熱點(diǎn)專題 3.2 切線問題綜合【11類題型】（講與練）-2025年高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)題型專題突破（新高考專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、注意基礎(chǔ)知識的整合、鞏固。進(jìn)一步夯實(shí)基礎(chǔ)，提高解題的準(zhǔn)確性和速度。
二、查漏補(bǔ)缺，保強(qiáng)攻弱。針對“一模”中的問題根據(jù)實(shí)際情況作出合理的安排。
三、提高運(yùn)算能力，規(guī)范解答過程。運(yùn)算技巧粗中有細(xì)，提高運(yùn)算準(zhǔn)確性和速度。
四、強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維，構(gòu)建知識體系。同學(xué)們在聽課時(shí)注意把重點(diǎn)要放到理解老師對問題思路的分析以及解法的歸納總結(jié)，以便于同學(xué)們在刷題時(shí)做到思路清晰，迅速準(zhǔn)確。
五、解題快慢結(jié)合，改錯(cuò)反思。審題制定解題方案要慢，不要急于解題，要適當(dāng)?shù)剡x擇好的方案，一旦方法選定，解題動(dòng)作要快要自信。
六、重視和加強(qiáng)選擇題的訓(xùn)練和研究。對于選擇題不但要答案正確，還要優(yōu)化解題過程，提高速度。靈活運(yùn)用特值法、排除法、數(shù)形結(jié)合法、估算法等。
熱點(diǎn)專題 3-2 切線問題綜合
模塊一
總覽
熱點(diǎn)題型解讀（目錄）
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc171594554" 【題型1】求在曲線上一點(diǎn)的切線
\l "_Tc171594555" 【題型2】求過某點(diǎn)的切線
\l "_Tc171594556" 【題型3】已知切線斜率求參數(shù)
\l "_Tc171594557" 【題型4】通過切線求曲線上的點(diǎn)到直線距離最小值
\l "_Tc171594558" 【題型5】奇偶函數(shù)的切線斜率問題
\l "_Tc171594559" 【題型6】切線斜率取值范圍問題
\l "_Tc171594560" 【題型7】公切線問題
\l "_Tc171594561" 【題型8】由切線條數(shù)求參數(shù)范圍
\l "_Tc171594562" 【題型9】兩條切線平行、垂直、重合問題
\l "_Tc171594563" 【題型10】與切線有關(guān)的參數(shù)范圍或最值問題
\l "_Tc171594564" 【題型11】牛頓迭代法
模塊二
核心題型·舉一反三
【題型1】求在曲線上一點(diǎn)的切線
函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，抓住關(guān)鍵
（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文））曲線在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積為（）
A．B．C．D．
（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理））設(shè)函數(shù)，則曲線在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為（）
A．B．C．D．
【鞏固練習(xí)1】已知曲線在點(diǎn)處的切線為，則在軸上的截距為（）
A．B．C．1D．2
【鞏固練習(xí)2】（23-24高三·福建寧德·期末）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，則（）
A．B．C．D．
【題型2】求過某點(diǎn)的切線
【方法技巧】
設(shè)切點(diǎn)為，則斜率，過切點(diǎn)的切線方程為：，
又因?yàn)榍芯€方程過點(diǎn)，所以然后解出的值．
（2024·全國·模擬預(yù)測）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，則切線共有（）
A．1條B．2條C．3條D．4條
（2022年新高考全國I卷T15）曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為，．
【鞏固練習(xí)1】已知直線是曲線的切線，則切點(diǎn)坐標(biāo)為（）
A．B．C．D．
【鞏固練習(xí)2】（2024·山西呂梁·二模）若曲線在點(diǎn)處的切線過原點(diǎn)，則 .
【鞏固練習(xí)3】(2019·江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在曲線y=lnx上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過點(diǎn)（-e，-1)(e為自然對數(shù)的底數(shù)），則點(diǎn)A的坐標(biāo)是 .
【鞏固練習(xí)4】（23-24高三·廣東·期中）過點(diǎn)作曲線的兩條切線，.設(shè)，的夾角為，則（）
A．B．C．D．
【題型3】已知切線斜率求參數(shù)
已知切線或切點(diǎn)求參數(shù)問題，核心是根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個(gè)關(guān)系列出參數(shù)的方程：①切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；②切點(diǎn)在曲線上；③切點(diǎn)在切線上．
（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為,則的值為 .
