一、注意基礎(chǔ)知識(shí)的整合、鞏固。進(jìn)一步夯實(shí)基礎(chǔ)，提高解題的準(zhǔn)確性和速度。
二、查漏補(bǔ)缺，保強(qiáng)攻弱。針對“一?！敝械膯栴}根據(jù)實(shí)際情況作出合理的安排。
三、提高運(yùn)算能力，規(guī)范解答過程。運(yùn)算技巧粗中有細(xì)，提高運(yùn)算準(zhǔn)確性和速度。
四、強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維，構(gòu)建知識(shí)體系。同學(xué)們在聽課時(shí)注意把重點(diǎn)要放到理解老師對問題思路的分析以及解法的歸納總結(jié)，以便于同學(xué)們在刷題時(shí)做到思路清晰，迅速準(zhǔn)確。
五、解題快慢結(jié)合，改錯(cuò)反思。審題制定解題方案要慢，不要急于解題，要適當(dāng)?shù)剡x擇好的方案，一旦方法選定，解題動(dòng)作要快要自信。
六、重視和加強(qiáng)選擇題的訓(xùn)練和研究。對于選擇題不但要答案正確，還要優(yōu)化解題過程，提高速度。靈活運(yùn)用特值法、排除法、數(shù)形結(jié)合法、估算法等。
熱點(diǎn)題型追蹤：1-1 基本不等式及其應(yīng)用
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熱點(diǎn)題型解讀（目錄）
模塊一：核心題型·舉一反三
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc169179190" 【題型1】基本不等式的直接使用 PAGEREF _Tc169179190 \h 2
\l "_Tc169179191" 【題型2】 常規(guī)湊配法求最值 PAGEREF _Tc169179191 \h 3
\l "_Tc169179192" 【題型3】 “1”的妙用（1）：乘“1”法 PAGEREF _Tc169179192 \h 5
\l "_Tc169179193" 【題型4】“1”的妙用（2）：“1”的代換 PAGEREF _Tc169179193 \h 7
\l "_Tc169179194" 【題型5】二次比一次型 PAGEREF _Tc169179194 \h 9
\l "_Tc169179195" 【題型6】分離常數(shù)型 PAGEREF _Tc169179195 \h 10
\l "_Tc169179196" 【題型7】與指數(shù)對數(shù)結(jié)合的基本不等式問題 PAGEREF _Tc169179196 \h 12
\l "_Tc169179197" 【題型8】利用對勾函數(shù) PAGEREF _Tc169179197 \h 14
\l "_Tc169179198" 【題型9】 判斷不等式是否能成立 PAGEREF _Tc169179198 \h 16
\l "_Tc169179199" 【題型10】換元法（整體思想） PAGEREF _Tc169179199 \h 19
\l "_Tc169179200" 【題型11】基本不等式的實(shí)際應(yīng)用問題 PAGEREF _Tc169179200 \h 22
\l "_Tc169179201" 【題型12】與 a+b、平方和、 ab有關(guān)問題的最值（和，積，平方和互相轉(zhuǎn)化） PAGEREF _Tc169179201 \h 26
\l "_Tc169179202" 【題型13】基本不等式恒成立與能成立問題 PAGEREF _Tc169179202 \h 29
模塊二：學(xué)有余力·拓展提升
\l "_Tc169179203" 【題型14】消元法 PAGEREF _Tc169179203 \h 31
\l "_Tc169179204" 【題型15】因式分解型 PAGEREF _Tc169179204 \h 33
\l "_Tc169179205" 【題型16】同除型（構(gòu)造齊次式） PAGEREF _Tc169179205 \h 35
\l "_Tc169179206" 【題型17】萬能“k”法 PAGEREF _Tc169179206 \h 37
\l "_Tc169179207" 【題型18】三角換元法（利用三角函數(shù)） PAGEREF _Tc169179207 \h 38
\l "_Tc169179208" 【題型19】基本不等式與其他知識(shí)交匯的最值問題 PAGEREF _Tc169179208 \h 40
\l "_Tc169179209" 【題型20】含有根式的配湊（根式平方和為定值型） PAGEREF _Tc169179209 \h 43
\l "_Tc169179210" 【題型21】多次運(yùn)用基本不等式 PAGEREF _Tc169179210 \h 43
模塊一
核心題型·舉一反三
【題型1】基本不等式的直接使用
如果，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．其中，叫作的算術(shù)平均數(shù)，叫作的幾何平均數(shù)．即正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．
常用不等式：若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；
基本不等式：若，則（或），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
若，，且，則的最小值是________
【答案】
【詳解】，則，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以有最小值
若，，則的最小值為______．
【答案】2
【簡析】
【鞏固練習(xí)1】若，，則的最小值為______．
【答案】
【簡析】
【鞏固練習(xí)2】已知，，且，則的最小值是________
【答案】
【詳解】由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立
【題型2】 常規(guī)湊配法求最值
配湊法：加上一個(gè)數(shù)或減去一個(gè)數(shù)使和(積)為定值，然后利用基本不等式求解．
1、通過添項(xiàng)、拆項(xiàng)、變系數(shù)等方法湊成和為定值或積為定值的形式．
2、注意驗(yàn)證取得條件．
常見的配湊法求最值模型
(1)模型一：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；
(2)模型二：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立
若，則的最小值為 .
