2024-2025學年高考數(shù)學一輪復(fù)習講義(新高考)第15講：拓展八：定義題(解答題)(學生版+解析)-學案下載-教習網(wǎng)

(1)判斷函數(shù)在上是否為“上凸函數(shù)”，并說明理由；
(2)若函數(shù)是其定義域上的“上凸函數(shù)”，求的取值范圍；
(3)已知函數(shù)是定義在上的“上凸函數(shù)”，為曲線上的任意一點，求證：除點外，曲線上的每一個點都在點處切線的下方．
2．（23-24高二下·重慶·階段練習）閱讀知識卡片，結(jié)合所學知識完成以下問題：知識卡片1：一般地，如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點將區(qū)間等分成個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上任取一點，作和式（其中為小區(qū)間長度），當時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作即.這里，與分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫做被積函數(shù)，叫做積分變量，叫做被積式.從幾何上看，如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積.知識卡片2：一般地；如果是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，并且，那么.這個結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓-萊布尼茨公式.
(1)用定積分表示曲線及所圍成的圖形的面積，并確定取何值時，使所圍圖形的面積最??；
(2)一列火車在平直的鐵軌上行駛，由于遇到緊急情況，火車以速度（單位：）緊急剎車至停止.求：
①求火車在剎車4秒時速度的瞬時變化率（即4秒時的瞬時加速度）；
②緊急剎車后至停止火車運行的路程.
3．（23-24高二下·河南洛陽·階段練習）定義：若函數(shù)和的圖象上分別存在點和關(guān)于軸對稱，則稱函數(shù)和具有關(guān)系．
(1)判斷函數(shù)和是否具有關(guān)系；
(2)若函數(shù)和（）在區(qū)間上具有關(guān)系，求實數(shù)的取值范圍．
6．（23-24高三上·浙江寧波·期末）我們把底數(shù)和指數(shù)同時含有自變量的函數(shù)稱為冪指函數(shù)，其一般形式為，冪指函數(shù)在求導(dǎo)時可以將函數(shù)“指數(shù)化"再求導(dǎo).例如，對于冪指函數(shù)，.
(1)已知，求曲線在處的切線方程；
(2)若且，.研究的單調(diào)性；
(3)已知均大于0，且，討論和大小關(guān)系.
7．（2024·廣東茂名·一模）若函數(shù)在上有定義，且對于任意不同的，都有，則稱為上的“類函數(shù)”.
(1)若，判斷是否為上的“3類函數(shù)”；
(2)若為上的“2類函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；
(3)若為上的“2類函數(shù)”，且，證明：，，.
8．（2024高三上·全國·專題練習）已知函數(shù)、，的圖象在處的切線與軸平行．
(1)求，的關(guān)系式并求的單調(diào)減區(qū)間；
(2)證明：對任意實數(shù)，關(guān)于的方程：在,恒有實數(shù)解；
(3)結(jié)合（2）的結(jié)論，其實我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)是在閉區(qū)間,上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，則在內(nèi)至少存在一點，使得．如我們所學過的指、對數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理條件．試用拉格朗日中值定理證明：
當時，（可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性）．
9．（23-24高一上·云南昆明·期末）設(shè)區(qū)間為函數(shù)定義域的子集，對任意且，記，，，則：在上單調(diào)遞增的充要條件是在區(qū)間上恒成立；在上單調(diào)遞減的充要條件是在區(qū)間上恒成立.一般地，當時，稱為函數(shù)在區(qū)間（時）或（時）上的平均變化率.設(shè)函數(shù)，請利用上述材料，解決以下問題：
(1)分別求在區(qū)間、上的平均變化率；
(2)當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
10．（23-24高三上·上海靜安·階段練習）已知函數(shù)．
(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若時恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
(3)定義函數(shù)，對于數(shù)列，若，則稱為函數(shù)的“生成數(shù)列”，為函數(shù)的一個“源數(shù)列”．
①已知為函數(shù)的“源數(shù)列”，求證：對任意正整數(shù)，均有；
②已知為函數(shù)的“生成數(shù)列”，為函數(shù)的“源數(shù)列”，與的公共項按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列，試問在數(shù)列中是否存在連續(xù)三項構(gòu)成等比數(shù)列？請說明理由．
第15講：拓展八：定義題（解答題10大題）
1．（23-24高二下·重慶·階段練習）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．若是上的減函數(shù)，則稱為上的“上凸函數(shù)”；反之，若為上的“上凸函數(shù)”，則是上的減函數(shù)．
(1)判斷函數(shù)在上是否為“上凸函數(shù)”，并說明理由；
(2)若函數(shù)是其定義域上的“上凸函數(shù)”，求的取值范圍；
(3)已知函數(shù)是定義在上的“上凸函數(shù)”，為曲線上的任意一點，求證：除點外，曲線上的每一個點都在點處切線的下方．
【答案】(1)函數(shù)在上是“上凸函數(shù)”，理由見解析
(2)
(3)證明過程見解析
【分析】（1）求導(dǎo)得，令，只需判斷在上是否恒成立即可；
（2）由題意設(shè)，則恒成立，即當時，恒成立，從而分類討論、分離參數(shù)即可求解；
（3）構(gòu)造函數(shù)，則，借助“上凸函數(shù)”的定義即可得證.