（2024·貴州六盤水·三模）已知曲線的一條切線方程為，則實(shí)數(shù)（）
A．B．C．1D．2
（2024·全國·高考真題）若曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線，則 .
【鞏固練習(xí)1】（23-24高三·山西晉城·期末）過原點(diǎn)O作曲線的切線，其斜率為2，則實(shí)數(shù)（）
A．eB．2C．D．
【鞏固練習(xí)2】（2024·四川·模擬預(yù)測）已知，直線與曲線相切，則．
【鞏固練習(xí)3】（23-24高三·安徽合肥·期末）若函數(shù)與在處有相同的切線，則（）
A．B．0C．1D．2
【鞏固練習(xí)4】（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）已知直線是曲線和的公切線，則實(shí)數(shù)a= ．
【題型4】通過切線求曲線上的點(diǎn)到直線距離最小值
利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求最值問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決，常用方法平移切線法.
（23-24高三·安徽·階段練習(xí)）已知是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值是（）
A．B．5C．6D．
（23-24高三·廣東惠州·階段練習(xí)）已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則到直線的距離的最小值為．
【鞏固練習(xí)1】（23-24高三·河南南陽·階段練習(xí)）點(diǎn)P是曲線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離的最小值是（）
A．B．C．D．
【鞏固練習(xí)2】（23-24高三·河北石家莊·階段練習(xí)）曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離是（）
A．B．C．D．1
【鞏固練習(xí)3】（23-24高三·河南·階段練習(xí)）最優(yōu)化原理是要求在目前存在的多種可能的方案中，選出最合理的，達(dá)到事先規(guī)定的最優(yōu)目標(biāo)的方案，這類問題稱之為最優(yōu)化問題.為了解決實(shí)際生活中的最優(yōu)化問題，我們常常需要在數(shù)學(xué)模型中求最大值或者最小值.下面是一個(gè)有關(guān)曲線與直線上點(diǎn)的距離的最值問題，請你利用所學(xué)知識來解答:若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則到直線的距離的最小值為 .
【鞏固練習(xí)4】（2024·山西朔州·模擬預(yù)測）已知A，B分別為曲線和直線上的點(diǎn)，則的最小值為 .
【題型5】奇偶函數(shù)的切線斜率問題
奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù).
已知為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為．
（2024·福建福州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則曲線在處的切線方程為（）
A．B．C．D．
（2024·湖北·一模）已知函數(shù)為偶函數(shù)，其圖像在點(diǎn)處的切線方程為，記的導(dǎo)函數(shù)為，則（）
A．B．C．D．2
【鞏固練習(xí)1】已知是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的圖象在處的切線方程為（）
A．B．
C．D．
【鞏固練習(xí)2】（23-24高三·河南洛陽·期末）已知函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象在點(diǎn)處的切線方程為，記的導(dǎo)函數(shù)為，則（）
A．2B．C．D．
【鞏固練習(xí)3】（2024·山東濟(jì)寧·三模）已知函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是（）
A．B．C．D．
【鞏固練習(xí)4】（2024·海南海口·二模）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，是偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為（）
A．B．C．2D．
【鞏固練習(xí)5】（23-24高三·廣東深圳·期中）已知函數(shù)與偶函數(shù)在交點(diǎn)處的切線相同，則函數(shù)在處的切線方程為（）
A．B．
C．D．
【題型6】切線斜率取值范圍問題
利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出導(dǎo)函數(shù)的值域，從而求出切線斜率的取值范圍問題.
一般地，直線的斜率與傾斜角的關(guān)系是：直線都有傾斜角，但不一定都有斜率
點(diǎn)P在曲線上移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P處切線的傾斜角為，則角的范圍是（）
A．B．C．D．
（2021·河南洛陽·二模）已知點(diǎn)在曲線上移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是 .
