TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27194" 題型01 新定義導(dǎo)數(shù)1
\l "_Tc22731" 題型02 導(dǎo)數(shù)在三角函數(shù)的應(yīng)用3
\l "_Tc394" 題型03 導(dǎo)數(shù)與數(shù)列4
\l "_Tc1766" 題型04 數(shù)列綜合5
\l "_Tc8506" 題型05 導(dǎo)數(shù)、數(shù)列與常用邏輯用語6
【解題規(guī)律·提分快招】
題型01 新定義導(dǎo)數(shù)
【典例1-1】．（2023·上海黃浦·二模）三個(gè)互不相同的函數(shù)與在區(qū)間上恒有或恒有，則稱為與在區(qū)間上的“分割函數(shù)”.
(1)設(shè)，試分別判斷是否是與在區(qū)間上的“分割函數(shù)”，請(qǐng)說明理由；
(2)求所有的二次函數(shù)（用表示，使得該函數(shù)是與在區(qū)間上的“分割函數(shù)”；
(3)若，且存在實(shí)數(shù)，使得為與在區(qū)間上的“分割函數(shù)”，求的最大值.
【典例1-2】．（2024-2025·上海高三·專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上有定義，且，，則稱是的一個(gè)“封閉區(qū)間”．
(1)已知函數(shù)，區(qū)間且的一個(gè)“封閉區(qū)間”，求的取值集合；
(2)已知函數(shù)，設(shè)集合．
（i）求集合中元素的個(gè)數(shù)；
（ii）用表示區(qū)間的長度，設(shè)為集合中的最大元素．證明：存在唯一長度為的閉區(qū)間，使得是的一個(gè)“封閉區(qū)間”．
【變式1-1】．（23-24高三下·上海浦東新·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)殚_區(qū)間，若存在，使得在處的切線與的圖像只有唯一的公共點(diǎn)，則稱為“函數(shù)”，切線為一條“切線”．
(1)判斷是否是函數(shù)的一條“切線”，并說明理由；
(2)設(shè)，求證：存在無窮多條“切線”；
(3)設(shè)，求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)和正數(shù)都是“函數(shù)”
【變式1-2】．（2024·上海嘉定·一模）設(shè)為非空集合，函數(shù)的定義域?yàn)?若存在使得對(duì)任意的均有，則稱為函數(shù)的一個(gè)值，為相應(yīng)的值點(diǎn).
(1)若.證明：是函數(shù)的一個(gè)值點(diǎn)，并寫出相應(yīng)的值；
(2)若.分別判斷函數(shù)是否存在值？若存在，求出相應(yīng)的值點(diǎn)；若不存在，說明理由；
(3)若，且函數(shù)存在值，求函數(shù)的值，并指出相應(yīng)的值點(diǎn).
【變式1-3】．（2024·上海普陀·二模）對(duì)于函數(shù)，和，，設(shè)，若，，且，皆有成立，則稱函數(shù)與“具有性質(zhì)”.
(1)判斷函數(shù)，與是否“具有性質(zhì)”，并說明理由；
(2)若函數(shù)，與“具有性質(zhì)”，求的取值范圍；
(3)若函數(shù)與“具有性質(zhì)”，且函數(shù)在區(qū)間上存在兩個(gè)零點(diǎn)，，求證.
題型02 導(dǎo)數(shù)在三角函數(shù)的應(yīng)用
【典例2-1】．（2024·上海徐匯·一模）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)y=fx，其導(dǎo)函數(shù)為y=f′x，若點(diǎn)在導(dǎo)函數(shù)y=f′x圖象上，且滿足，則稱為函數(shù)y=fx的一個(gè)“類數(shù)”，函數(shù)y=fx的所有“類數(shù)”構(gòu)成的集合稱為“類集”.
(1)若，分別判斷和是否為函數(shù)y=fx的“類數(shù)”，并說明理由；
(2)設(shè)y=f′x的圖象在R上連續(xù)不斷，集合.記函數(shù)y=fx的“類集”為集合，若，求證：；
(3)已知，若函數(shù)y=fx的“類集”為R時(shí)的取值構(gòu)成集合，求當(dāng)時(shí)的最大值.
【變式2-1】．（2024·上海崇明·一模）定義：若曲線和曲線有公共點(diǎn)P，且曲線在點(diǎn)P處的切線與曲線在點(diǎn)P處的切線重合，則稱與在點(diǎn)P處“一線切”.
(1)已知圓與曲線在點(diǎn)處“一線切”，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)設(shè)，，若曲線與曲線在點(diǎn)P處“一線切”，求實(shí)數(shù)a的值；
(3)定義在上的函數(shù)的圖象為連續(xù)曲線，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對(duì)任意的，都有成立.是否存在點(diǎn)使得曲線和曲線在點(diǎn)處“一線切”？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.
