列中的幾項如果符合必然是的一個排序，可驗證這組數(shù)不合題．

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