【答案】0
【解析】由，得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.
已知a>2，則2a+8a?2的最小值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【解題思路】利用基本不等式性質(zhì)求解即可.
【解答過程】因?yàn)閍>2，所以a?2>0
所以2a+8a?2=2a?2+8a?2+4≥216+4=12，
當(dāng)且僅當(dāng)2a?2=8a?2，即a=4時(shí)，等號(hào)成立．
所以2a+8a?2的最小值為12.
【鞏固練習(xí)1】函數(shù)（）的最小值為 ．
【答案】
【解析】因?yàn)?，所以?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，
故的最小值為.
【鞏固練習(xí)2】已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為 ．
【答案】2
【分析】利用基本不等式中常數(shù)代換技巧求最值即可．
【詳解】因?yàn)檎龜?shù)a，b滿足，所以，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為2．
【鞏固練習(xí)3】已知，則的最小值為 .
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
所以的最小值為.
【題型3】 “1”的妙用（1）：乘“1”法
方法總結(jié)：乘“1”法就是指湊出1，利用乘“1”后值不變這個(gè)性質(zhì)，使不等式通過變形出來后達(dá)到運(yùn)用基本不等式的條件，即積為定值．
主要解決形如“已知x+y=t(t為常數(shù)),求的最值”的問題，先將轉(zhuǎn)化為，再用基本不等式求最值
注意：驗(yàn)證取得條件．
（2023·廣東廣雅中學(xué)?？迹┤粽龑?shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值是________
【答案】9
【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立
（2024·江蘇南通·二模）設(shè)，，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【分析】由不等式“1”的代換求解即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，，所?br>.
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等.
【鞏固練習(xí)1】已知且，則的最小值是 ．
【答案】8
【分析】運(yùn)用“1”的代換及基本不等式即可求得結(jié)果．
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．所以的最小值為8
【鞏固練習(xí)2】若，且，則的最小值為 ．
【答案】5
【解析】因?yàn)?，且，則，
可得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為5．故答案為：5．
【鞏固練習(xí)3】已知，，且，則的最小值為 ．
【答案】16
【解析】
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.即當(dāng)時(shí)，取得最小值為16.
【題型4】“1”的妙用（2）：“1”的代換
方法總結(jié)：通過常數(shù)“1”的代換，把求解目標(biāo)化為可以使用基本不等式求最值的式子，達(dá)到解題的目的．
已知，，，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】利用基本不等式求得的最小值．
【詳解】依題意．
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
已知實(shí)數(shù)x，滿足，則的最小值為（ ）
A．6B．C．D．8
【答案】C
【分析】根據(jù)“1”的變形技巧化簡，再運(yùn)用均值不等式求解即可．
【詳解】由條件可得
．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立
【鞏固練習(xí)1】若，，且，則有最小是________
【答案】5
【詳解】，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以有最小值5
【鞏固練習(xí)2】正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是（ ）
A．B．C．5D．
【答案】B
【分析】中的“1”用“”代替，分離常數(shù)后利用基本不等式即可求解．
【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿足，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．故的最小值是．
【鞏固練習(xí)3】（2024·安徽·三模）已知，且，則的最小值為（ ）
A．4B．C．D．
【答案】D
【分析】由，可得，再利用基本不等式計(jì)算即可得.
【詳解】，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
【題型5】二次比一次型
基本模型：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立
已知x>0，則x2?x+4x的最小值為（ ）
A．5B．3C．?5D．?5或3
【解題思路】由已知可得x2?x+4x=x+4x?1，利用基本不等式計(jì)算可得結(jié)果.
【解答過程】由x>0，得x2?x+4x=x+4x?1≥2x?4x?1=3，
當(dāng)且僅當(dāng)x=4x，即x=2時(shí)等號(hào)成立，所以x2?x+4x的最小值為3．
函數(shù)的最小值為 ．
【答案】
【分析】將函數(shù)化為，利用基本不等式求其最小值，注意取值條件即可.
【詳解】由，又，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以原函數(shù)的最小值為.
【鞏固練習(xí)1】已知，則函數(shù)的最小值是 ．
【答案】
【分析】將函數(shù)化簡，分離常數(shù)，然后結(jié)合基本不等式即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
所以函數(shù)的最小值是
【鞏固練習(xí)2】已知正數(shù)x，y滿足，則的最大值為 ．
【答案】
【解析】∵正數(shù)x，y滿足，
∴．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
則，其最大值為．
【鞏固練習(xí)3】已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x+y=1，則x+6y+3xy的最小值為（ ）
A．24B．25C．6+42D．62?3
【解題思路】把x+6y+3xy變?yōu)?x+4y，然后利用基本不等式中常數(shù)代換技巧求解最值即可.
【解答過程】因?yàn)閤，y為正實(shí)數(shù)，且x+y=1，所以x+6y+3xy=x+6y+3x+yxy=4x+9yxy=9x+4y
=9x+4yx+y=13+9yx+4xy≥13+29yx×4xy=25，
當(dāng)且僅當(dāng)9yx=4xyx+y=1即x=35y=25時(shí)，等號(hào)成立，所以x+6y+3xy的最小值為25.