【詳解】（1）由題意，，令，
則，當時，，
即此時，所以即單調(diào)遞減，
從而由定義可知函數(shù)在上是“上凸函數(shù)”；
（2）因為，
所以，設(shè)，
則，
由題意函數(shù)是其定義域上的“上凸函數(shù)”，
所以單調(diào)遞減，
從而當時，恒成立，
即當時，恒成立，
當時，不等式左邊為，不等式成立，此時任意，
當時，恒成立，
而此時，
所以此時，
當時，恒成立，
而此時，等號成立當且僅當，
即此時，所以，
綜上所述，的取值范圍為；
（3）設(shè)為曲線上的任意一點，過點的切線方程為，
令，則，
函數(shù)是定義在上的“上凸函數(shù)”，則單調(diào)遞減，
所以當時，，此時單調(diào)遞減，
所以，，
當時，，此時單調(diào)遞增，
所以，，
綜上所述，除點外，曲線上的每一個點都在點處切線的下方.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵是得到當時，恒成立，由此即可順利得解.
2．（23-24高二下·重慶·階段練習）閱讀知識卡片，結(jié)合所學知識完成以下問題：知識卡片1：一般地，如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點將區(qū)間等分成個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上任取一點，作和式（其中為小區(qū)間長度），當時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作即.這里，與分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫做被積函數(shù)，叫做積分變量，叫做被積式.從幾何上看，如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積.知識卡片2：一般地；如果是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，并且，那么.這個結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓-萊布尼茨公式.
(1)用定積分表示曲線及所圍成的圖形的面積，并確定取何值時，使所圍圖形的面積最??；
(2)一列火車在平直的鐵軌上行駛，由于遇到緊急情況，火車以速度（單位：）緊急剎車至停止.求：
①求火車在剎車4秒時速度的瞬時變化率（即4秒時的瞬時加速度）；
②緊急剎車后至停止火車運行的路程.
【答案】(1)，
(2)①；②
【分析】（1）先利用定積分的定義表示出所圍圖形的面積，然后根據(jù)牛頓萊布尼茨公式進行積分運算，最后利用配方法即可得解
（2）①求導(dǎo)得瞬時速度；
②令，解得的值即為從開始緊急剎車至火車完全停止所經(jīng)過的時間，緊急剎車后火車運行的路程是從0到10對函數(shù)的定積分．
【詳解】（1）
，
當時，由曲線圍成的圖形面積最?。?br>（2）①，則，
故火車在剎車4秒時速度的瞬時變化率為；
②當火車的速度時火車完全停止，即，
，解得或（舍去）；
即從開始緊急剎車至火車完全停止所經(jīng)過的時間為．
根據(jù)定積分的物理意義，緊急剎車后火車運行的路程就是從0到10對應(yīng)函數(shù)
的定積分，
，
即緊急剎車后火車運行的路程為．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查新定義問題，解決問題關(guān)鍵是熟記導(dǎo)數(shù)運算公式得到積分表達式.