【鞏固練習(xí)1】過函數(shù)圖像上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)作函數(shù)的切線，則切線傾斜角范圍為（）
A．B．
C．D．
【鞏固練習(xí)2】（22-23高三·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）點(diǎn)在曲線上移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)處切線的傾斜角為，則角的范圍是（）
A．B．C．D．
【題型7】公切線問題
公切線問題應(yīng)根據(jù)兩個(gè)函數(shù)在切點(diǎn)處的斜率相等，并且切點(diǎn)不但在切線上而且在曲線上，羅列出有關(guān)切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程組，通過解方程組進(jìn)行求解．
公切線問題主要有以下3類題型
（1）求2個(gè)函數(shù)的公切線
解題方法：設(shè)2個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用切線斜率相同得到3個(gè)相等的式子，聯(lián)立求解
（2）2個(gè)函數(shù)存在公切線，求參數(shù)范圍
解題方法：設(shè)2個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)，列出斜率方程，再轉(zhuǎn)化為方程有解問題
（3）已知兩個(gè)函數(shù)之間公切線條數(shù)，求參數(shù)范圍
解題方法：設(shè)2個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)，列出斜率方程，再轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)問題
(浙江紹興二模T15)與曲線和都相切的直線方程為__________.
（2024·廣東茂名·一模）曲線與曲線有公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）若曲線與恰有兩條公切線，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【鞏固練習(xí)1】（23-24高三·江西吉安·期末）函數(shù)與函數(shù)公切線的斜率為（）
A．B．C．或D．或
【鞏固練習(xí)2】已知直線是曲線與曲線的公切線，則的值為 .
【鞏固練習(xí)3】已知直線與曲線和均相切，則該直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為___________.
與坐標(biāo)軸交點(diǎn)分別為，圍成的三角形面積為：.
【鞏固練習(xí)4】已知函數(shù)，若曲線與曲線存在公切線，則實(shí)數(shù)的最大值為__________．
【鞏固練習(xí)5】（2024·湖南長沙·三模）斜率為1的直線與曲線和圓都相切，則實(shí)數(shù)的值為（）
A．0或2B．或2C．或0D．0或1
【鞏固練習(xí)6】(長沙雅禮中學(xué)月考（六）)已知函數(shù)，，若直線與函數(shù)，的圖象均相切，則的值為________；若總存在直線與函數(shù)，圖象均相切，則的取值范圍是________
【題型8】由切線條數(shù)求參數(shù)范圍
設(shè)切點(diǎn)為，則斜率，過切點(diǎn)的切線方程為：，
又因?yàn)榍芯€方程過點(diǎn)，所以然后解出的值，有多少個(gè)解對應(yīng)有多少條切線．
（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）若曲線有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是．
（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）若過點(diǎn)僅可作曲線的兩條切線，則的取值范圍是 .
（2024屆廣東省六校高三第一次聯(lián)考T8）已知函數(shù)，若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，則的取值范圍是________
【鞏固練習(xí)1】（23-24高三·湖北武漢·階段練習(xí)）已知過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【鞏固練習(xí)2】(2024屆·廣州中山大學(xué)附屬中學(xué)?？?過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則（）
A．B．C．D．3
【鞏固練習(xí)2】（2024·寧夏銀川·二模）已知點(diǎn)不在函數(shù)的圖象上，且過點(diǎn)僅有一條直線與的圖象相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【鞏固練習(xí)3】（2024·內(nèi)蒙古·三模）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【鞏固練習(xí)4】已知點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，若過點(diǎn)恰有三條不同的直線與曲線相切，則點(diǎn)的軌跡長度為（）
A．2B．4C．6D．8
【鞏固練習(xí)5】若曲線有三條過點(diǎn)的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【鞏固練習(xí)6】若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（）
A．B．C．D．
【鞏固練習(xí)7】（2024高三·遼寧本溪·期中）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（）
A．B．
C．D．
【題型9】兩條切線平行、垂直、重合問題
利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再利用兩直線平行或重合則斜率相等，兩直線垂直則斜率之積為-1.
（2024·河北邢臺·二模）已知函數(shù)的圖像在，兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線相互平行，則下面等式可能成立的是（）
A．B．C．D．
已知函數(shù)若對任意，曲線在點(diǎn)和處的切線互相平行或重合，則實(shí)數(shù)（）
A．0B．1C．2D．3
（2024·遼寧·二模）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)且的圖象在公共點(diǎn)處有相同的切線，則，切線方程為 .
【鞏固練習(xí)1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)，使得曲線在點(diǎn)處的切線都與直線垂直，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【鞏固練習(xí)2】（23-24高三·遼寧·階段練習(xí)）已知函數(shù)，曲線上存在不同的兩點(diǎn)，使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線都與直線平行，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【鞏固練習(xí)3】（2024·河南·三模）已知函數(shù)點(diǎn)，在曲線上（在第一象限），過，的切線相互平行，且分別交軸于，兩點(diǎn)，則的最小值為．
【鞏固練習(xí)4】（2024·北京朝陽·一模）已知函數(shù).若曲線在點(diǎn)處的切線與其在點(diǎn)處的切線相互垂直，則的一個(gè)取值為 .
