一、注意基礎知識的整合、鞏固。進一步夯實基礎，提高解題的準確性和速度。
二、查漏補缺，保強攻弱。針對“一?！敝械膯栴}根據實際情況作出合理的安排。
三、提高運算能力，規(guī)范解答過程。運算技巧粗中有細，提高運算準確性和速度。
四、強化數學思維，構建知識體系。同學們在聽課時注意把重點要放到理解老師對問題思路的分析以及解法的歸納總結，以便于同學們在刷題時做到思路清晰，迅速準確。
五、解題快慢結合，改錯反思。審題制定解題方案要慢，不要急于解題，要適當地選擇好的方案，一旦方法選定，解題動作要快要自信。
六、重視和加強選擇題的訓練和研究。對于選擇題不但要答案正確，還要優(yōu)化解題過程，提高速度。靈活運用特值法、排除法、數形結合法、估算法等。
熱點專題 2-7 函數與方程
模塊一
總覽
熱點題型解讀（目錄）
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc171508195" 【題型1】求函數的零點
\l "_Tc171508196" 【題型2】求函數零點所在區(qū)間
\l "_Tc171508197" 【題型3】二分法求近似解
\l "_Tc171508198" 【題型4】判斷函數零點個數或交點個數
\l "_Tc171508199" 【題型5】 利用函數的零點所在區(qū)間求參數范圍
\l "_Tc171508200" 【題型6】已知零點個數求參數范圍
\l "_Tc171508201" 【題型7】比較零點的大小
\l "_Tc171508202" 【題型8】求零點的和
模塊二
核心題型·舉一反三
【題型1】求函數的零點
函數的零點
1、函數零點的概念：對于一般函數，我們把使的實數叫做函數的零點．即函數的零點就是使函數值為零的自變量的值．
【要點辨析】
（1）函數的零點是一個實數，當函數的自變量取這個實數時，其函數值等于零；
（2）函數的零點也就是函數的圖象與軸交點的橫坐標；
（3）函數的零點就是方程的實數根．
2、函數的零點與方程的解的關系
函數的零點就是方程的實數解，也就是函數的圖象與軸的公共點的橫坐標．所以方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數有零點．
3、函數零點存在定理
如果函數在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且，那么，函數在區(qū)間內至少有一個零點，即存在，使得，這個也就是方程的解．
函數的零點為（ ）
A．B．C．0D．1
【鞏固練習1】函數的零點為（ ）
A．B．2C．D．
【鞏固練習2】
【鞏固練習3】已知定義在上的是單調函數，且對任意恒有，則函數的零點為（ ）
A．B．C．9D．27
【題型2】求函數零點所在區(qū)間
判斷函數零點所在區(qū)間的步驟
第一步：將區(qū)間端點代入函數求函數的值；
第二步：將所得函數值相乘，并進行符號判斷；
第三步：若符號為正切在該區(qū)間內是單調函數，則函數在該區(qū)間內無零點；
若符號為負且函數圖象連續(xù)，則函數在該區(qū)間內至少一個零點。
函數的零點所在區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
【鞏固練習1】函數的一個零點所在的區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
【鞏固練習2】函數的一個零點所在的區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
【題型3】二分法求近似解
所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數零點的近似值.
（2024·廣東梅州·二模）用二分法求方程近似解時，所取的第一個區(qū)間可以是（ ）
A．B．C．D．
【鞏固練習1】一塊電路板的線段之間有個串聯的焊接點，知道電路不通的原因是焊口脫落造成的，要想用二分法的思想檢測出哪處焊口脫落，至少需要檢測（ ）
A．次B．次
C．次D．次
【鞏固練習2】已知函數，在區(qū)間內存在一個零點，在利用二分法求函數近似解的過程中，第二次求得的區(qū)間中點值為 ．
【鞏固練習3】（2024·遼寧大連·一模）牛頓迭代法是我們求方程近似解的重要方法．對于非線性可導函數在附近一點的函數值可用代替，該函數零點更逼近方程的解，以此法連續(xù)迭代，可快速求得合適精度的方程近似解．利用這個方法，解方程，選取初始值，在下面四個選項中最佳近似解為（ ）
A．B．C．D．
【題型4】判斷函數零點個數或交點個數
零點個數的判斷方法
（1）直接法：直接求零點，令，如果能求出解，則有幾個不同的解就有幾個零點．
（2）定理法：利用零點存在定理，函數的圖象在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數有多少個零點．
（3）圖象法：
= 1 \* GB3 ①單個函數圖象：利用圖象交點的個數，畫出函數的圖象，函數的圖象與軸交點的個數就是函數的零點個數．
= 2 \* GB3 ②兩個函數圖象：將函數拆成兩個函數和的差，根據，則函數的零點個數就是函數和的圖象的交點個數．
（4）性質法：利用函數性質，若能確定函數的單調性，則其零點個數不難得到；若所考查的函數是周期函數，則只需解決在一個周期內的零點的個數．
函數的零點個數為（ ）
A．0B．1C．2D．3
函數的零點個數為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【鞏固練習1】函數在定義域內的零點個數是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【鞏固練習2】（2024·江蘇鹽城·模擬預測）函數與的圖象的交點個數是（ ）
A．2B．3C．4D．6
【鞏固練習3】（2019·全國·高考真題）函數在的零點個數為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【鞏固練習4】已知函數則函數的零點個數為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【題型5】 利用函數的零點所在區(qū)間求參數范圍
本類問題應細致觀察、分析圖像，利用函數的零點及其他相關性質，建立參數的等量關系，列關于參數的不等式，解不等式，從而解決.
