TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc16150" 第一部分：典型例題講解 PAGEREF _Tc16150 \h 1
\l "_Tc1500" 題型一：求切線問題 PAGEREF _Tc1500 \h 1
\l "_Tc19291" 題型二：公切線問題 PAGEREF _Tc19291 \h 4
\l "_Tc31386" 題型三：已知切線條數(shù)求參數(shù) PAGEREF _Tc31386 \h 8
\l "_Tc17946" 題型四：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（小題） PAGEREF _Tc17946 \h 11
\l "_Tc3730" 題型五：借助單調(diào)性構(gòu)造函數(shù)解不等式 PAGEREF _Tc3730 \h 15
\l "_Tc20535" 題型六：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性（含參討論） PAGEREF _Tc20535 \h 18
\l "_Tc9807" 題型七：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 PAGEREF _Tc9807 \h 24
\l "_Tc20064" 題型八：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值 PAGEREF _Tc20064 \h 30
\l "_Tc9429" 題型九：利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題 PAGEREF _Tc9429 \h 35
\l "_Tc3178" 題型十：利用導(dǎo)數(shù)解決有解問題 PAGEREF _Tc3178 \h 39
\l "_Tc20475" 題型十一：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)（方程根）問題 PAGEREF _Tc20475 \h 42
\l "_Tc9414" 第二部分：新定義題 PAGEREF _Tc9414 \h 49
第一部分：典型例題講解
題型一：求切線問題
1．（2024·陜西西安·二模）已知直線與曲線相切于點(diǎn)，則（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（23-24高二下·陜西西安·階段練習(xí)）曲線在點(diǎn)處的切線的方程為 ．
3．（2024高二·全國·專題練習(xí)）已知直線為曲線過點(diǎn)的切線. 則直線的方程為 .
4．（23-24高二下·四川南充·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)曲線在點(diǎn)P處的切線與直線互相垂直，求點(diǎn)P的坐標(biāo).
(2)過點(diǎn)作曲線的切線，求此切線的方程.
5．（23-24高二下·江西南昌·階段練習(xí)）已知函數(shù)，點(diǎn)在曲線上.
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求曲線過點(diǎn)的切線方程.
題型二：公切線問題
1．（23-24高二下·湖北武漢·階段練習(xí)）若直線既和曲線相切，又和曲線相切，則稱為曲線和的公切線.曲線和曲線：的公切線方程為（ ）
A．B．
C．D．
2．（多選）（23-24高二上·山西運(yùn)城·期末）若直線是曲線與曲線的公切線，則（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高二下·重慶·開學(xué)考試）已知函數(shù)，（，），若存在直線l，使得l是曲線與曲線的公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
4．（23-24高二上·重慶·期末）若函數(shù)與函數(shù)的圖象存在公切線，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為 .
5．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）已知曲線 ，曲線 ，求證：與相切，并求其公切線的方程.
題型三：已知切線條數(shù)求參數(shù)
1．（23-24高二下·浙江·階段練習(xí)）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·廣東深圳·期末）過點(diǎn)可以做三條直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·遼寧·期末）已知過點(diǎn)作的曲線的切線有且僅有兩條，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·陜西寶雞·二模）若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
題型四：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（小題）
1．（23-24高二下·河北張家口·階段練習(xí)）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為（ ）
A．eB．1C．D．
3．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的最大值為（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三上·福建泉州·階段練習(xí)）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
5．（2023高三·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
6．（22-23高二下·湖北·階段練習(xí)）若函數(shù)在其定義域的一個(gè)子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
7．（21-22高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
題型五：借助單調(diào)性構(gòu)造函數(shù)解不等式
1．（23-24高二下·河北保定·階段練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)椋遥瑒t不等式的解集為
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·河南·階段練習(xí)）設(shè)，則（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·河北張家口·階段練習(xí)）若，則以下不等式正確的是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，其?dǎo)函數(shù)滿足，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，則（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知定義在上的函數(shù)滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
題型六：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性（含參討論）
1．（2024高二·上海·專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值.
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.
2．（23-24高二下·四川南充·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng) 時(shí)， 求 的單調(diào)區(qū)間；
(2)若在上是增函數(shù)，求的取值范圍；
(3)討論 的單調(diào)性．
3．（23-24高二下·四川廣元·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；
(2)當(dāng)時(shí)，，證明不等式；
(3)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
4．（23-24高二下·河北石家莊·階段練習(xí)）已知函數(shù)，．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的值域（）；
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性．
（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，討論的單調(diào)性.
題型七：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
1．（2024·遼寧·一模）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線的方程；
(2)討論的極值.
2．（23-24高二下·湖北武漢·階段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，且.
(1)求的取值范圍；
(2)求的極大值與極小值之和的取值范圍.
3．（2024·山東濟(jì)南·一模）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).
4．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中．
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
(2)求證：的極大值恒為正數(shù)．
5．（23-24高二下·上海·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)．
(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)令，求的單調(diào)區(qū)間；
(3)已知在處取得極大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
題型八：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值
1．（23-24高二下·河北保定·階段練習(xí)）已知函數(shù)在處取得極小值，且極小值為.
(1)求的值；
(2)求在上的值域.
2．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有最小值2，求的值.
3．（23-24高二下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若是的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若，求在區(qū)間上的最大值.
4．（23-24高二下·江蘇無錫·階段練習(xí)）已知函數(shù)，
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)在上的最小值為3，求實(shí)數(shù)的值.
5．（23-24高二下·北京·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，.
(1)當(dāng)時(shí)， 試求的單調(diào)增區(qū)間；
(2)試求在上的最大值.
題型九：利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題
1．（23-24高二下·北京豐臺(tái)·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
(2)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
2．（23-24高二下·河北張家口·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的極值；
(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
3．（2024·貴州黔東南·二模）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若恒成立，求的取值范圍.
4．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；
(2)討論的單調(diào)區(qū)間；
(3)若對(duì)任意，都有，求的最大值.（參考數(shù)據(jù)：）
題型十：利用導(dǎo)數(shù)解決有解問題
1．（23-24高三上·青海西寧·期末）已知函數(shù).
(1)證明：.
(2)若關(guān)于的不等式有解，求的取值范圍.
2．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；
(2)若，且對(duì)，都，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
3．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中參數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)函數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，求a的取值范圍．
4．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的極值；
(2)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)m的最小值.
題型十一：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)（方程根）問題
1．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若方程有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
2．（23-24高二下·山東棗莊·階段練習(xí)）已知函數(shù)，在處取得極值為.
(1)求：值;
(2)若有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.
3．（23-24高二下·貴州黔西·開學(xué)考試）已知在處取得極小值．
(1)求的解析式；
(2)求在處的切線方程；
(3)若方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.
(2)若不等式恒成立，求正數(shù)的取值范圍（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
2．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中參數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)函數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，求a的取值范圍．
3．（23-24高二下·廣東揭陽·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求的最小值.