3．（23-24高二下·河南洛陽·階段練習）定義：若函數(shù)和的圖象上分別存在點和關(guān)于軸對稱，則稱函數(shù)和具有關(guān)系．
(1)判斷函數(shù)和是否具有關(guān)系；
(2)若函數(shù)和（）在區(qū)間上具有關(guān)系，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)與具有關(guān)系；
(2)．
【分析】
（1）依據(jù)給定的新定義結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷即可.
（2）令，得出所以在上存在零點且．在上單調(diào)遞增，推出，后結(jié)合給定定義求解參數(shù)范圍即可.
【詳解】（1）
與具有關(guān)系．
理由如下：根據(jù)定義，若在與的定義域的交集上存在，
使得，則與具有關(guān)系．令，，
則，所以單調(diào)遞增，又，，
所以，使得，即，即與具有關(guān)系．
（2）
令，則，因為與在上具有關(guān)系，
所以在上存在零點．，若，
當時，因為，，所以，
即在上單調(diào)遞增，則，
此時在上不存在零點，不滿足題意．若，
當時，，，
當時，設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞增，
又，，故在上存在唯一零點，
設(shè)零點為，則，所以當時，；
當時，；當時，．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
在上存在唯一極小值，因為，所以，
又，所以在上存在唯一零點，
所以函數(shù)與在上具有關(guān)系．
綜上所述，，即實數(shù)的取值范圍是．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)新定義，解題關(guān)鍵是得出所以在上存在零點且．在上單調(diào)遞增，推出，然后利用給定定義得到所要求的參數(shù)范圍即可．
4．（23-24高二下·陜西咸陽·階段練習）給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點”，且該“拐點”也是函數(shù)圖象的對稱中心.
(1)若函數(shù)，求函數(shù)圖象的對稱中心；
(2)已知函數(shù)，其中.
（?。┣蟮墓拯c；
（ⅱ）若，求證：.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）證明見解析
【分析】
（1）根據(jù)“拐點”的定義，對函數(shù)求導(dǎo)即可得結(jié)果，
（2）（?。└鶕?jù)“拐點”的定義，對函數(shù)求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出結(jié)果；（ⅱ）由（?。┛芍?，求出函數(shù)在上單調(diào)遞增且，從而得證.
【詳解】（1）因為，所以，
所以.令，解得，又，
所以函數(shù)的“拐點”為，
所以函數(shù)圖象的對稱中心為.
（2）（?。┮驗?，，
所以，
，且，
令，則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，又，
由零點存在性定理知，有唯一的零點，
所，且，當時，，
所以的拐點為.
（ⅱ）證明：由（i）可知，在上單調(diào)遞增，，
∴當時，；當時，，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，
∴在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增，
又，，
所以.
【點睛】思路點睛：根據(jù)“拐點”的定義求出函數(shù)對稱中心，利用二次求導(dǎo)得出函數(shù)的單調(diào)性即可得證.
5．（23-24高三下·上海浦東新·階段練習）設(shè)函數(shù)的定義域為開區(qū)間，若存在，使得在處的切線與的圖像只有唯一的公共點，則稱為“函數(shù)”，切線為一條“切線”．
(1)判斷是否是函數(shù)的一條“切線”，并說明理由；
(2)設(shè)，求證：存在無窮多條“切線”；
(3)設(shè)，求證：對任意實數(shù)和正數(shù)都是“函數(shù)”
【答案】(1)是，理由見解析
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）記，設(shè)切點為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，再證明直線與的圖象只有唯一的公共點，將與函數(shù)聯(lián)立，得，記，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到方程的解．
（2）將點處的切線的方程與聯(lián)立得，記，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)存在唯一零點，即可得證；
（3）類似第（2）問的思路得到在上有且僅有一解，則或，再分、兩種情況說明即可.