【題型6】分離常數(shù)型
方法總結(jié)：對于分子分母中含有相同單一字母時(shí)，可以考慮分離常數(shù)
例1：（x>0）
例2：
若，則函數(shù)的最小值為（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【解析】因?yàn)?，所以?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以函數(shù)的最小值為；故選：C
【鞏固練習(xí)1】已知，，，則的最小值為（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】B
【分析】將已知條件等式化為，整體代入結(jié)合基本不等式即可得解．
【詳解】因?yàn)?，，，所以，?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為6，故選：B．
【鞏固練習(xí)2】函數(shù)在上的值域是 ．
【答案】
【分析】將函數(shù)變形為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，利用對勾函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)可解．
【詳解】函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知：
當(dāng)時(shí)，，則，所以，
當(dāng)時(shí)，，則，所以，
綜上所述，函數(shù)在上的值域是．
【題型7】與指數(shù)對數(shù)結(jié)合的基本不等式問題
方法總結(jié)：結(jié)合指數(shù)對數(shù)的計(jì)算公式變形得出積為定值或和為定值的形式，再利用基本不等式求解
（多選）已知 則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】由題意可知，，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知D錯(cuò)誤；，可知A正確；利用基本不等式可知，化簡整理可知B正確；在根據(jù)，利用不等式的性質(zhì)，即可判斷C正確．
【詳解】由題可知，，又，所以 ，D錯(cuò)誤；
因?yàn)?，有．所以A正確；
由基本不等式得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)；
又因?yàn)?，，所以，故，B正確；
由于，，所以，C正確
（2020·山東·高考真題）（多選）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)，結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)知識(shí)進(jìn)行求解.
【詳解】對于A，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；
對于B，，所以，故B正確；
對于C，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C不正確；
對于D，因?yàn)椋?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確
【鞏固練習(xí)1】（2023廣東廣雅中學(xué)?？迹┤粽龑?shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值是________
【答案】
【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立
【鞏固練習(xí)2】已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是________．
【答案】7
【解析】，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)．
所以的最小值為
【鞏固練習(xí)3】（多選）已知，則實(shí)數(shù)，滿足（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】對于A，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析判斷，對于C，由已知可得，從而可得，對于D，利用基本不等式判斷，對于B，由，得分析判斷．
【詳解】對于A，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以A正確；
對于C，由，得，所以，所以C錯(cuò)誤；
對于D，因?yàn)?，所以，得，所以D正確；
對于B，因?yàn)?，所以，所以B錯(cuò)誤．
【題型8】利用對勾函數(shù)
當(dāng)無法取等時(shí)需要結(jié)合對勾函數(shù)圖像，利用單調(diào)性來得出最值
當(dāng)時(shí)，的最小值為 .
【答案】3
【分析】根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性求最值.
【詳解】設(shè)，則，
又由得，
而函數(shù)在上是增函數(shù)，
因此時(shí)，取得最小值
已知函數(shù)．若，且，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象得，則，令，利用對勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出其范圍．
【詳解】由得．根據(jù)函數(shù)的圖象及，
則，即，可得，，
令，
根據(jù)對勾函數(shù)可得在上單調(diào)遞增，則．
所以的取值范圍是
【鞏固練習(xí)1】函數(shù)y＝x＋（x≥2）取得最小值時(shí)的x值為 ．
【答案】2
【分析】令x＋1＝t(t≥3)，則有＝t＋－1在[3,＋∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)t＝3時(shí)，即可求解.