4．（23-24高三上·福建龍巖·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，
①求a的取值范圍；
②證明：.
第二部分：新定義題
1．（23-24高三上·上?！るA段練習(xí)）已知函數(shù)，，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)，
(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并寫出函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，分別為函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，且不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(3)對(duì)于函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，其中F、D為非零實(shí)數(shù)，則稱為函數(shù)的“篤志點(diǎn)”.
①已知函數(shù)，且函數(shù)有且只有3個(gè)“篤志點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
②定義在R上的函數(shù)滿足：存在唯一實(shí)數(shù)m，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，使得恒成立或恒成立.對(duì)于有序?qū)崝?shù)對(duì)，討論函數(shù)“篤志點(diǎn)”個(gè)數(shù)的奇偶性，并說明理由
2．（2023·上海嘉定·一模）對(duì)于函數(shù)，把稱為函數(shù)的一階導(dǎo)，令，則將稱為函數(shù)的二階導(dǎo)，以此類推得到n階導(dǎo).為了方便書寫，我們將n階導(dǎo)用表示.
(1)已知函數(shù)，寫出其二階導(dǎo)函數(shù)并討論其二階導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性.
(2)現(xiàn)定義一個(gè)新的數(shù)列：在取作為數(shù)列的首項(xiàng)，并將作為數(shù)列的第項(xiàng).我們稱該數(shù)列為的“n階導(dǎo)數(shù)列”
①若函數(shù)（），數(shù)列是的“n階導(dǎo)數(shù)列”，取Tn為的前n項(xiàng)積，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
②在我們高中階段學(xué)過的初等函數(shù)中，是否有函數(shù)使得該函數(shù)的“n階導(dǎo)數(shù)列”為嚴(yán)格減數(shù)列且為無窮數(shù)列，請(qǐng)寫出它并證明此結(jié)論.（寫出一個(gè)即可）
3．（2023·上海金山·一模）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，給定區(qū)間，若存在，使得，則稱函數(shù)為區(qū)間上的“均值函數(shù)”，為函數(shù)的“均值點(diǎn)”．
(1)試判斷函數(shù)是否為區(qū)間上的“均值函數(shù)”，如果是，請(qǐng)求出其“均值點(diǎn)”；如果不是，請(qǐng)說明理由；
(2)已知函數(shù)是區(qū)間上的“均值函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若函數(shù)（常數(shù)）是區(qū)間上的“均值函數(shù)”，且為其“均值點(diǎn)”．將區(qū)間任意劃分成（）份，設(shè)分點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為，記，，．再將區(qū)間等分成（）份，設(shè)等分點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為，記．求使得的最小整數(shù)的值．
第16講：第三章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 章節(jié)總結(jié)
目錄
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc16150" 第一部分：典型例題講解 PAGEREF _Tc16150 \h 1
\l "_Tc1500" 題型一：求切線問題 PAGEREF _Tc1500 \h 1
\l "_Tc19291" 題型二：公切線問題 PAGEREF _Tc19291 \h 4
\l "_Tc31386" 題型三：已知切線條數(shù)求參數(shù) PAGEREF _Tc31386 \h 8
\l "_Tc17946" 題型四：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（小題） PAGEREF _Tc17946 \h 11
\l "_Tc3730" 題型五：借助單調(diào)性構(gòu)造函數(shù)解不等式 PAGEREF _Tc3730 \h 15
\l "_Tc20535" 題型六：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性（含參討論） PAGEREF _Tc20535 \h 18
\l "_Tc9807" 題型七：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 PAGEREF _Tc9807 \h 24
\l "_Tc20064" 題型八：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值 PAGEREF _Tc20064 \h 30
\l "_Tc9429" 題型九：利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題 PAGEREF _Tc9429 \h 35
\l "_Tc3178" 題型十：利用導(dǎo)數(shù)解決有解問題 PAGEREF _Tc3178 \h 39
\l "_Tc20475" 題型十一：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)（方程根）問題 PAGEREF _Tc20475 \h 42
\l "_Tc9414" 第二部分：新定義題 PAGEREF _Tc9414 \h 49
第一部分：典型例題講解
題型一：求切線問題
1．（2024·陜西西安·二模）已知直線與曲線相切于點(diǎn)，則（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】把切點(diǎn)P的坐標(biāo)代入求出，再求函數(shù)導(dǎo)數(shù)求出k，再把代入求．
【詳解】∵點(diǎn)在曲線上，
，解得，
由題意得，，
∴在點(diǎn)處的切線斜率，
把代入，得，
故選：D．
2．（23-24高二下·陜西西安·階段練習(xí)）曲線在點(diǎn)處的切線的方程為 ．
【答案】
【分析】求出，可求得的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得曲線在點(diǎn)處的切線的方程
【詳解】由，則，且，
所以曲線在點(diǎn)處的切線的方程為，
故答案為：
3．（2024高二·全國·專題練習(xí)）已知直線為曲線過點(diǎn)的切線. 則直線的方程為 .
【答案】或
【分析】
設(shè)切點(diǎn)為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，代入點(diǎn)坐標(biāo)求出，再回代得切線方程．
【詳解】∵，∴.
設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，則直線的斜率為，
∴過點(diǎn)的切線方程為，
即，又點(diǎn)在切線上，
∴，整理得，
∴，
解得或；
∴所求的切線方程為或.
故答案為：或.
4．（23-24高二下·四川南充·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)曲線在點(diǎn)P處的切線與直線互相垂直，求點(diǎn)P的坐標(biāo).
(2)過點(diǎn)作曲線的切線，求此切線的方程.
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義與直線垂直斜率間的關(guān)系計(jì)算即可得；
（2）設(shè)出切點(diǎn)，借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得.
【詳解】（1），由題意可得，故，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；
（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則有，
故，整理得，
即，故或，
當(dāng)時(shí)，有，即，
當(dāng)時(shí)，有，即，
故此切線的方程為或.
5．（23-24高二下·江西南昌·階段練習(xí)）已知函數(shù)，點(diǎn)在曲線上.
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求曲線過點(diǎn)的切線方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】
（1）由已知條件求出的值，求出的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程；
（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程，求出的值，即可得出所求切線的方程.
【詳解】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)，點(diǎn)在曲線，則，所以，，
所以，，則，
因此，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.
（2）解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，
所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程可得，解得或，
當(dāng)時(shí)，所求切線方程為；
當(dāng)時(shí)，所求切線方程為.
綜上所述，曲線過點(diǎn)的切線方程為或.
題型二：公切線問題
1．（23-24高二下·湖北武漢·階段練習(xí)）若直線既和曲線相切，又和曲線相切，則稱為曲線和的公切線.曲線和曲線：的公切線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知公切線的斜率為和，則，分類討論當(dāng)曲線與的切點(diǎn)相同與不相同的情況，求出對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程即可求解.