【詳解】（1）記，則，設(shè)切點為，
由切線方程為知，則，解得．
所以切點為，下面證明直線與的圖象只有唯一的公共點，
將與函數(shù)聯(lián)立，得．
記，則，
當時，當時，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
故函數(shù)只有一個零點，故是一條“切線”；
（2）因為，所以，
則點處的切線方程為，
將點處的切線的方程與聯(lián)立得，
記，
則直線為“切線”函數(shù)有且僅有一個零點（此時，一個對應(yīng)一條“切線”），顯然是的零點，
故只要沒其它零點，此時，
當時，，當時，，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故此時為唯一的極小值點（也是最小值點），而，
故無其他零點，故直線為“切線”，因為的任意性，
故函數(shù)存在無窮多條“切線”，
（3）因為，則，
設(shè)點在函數(shù)的圖象上，
則點的切線為，與聯(lián)立得：
，
由題意得直線為“切線”，故方程在上有且僅有一解，
則或，
若，則是方程的唯一解（此時有無數(shù)條“切線”，切點橫坐標為上的任意值）．
若，則（此時只有一條“切線”，切點的橫坐標為）
或（此時有無數(shù)條“切線”，切點橫坐標為上的任意值），
綜上，，即證．
【點睛】關(guān)鍵點睛：對于新定義問題的關(guān)鍵是理解定義，將問題轉(zhuǎn)化為方程有唯一解問題.
6．（23-24高三上·浙江寧波·期末）我們把底數(shù)和指數(shù)同時含有自變量的函數(shù)稱為冪指函數(shù)，其一般形式為，冪指函數(shù)在求導(dǎo)時可以將函數(shù)“指數(shù)化"再求導(dǎo).例如，對于冪指函數(shù)，.
(1)已知，求曲線在處的切線方程；
(2)若且，.研究的單調(diào)性；
(3)已知均大于0，且，討論和大小關(guān)系.
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)答案見解析
【分析】（1）利用“指數(shù)化"，即可結(jié)合復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即可求解，
（2）利用“指數(shù)化"，即可結(jié)合復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)，即可求解，
（3）根據(jù)的單調(diào)性，即可令求解.
【詳解】（1），
則，
所以，又因為，所以切線方程為.
（2），，
，
令，令，
，
令，解得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，所以，
所以在上單調(diào)遞增.
（3）由（2）知，令，得，
由（2）知在上單調(diào)遞增.
所以在上單調(diào)遞增，
當時，，即.
當時，
【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)比較大小的基本步驟
(1)作差或變形；
(2)構(gòu)造新的函數(shù)；
(3)利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性或最值；
(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．
7．（2024·廣東茂名·一模）若函數(shù)在上有定義，且對于任意不同的，都有，則稱為上的“類函數(shù)”.
(1)若，判斷是否為上的“3類函數(shù)”；
(2)若為上的“2類函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；
(3)若為上的“2類函數(shù)”，且，證明：，，.
【答案】(1)是上的“3類函數(shù)”，理由見詳解.
(2)
(3)證明過程見詳解.
【分析】
（1）由新定義可知，利用作差及不等式的性質(zhì)證明即可；
（2）由已知條件轉(zhuǎn)化為對于任意，都有，，只需且，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值即可.
（3）分和兩種情況進行證明，，用放縮法進行證明即可.
【詳解】（1）對于任意不同的，
有，，所以，
，
所以是上的“3類函數(shù)”.
（2）因為，
由題意知，對于任意不同的，都有，
不妨設(shè)，則，
故且，
故為上的增函數(shù)，為上的減函數(shù)，
故任意，都有，
由可轉(zhuǎn)化為，令，只需
，令，在單調(diào)遞減，
所以，，故在單調(diào)遞減，
，
由可轉(zhuǎn)化為，令，只需
，令，在單調(diào)遞減，
且，，所以使，即，
即，
當時，，，故在單調(diào)遞增，
當時，，，故在單調(diào)遞減，
，
故.
（3）因為為上的“2類函數(shù)”，所以，
不妨設(shè)，
當時，；
當時，因為，
，
綜上所述，，，.
【點睛】不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立或恒成立；②數(shù)形結(jié)合（的圖象在上方即可）；③討論最值或恒成立；④討論參數(shù)，排除不合題意的參數(shù)范圍，篩選出符合題意的參數(shù)范圍.