函數在上存在零點，則實數a的取值范圍是（ ）
A．B．或C．D．或
函數在區(qū)間存在零點．則實數m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【鞏固練習1】（2024·高三·浙江紹興·期末）已知命題：函數在內有零點，則命題成立的一個必要不充分條件是（ ）
A．B．C．D．
【鞏固練習2】（2024·山西陽泉·三模）函數在區(qū)間存在零點．則實數m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【鞏固練習3】（2024·四川巴中·一模）若函數在區(qū)間內恰有一個零點，則實數a的取值集合為（ ）
A．B．或.
C．D．或.
【題型6】已知零點個數求參數范圍
已知函數零點個數，求參數取值范圍的方法
（1）直接法：利用零點存在的判定定理構建不等式求解；
（2）數形結合法：將函數的解析式或者方程進行適當的變形，把函數的零點或方程的根的問題轉化為兩個熟悉的函數圖象的交點問題，再結合圖象求參數的取值范圍；
（3）分離參數法：分離參數后轉化為求函數的值域（最值）問題求解．
求函數的零點個數就是求函數圖象與軸的交點個數，因此只要作出函數圖象即可．如果函數圖象不易作出，可將函數轉化為的結構，然后轉化為與的圖象交點個數的問題．
解決步驟
第一步：將函數化為的形式，與一個含參，一個不含參．
第二步：畫出兩個函數的圖象．
第三步：確定滿足題意時含參函數的圖象的移動范圍，從而求出參數的取值范圍．
若函數有兩個不同的零點，則實數a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
函數有且只有一個零點，則m的取值范圍是 ．
【鞏固練習1】若函數有2個零點，則m的取值范圍是 ．
【鞏固練習2】已知函數，若方程有三個不同的實數根，則實數的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【鞏固練習3】已知函數，．若有2個零點，則實數a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【題型7】比較零點的大小
利用數形結合、等價轉化等數學思想.
（2024·新疆烏魯木齊·二模）設，函數的零點分別為，則（ ）
A．B．C．D．
【鞏固練習1】（2024·廣東梅州·二模）三個函數，，的零點分別為，則之間的大小關系為（ ）
A．B．
C．D．
【鞏固練習2】（2024·海南·模擬預測）已知正實數滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
【鞏固練習3】設正實數分別滿足，則的大小關系為（ ）
A．B．
C．D．
【題型8】求零點的和
結合函數的對稱性以及交點個數，數形結合
（2024·青海西寧·二模）函數的所有零點之和為（ ）
A．4B．5C．6D．7
【鞏固練習1】（多選）記函數，若（，，互不相等），則的值可以是（ ）
A．B．6C．8D．9
【鞏固練習2】函數的所有零點之和為（ ）
A．0B．-1C．D．2
近5年考情（2020-2024）
考題統計
考點分析
考點要求
2024年天津卷第15題，5分
從近幾年高考命題來看，高考對函數與方程也經常以不同的方式進行考查，比如：函數零點的個數問題、位置問題、近似解問題，以選擇題、填空題、解答題等形式出現在試卷中的不同位置，且考查得較為靈活
（1）理解函數的零點與方程的解的聯系.
（2）理解函數零點存在定理，并能簡單應用.
（3）了解用二分法求方程的近似解．
2024年全國甲卷，第16題,5分
2023年天津卷第15題，5分
2021年北京卷第15題，5分

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