【詳解】依題意，
y＝x＋＝x＋1＋－1(x≥2)，
設(shè)x＋1＝t(t≥3)．因?yàn)閒(t)＝t＋－1在[3,＋∞)上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)t＝3，即x＝2時(shí)，y＝x＋(x≥2)取得最小值．
【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，且，則
的取值范圍是_______．
【答案】
【分析】 易知
，注意這里取不到等號(hào)，所以，
【鞏固練習(xí)3】若對任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍
法一：對勾函數(shù)參變分離后結(jié)合對勾函數(shù)性質(zhì)
當(dāng)時(shí)，，成立；
當(dāng)時(shí)，由題可得對任意恒成立，
令，則有，，
，
令，，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可得，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為；
法二：分類討論
令，
①當(dāng)時(shí)，，
對任意，恒成立；
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象開口向上，
若對任意，恒成立，只需，
解得，
故當(dāng)時(shí)，對任意，恒成立；
③當(dāng)時(shí)，對任意，，，
恒成立；
綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為．
【題型9】 判斷不等式是否能成立
（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數(shù)，“二定”指求最值時(shí)和或積為定值，“三相等”指滿足等號(hào)成立的條件．
（2）連續(xù)使用不等式要注意取得一致．
（多選）下列函數(shù)中，最小值為2的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】根據(jù)基本不等式求解最值判斷ABC，根據(jù)復(fù)合函數(shù)最值求法求解判斷D．
【詳解】對于A，，當(dāng)時(shí)，，不符合要求，錯(cuò)誤；
對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
由得顯然不成立，所以等號(hào)取不到，
即的最小值不是2，錯(cuò)誤；
對于C，因?yàn)?，所以，?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，最小值是2，正確；
對于D，，易知，，
則，
當(dāng)即或時(shí)，有最小值4，即有最小值2，故D正確．
【鞏固練習(xí)1】下列不等式證明過程正確的是（ ）
A．若，則
B．若x＞0，y＞0，則
C．若x＜0，則
D．若x＜0，則
【答案】D
【解析】∵可能為負(fù)數(shù)，如時(shí)，，∴A錯(cuò)誤；
∵可能為負(fù)數(shù)，如時(shí)，，∴B錯(cuò)誤；
∵，如時(shí)，，∴C錯(cuò)誤；
∵，，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立，∴D正確．
【鞏固練習(xí)2】（多選）下列命題中，真命題的是（ ）
A．，都有
B．，使得
C．任意非零實(shí)數(shù)，都有
D．若，則的最小值為4
【答案】AB
【分析】利用不等式的性質(zhì)和均值不等式，以及對勾函數(shù)的單調(diào)性求最值，并根據(jù)全稱命題與特稱命題的真假判斷，即可選出真命題．
【詳解】解：對于A，恒成立，
則，都有，A選項(xiàng)正確；
對于B，當(dāng)時(shí)，，
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
，，使得，B選項(xiàng)正確；
對于，當(dāng)時(shí)，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于 D，當(dāng)時(shí)，，令，
在上單調(diào)遞增，
，
則的最小值不是4，D選項(xiàng)錯(cuò)誤
【鞏固練習(xí)3】（多選）下面結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則的最大值是
B．函數(shù)的最小值是2
C．函數(shù)（）的值域是
D．，且，則的最小值是3
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式求最值判斷ABD，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷C．
【詳解】時(shí)，．，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是2，即的最小值是1，
從而的最大值是，A正確；
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，但無實(shí)數(shù)解，因此等號(hào)不能取得，2不是最小值，B錯(cuò)；
時(shí)，，，
因?yàn)?，所以時(shí)，，時(shí)，，
時(shí)，．
所以值域是，C正確；
，且，，
，
則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是4－1＝3，D正確．
【題型10】換元法（整體思想）
對于兩個(gè)分式的最值問題可以考慮整體法或換元法配湊
整體配湊法原理是把目標(biāo)當(dāng)作一個(gè)整體，然后利用基本不等式求最值.
單分母換元：當(dāng)2個(gè)分母的和為定值，可以把其中一個(gè)分母進(jìn)行換元
雙分母換元：當(dāng)2個(gè)分母均為字母加減常數(shù)時(shí)，可以把2個(gè)分母都換元
（單分母換元）已知，則的最小值是________
【解題思路】可以設(shè)，則有，求的最小值，用乘“1”法即可
【答案】9
【解答過程】解：設(shè)，則有，
當(dāng)且僅當(dāng)1?2a2a=8a1?2a，即a=16時(shí)取等號(hào)，所以12a+41?2a的最小值是9．
（雙分母換元）已知正數(shù)滿足，則的最大值是（ ）
【解題思路】設(shè)，則有，求最小值，結(jié)合乘1法即可
【解答過程】解：aa+1+4bb+1=1?1a+1+4?4b+1=5﹣（1a+1+4b+1），
∵a+b＝2，∴a+1+b+1＝4，
1a+1+4b+1=14（1a+1+4b+1）（a+1+b+1）=14（1+4+b+1a+1+4(a+1)b+1），
b+1a+1+4(a+1)b+1≥24=4（當(dāng)且僅當(dāng)b+1a+1=4(a+1)b+1，即a=13，b=53時(shí)，等號(hào)成立），
故14（1+4+b+1a+1+4(a+1)b+1）≥14×9，即1a+1+4b+1≥94，
故aa+1+4bb+1=5﹣（1a+1+4b+1）≤114
已知x，y為正實(shí)數(shù)，則的最小值為（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】A
【分析】x，y為正實(shí)數(shù)，利用基本不等式求的最小值．
【詳解】x，y為正實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．最小值為6
【鞏固練習(xí)1】已知，其中，，，則的最小值為 ．
【答案】16
【解析】因?yàn)?，?br>則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為16
【鞏固練習(xí)2】已知實(shí)數(shù)，且，則的最小值是 ．
【答案】24
【解析】因?yàn)椋遥?br>所以，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立