【變式2-2】．（22-23高三上·上海長寧·期中）已知是定義在上的函數(shù)，如果存在常數(shù)，對(duì)區(qū)間的任意劃分：
，恒成立，則稱函數(shù)為區(qū)間上的“有界變差函數(shù)”；
(1)試判斷函數(shù)是否為區(qū)間上的“有界變差函數(shù)”，若是，求出M的最小值；若不是，說明理由；
(2)若與均為區(qū)間上的“有界變差函數(shù)”，證明：是區(qū)間上的“有界變差函數(shù)”；
(3)證明：函數(shù)不是上的“有界變差函數(shù)”；
題型03 導(dǎo)數(shù)與數(shù)列
【典例3-1】．（2023·上海嘉定·一模）已知．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)請(qǐng)嚴(yán)格證明曲線有唯一交點(diǎn)；
(3)對(duì)于常數(shù)，若直線和曲線共有三個(gè)不同交點(diǎn)，其中，求證：成等比數(shù)列．
【典例3-2】．（24-25高三上·上海浦東新·期末）過曲線上一點(diǎn)作其切線，若恰有兩條，則稱為的“類點(diǎn)”；過曲線外一點(diǎn)作其切線，若恰有三條，則稱為的“類點(diǎn)”；若點(diǎn)為的“類點(diǎn)”或“類點(diǎn)”，且過存在兩條相互垂直的切線，則稱為的“類點(diǎn)”．
(1)設(shè)，判斷點(diǎn)是否為的“類點(diǎn)”，并說明理由；
(2)設(shè)，若點(diǎn)為的“類點(diǎn)”，且過點(diǎn)的三條切線的切點(diǎn)橫坐標(biāo)可構(gòu)成等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)的值；
(3)設(shè)，證明：軸上不存在的“類點(diǎn)”．
【變式3-1】．（23-24高三下·上海閔行·階段練習(xí)）已知函數(shù)，取點(diǎn)，過其作曲線切線交軸于點(diǎn) ，取點(diǎn)，過其作曲線作切線交軸于，若，則停止操作，以此類推，得到數(shù)列.
(1)若正整數(shù)，證明
(2)若正整數(shù)，試比較與 大?。?br>(3)若正整數(shù)，是否存在k使得依次成等差數(shù)列? 若存在，求出k的所有取值，若不存在，試說明理由.
【變式3-2】．（23-24高三上·上海靜安·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
(3)定義函數(shù)，對(duì)于數(shù)列，若，則稱為函數(shù)的“生成數(shù)列”，為函數(shù)的一個(gè)“源數(shù)列”．
①已知為函數(shù)的“源數(shù)列”，求證：對(duì)任意正整數(shù)，均有；
②已知為函數(shù)的“生成數(shù)列”，為函數(shù)的“源數(shù)列”， 與的公共項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列，試問在數(shù)列中是否存在連續(xù)三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列？請(qǐng)說明理由．
【變式3-3】．（24-25高三上·上?！るA段練習(xí)）設(shè)，.
(1)求函數(shù)y=fx的單調(diào)區(qū)間;
(2)求證:；
(3)設(shè)函數(shù)與的定義域的交集為，集合.若對(duì)任意，都存在，使得成等比數(shù)列，且成等差數(shù)列，則稱與為"A關(guān)聯(lián)函數(shù)".求證：若y=fx與y=gx為"關(guān)聯(lián)函數(shù)"，則.
【變式3-4】．（2024-2025·上海高三·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中，.若點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，且經(jīng)過點(diǎn)的切線與函數(shù)圖像的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，則稱點(diǎn)為點(diǎn)的一個(gè)“上位點(diǎn)”，現(xiàn)有函數(shù)圖像上的點(diǎn)列，，…，，…，使得對(duì)任意正整數(shù)，點(diǎn)都是點(diǎn)的一個(gè)“上位點(diǎn)”.
(1)若，請(qǐng)判斷原點(diǎn)是否存在“上位點(diǎn)”，并說明理由；
(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，請(qǐng)分別求出點(diǎn)、的坐標(biāo)；
(3)若的坐標(biāo)為，記點(diǎn)到直線的距離為.問是否存在實(shí)數(shù)和正整數(shù)，使得無窮數(shù)列、、…、…嚴(yán)格減？若存在，求出實(shí)數(shù)的所有可能值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【變式3-5】．（2024·上海黃浦·二模）若函數(shù)的圖象上的兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線互相重合，則稱該切線為函數(shù)的圖象的“自公切線”，稱這兩點(diǎn)為函數(shù)的圖象的一對(duì)“同切點(diǎn)”.