【詳解】由，得，由得，
設(shè)曲線的公切線與曲線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，
與曲線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，
所以.
當(dāng)曲線與的切點(diǎn)相同時(shí)，，
解得，所以切點(diǎn)為，此時(shí)公切線的方程為；
當(dāng)曲線與曲線的切點(diǎn)不同時(shí)，，得，
所以，即，解得，此時(shí)與矛盾，
故不存在兩切點(diǎn)不同的情況，
綜上可得：切點(diǎn)的坐標(biāo)為，公切線的方程為.
故選：A.
2．（多選）（23-24高二上·山西運(yùn)城·期末）若直線是曲線與曲線的公切線，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】
借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得.
【詳解】令，則，
令，有，則，
即有，即，故，
令，則，
令，有，則，
即有，即，
故有，即.
故選：BD.
3．（23-24高二下·重慶·開學(xué)考試）已知函數(shù)，（，），若存在直線l，使得l是曲線與曲線的公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】分別設(shè)出直線與兩曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，根據(jù)題意得到，記，分類討論a與1的大小關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理分析求解.
【詳解】設(shè)直線為曲線在點(diǎn)處的切線，，
所以，即；
設(shè)直線為曲線在點(diǎn)處的切線，，
所以，即；
由題意知，因?yàn)?，可知?br>由可得，
將其代入可得：，
令，則在上有零點(diǎn)，
令，則，
令，解得；令，解得；
在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
且，
當(dāng)時(shí)，，故在上恒有零點(diǎn)，從而恒成立；
當(dāng)時(shí)，，無零點(diǎn)，不成立；
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
且當(dāng)時(shí)，，
則，解得；
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求曲線的切線問題主要分兩大類：
一類是切點(diǎn)已知，那么只需將切點(diǎn)橫坐標(biāo)代入到原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)中求出切點(diǎn)和斜率即可；
另一類是切點(diǎn)未知，那么先要設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)表示切線的斜率以及切線方程，根據(jù)所過的點(diǎn)求切點(diǎn)，得出切線方程.
4．（23-24高二上·重慶·期末）若函數(shù)與函數(shù)的圖象存在公切線，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為 .
【答案】
【分析】
求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出曲線與公切線的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得兩切點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式，進(jìn)而求出t的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最值，即可求得答案.
【詳解】由題意得，，
設(shè)公切線與曲線切于點(diǎn)，與曲線切于點(diǎn)，
則，則，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)與的圖象存在公切線，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，即，
故，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
故，故，
綜合得實(shí)數(shù)t的取值范圍為，
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答時(shí)要設(shè)出曲線與公切線的切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切點(diǎn)坐標(biāo)之間關(guān)系，關(guān)鍵在于由此結(jié)合該關(guān)系求得參數(shù)t的表達(dá)式，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)解決問題.
5．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）已知曲線 ，曲線 ，求證：與相切，并求其公切線的方程.
【答案】證明見解析，公切線方程為
【分析】聯(lián)立兩曲線方程可得，令，其中，利用導(dǎo)數(shù)證明出，且在公共點(diǎn)處切線斜率相等，可證得結(jié)論成立，再利用點(diǎn)斜式可得出公切線的方程.
【詳解】解：聯(lián)立，可得，
令，其中，，
由可得，由可得，
所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，
所以，，
即函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，
即方程 僅有唯一根 ，
故方程組僅有一組解，
由已知可得，，則，，
所以，所以與相切于點(diǎn) ，
所以其公切線方程為 ，即 （如圖）.

題型三：已知切線條數(shù)求參數(shù)
1．（23-24高二下·浙江·階段練習(xí)）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】假設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線方程，代入，將問題轉(zhuǎn)化為與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性和最值，由此可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，
，切線斜率，在點(diǎn)處的切線方程為：；
切線過點(diǎn)，，
過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，
令，則與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，
，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，不合題意；
當(dāng)時(shí)，若，則；若，則；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，，即，
又，.
故選：C.
2．（23-24高二上·廣東深圳·期末）過點(diǎn)可以做三條直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，寫出切線方程，過點(diǎn)，代入化簡得，將問題轉(zhuǎn)化為該方程有三個(gè)不等實(shí)根，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)討論單調(diào)性數(shù)形結(jié)合求解.
【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，∵，∴，
∴M處的切線斜率，則過點(diǎn)P的切線方程為，
代入點(diǎn)的坐標(biāo)，化簡得，
∵過點(diǎn)可以作三條直線與曲線相切，
∴方程有三個(gè)不等實(shí)根.
令，求導(dǎo)得到，
可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
如圖所示，
故，即.
故選：A.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線方程，關(guān)鍵點(diǎn)在于將問題轉(zhuǎn)化為方程的根的問題，根據(jù)方程的根的個(gè)數(shù)，求解參數(shù)的取值范圍，考查導(dǎo)函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及等價(jià)轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.
3．（23-24高二下·遼寧·期末）已知過點(diǎn)作的曲線的切線有且僅有兩條，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，再構(gòu)造函數(shù)把有兩條切線轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)解決問題即可.
【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由題意得，所以，
整理得，此方程有兩個(gè)不等的實(shí)根．
令函數(shù)，則．
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減,且．
，方程有兩個(gè)不等的實(shí)根,故．
故選：D.
4．（2023·陜西寶雞·二模）若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線方程，根據(jù)切線過點(diǎn)，得到，設(shè)，求得，得出函數(shù)單調(diào)性和極值，列出方程組，即可求解.
【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，
由函數(shù)，可得，則
所以在點(diǎn)處的切線方程為，
因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，
整理得，
設(shè)，所以，
令，解得或，令，解得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
要使得過點(diǎn)可作曲線的三條切線，
則滿足，解得，即的取值范圍是．
故選：C．
題型四：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（小題）
1．（23-24高二下·河北張家口·階段練習(xí)）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，恒成立，利用參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，即可求解.
【詳解】若函數(shù)，則，
由題意可知，，恒成立，
即，恒成立，
設(shè)，，恒成立，
所以在區(qū)間單調(diào)遞增，即，
所以.
故選：D
2．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為（ ）
A．eB．1C．D．
【答案】D
【分析】
等價(jià)轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，再利用分離參數(shù)法并結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可求出答案.
【詳解】
因?yàn)樵趨^(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上恒成立．
令，則在上恒成立，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，故．
故選：D.
3．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
依題意，在區(qū)間上恒成立，分離參數(shù)可得實(shí)數(shù)a的最大值.
【詳解】由題意，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以在區(qū)間上恒成立，即，
令，則，
又，所以，所以在為減函數(shù)，
所以，
所以，即實(shí)數(shù)a的最大值是.