【鞏固練習(xí)3】若，，，，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】令 ，則，由此可將變形為，結(jié)合基本不等式，即可求得答案。
【詳解】由題意，，，，得：，
設(shè) ，則 ，
故
，
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)取得等號(hào)，
故的最小值為
【鞏固練習(xí)4】若正實(shí)數(shù)滿足，則最小值為________
【答案】
【詳解】由
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以有最小值
【鞏固練習(xí)5】已知a，b，c均為正實(shí)數(shù)，，則的最小值是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，將看作一個(gè)整體，變形后結(jié)合基本不等式的計(jì)算，即可得到結(jié)果．
【詳解】因?yàn)?，即?br>設(shè)，則，且，
原式
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為．
【題型11】基本不等式的實(shí)際應(yīng)用問題
不等式的應(yīng)用題常以函數(shù)為背景，多是解決現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)中的優(yōu)化問題，在解題中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是關(guān)鍵，重點(diǎn)培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．
調(diào)和平均數(shù)≤幾何平均數(shù)≤算術(shù)平均數(shù)≤平方平均數(shù)：
若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）
數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D為斜邊AB上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，用該圖形能證明的不等式為（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由圖知：，
在中，，
所以，即
小李從甲地到乙地的平均速度為，從乙地到甲地的平均速度為，他往返甲乙兩地的平均速度為，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】設(shè)從甲地到乙地的的路程為s，從甲地到乙地的時(shí)間為t1，從乙地到甲地的時(shí)間為t2，則
，，，
∴，
【鞏固練習(xí)1】原油作為“工業(yè)血液”?“黑色黃金”，其價(jià)格的波動(dòng)牽動(dòng)著整個(gè)化工產(chǎn)業(yè)甚至世界經(jīng)濟(jì)．小李在某段時(shí)間內(nèi)共加油兩次，這段時(shí)間燃油價(jià)格有升有降，現(xiàn)小李有兩種加油方案：第一種方案是每次加油40升，第二種方案是每次加油200元，則下列說法正確的是（ ）
A．第一種方案更劃算
B．第二種方案更劃算
C．兩種方案一樣
D．無法確定
【答案】B
【解析】分別求出兩種方案的平均油價(jià)，結(jié)合基本不等式作出比較即可得出結(jié)論．
【詳解】設(shè)小李這兩次加油的油價(jià)分別為元升?元升，則：
方案一：兩次加油平均價(jià)格為，
方案二：兩次加油平均價(jià)格為，
故無論油價(jià)如何起伏，方案二比方案一更劃算．
【鞏固練習(xí)2】《幾何原本》中的幾何代數(shù)法(用幾何方法研究代數(shù)問題)成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一方法，很多代數(shù)公理、定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，因此這種方法也被稱之為“無字證明”．如圖所示，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)(不同于A，B，O)，點(diǎn)D在半圓O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于點(diǎn)E，設(shè)AC＝a，BC＝b，則該圖形可以完成的“無字證明”為( )
A．a(chǎn)b≤a＋b2(a＞0，b＞0)
B．a(chǎn)＋b2＜2aba＋b(a＞0，b＞0，a≠b)
C．2aba＋b≤ab(a＞0，b＞0)
D．2aba＋b＜ab＜a＋b2(a＞0，b＞0，a≠b)
【答案】D 由AC＝a，BC＝b，可得半圓O的半徑DO＝a＋b2，
易得DC＝AC·BC＝ab， DE＝DC2DO＝2aba＋b．
∵DE＜DC＜DO，∴2aba＋b＜ab＜a＋b2(a＞0，b＞0，a≠b)．
【鞏固練習(xí)3】（多選）給出下面四個(gè)結(jié)論，其中不正確的是（ ）
A．兩次購買同一種物品，可以用兩種不同的策略，第一種是不考慮物品價(jià)格的升降，每次購買這種物品所花的錢數(shù)一定；第二種是不考慮物品價(jià)格的升降，每次購買這種物品的數(shù)量一定．則若n次(n≥2)購買同一物品，用第一種策略比較經(jīng)濟(jì)
B．若二次函數(shù)f(x)＝24ax2＋4x－1(a≠0)在區(qū)間(－1，1)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則由零點(diǎn)存在定理知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是
C．已知函數(shù)f(x)＝|lgx|，若0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，則3b＋2a的取值范圍是
D．設(shè)矩形ABCD(AB＞AD)的周長為24，把△ABC沿AC向△ADC折疊，AB折過去后交DC于點(diǎn)P，設(shè)AB＝x，則△ADP的面積是關(guān)于x的函數(shù)且最大值為
【答案】B C D
【解析】A選項(xiàng)：設(shè)n＝2，兩次購買的價(jià)格分別為，，數(shù)量關(guān)系為：單價(jià)＝總價(jià)÷數(shù)量
設(shè)第一種策略每次花x元購買物品，則單價(jià)為（調(diào)和平均數(shù)），
設(shè)第二種策略每次買y件物品，則單價(jià)為，
易證 ，所以第一種策略比較經(jīng)濟(jì)，A正確；
B選項(xiàng)：①當(dāng)時(shí)，由零點(diǎn)存在定理
②當(dāng)，代入計(jì)算可得時(shí)，f(x)＝0的根為1和，滿足條件；時(shí)，f(x)＝0的根為－1和，也滿足條件，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，可得f(x)的對稱軸為，也滿足條件
綜上，，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)：顯然0＜a＜1＜b，且ab=1，，然而，所以取不到，則C錯(cuò)誤；補(bǔ)充：，取值范圍是
D選項(xiàng)：設(shè)，則，
，則D錯(cuò)誤
【題型12】與 a+b、平方和、 ab有關(guān)問題的最值（和，積，平方和互相轉(zhuǎn)化）
利用基本不等式變形求解
常用不等式鏈：（主要用于和積轉(zhuǎn)換）
（2024·遼寧葫蘆島·二模）若，則的最小值是 （ ）
A．B．1
C．2D．
【答案】C
【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
因此，即，解得，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值2.
