熱點(diǎn)專(zhuān)題 2.5 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)【12類(lèi)題型】（講與練）-2025年高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)題型專(zhuān)題突破（新高考專(zhuān)用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、注意基礎(chǔ)知識(shí)的整合、鞏固。進(jìn)一步夯實(shí)基礎(chǔ)，提高解題的準(zhǔn)確性和速度。
二、查漏補(bǔ)缺，保強(qiáng)攻弱。針對(duì)“一模”中的問(wèn)題根據(jù)實(shí)際情況作出合理的安排。
三、提高運(yùn)算能力，規(guī)范解答過(guò)程。運(yùn)算技巧粗中有細(xì)，提高運(yùn)算準(zhǔn)確性和速度。
四、強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維，構(gòu)建知識(shí)體系。同學(xué)們?cè)诼?tīng)課時(shí)注意把重點(diǎn)要放到理解老師對(duì)問(wèn)題思路的分析以及解法的歸納總結(jié)，以便于同學(xué)們?cè)谒㈩}時(shí)做到思路清晰，迅速準(zhǔn)確。
五、解題快慢結(jié)合，改錯(cuò)反思。審題制定解題方案要慢，不要急于解題，要適當(dāng)?shù)剡x擇好的方案，一旦方法選定，解題動(dòng)作要快要自信。
六、重視和加強(qiáng)選擇題的訓(xùn)練和研究。對(duì)于選擇題不但要答案正確，還要優(yōu)化解題過(guò)程，提高速度。靈活運(yùn)用特值法、排除法、數(shù)形結(jié)合法、估算法等。
熱點(diǎn)專(zhuān)題 2-5 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)
模塊一
總覽
熱點(diǎn)題型解讀（目錄）
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc171423465" 【題型1】指數(shù)對(duì)數(shù)混合運(yùn)算
\l "_Tc171423466" 【題型2】換底公式的應(yīng)用
\l "_Tc171423467" 【題型3】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用
\l "_Tc171423468" 【題型4】對(duì)數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題
\l "_Tc171423469" 【題型5】指對(duì)冪比較大小
\l "_Tc171423470" 【題型6】解對(duì)數(shù)方程或不等式
\l "_Tc171423471" 【題型7】對(duì)數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用
\l "_Tc171423472" 【題型8】對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)問(wèn)題
\l "_Tc171423473" 【題型9】對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的最值與值域問(wèn)題
\l "_Tc171423474" 【題型10】對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的奇偶性問(wèn)題
\l "_Tc171423475" 【題型11】反函數(shù)問(wèn)題
\l "_Tc171423476" 【題型12】對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合問(wèn)題
模塊二
核心題型·舉一反三
【題型1】指數(shù)對(duì)數(shù)混合運(yùn)算
1、對(duì)數(shù)計(jì)算公式
（1）同底對(duì)數(shù)加減運(yùn)算：；
（2）底數(shù)和真數(shù)是乘方數(shù)時(shí)：
（3）對(duì)數(shù)恒等式：
（4）倒數(shù)式：
2、對(duì)數(shù)運(yùn)算的常用技巧
(1)在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)合并.
(2)先將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算.
(3)指對(duì)互化：(a>0,且a≠1)是解決有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)注意互化.
化簡(jiǎn)下列各式：
(1)；(2).
【鞏固練習(xí)1】化簡(jiǎn)的值為（）
A． B． C． D．-1
【鞏固練習(xí)2】求值
（1）
（2）
（3）
（4）
【題型2】換底公式的應(yīng)用
換底公式：(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)．
已知，，則（用，表示）
已知，，則 .（用表示）
已知，則．
【鞏固練習(xí)1】設(shè)，，
（1）用含，的式子表示，形式為_(kāi)__________.
（2）用含，的式子表示，形式為_(kāi)__________.
【鞏固練習(xí)2】設(shè)，求的值．
【題型3】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用
對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象（底大圖低）
方法技巧：對(duì)于有關(guān)對(duì)數(shù)型函數(shù)的圖象問(wèn)題，一般是從最基本的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過(guò)伸縮、平移、對(duì)稱等變換得到，當(dāng)時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像呈上升趨勢(shì)；當(dāng)時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像呈下降趨勢(shì).
已知函數(shù)① y＝lgax；② y＝lgbx；③ y＝lgcx；④ y＝lgdx的大致圖象如圖所示，則下列不等關(guān)系正確的是（）
A．a(chǎn)＋c＜b＋aB．a(chǎn)＋d＜b＋c
C．b＋c＜a＋dD．b＋d＜a＋c
函數(shù)的圖象是（）
A．B．C．D．
已知函數(shù)f(x)=ln(x+a)的圖象不經(jīng)過(guò)第四象限，則a的取值范圍是（）
A．(0，1) B．(0， ) C．(0，1] D．[1，+∞)
【鞏固練習(xí)1】（多選題）（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的大致圖象不可能為（）
A． B．
C． D．
【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)（且，，為常數(shù)）的圖象如圖，則下列結(jié)論正確的是（）
A．， B．， C．， D．，
【鞏固練習(xí)3】已知函數(shù)，若且，則的取值范圍為 .