故選：C
4．（23-24高三上·福建泉州·階段練習(xí)）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)條件得出存在，使成立，即存在，使成立，構(gòu)造函數(shù)，，求出的最值即可解決問題.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，
所以存在，使成立，即存在，使成立，
令，， 變形得，因?yàn)?，所以?br>所以當(dāng)，即時(shí)，，所以，
故選：D．
5．（2023高三·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)不等根計(jì)算即可.
【詳解】由題意得函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>要使函數(shù)恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，
則有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得且，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為，
故選：C.
6．（22-23高二下·湖北·階段練習(xí)）若函數(shù)在其定義域的一個(gè)子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出函數(shù)的定義域，則有，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，令求出極值點(diǎn)，使極值點(diǎn)在內(nèi)，從而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?br>所以，即，
，
令，得或（舍去），
因?yàn)樵诙x域的一個(gè)子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，
所以，得，
綜上，，
故選：A
7．（21-22高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有零點(diǎn)，用分離參數(shù)法得到，規(guī)定函數(shù)，求出值域即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，
所以在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解．
令，則．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又因?yàn)椋?br>且當(dāng)時(shí)，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得.
故選：A
題型五：借助單調(diào)性構(gòu)造函數(shù)解不等式
1．（23-24高二下·河北保定·階段練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則不等式的解集為
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先構(gòu)造函數(shù)，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，解不等式.
【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增.
由，得，得.
故選：C
2．（23-24高二下·河南·階段練習(xí)）設(shè)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】將和轉(zhuǎn)化為都以為底的對(duì)數(shù)即可比較和，設(shè)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)即可判斷和大小關(guān)系.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，設(shè)，
所以，令，
則，因?yàn)樵谛∮冢诖笥冢?br>所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以，所以，
所以，，
所以，所以.
故選：D.
3．（23-24高二下·河北張家口·階段練習(xí)）若，則以下不等式正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】將變形為，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，再結(jié)合作差法比較即可.
【詳解】因?yàn)?，，?br>令，定義域?yàn)?，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又因?yàn)?，所以，?br>又，所以，
所以，即.
故選：D.
4．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，其?dǎo)函數(shù)滿足，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，判定其單調(diào)性計(jì)算即可.
【詳解】根據(jù)題意可令，
所以在上單調(diào)遞減，
則原不等式等價(jià)于，
由，
解之得.
故選：B
5．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到其單調(diào)性則比較出，利用指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)以及正弦函數(shù)的單調(diào)性即可比較出，則最終得到三者大小.
【詳解】先變形，令，
下面比較當(dāng)時(shí)，與的大小.
①令，則，令，
得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以，所以，即，所以.
②，所以，，
所以，則，所以.
綜上，，
故選：D.
6．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知定義在上的函數(shù)滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，從而得到，化簡后得到答案.
【詳解】令，，
故恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
故，即.
故選：B
題型六：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性（含參討論）
1．（2024高二·上?！ｎ}練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值.
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.
【答案】(1)0
(2)答案見解析
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值即可.
（2）含參討論函數(shù)單調(diào)性即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
由，所以，
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；
故；
（2）定義域?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，，在上遞增；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
令，解得.
于是在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.
2．（23-24高二下·四川南充·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng) 時(shí)， 求 的單調(diào)區(qū)間；
(2)若在上是增函數(shù)，求的取值范圍；
(3)討論 的單調(diào)性．
【答案】(1) 的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)
(3)答案見解析
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性的步驟即可求解；
（2）將所求問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，利用一元二次不等式在區(qū)間恒成立的解決方法即可求解；
（3）利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性的步驟，注意分類討論即可求解.
【詳解】（1）當(dāng) 時(shí)， ，
，
令則，解得或（舍），
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以 的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）因?yàn)椋?br>所以,
因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，開口向下；
綜上，要使得在上恒成立，
只需，解得，
所以的取值范圍為.
（3）因?yàn)椋?br>所以,
當(dāng)時(shí)，，所以在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令則，解得或（舍），
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減；
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減.
3．（23-24高二下·四川廣元·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；
(2)當(dāng)時(shí)，，證明不等式；
(3)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【答案】(1)1
(2)證明見詳解
(3)答案見詳解
【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性求最值；
（2）構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性分析證明；
（3）求導(dǎo)，分類討論最高項(xiàng)系數(shù)以及兩根大小，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間.
【詳解】（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，則，且，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的最小值為.
（2）當(dāng)時(shí)，則，
構(gòu)建，
則在內(nèi)恒成立，
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，
所以當(dāng)，.
（3）因?yàn)榈亩x域?yàn)椋遥?br>（i）若，可知，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
可知的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
（ⅱ）若，令，解得或，
①當(dāng)，即時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
②當(dāng)，即時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；
③當(dāng)，即時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
綜上所述：，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；
，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
4．（23-24高二下·河北石家莊·階段練習(xí)）已知函數(shù)，．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的值域（）；
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性．
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）由題意得，再求導(dǎo)后分別求出單調(diào)性，從而可求解.
（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，然后分情況討論的情況，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出相關(guān)單調(diào)性，從而可求解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?br>則，
令，得或(舍去)，
當(dāng)時(shí)，，，，
所以在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取到極小值也是最小值，
所以當(dāng)，，，
又因?yàn)椋驗(yàn)椋?br>此時(shí)，，
故在上的值域?yàn)?
（2），，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)，，當(dāng)，，
所以在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，得或，
當(dāng)時(shí)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，
所以在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，
所以在區(qū)間單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，區(qū)間單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理；
（2）利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；
（3）證明不等式，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.
5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，討論的單調(diào)性.
【答案】當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)或時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
【分析】
通過求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)其導(dǎo)數(shù)進(jìn)行正負(fù)判斷，進(jìn)而求出單調(diào)區(qū)間.
【詳解】
由題得，令得，
①若，即當(dāng)時(shí)，恒成立，在R上單調(diào)遞增；
②若，即當(dāng)或時(shí)，可得的兩根分別為，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
綜上，當(dāng)時(shí)，在R上單增；
當(dāng)或時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
題型七：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
1．（2024·遼寧·一模）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線的方程；
(2)討論的極值.
【答案】(1)；
(2)極大值為，無極小值.
【分析】（1）把代入，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.
（2）求出的導(dǎo)數(shù)，分析函數(shù)單調(diào)性求出極值即得.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，則，而，
所以的方程為，即.
（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，
而，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，無極小值.
2．（23-24高二下·湖北武漢·階段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，且.
(1)求的取值范圍；
(2)求的極大值與極小值之和的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，得到，根據(jù)條件，得到有兩個(gè)不同的正根，再利用二次函數(shù)根的分布，即可求出結(jié)果；
（2）根據(jù)（1）得到，從而得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出，即可求出結(jié)果.
【詳解】（1），且定義域?yàn)椋?br>因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的極值點(diǎn)，且，
所以有兩個(gè)不同的正根，
所以，解得，
所以的取值范圍是.
（2）由（1）可知，，不妨設(shè)，
所以，
所以
，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，
即的極大值與極小值之和的取值范圍是.