（2024·重慶渝中·模擬預(yù)測）（多選）已知實(shí)數(shù)滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】由已知條件，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可判斷AB；根據(jù)，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可判斷C；根據(jù)，基本不等式計(jì)算即可判斷D.
【詳解】A：由，得，
即，得，
解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤；
B：由選項(xiàng)A的分析知，故B正確；
C：由，得，即，
所以，
得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C正確；
D：由，得，即，
所以，得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤.
【鞏固練習(xí)1】已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為________
【答案】
對于選項(xiàng)AB，，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
故的最大值為
【鞏固練習(xí)2】（多選題）（2024·高三·海南·期末）已知，且，則（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】BD
【解析】對于A，，
因?yàn)?，?br>令，得，解得或，即或，
當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤；
對于B，，解得或，
當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；
對于C，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；
對于D，，
由選項(xiàng)B知，或，所以或，
則或，故D正確.
【鞏固練習(xí)3】（多選題）已知正數(shù)滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】對于A：因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以不恒成立，故錯(cuò)誤；
對于B：因?yàn)榍遥裕?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故正確；
對于C：因?yàn)椋裕?br>所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故正確；
對于D：由C可知錯(cuò)誤
【題型13】基本不等式恒成立與能成立問題
，使得 ，等價(jià)于 ，，使得 ，等價(jià)于
，使得 ，等價(jià)于 ，，使得 ，等價(jià)于
已知，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，從而得到，解得即可.
【詳解】因?yàn)椋?，且?br>所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，
所以，因?yàn)楹愠闪?，所以?br>即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
若正實(shí)數(shù)滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍 ．
【答案】或
【分析】要使有解，則大于最小值即可；求出最小值，建立不等式，求出的取值范圍．
【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)椋源藭r(shí)，所以的最小值為，由題可得，解得或．
【鞏固練習(xí)1】已知，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)?，且?br>所以
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
又因?yàn)楹愠闪ⅲ?br>所以，解得.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【鞏固練習(xí)2】已知，，且，若不等式恒成立，則a的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，故，，
，，故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故，
最小值是16，由不等式恒成立可得.
a的取值范圍是
【鞏固練習(xí)3】若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，且存在這樣的使不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可得滿足，再利用基本不等式中“1”的妙用求得的最小值，最后解不等式即可．
【詳解】由得，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
則使不等式有解，只需滿足即可，
解得．
【鞏固練習(xí)4】若存在，使不等式成立，則a的取值范圍為 .
【答案】
【詳解】由，
因?yàn)?，所以，令?br>由，則有，
且
模塊二
學(xué)有余力·拓展提升
【題型14】消元法
消元法：當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時(shí)，通常考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.
已知x>0,y>0，xy+2x?y=10，則x+y的最小值為 42?1 ．
【解題思路】依題意可得x=y+10y+2，再由基本不等式計(jì)算可得.
【解答過程】因?yàn)閤>0，y>0且xy+2x?y=10，
所以x=y+10y+2，
所以x+y=y+10y+2+y=8y+2+y+2?1≥28y+2?(y+2)?1=42?1，
當(dāng)且僅當(dāng)8y+2=y+2，即y=22?2，x=1+22時(shí)，等號(hào)成立，
故x+y的最小值為42?1．
【鞏固練習(xí)1】若a>0,b>0,ab=2，則a+4b+2b3b2+1的最小值為 4 ．
【解題思路】根據(jù)基本不等式即可求解.
【解答過程】由a>0,b>0,ab=2?a=2b，
故a+4b+2b3b2+1=2b+4b+2b3b2+1=2+4b2+2b4bb2+1=2b2+12bb2+1=2b2+1b
=2b+1b≥2×2b×1b=4，當(dāng)且僅當(dāng)b=1時(shí)等號(hào)成立，
故最小值為4
【鞏固練習(xí)2】（2024·浙江嘉興·二模）若正數(shù)x,y滿足x2?2xy+2=0，則x+y的最小值是（ ）
A．6B．62C．22D．2
【解題思路】根據(jù)題意可得y=x2+1x，利用基本不等式求解.
【解答過程】由x2?2xy+2=0可得y=x2+1x，
∴x+y=x+x2+1x=3x2+1x≥23x2?1x=6，
當(dāng)且僅當(dāng)3x2=1x，即x=63時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)y=263>0符合題意.
所以x+y的最小值為6.
【鞏固練習(xí)3】（2024·重慶·模擬預(yù)測）（多選）已知，且，則（ ）
A．的取值范圍是
B．的取值范圍是
C．的最小值是3
D．的最小值是
E．
【答案】BDE
【分析】對于A項(xiàng)，運(yùn)用基本不等式將其轉(zhuǎn)化成關(guān)于的不等式求解即得；對于B項(xiàng)，直接運(yùn)用基本不等式將其轉(zhuǎn)化成關(guān)于的不等式，再結(jié)合不等式性質(zhì)求解即得；對于CDE項(xiàng)，通過題設(shè)求出，代入所求式消元，湊項(xiàng)運(yùn)用基本不等式即得.