(1)分別判斷函數(shù)與的圖象是否存在“自公切線”，并說明理由；
(2)若，求證：函數(shù)有唯一零點(diǎn)且該函數(shù)的圖象不存在“自公切線”；
(3)設(shè)，的零點(diǎn)為，，求證：“存在，使得點(diǎn)與是函數(shù)的圖象的一對(duì)‘同切點(diǎn)’”的充要條件是“是數(shù)列中的項(xiàng)”.
題型04 數(shù)列綜合
【典例4-1】．（22-23高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）已知無窮數(shù)列滿足，其中，對(duì)于數(shù)列中的一項(xiàng)，若包含的連續(xù)項(xiàng)滿足或者，則稱為包含的長度為的“單調(diào)片段”.
(1)若，寫出所有包含的長度為3的“單調(diào)片段”；
(2)若對(duì)任意正整數(shù)，包含的“單調(diào)片段”長度的最大值都等于2，并且，求的通項(xiàng)公式；
(3)若對(duì)任意大于1的正整數(shù)，都存在包含的長度為的“單調(diào)片段”，求證：存在正整數(shù)，使得時(shí)，都有.
【變式4-1】．（2022·上海嘉定·模擬預(yù)測）若項(xiàng)數(shù)為且的有窮數(shù)列滿足：，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)”．
(1)判斷下列數(shù)列是否具有“性質(zhì)”，并說明理由；
①1，2，4，3；②2，4，8，16．
(2)設(shè)，2，，，若數(shù)列具有“性質(zhì)”，且各項(xiàng)互不相同．求證：“數(shù)列為等差數(shù)列”的充要條件是“數(shù)列為常數(shù)列”；
(3)已知數(shù)列具有“性質(zhì)”．若存在數(shù)列，使得數(shù)列是連續(xù)個(gè)正整數(shù)1，2，，的一個(gè)排列，且，求的所有可能的值．
【變式4-2】．（2023·上海崇明·一模）已知數(shù)列滿足.
(1)若數(shù)列的前4項(xiàng)分別為4，2，，1，求的取值范圍；
(2)已知數(shù)列中各項(xiàng)互不相同.令，求證：數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列是常數(shù)列；
(3)已知數(shù)列是m（且）個(gè)連續(xù)正整數(shù)1，2，…，m的一個(gè)排列.若，求m的所有取值.
題型05 導(dǎo)數(shù)、數(shù)列與常用邏輯用語
【典例5-1】．（24-25高三上·上?！るA段練習(xí)）對(duì)于一個(gè)各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，若能從中選出第（）項(xiàng)，能構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，則稱為的“等比子列”.若此“等比子列”具有無窮項(xiàng)，則稱其為“完美等比子列”.
(1)若數(shù)列，，直接寫出3個(gè)符合條件的“等比子列”，其中1個(gè)必須為“完美等比子列”.
(2)對(duì)于數(shù)列，，猜想他是否存在“完美等比子列”，如果存在，請(qǐng)寫出一個(gè)并證明；如果不存在，請(qǐng)說明理由.
(3)證明：各項(xiàng)非零的等差數(shù)列中存在“等比子列”的充要條件是數(shù)列滿足（為公差，）.
【變式5-1】．（2024·上海青浦·二模）若無窮數(shù)列滿足：存在正整數(shù)，使得對(duì)一切正整數(shù)成立，則稱是周期為的周期數(shù)列．
(1)若（其中正整數(shù)m為常數(shù)，），判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并說明理由；
(2)若，判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并說明理由；
(3)設(shè)是無窮數(shù)列，已知．求證：“存在，使得是周期數(shù)列”的充要條件是“是周期數(shù)列”．
【變式5-2】．（2023·上海浦東新·模擬預(yù)測）設(shè)是定義在上的奇函數(shù).若是嚴(yán)格減函數(shù)，則稱為“函數(shù)”.
(1)分別判斷和是否為函數(shù)，并說明理由；
(2)若是函數(shù)，求正數(shù)的取值范圍；
(3)已知奇函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)定義域均為.判斷“在上嚴(yán)格減”是“為函數(shù)”的什么條件，并說明理由.
【變式5-3】．（24-25高三上·上海·期中）若定義在R上的函數(shù)y=fx和y=gx分別存在導(dǎo)函數(shù)f′x和. 且對(duì)任意實(shí)數(shù)，都存在常數(shù)，使成立，則稱函數(shù)y=fx是函數(shù)y=gx的“控制函數(shù)”，稱為控制系數(shù).
(1)求證: 函數(shù)是函數(shù)的“控制函數(shù)”;
(2)若函數(shù)是函數(shù)的“控制函數(shù)”，求控制系數(shù)k的取值范圍；
(3)若函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)是函數(shù)的“控制函數(shù)”， 求證:“”的充要條件是“存在常數(shù)， 使得恒成立”.