3．（2024·山東濟(jì)南·一模）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
(2)答案見解析.
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分、兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)椋?br>又，
所以，
由，解得，此時(shí)單調(diào)遞增；
由，解得，此時(shí)單調(diào)遞減，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>由題意知，，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
即極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)；
當(dāng)時(shí)，易知，
故解關(guān)于的方程得，，，
所以，
又，，
所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，
即極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè).
綜上，當(dāng)時(shí)，極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)；當(dāng)時(shí)，極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè).
4．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中．
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
(2)求證：的極大值恒為正數(shù)．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；
（2）分，和三種情況討論，再結(jié)合極大值的定義即可得出結(jié)論.
【詳解】（1），
當(dāng)時(shí)，，，
又，故曲線在處的切線方程為；
（2），
解得知，，
若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在，遞減，遞增，
故極大值為；
若，則，
所以函數(shù)單調(diào)遞減，無極大值；
若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在，遞減，遞增，
故極大值，
綜上，的極大值恒為正數(shù)．
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟如下：
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）求導(dǎo)；
（3）解方程，當(dāng)；
（4）列表，分析函數(shù)的單調(diào)性，求極值：
①如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極小值；
②如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極大值.
5．（23-24高二下·上?！るA段練習(xí)）設(shè)函數(shù)．
(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)令，求的單調(diào)區(qū)間；
(3)已知在處取得極大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
(3)
【分析】（1）直接利用導(dǎo)數(shù)與切線斜率的關(guān)系即可求解；
（2）分和兩種情況，然后求解不等式和即可得到的單調(diào)區(qū)間；
（3）對(duì)不同區(qū)間的進(jìn)行分類討論，并判斷在附近的單調(diào)性，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）若，則，從而，
故，從而曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，故所求切線為直線.
又，故所求切線方程為.
（2）由，知.
當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，；
從而的解集是，的解集是.
這表明在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（3）首先我們有.
當(dāng)時(shí)，由上一問結(jié)論，知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
這意味著當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
故在和上均單調(diào)遞減，從而不是的極值點(diǎn)，不滿足條件；
當(dāng)時(shí)，由上一問結(jié)論，知在上單調(diào)遞增，
而，故在上單調(diào)遞增.
這表明當(dāng)時(shí)，有，從而在上單調(diào)遞增，
故不可能是的極大值點(diǎn)，不滿足條件；
當(dāng)時(shí)，由上一問結(jié)論，知在上單調(diào)遞增，
故在上單調(diào)遞增.
這表明當(dāng)時(shí)，有，從而在上單調(diào)遞增，
故不可能是的極大值點(diǎn)，不滿足條件；
當(dāng)時(shí)，由上一問結(jié)論，知在上單調(diào)遞減.
注意到此時(shí)，故當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
這說明是的極大值點(diǎn)，滿足條件.
綜上，的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在第三問中，關(guān)鍵點(diǎn)在于附近的單調(diào)性，從而在的情況下，需要仔細(xì)比較和的大小關(guān)系，也就是和的大小關(guān)系，這是分類討論的一大出發(fā)點(diǎn).
題型八：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值
1．（23-24高二下·河北保定·階段練習(xí)）已知函數(shù)在處取得極小值，且極小值為.
(1)求的值；
(2)求在上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)與極值點(diǎn)的關(guān)系結(jié)合已知條件列方程組求解即可；
（2）利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷單調(diào)性，進(jìn)而求值域即可.
【詳解】（1）由題意可得，
因?yàn)樵谔幦〉脴O小值，且極小值為，
所以，解得，
此時(shí)，滿足在處取得極小值，
故.
（2）由（1）得，，
當(dāng)時(shí)，令解得，令解得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在上的最大值為，
又因?yàn)椋栽谏系淖钚≈禐椋?br>故在上的值域?yàn)?
2．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有最小值2，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出，求導(dǎo)，得到，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程；
（2）求定義域，求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性和最小值，得到，構(gòu)造，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合特殊點(diǎn)的函數(shù)值，得到答案.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋?br>則，則，
由于函數(shù)在點(diǎn)處切線方程為，即.
（2）的定義域?yàn)椋?br>，
當(dāng)時(shí)，令，解得：；令，解得：，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，，即
則令，設(shè)，
令，解得：；令，解得：，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
所以，解得：.
3．（23-24高二下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若是的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若，求在區(qū)間上的最大值.
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)極值點(diǎn)可得，驗(yàn)證即可求解，
（2）求導(dǎo)，分類討論，即可結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解最值.
【詳解】（1）．
因?yàn)槭堑臉O值點(diǎn)，所以，解得.
所以，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以是的極大值點(diǎn)，符合題意，因此．
（2），
令，得或，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
由題可知．
（i）若，則在上單調(diào)遞減，．
（ii）若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
若，則，所以；
若，則，所以．
綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
4．（23-24高二下·江蘇無錫·階段練習(xí)）已知函數(shù)，
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)在上的最小值為3，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分類討論即可得解；
（2）分類討論的取值范圍，結(jié)合（1）中結(jié)論得到的最小值，進(jìn)而得到關(guān)于的方程，解之即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)?，則，
當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，得，
當(dāng)時(shí)，，上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，上單調(diào)遞增；
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)，即時(shí)，由（1）知在上單調(diào)遞增，
所以，即（舍去）；
當(dāng)，即時(shí)，由（1）知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增
所以，解得（舍去）；
當(dāng)，即時(shí)，由（1）知在單調(diào)遞減，
所以，解得；
綜上所述，.
5．（23-24高二下·北京·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，.
(1)當(dāng)時(shí)， 試求的單調(diào)增區(qū)間；
(2)試求在上的最大值.
【答案】(1)
(2)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí).
【分析】
（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分、、三種情況討論，分別得到函數(shù)的單調(diào)性，即可得到無論為何值，當(dāng)時(shí)，最大值都為或，再計(jì)算，分和兩種情況討論，即可求出函數(shù)的最大值.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)椋?br>且，令，解得，所以的單調(diào)增區(qū)間為.
（2）因?yàn)椋?br>令，解得，
①當(dāng)即時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，
即在上單調(diào)遞增，則；
②當(dāng)即時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，
即在上單調(diào)遞減，則；
③當(dāng)即時(shí)，
時(shí)，，在單調(diào)遞減，
時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
則，
綜上，無論為何值，當(dāng)時(shí)，最大值都為或，
又，，
又，
所以當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，.
綜上可得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí).
題型九：利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題
1．（23-24高二下·北京豐臺(tái)·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
(2)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性，求出函數(shù)極值，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，即可得答案；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性，分類討論a的取值范圍，結(jié)合解不等式，即可求得答案
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)或時(shí)，，在上均單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
而，又，即，
故在有一個(gè)零點(diǎn)，即在有一個(gè)零點(diǎn)，
而在上最小值為，此時(shí)無零點(diǎn)，
故函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；
（2）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)或時(shí)，，在上均單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
則此時(shí)，由題意得
解得，與矛盾，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則此時(shí)，由題意得，
解得，故，
綜合可得實(shí)數(shù)的取值范圍為.