8．（2024高三上·全國·專題練習）已知函數(shù)、，的圖象在處的切線與軸平行．
(1)求，的關(guān)系式并求的單調(diào)減區(qū)間；
(2)證明：對任意實數(shù)，關(guān)于的方程：在,恒有實數(shù)解；
(3)結(jié)合（2）的結(jié)論，其實我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)是在閉區(qū)間,上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，則在內(nèi)至少存在一點，使得．如我們所學過的指、對數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理條件．試用拉格朗日中值定理證明：
當時，（可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性）．
【答案】(1)，減區(qū)間見解析
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）由得，則，結(jié)合即可求解；
（2）將原方程轉(zhuǎn)化為，得，結(jié)合零點的存在性定理即可證明；
（3）令，由拉格朗日中值定理可知存在使，結(jié)合列不等式，即可證明.
【詳解】（1）因為，
由已知有，所以即，
即，由知．
當時，由得，則的減區(qū)間為，
當時，由得或，的減區(qū)間為和，
綜上所述：當時，的減區(qū)間為；
當時，的減區(qū)間為和；
（2），
可化為，
令，
則，，
即，
又，所以，，即，
由零點的存在性定理知方程在區(qū)間,內(nèi)必有解，
即關(guān)于的方程在,恒有實數(shù)解
（3）令，，
則符合拉格朗日中值定理的條件，即存在，
使，
所以在時恒成立，
對于函數(shù)，，
設(shè)任意且，則，
因為且，所以，，則，
所以，即在上恒成立，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，同理可證在上單調(diào)遞減，
所以當時，所以.
【點睛】關(guān)鍵點睛：第二問的關(guān)鍵是參變分離得到在時恒成立，結(jié)合所給定義證明函數(shù)，的單調(diào)性.
10．（23-24高三上·上海靜安·階段練習）已知函數(shù)．
(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若時恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
(3)定義函數(shù)，對于數(shù)列，若，則稱為函數(shù)的“生成數(shù)列”，為函數(shù)的一個“源數(shù)列”．
①已知為函數(shù)的“源數(shù)列”，求證：對任意正整數(shù)，均有；
②已知為函數(shù)的“生成數(shù)列”，為函數(shù)的“源數(shù)列”，與的公共項按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列，試問在數(shù)列中是否存在連續(xù)三項構(gòu)成等比數(shù)列？請說明理由．
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．
(2)
(3)①證明見解析；②假設(shè)不成立，即不存在連續(xù)三項構(gòu)成等比數(shù)列，理由見解析．
【分析】
（1）求導(dǎo)得，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為當時，恒成立，求導(dǎo)得，然后分，以及討論，即可得到結(jié)果；
（3）①根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得在恒成立，即可證明；②根據(jù)題意，結(jié)合“源數(shù)列”以及“生成數(shù)列”的概念，然后假設(shè)存在，代入計算，即可得到方程無解，故不存在.
【詳解】（1）當時，，，
令，則，解得或，
當時，；
當時，；
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2），
令，依題意，當時，恒成立，
由，得，，
又因為，所以，
當時，，所以在單調(diào)遞增，
，不合題意；
當時，令，解得，
當時，；當時，；
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．
若要使恒成立，則需，解得，
故此時；
當時，，
所以在單調(diào)遞減，
所以，符合題意；
綜上，實數(shù)a的取值范圍為．
（3）①，，故，
構(gòu)造函數(shù)，
，則
函數(shù)在上單調(diào)遞增，，故在恒成立，單調(diào)遞增，
故，即，，
當時，，
綜上所述：恒成立，即．
②，則，，
設(shè)，即，則，
設(shè)函數(shù)，函數(shù)單調(diào)遞增，對于任意，有唯一的與之對應(yīng)，
即數(shù)列中每一項，都有中的項與之相等，單調(diào)遞增，
故，
假設(shè)數(shù)列中存在連續(xù)三項構(gòu)成等比數(shù)列，，，，
故，整理得到，無正整數(shù)解．
故假設(shè)不成立，即不存在連續(xù)三項構(gòu)成等比數(shù)列．
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題以及導(dǎo)數(shù)與數(shù)列的結(jié)合，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于理解題中“源數(shù)列”以及“生成數(shù)列”的概念，再由導(dǎo)數(shù)與數(shù)列的知識進行解答.

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