【題型4】對(duì)數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題
對(duì)數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)(1，0)，即x＝1時(shí)，y＝0；
函數(shù)過(guò)定點(diǎn)
函數(shù) (且)的圖象必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是（）
A．B．C．D．
（2024·安徽安慶·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)，則的最小值為（）．
A．B．C．3D．
【鞏固練習(xí)1】已知函數(shù)f(x)=1+lga(2x?3) (a>0,a≠1)恒過(guò)定點(diǎn)(m,n)，則m+n=（）
A．1B．2C．3D．4
【鞏固練習(xí)2】已知直線經(jīng)過(guò)函數(shù)圖象過(guò)的定點(diǎn)（其中均大于0），則的最小值為（）
A．2B．3C．4D．5
【鞏固練習(xí)3】函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，若且，，則的最小值為（）
A．9B．8C．D．
【題型5】指對(duì)冪比較大小
1、常規(guī)法：比較大小問(wèn)題，常利用函數(shù)的單調(diào)性及中間值法．
2、當(dāng)?shù)讛?shù)和真數(shù)的差或倍數(shù)一樣時(shí)，可以考慮拆出一個(gè)1
例1：和（倍數(shù)一致）
簡(jiǎn)析：；，由圖像可知
例2：和（差一致）
簡(jiǎn)析：；，由圖像可知
設(shè)，，，則（）
A．B．C．D．
設(shè)，則（）
A． B． C． D．
【鞏固練習(xí)1】（2024·天津·二模）設(shè)，則的大小關(guān)系為（）
A．B．
C．D．
【鞏固練習(xí)2】已知，，，則，，的大小關(guān)系是
A．B．C．D．
【鞏固練習(xí)3】已知，，，則
A．B．C．D．
【鞏固練習(xí)4】設(shè)，，，則（）
A．B．
C．D．
【題型6】解對(duì)數(shù)方程或不等式
【方法技巧】
（1）對(duì)于形如的形式，利用轉(zhuǎn)化；對(duì)于形如的形式，可借助換元法轉(zhuǎn)化為二次方程求解.
（2）解對(duì)數(shù)不等式，也是利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為比較真數(shù)之間的不等式，再解這個(gè)不等式即可．
方程的解為_(kāi)_______
設(shè)，則的取值范圍是（）
A． B． C． D．，
不等式的解集為．
【鞏固練習(xí)1】方程的解是（）
A．1 B．2 C．e D．3
【鞏固練習(xí)2】已知，則的值為_(kāi)___．
【鞏固練習(xí)3】若實(shí)數(shù)x滿足不等式，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是______．
【鞏固練習(xí)4】已知實(shí)數(shù)，且滿足不等式，則不等式的解集為_(kāi)_______．
【題型7】對(duì)數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用
對(duì)數(shù)函數(shù)應(yīng)用題的基本類(lèi)型和求解策略
(1)基本類(lèi)型：有關(guān)對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用題一般都會(huì)給出函數(shù)的解析
式，然后根據(jù)實(shí)際問(wèn)題求解．
(2)求解策略：首先根據(jù)實(shí)際情況求出函數(shù)解析式中的參數(shù)，或給出具體情境，從中提煉出數(shù)據(jù)，代入解析式求值，然后根據(jù)數(shù)值回答其實(shí)際意義．
如果光線每通過(guò)一塊玻璃其強(qiáng)度要減少10%，那么至少需要將塊這樣的玻璃重疊起來(lái)，才能使通過(guò)它們的光線強(qiáng)度低于原來(lái)的0.5倍．（參考數(shù)據(jù)：．）
為了保障交通安全，某地根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)定：汽車(chē)駕駛員血液中的酒精含量不得超過(guò)．據(jù)儀器監(jiān)測(cè)，某駕駛員喝了二兩白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中每小時(shí)末的酒精含量都比上一個(gè)小時(shí)末減少．那么此人在開(kāi)車(chē)前至少要休息（參考數(shù)據(jù)：，
A．4.1小時(shí)B．4.2小時(shí)C．4.3小時(shí)D．4.4小時(shí)
【鞏固練習(xí)1】把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來(lái)的溫度是，空氣的溫度是，經(jīng)過(guò)分鐘后物體的溫度可由公式：求得．其中是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸狀況而定的大于0的常數(shù)．現(xiàn)有的物體，放在的空氣中冷卻，5分鐘以后物體的溫度是，則約等于（參考數(shù)據(jù)：
A．0.22B．0.27C．0.36D．0.55
【鞏固練習(xí)2】2008年我國(guó)人口總數(shù)為14億，如果人口的自然年增長(zhǎng)率控制在1.25%，則年我國(guó)人口將超過(guò)20億．（，，）
【鞏固練習(xí)3】我們可以把看作每天的"進(jìn)步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是.利用計(jì)算工具計(jì)算并回答下列問(wèn)題：
（1）一年后“進(jìn)步”的是“落后”的多少倍？
（2）大約經(jīng)過(guò)多少天后“進(jìn)步”的分別是“落后”的10倍、100倍、1000倍？
【題型8】對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)問(wèn)題
對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)問(wèn)題
1、模板解決思路：判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的原則是“同增異減”.