2．（23-24高二下·河北張家口·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的極值；
(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)函數(shù)的極小值為，無極大值；
(2)
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，先判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求函數(shù)的極值；
（2）首先不等式化簡為恒成立，再利用參變分離，轉(zhuǎn)化為最值問題，即可求解.
【詳解】（1），令，得，
，和的關(guān)系，如下表所示，
所以函數(shù)的極小值為，無極大值；
（2）不等式恒成立，即恒成立，
即，，恒成立，所以，，
設(shè)，，
，其中，
設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，
因?yàn)?，，所以存在，使，即，即?br>當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，
由，可得，所以，
所以.
3．（2024·貴州黔東南·二模）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為
(2)
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得，進(jìn)而導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可求得的單調(diào)區(qū)間；
（2）求得，求得函數(shù)的單調(diào)性和，結(jié)合恒成立，列出不等式，即可求解.
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)，且定義域?yàn)椋?br>且，
當(dāng)時(shí)，；時(shí)，；
所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）解：由函數(shù)，可得，
令，解得；
令，得；令，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
因?yàn)楹愠闪?，所以，解得?br>又因?yàn)?，所以的取值范圍?
4．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；
(2)討論的單調(diào)區(qū)間；
(3)若對(duì)任意，都有，求的最大值.（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】(1)；
(2)答案見解析；
(3).
【分析】
（1）求得，，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得切線方程；
（2）討論參數(shù)與和的大小關(guān)系，在不同情況下，求函數(shù)單調(diào)性，即可求得單調(diào)區(qū)間；
（3）將問題轉(zhuǎn)化為在上的最大值，根據(jù)（2）中所求單調(diào)性，求得，再構(gòu)造函數(shù)解關(guān)于的不等式即可.
【詳解】（1），，又，，
故的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即.
（2），又，，
則時(shí)，當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減；
時(shí)，當(dāng)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)，，單調(diào)遞減；
時(shí)，當(dāng)，，在單調(diào)遞減；
時(shí)，當(dāng)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)，，單調(diào)遞減.
綜上所述：當(dāng)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；
當(dāng)，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；
當(dāng)，的單調(diào)減區(qū)間為，沒有單調(diào)增區(qū)間；
當(dāng)，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.
（3）若對(duì)任意，都有，則在上的最大值；
由（2）可知，當(dāng)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
故；
令，則，
故在單調(diào)遞增，又，則；
故當(dāng)時(shí)，，
也即當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，都有.
故的最大值為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問處理的關(guān)鍵是，將在區(qū)間上恒成立，轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)第二問中所求函數(shù)單調(diào)性求得，再構(gòu)造函數(shù)解不等式即可.
題型十：利用導(dǎo)數(shù)解決有解問題
1．（23-24高三上·青海西寧·期末）已知函數(shù).
(1)證明：.
(2)若關(guān)于的不等式有解，求的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)單調(diào)性求出的最小值即可證明.
（2）分離參數(shù)，借助（1）中不等式關(guān)系進(jìn)行放縮，求其最小值，即可求出的取值范圍.
【詳解】（1）.
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
故.
（2）由題意可得不等式有解.
因?yàn)椋?br>所以
當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以.
故的取值范圍為
2．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；
(2)若，且對(duì)，都，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，注意構(gòu)造中間函數(shù)判斷的符號(hào)；
（2）構(gòu)造研究其單調(diào)性證在上恒成立，再應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究在上的最大值，結(jié)合已知恒能成立有即可求范圍.
【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以．
設(shè)，則，故在上遞減．
，即，
在上單調(diào)遞減，最小值為．
（2）令，則在上恒成立，
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，
所以，即在上恒成立；
又，當(dāng)時(shí)，
在區(qū)間上單調(diào)遞增；
在區(qū)間上單調(diào)遞減．
函數(shù)在區(qū)間上的最大值為．
綜上，只需，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．
3．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中參數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)函數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，求a的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)，對(duì)分類討論求解單調(diào)區(qū)間；
（2）不等式成立，轉(zhuǎn)化為，然后求解函數(shù)的最大與最小值列出不等式求解．
【詳解】（1），
（1）當(dāng)時(shí)，，，的減區(qū)間是．
（2）當(dāng)時(shí)，，的減區(qū)間是．
（3）當(dāng)時(shí)，，，的增區(qū)間是，
，的減區(qū)間是．
綜上，當(dāng)時(shí)，減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，增區(qū)間是，減區(qū)間是.
（2），，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，使得不等式成立，
，
，，,，，單減，，，單增．
．
，，，．
4．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的極值；
(2)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)m的最小值.
【答案】(1)極小值為，無極大值
(2)4
【分析】（1）直接利用導(dǎo)函數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求極值即可；
（2）分離參數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值即可.
【詳解】（1）由，
令；令，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴在處取得極小值，且為，無極大值；
（2）由能成立，
問題轉(zhuǎn)化為，
令，
由；由，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴，則，
故m的最小值為4．
題型十一：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)（方程根）問題
1．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若方程有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】通過求導(dǎo)得出函數(shù)的單調(diào)性和極值，即可得出有三個(gè)實(shí)根時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】由題意，
在中，，
當(dāng)時(shí)，解得或，
當(dāng)即時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)即，時(shí)，單調(diào)遞增，
∵，，
當(dāng)，
方程有三個(gè)不同的實(shí)根，
∴即，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)求導(dǎo)，兩函數(shù)的交點(diǎn)問題，在研究函數(shù)的圖象時(shí)很容易忽略這個(gè)條件.
2．（23-24高二下·山東棗莊·階段練習(xí)）已知函數(shù)，在處取得極值為.
(1)求：值;
(2)若有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可求出的值，再檢驗(yàn)即可；
（2）依題意可得與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，即可得到不等式組，即可求得答案.
【詳解】（1），由題意可得，
即，解得，
經(jīng)檢驗(yàn)可得滿足在取得極值，所以.
所以，.
（2）由，可得，
由，解得 或，
，解得，
所以在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
所以的極小值為，
的極大值為.
又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，
故.
3．（23-24高二下·貴州黔西·開學(xué)考試）已知在處取得極小值．
(1)求的解析式；
(2)求在處的切線方程；
(3)若方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求出，由題意可的，由此即可求出答案；
（2）分別求出，的值，再利用點(diǎn)斜式寫出直線；
（3）將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求出函數(shù)的單調(diào)性與極值，即可求出的取值范圍.
【詳解】（1）由題意知，
因?yàn)樵谔幦〉脴O小值
則，解得：
經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，所以，
所以
（2）由題意知，，
所以所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，斜率
所以切線方程為：，即.