【詳解】對于A項(xiàng)，，由可得，
因，故得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，錯(cuò)誤；
對于B項(xiàng)，由可得，
因，故得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，
所以的取值范圍是，正確；
對于C和E項(xiàng)，由得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以，故C項(xiàng)錯(cuò)誤，E正確；
對于D項(xiàng)，由得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，正確.
【題型15】因式分解型
含有這類結(jié)構(gòu)的式子，可以考慮因式分解配湊成的結(jié)構(gòu)，再結(jié)合整體思想來求最值
（重慶巴蜀中學(xué)校考）已知，，且，則的最小值是________
【答案】7
【分析】將式子變形為，即可利用不等式求解，或者將式子變形為，結(jié)合不等式即可求解．
【詳解】方法一：因?yàn)?，故，解得?br>故，當(dāng)且僅當(dāng) ，即，時(shí)等號(hào)成立．
方法二：因?yàn)?，則，且，故，
故，當(dāng)且僅當(dāng) ，
即，時(shí)等號(hào)成立．故選：C．
【鞏固練習(xí)1】設(shè)，為正實(shí)數(shù)，若，則的最小值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】由，令，，即可得到，
則，利用基本不等式計(jì)算可得．
【詳解】解：因?yàn)椋瑸檎龑?shí)數(shù)，且，
令，，則，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)
【鞏固練習(xí)2】若，且，則的最小值為________
【答案】
【解析】，且，，且
，，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，
故的最小值為，故選：D．
【鞏固練習(xí)3】（2024·江蘇南京·三模）若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為 .
【答案】
【分析】已知條件可化為，故可設(shè)，從而目標(biāo)代數(shù)式可化為，利用基本不等式可求其最大值.
【詳解】由，得，
設(shè)，其中.
則，從而，
記，則，
不妨設(shè)，則,
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即最大值為.
模塊二
學(xué)有余力·拓展提升
【題型16】同除型（構(gòu)造齊次式）
齊次化就是含有多元的問題，通過分子、分母同時(shí)除以得到一個(gè)整體，然后轉(zhuǎn)化為運(yùn)用基本不等式進(jìn)行求解．
設(shè)正實(shí)數(shù)、、滿足，則的最大值為________
A． B． C． D．
【答案】1
【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、、滿足，則，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
故的最大值為．
【鞏固練習(xí)1】已知正實(shí)數(shù)x，y滿足5x2＋4xy－y2＝1，12x2＋8xy－y2的最小值為________．
【答案】
【解析】
則原式等價(jià)于
【鞏固練習(xí)2】已知，，，則的最小值是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【解析】，，，即有且，
將代入得，
令，，，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值，即的最小值是.
【題型17】萬能“k”法
求啥設(shè)啥，利用一元二次方程有實(shí)數(shù)根時(shí).
（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，則，
方程可化為，
整理得，則滿足，
解得，所以，即，
所以的最大值為.
【鞏固練習(xí)1】若正數(shù)，，滿足，則的最大值是 .
【答案】
【解析】把式子看作是關(guān)于的方程，則問題等價(jià)于關(guān)于的方程有解，則，即，則問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式有解，則，化簡得，所以，此時(shí)，，符合條件.
【鞏固練習(xí)2】（重慶巴蜀中學(xué)?？迹┮阎獙?shí)數(shù)，滿足，則的最小值為________
【答案】
【詳解】令，代入，得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立，
即的最小值為
【鞏固練習(xí)3】已知正實(shí)數(shù)x、y滿足則xy的取值范圍是________
【答案】
【解析】設(shè)，
，
整理得
是正實(shí)數(shù)，∴△≥0，
即，
整理得，
解得或m≤0(舍去)
【題型18】三角換元法（利用三角函數(shù)）
出現(xiàn)平方和結(jié)構(gòu)（）形式，引入三角函數(shù)表示和
若x，y滿足，則的最大值為________
【答案】3
【解析】設(shè)，因此，其中
，所以當(dāng)時(shí)，取到最大值3
（多選題）若x，y滿足，則（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】因?yàn)椋≧），由可變形為，
，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，故A正確，B錯(cuò)誤；
由可變形為，解得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確；
因?yàn)樽冃慰傻茫?br>設(shè)，所以，
因此
，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，
此時(shí)，取到最大值2，故C錯(cuò)誤.
【鞏固練習(xí)1】若x，y滿足，則的最大值為________
【答案】
【解析】設(shè)，因此，其中
，所以當(dāng)時(shí)，取到最大值3
【鞏固練習(xí)2】已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為 .
【答案】
【解析】由條件知令，
則，
令，
則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，
故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，取得最大值
【鞏固練習(xí)3】
【題型19】基本不等式與其他知識(shí)交匯的最值問題
利用基本不等式求最值往往交匯考查，多涉及數(shù)列、三角、向量、解析幾何、立體幾何等問題中有關(guān)最值的求法．
（2024·寧夏銀川·二模）已知，P是橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為 .
【答案】
【解析】由已知可得為橢圓的焦點(diǎn)，
根據(jù)橢圓定義知，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
故的最大值為.