一、解答題
1．（2023·上海嘉定·一模）對(duì)于函數(shù)，把稱為函數(shù)的一階導(dǎo)，令，則將稱為函數(shù)的二階導(dǎo)，以此類推得到n階導(dǎo).為了方便書寫，我們將n階導(dǎo)用表示.
(1)已知函數(shù)，寫出其二階導(dǎo)函數(shù)并討論其二階導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性.
(2)現(xiàn)定義一個(gè)新的數(shù)列：在取作為數(shù)列的首項(xiàng)，并將作為數(shù)列的第項(xiàng).我們稱該數(shù)列為的“n階導(dǎo)數(shù)列”
①若函數(shù)（），數(shù)列是的“n階導(dǎo)數(shù)列”，取Tn為的前n項(xiàng)積，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
②在我們高中階段學(xué)過的初等函數(shù)中，是否有函數(shù)使得該函數(shù)的“n階導(dǎo)數(shù)列”為嚴(yán)格減數(shù)列且為無窮數(shù)列，請(qǐng)寫出它并證明此結(jié)論.（寫出一個(gè)即可）
2．（2024·上海寶山·一模）已知都是定義在實(shí)數(shù)集上的可導(dǎo)函數(shù). 對(duì)于正整數(shù)，當(dāng)分別是和的駐點(diǎn)時(shí)，記，若，則稱和滿足性質(zhì)；當(dāng)，且時(shí)，記，若，則稱和滿足性質(zhì).
(1)若，，判斷和是否滿足性質(zhì)，并說明理由；
(2)若，，且和滿足性質(zhì)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若的最小正周期為4，且，.當(dāng)時(shí)，的駐點(diǎn)與其兩側(cè)區(qū)間的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：
已知和滿足性質(zhì)，請(qǐng)寫出的充要條件，并說明理由.
3．（2024·上海奉賢·一模）若函數(shù)的圖象上存在個(gè)不同點(diǎn)、、、處的切線重合，則稱該切線為函數(shù)的一條點(diǎn)切線，該函數(shù)具有點(diǎn)切線性質(zhì)．
(1)判斷函數(shù)，的奇偶性并寫出它的一條點(diǎn)切線方程（無需理由）；
(2)設(shè)，判斷函數(shù)是否具有點(diǎn)切線性質(zhì)，并說明理由；
(3)設(shè)，證明：對(duì)任意的，，函數(shù)具有點(diǎn)切線性質(zhì)，并求出所有相應(yīng)的切線方程．
4．（2024·上海楊浦·二模）函數(shù)、的定義域均為，若對(duì)任意兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，，均有或成立，則稱與為相關(guān)函數(shù)對(duì).
(1)判斷函數(shù)與是否為相關(guān)函數(shù)對(duì)，并說明理由；
(2)已知與為相關(guān)函數(shù)對(duì)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)已知函數(shù)與為相關(guān)函數(shù)對(duì)，且存在正實(shí)數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，均有.求證：存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，均有.
5．（2024·上海徐匯·二模）已知各項(xiàng)均不為0的數(shù)列滿足（是正整數(shù)），，定義函數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記函數(shù)，其中.
（i）證明：對(duì)任意，；
（ii）數(shù)列滿足，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和.數(shù)列的極限的嚴(yán)格定義為：若存在一個(gè)常數(shù)，使得對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)（不論它多么小），總存在正整數(shù)m滿足：當(dāng)時(shí)，恒有成立，則稱為數(shù)列的極限.試根據(jù)以上定義求出數(shù)列的極限.
同構(gòu)法的三種基本模式：①乘積型，如aea≤bln b可以同構(gòu)成aea≤(ln b)eln b，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)f(x)＝xex；②比商型，如eq \f(ea,a)g(x2)?f(x)min>g(x)max.
(2)?x1∈D1，?x2∈D2，f(x1)>g(x2)?f(x)min>g(x)min.
(3)?x1∈D1，?x2∈D2，f(x1)>g(x2)?f(x)max>g(x)max.
4、數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題關(guān)鍵在于通過函數(shù)關(guān)系尋找數(shù)列的遞推關(guān)系，求出數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和，再利用數(shù)列或數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)解決最值、范圍問題，通過放縮進(jìn)行不等式的證明．
1
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0
0
0
極小值
極大值1
極小值

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專題01 空間向量與立體幾何(解答題熱點(diǎn)，八大題型)-高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)題型歸納與變式演練（上海專用）

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專題06 解答壓軸題（五大題型）-2025年高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)題型歸納與變式演練（上海專用）

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