（3）令，解得或，
則，，的關(guān)系如下表：
則，，
方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根等價(jià)于有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
等價(jià)于函數(shù)與有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
即或，解得：或，
所以.
4．（2024·江蘇南通·二模）設(shè)函數(shù).已知的圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸間的距離為，且.
(1)若在區(qū)間上有最大值無最小值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)設(shè)l為曲線在處的切線，證明：l與曲線有唯一的公共點(diǎn).
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)周期以及可求解，進(jìn)而根據(jù)整體法即可求解，
（2）求導(dǎo)，根據(jù)點(diǎn)斜式求解切線方程，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.
【詳解】（1）由題意可得周期，故，
，
由于，故，
故，
當(dāng)時(shí)，，
由于在區(qū)間上有最大值無最小值，故，解得，
故.
（2），，
，
故直線方程為，
令，則，
故在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，又，
因此有唯一的的零點(diǎn)，
故l與曲線有唯一的交點(diǎn)，得證.
5．（2024·陜西西安·二模）設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
(2)若時(shí)，函數(shù)的圖像與的圖像僅只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)對(duì)、及分類討論即可得；
（2）原問題可等價(jià)于即在上無解，構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)研究即可得.
【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?，
①當(dāng)時(shí)，，由，得，
由，得，
當(dāng)時(shí)，的在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
②當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，的區(qū)間上單調(diào)遞減，
③當(dāng)時(shí)，由，得或，且.
當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：
綜上所述，當(dāng)時(shí)，的在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的單調(diào)遞增，
在區(qū)間和上單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若時(shí)，函數(shù)的圖像與的圖像僅只有一個(gè)公共點(diǎn)，
即關(guān)于的方程，即在區(qū)間上僅只有一個(gè)解，
是方程的解，且時(shí)，
問題等價(jià)于即在上無解，
即曲線或與直線無公共點(diǎn)，
，由得，
當(dāng)或時(shí)，變化時(shí)，，的變化情況如下表：
且當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，.
故的取值范圍為.
6．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若方程有三個(gè)不同的實(shí)根，求的取值范圍．
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式即可求出單調(diào)區(qū)間；
（2）由，可得為的一個(gè)根，
所以有兩個(gè)不同于的實(shí)根，令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，從而得到當(dāng)時(shí)且，即可求出參數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，
則，令得或
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
即當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2），所以為的一個(gè)根，
故有兩個(gè)不同于的實(shí)根，
令，則，
①當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，不符合題意；
②當(dāng)時(shí)，令，得，
當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，
并且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以若要滿足題意，只需且，
因?yàn)?，所以?br>又，所以，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為
題型十二：利用導(dǎo)數(shù)解決雙變量問題
1．（23-24高三上·廣東廣州·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，．
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若不等式恒成立，求正數(shù)的取值范圍（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意知有兩個(gè)不相等的實(shí)根，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)問題，根據(jù)單調(diào)性畫出函數(shù)圖象，由此得到的取值范圍.
（2）將不等式取自然對(duì)數(shù)化簡整理，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析，即可求正數(shù)的取值范圍
【詳解】（1）由題，定義域?yàn)椋?br>則，由題可得有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，，
于是有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于函數(shù)與圖象在有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
，由，由，
所以在遞增，在遞減，
又，有極大值為，當(dāng)時(shí)，，所以可得函數(shù)的草圖（如圖所示）．

所以，要使函數(shù)與圖象在有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)．
即實(shí)數(shù)的取值范圍為
（2）由（1）可知：，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且．
則 ．
由于，兩邊取自然對(duì)數(shù)得，
即，
令，則在恒成立．
所以在恒成立
令，則．
①當(dāng)即時(shí)，，在遞增，所以恒成立，滿足題意．
②當(dāng)時(shí)，在遞增，在遞減，所以，當(dāng)時(shí)，，
因此，在不能恒成立，不滿足題意．
綜上所述，，即的取值范圍是．
2．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中參數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)函數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，求a的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)，對(duì)分類討論求解單調(diào)區(qū)間；
（2）不等式成立，轉(zhuǎn)化為，然后求解函數(shù)的最大與最小值列出不等式求解．
【詳解】（1），
（1）當(dāng)時(shí)，，，的減區(qū)間是．
（2）當(dāng)時(shí)，，的減區(qū)間是．
（3）當(dāng)時(shí)，，，的增區(qū)間是，
，的減區(qū)間是．
綜上，當(dāng)時(shí)，減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，增區(qū)間是，減區(qū)間是.
（2），，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，使得不等式成立，
，
，，,，，單減，，，單增．
．
，，，．
3．（23-24高二下·廣東揭陽·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求的最小值.
【答案】(1)調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)
【分析】
（1）求導(dǎo)后，根據(jù)的正負(fù)可確定單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)可得方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，由此可得韋達(dá)定理的結(jié)論，將表示為關(guān)于的函數(shù)的形式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則定義域?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）定義域?yàn)?，?br>有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于在上有兩個(gè)不等實(shí)根，
，，，，
；
設(shè)，
則，
在上單調(diào)遞減，，
即，
的最小值為.
4．（23-24高三上·福建龍巖·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，
①求a的取值范圍；
②證明：.
【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上為增函數(shù)；
(2)；詳見證明過程．
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）利用（1）中的結(jié)論求出的范圍，根據(jù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得到，即可證明，令，，得到，得到，可知，最后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明結(jié)論成立即可．
【詳解】（1）的定義域?yàn)?，且?br>當(dāng)時(shí)，成立，所以在為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，
①當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)，
②當(dāng)時(shí)，，所以在上為減函數(shù)；
綜上：當(dāng)時(shí)，在為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
（2）結(jié)合（1），當(dāng)時(shí)，取得極小值，
又∵函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，∴，可得，
綜上所述，；
下面證明結(jié)論成立：
不妨設(shè)，
設(shè)，，
可得，，
∴在上單調(diào)遞增，
∴，即，，，
∴當(dāng)時(shí)， ，
又∵，，∴，
又∵當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
∴，即，
設(shè)，，則，兩式相比得，
即，∴，
又∵，
令，則，
令，則，
則在內(nèi)單調(diào)遞減，即，即，
故，故在上單調(diào)遞減，
∴，
∴，即；
綜上所述，．
第二部分：新定義題
1．（23-24高三上·上?！るA段練習(xí)）已知函數(shù)，，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)，
(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并寫出函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，分別為函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，且不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(3)對(duì)于函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，其中F、D為非零實(shí)數(shù)，則稱為函數(shù)的“篤志點(diǎn)”.
①已知函數(shù)，且函數(shù)有且只有3個(gè)“篤志點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
②定義在R上的函數(shù)滿足：存在唯一實(shí)數(shù)m，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，使得恒成立或恒成立.對(duì)于有序?qū)崝?shù)對(duì)，討論函數(shù)“篤志點(diǎn)”個(gè)數(shù)的奇偶性，并說明理由
【答案】(1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，
(2)
(3)①；②答案見解析
【分析】（1）求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，計(jì)算極值，畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像得到答案.