【題型10】與切線有關(guān)的參數(shù)范圍或最值問題
利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，從而求出相關(guān)式子的取值范圍.
（2024·全國·模擬預(yù)測）若直線與曲線相切，則的最小值為（）
A．B．－2C．－1D．0
【鞏固練習(xí)1】（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知直線與曲線相切于點(diǎn)，若，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【鞏固練習(xí)2】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知直線恒在曲線的上方，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【鞏固練習(xí)3】已知直線與函數(shù)的圖象相切，則的最小值為．
【鞏固練習(xí)3】對給定的實(shí)數(shù)，總存在兩個(gè)實(shí)數(shù)，使直線與曲線相切，則的取值范圍為 .
【題型11】牛頓迭代法
數(shù)形結(jié)合處理
（23-24高三·河南鄭州·期中）“以直代曲”是微積分中的重要思想方法，牛頓曾用這種思想方法求高次方程的根．如圖，r是函數(shù)的零點(diǎn)，牛頓用“作切線”的方法找到了一串逐步逼近r的實(shí)數(shù)，，，…，，其中是在處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是在處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，…，依次類推．當(dāng)足夠小時(shí)，就可以把的值作為方程的近似解．若，，則方程的近似解．

（2024·山東濰坊·三模）牛頓迭代法是求方程近似解的一種方法．如圖，方程的根就是函數(shù)的零點(diǎn)，取初始值的圖象在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為的圖象在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，一直繼續(xù)下去，得到，它們越來越接近．設(shè)函數(shù)，，用牛頓迭代法得到，則實(shí)數(shù)（）
A．1B．C．D．
【鞏固練習(xí)1】牛頓迭代法是求方程近似解的另一種方法．如圖，方程的根就是函數(shù)的零點(diǎn)，取初始值，的圖象在橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的圖象在橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，一直繼續(xù)下去，得到，，…，，它們越來越接近．若，，則用牛頓法得到的的近似值約為（）

A．1.438B．1.417C．1.416D．1.375
【鞏固練習(xí)2】（2023·湖北咸寧·模擬預(yù)測）英國數(shù)學(xué)家牛頓在17世紀(jì)給出一種求方程近似根的方法一Newtn-Raphsn methd譯為牛頓-拉夫森法.做法如下：設(shè)是的根，選取作為的初始近似值，過點(diǎn)作曲線的切線：，則與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，稱是的一次近似值；重復(fù)以上過程，得的近似值序列，其中，稱是的次近似值.運(yùn)用上述方法，并規(guī)定初始近似值不得超過零點(diǎn)大小，則函數(shù)的零點(diǎn)一次近似值為（）（精確到小數(shù)點(diǎn)后3位，參考數(shù)據(jù)：）
A．2.207B．2.208C．2.205D．2.204
【鞏固練習(xí)3】（多選）牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法——牛頓法．具體做法如下：如圖，設(shè)r是的根，首先選取作為r的初始近似值，在處作圖象的切線，切線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)記作，稱是r的一次近似值，然后用替代重復(fù)上面的過程可得，稱是r的二次近似值；一直繼續(xù)下去，可得到一系列的數(shù)在一定精確度下，用四舍五入法取值，當(dāng)近似值相等時(shí)，該值即作為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)r，若使用牛頓法求方程的近似解，可構(gòu)造函數(shù)，則下列說法正確的是（）

A．若初始近似值為1，則一次近似值為3
B．
C．對任意，
D．任意，
近5年考情（2020-2024）
考題統(tǒng)計(jì)
考點(diǎn)分析
考點(diǎn)要求
2024年甲卷第6題，5分
考察導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線的相關(guān)計(jì)算求值求參
（1）求在某處的切線
（2）設(shè)切點(diǎn)求過某點(diǎn)的切線以及公切線
（3）利用切線的條數(shù)求參數(shù)范圍
2024年新高考I卷第13題，5分
2023年甲卷第8題，5分
2022年I卷第15題，5分
2021年甲卷第13題，5分
2021年I卷第7題，5分

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