（2024·江西·模擬預(yù)測）已知圓關(guān)于直線對稱，則的最小值為（ ）
A．3B．C．2D．
【答案】D
【分析】利用特殊值“1”將化成積為定值的形式，再用基本不等式即可求解.
【詳解】解：由題意可知，圓心在直線上，
則，又因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)且即，時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)取得最小值．
【鞏固練習(xí)1】（2024蘇錫常鎮(zhèn)二模）已知隨機(jī)變量，且，則的最小值為
A．9B．C．4D．6
【答案】B
【詳解】由隨機(jī)變量，則正態(tài)分布的曲線的對稱軸為，
又因?yàn)椋?，所?
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故最小值為.
【鞏固練習(xí)2】若直線被圓，所截得的弦長為6，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】先求出圓的圓心和半徑，根據(jù)圓直線被圓，所截得的弦長為6，得到圓心在直線上，即，然后利用基本不等式中的“1”的代換求解.
【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，，
因?yàn)橹本€被圓，所截得的弦長為6，
所以圓心在直線上，
所以，即 ，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，
所以則的最小值為
【鞏固練習(xí)3】已知過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．4B．8C．9D．12
【答案】C
【解析】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得，從而可得，利用焦點(diǎn)弦公式求出；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程：，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，可得，根據(jù)焦點(diǎn)弦公式借助基本不等式即可求解.
【詳解】由題意可知，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得，所以，即；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則直線方程：，
則，整理可得，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，
故的最小值為9.
【題型20】含有根式的配湊（根式平方和為定值型）
對于，求最大值
可以設(shè)，配好系數(shù)后的與可以湊出定值
已知為正實(shí)數(shù)，且，求的最大值
【解析】
【鞏固練習(xí)1】若x>0，y>0，且2x2＋eq \f(y2,3)＝8，則xeq \r(6＋2y2)的最大值為________．
解析 (xeq \r(6＋2y2))2＝x2(6＋2y2)＝3·2x2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(y2,3)))≤3·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x2＋1＋\f(y2,3),2)))2＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)))2．
當(dāng)且僅當(dāng)2x2＝1＋eq \f(y2,3)，即x＝eq \f(3,2)，y＝eq \f(\r(42),2)時(shí)，等號(hào)成立．故xeq \r(6＋2y2)的最大值為eq \f(9,2)eq \r(3)．
【鞏固練習(xí)2】已知a，b是正實(shí)數(shù)，且2a2＋3b2＝10，求的最大值．
【簡析】記，則，求最大值
【題型21】多次運(yùn)用基本不等式
多次運(yùn)用不等式求最值，取到最值時(shí)要注意的是每次取等的條件是否一致.
已知正實(shí)數(shù)a，b，滿足a+b≥92a+2b，則a+b的最小值為（ ）
A．5B．52C．52D．522
【解題思路】先根據(jù)基本不等式求出92a+2ba+b≥252.然后即可根據(jù)不等式的性質(zhì)得出a+b2≥92a+2ba+b≥252，列出兩個(gè)等號(hào)同時(shí)成立的條件，即可得出答案.
【解答過程】由已知可得，a>0，b>0，a+b>0.
因?yàn)?2a+2ba+b=92+2+9b2a+2ab ≥29b2a×2ab+132=6+132=252，
當(dāng)且僅當(dāng)9b2a=2ab，即2a=3b時(shí)等號(hào)成立.
所以，a+b2≥92a+2ba+b≥252，
當(dāng)且僅當(dāng)2a=3ba+b=92a+2b，即a=322b=2時(shí)，兩個(gè)等號(hào)同時(shí)成立.
所以，a+b≥322+2=522.
【鞏固練習(xí)1】對任意的正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為 .
【答案】
【解析】任意的正實(shí)數(shù)，滿足，
由于為正實(shí)數(shù)，故由基本不等式得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
綜上，的最小值為.
【鞏固練習(xí)2】已知正實(shí)數(shù)、、滿足，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由可得出，利用不等式的性質(zhì)結(jié)合基本不等式可求得的最小值.，，，
由于、、均為正數(shù)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
因此，的最小值是.
近4年考情（2020-2024）
考題統(tǒng)計(jì)
考點(diǎn)分析
考點(diǎn)要求
2020年天津卷：第14題，5分
基本不等式及其應(yīng)用是是高考的熱點(diǎn)，主要考查利用基本不等式求最值、求參數(shù)的取值范圍等，常與函數(shù)結(jié)合命題，題型以選擇題、填空題為主，也可作為工具出現(xiàn)在解答題中，應(yīng)適當(dāng)關(guān)注利用基本不等式大小判斷、求最值和求取值范圍的問題；同時(shí)要注意基本不等式在立體幾何、平面解析幾何等內(nèi)容中的運(yùn)用.
(1)了解基本不等式的推導(dǎo)過程
(2)會(huì)用基本不等式解決最值問題
(3)理解基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用
2021年乙卷：第8題，5分
2022年I卷：第12題，5分
2023年I卷：第22題，12分
A．6
B．8
C．4
D．9
A．
B．
C．
D．

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