（2）求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間，確定，構(gòu)造新函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，計(jì)算最值，考慮和兩種情況，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算最值即可.
（3）①考慮，，三種情況，代入數(shù)據(jù)，構(gòu)造新函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)根的分布得到范圍；②確定，比較與的大小關(guān)系，得到，得到答案.
【詳解】（1），
，
當(dāng)時(shí)，，，故，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，，故，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，，故，函數(shù)單調(diào)遞增；
綜上所述：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.
，，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：
根據(jù)圖像知.
（2），，
取，得到或，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故是極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)，
恒成立，
，，故，
設(shè)，，
，
設(shè)，則恒成立，
故在上單調(diào)遞減，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，；
當(dāng)時(shí)，存在，使得，
時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
故，不成立；
綜上所述：.
（3）①有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
當(dāng)時(shí)，，故，解得，不符合；
當(dāng)時(shí)，，故，即，
令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，
故當(dāng)時(shí)，在有1個(gè)“篤志點(diǎn)”；
當(dāng)時(shí)，，故，
則，由于至多有兩個(gè)根，
結(jié)合前面分析的取值范圍為的子集，
令，其中，
，當(dāng)時(shí)，，
的圖象的對(duì)稱軸為，
故在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
綜上所述：
函數(shù)有且只有3 個(gè)“篤志點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為；
② 定義在上的函數(shù)滿足：
存在唯一實(shí)數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，使得恒成立，
故，，
因?yàn)?，所以?br>即，
比較與的大小關(guān)系，
若存在，使得，即，
則有成立，
故對(duì)于有序?qū)崝?shù)對(duì)，函數(shù)“篤志點(diǎn)” 個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)，
同理，對(duì)于定義在上的函數(shù)滿足：
存在唯一實(shí)數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，使得恒成立，
故，，
因?yàn)?，所以?br>即，可得到同樣的結(jié)論；綜上所述：若存在，使得，
則函數(shù)“篤志點(diǎn)”個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)，
否則，函數(shù)“篤志點(diǎn)”個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè).
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的新定義問題，利用導(dǎo)航求參數(shù)范圍，函數(shù)的最值極值，零點(diǎn)問題和恒成立問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中分類討論的方法是解題的關(guān)鍵，分類討論是常用的數(shù)學(xué)方法，需要熟練掌握.
2．（2023·上海嘉定·一模）對(duì)于函數(shù)，把稱為函數(shù)的一階導(dǎo)，令，則將稱為函數(shù)的二階導(dǎo)，以此類推得到n階導(dǎo).為了方便書寫，我們將n階導(dǎo)用表示.
(1)已知函數(shù)，寫出其二階導(dǎo)函數(shù)并討論其二階導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性.
(2)現(xiàn)定義一個(gè)新的數(shù)列：在取作為數(shù)列的首項(xiàng)，并將作為數(shù)列的第項(xiàng).我們稱該數(shù)列為的“n階導(dǎo)數(shù)列”
①若函數(shù)（），數(shù)列是的“n階導(dǎo)數(shù)列”，取Tn為的前n項(xiàng)積，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
②在我們高中階段學(xué)過的初等函數(shù)中，是否有函數(shù)使得該函數(shù)的“n階導(dǎo)數(shù)列”為嚴(yán)格減數(shù)列且為無窮數(shù)列，請(qǐng)寫出它并證明此結(jié)論.（寫出一個(gè)即可）
【答案】(1)，單調(diào)性見解析
此類能力需要多練多思考多總結(jié).
3．（2023·上海金山·一模）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋o定區(qū)間，若存在，使得，則稱函數(shù)為區(qū)間上的“均值函數(shù)”，為函數(shù)的“均值點(diǎn)”．
(1)試判斷函數(shù)是否為區(qū)間上的“均值函數(shù)”，如果是，請(qǐng)求出其“均值點(diǎn)”；如果不是，請(qǐng)說明理由；
(2)已知函數(shù)是區(qū)間上的“均值函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若函數(shù)（常數(shù)）是區(qū)間上的“均值函數(shù)”，且為其“均值點(diǎn)”．將區(qū)間任意劃分成（）份，設(shè)分點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為，記，，．再將區(qū)間等分成（）份，設(shè)等分點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為，記．求使得的最小整數(shù)的值．
【答案】(1)為區(qū)間上的“均值函數(shù)”，且為其“均值點(diǎn)”
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)題意，得到方程，求得，即可得到答案；
（2）設(shè)為該函數(shù)的“均值點(diǎn)”，則，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為在上有解，分類討論，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)，即可求解；
（3）根據(jù)題意，得到方程，求得，得出，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，得到，求得，結(jié)合，進(jìn)而求得，利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，即可求解.
【詳解】（1）解：設(shè)函數(shù)是區(qū)間上的“均值函數(shù)”，且均值點(diǎn)為，
可得，解得或(舍).
故為區(qū)間上的“均值函數(shù)”，且為其“均值點(diǎn)”.
（2）解：設(shè)為該函數(shù)的“均值點(diǎn)”，則，
且，
即關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，
整理得，
①當(dāng)時(shí)，，方程無解.
②當(dāng)時(shí)，可得.
令，則，且，
可得，
又由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)，可得函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，
在上是嚴(yán)格減函數(shù)，在上嚴(yán)格增函數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)，可得，
所以.
即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（3）解：由函數(shù)是區(qū)間上的“均值函數(shù)”，且為其“均值點(diǎn)”，
可得，即，
解得，所以，
則，
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，
所以()，
則，
又因?yàn)椋?br>從而，，
所以，可得.，
由，即，可得，
故使得的最小整數(shù)的值為.
【點(diǎn)睛】方法指數(shù)總結(jié)：對(duì)于函數(shù)的新定義題型的求解策略：
（1）關(guān)于函數(shù)的新定義問題，關(guān)鍵是理解函數(shù)新定義的概念，根據(jù)函數(shù)的新定義的概念，挖掘其隱含條件，把新定義問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系或不等關(guān)系式等是解答的關(guān)鍵；
（2）關(guān)于函數(shù)的新定義問題，通常關(guān)聯(lián)著函數(shù)的基本性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解答中要熟練掌握和應(yīng)用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)和一些重用的結(jié)論，同時(shí)注意合理應(yīng)用數(shù)形結(jié)合、導(dǎo)數(shù)、均值不等式等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，以及它們之間的邏輯關(guān)系，提升邏輯推理能力.
0
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
+
0
0
+
單調(diào)遞增
單調(diào)遞減
單調(diào)遞增
遞減
遞增
遞減
遞減，負(fù)值
無意義
遞減，正值
極小值
遞增，正值

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