2、模板解決步驟
第一步：求函數(shù)的定義域．
第二步：將函數(shù)分解成內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)．
第三步：判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性．
第四步：根據(jù)“同增異減”的原則確定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）
A． B． C． D．
若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___．
【鞏固練習(xí)1】函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（）
A． B． C． D．
【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，則k的取值范圍是（）
A． B． C． D．
【鞏固練習(xí)3】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【鞏固練習(xí)4】若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【題型9】對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的最值與值域問(wèn)題
對(duì)數(shù)（型）函數(shù)的值域和單調(diào)性問(wèn)題的解題策略
利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，必須弄清三方面的問(wèn)題：一是定義域，所有問(wèn)題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的.另外，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.
函數(shù)的最小值是（）．
A．10 B．1 C．11 D．
已知函數(shù)的最大值為2，則．
【鞏固練習(xí)1】已知函數(shù)，則的值域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
【鞏固練習(xí)2】若函數(shù)的最大值為0，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)__________.
【鞏固練習(xí)3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值或最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【題型10】對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的奇偶性問(wèn)題
常見(jiàn)指對(duì)型函數(shù)奇偶模型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）是偶函數(shù)，如，
設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍為（）
A． B． C． D．
函數(shù)的部分圖像大致為（）
A．B．
C．D．
【鞏固練習(xí)1】已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．
(1)求；(2)解不等式．
【鞏固練習(xí)2】設(shè)函數(shù)為偶函數(shù)．
(1)求k的值；(2)寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)性（不需證明），并解不等式．
【題型11】反函數(shù)問(wèn)題
指數(shù)函數(shù)（a>0且a≠1）與對(duì)數(shù)函數(shù)（a>0且a≠1）互為反函數(shù)
（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)方程和方程的根分別為，設(shè)函數(shù)，則（）
A．B．
C．D．
【鞏固練習(xí)1】（2024·高三·江西南昌·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)和的圖象與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，則（）
A．B．C．D．
【鞏固練習(xí)2】（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）已知，分別是關(guān)于的方程，的根，則下面為定值2023的是（）
A．B．C．D．E．均不是
【題型12】對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合問(wèn)題
1、對(duì)數(shù)函數(shù)常與其他函數(shù)形成復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，解題時(shí)要清楚復(fù)合的層次，外層是對(duì)數(shù)函數(shù)還是內(nèi)層是對(duì)數(shù)函數(shù)，其次如果涉及到定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性等問(wèn)題，則要按復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)規(guī)律求解．
2、已知不等式能恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問(wèn)題常用的方法：
（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，通常借助函數(shù)單調(diào)性求解；
（2）分離參數(shù)法：首先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值或值域問(wèn)題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，再利用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)解決．
若不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【鞏固練習(xí)】設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)，若關(guān)于x的方程有8個(gè)不同的實(shí)根，到實(shí)數(shù)b的取值范圍是 .
近5年考情（2020-2024）
考題統(tǒng)計(jì)
考點(diǎn)分析
考點(diǎn)要求
2024年II卷第8題，5分
從近四年的高考情況來(lái)看，對(duì)數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)是高考的一個(gè)重點(diǎn)也是一個(gè)難點(diǎn)，常與二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)綜合，考查數(shù)值大小的比較和函數(shù)方程問(wèn)題.在利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)應(yīng)用上，體現(xiàn)了邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
（1）對(duì)數(shù)的概念及運(yùn)算性質(zhì)
（2）對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象
（3）對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)
2024年北京卷第7題，4分
2024年天津卷第5題，5分
2023年北京卷第11題，5分
2023年I卷第10題，5分
2022年I卷I卷第7題，5分
2022年浙江卷第7題，5分
a＞1
0＜a＜1
圖象
性質(zhì)
定義域
(0，＋∞)
值域
R
過(guò)定點(diǎn)
過(guò)定點(diǎn)(1，0)，即x＝1時(shí)，y＝0
函數(shù)值的變化
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＜0；
當(dāng)x＞1時(shí)，y＞0
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＞0；
當(dāng)x＞1時(shí)，y＜0
單調(diào)性
是(0，＋∞)上的增函數(shù)
是(0，＋∞)上的減函數(shù)

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