TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc28593" 類型一：恒成立（存在問題）求解參數(shù)范圍 PAGEREF _Tc28593 \h 1
\l "_Tc5317" 角度1：完全分離參數(shù)法 PAGEREF _Tc5317 \h 1
\l "_Tc22033" 角度2：部分分離參數(shù)法 PAGEREF _Tc22033 \h 3
\l "_Tc26433" 類型二：已知零點個數(shù)求解參數(shù)范圍 PAGEREF _Tc26433 \h 4
\l "_Tc16489" 角度1：完全分離參數(shù)法 PAGEREF _Tc16489 \h 4
\l "_Tc10997" 角度2：部分分離參數(shù)法 PAGEREF _Tc10997 \h 5
高頻考點
類型一：恒成立（存在問題）求解參數(shù)范圍
角度1：完全分離參數(shù)法
典型例題
例題1．（23-24高二下·四川廣元·階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為 .
例題2．（23-24高二下·河北張家口·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的極值；
(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
例題3．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若，求在處的切線方程；
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(3)若函數(shù)在處取得極值，且對，恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．
練透核心考點
1．（23-24高二下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）若不等式恒成立，則a的取值范圍是 .
2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)且時， 不等式在 上恒成立，求的最大值.
（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，在上恒成立，求整數(shù)k的最大值.
類型二：已知零點個數(shù)求解參數(shù)范圍
角度1：完全分離參數(shù)法
典型例題
例題1．（23-24高二下·廣東廣州·階段練習(xí)）若函數(shù)恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
例題2．（23-24高二下·湖南長沙·開學(xué)考試）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在點處的切線方程；
(2)若，證明：當(dāng)時，；
(3)若在有兩個零點，求a的取值范圍.
例題3．（23-24高三上·陜西安康·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；
(2)若有兩個不等的實根，求實數(shù)的取值范圍.
練透核心考點
1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝aex－x，a∈R.若f(x)有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是 .
2．（23-24高二下·陜西西安·階段練習(xí)）已知函數(shù)在處的切線方程為.
(1)求的解析式；
(2)若方程（m為常數(shù)）有兩個根，求實數(shù)m的范圍.
3．（23-24高三上·重慶南岸·階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若方程有兩個實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.
角度2：部分分離參數(shù)法
典型例題
例題1．（2024高三上·河南·專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求曲線在處的切線方程；
(2)若函數(shù)有且只有一個零點，求的值.
練透核心考點
1．（23-24高三上·北京·開學(xué)考試）已知函數(shù)．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；
(3)當(dāng)時，判斷在零點的個數(shù)，并說明理由．
第08講：拓展一：分離變量法解決導(dǎo)數(shù)問題
目錄
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc28593" 類型一：恒成立（存在問題）求解參數(shù)范圍 PAGEREF _Tc28593 \h 1
\l "_Tc5317" 角度1：完全分離參數(shù)法 PAGEREF _Tc5317 \h 1
\l "_Tc22033" 角度2：部分分離參數(shù)法 PAGEREF _Tc22033 \h 7
\l "_Tc26433" 類型二：已知零點個數(shù)求解參數(shù)范圍 PAGEREF _Tc26433 \h 11
\l "_Tc16489" 角度1：完全分離參數(shù)法 PAGEREF _Tc16489 \h 11
\l "_Tc10997" 角度2：部分分離參數(shù)法 PAGEREF _Tc10997 \h 16
高頻考點
類型一：恒成立（存在問題）求解參數(shù)范圍
角度1：完全分離參數(shù)法
典型例題
例題1．（23-24高二下·四川廣元·階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】
恒成立求參數(shù)的取值范圍，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題求解即可.
【詳解】函數(shù)，因為在恒成立，
所以，在恒成立，
在恒成立，
令，所以，
，得，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
所以，所以，
所以實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：
例題2．（23-24高二下·河北張家口·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的極值；
(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)函數(shù)的極小值為，無極大值；
(2)
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，先判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求函數(shù)的極值；
（2）首先不等式化簡為恒成立，再利用參變分離，轉(zhuǎn)化為最值問題，即可求解.
【詳解】（1），令，得，
，和的關(guān)系，如下表所示，
所以函數(shù)的極小值為，無極大值；
（2）不等式恒成立，即恒成立，
即，，恒成立，所以，，
設(shè)，，
，其中，
設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，
因為，，所以存在，使，即，即，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，
由，可得，所以，
所以.
例題3．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若，求在處的切線方程；
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(3)若函數(shù)在處取得極值，且對，恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)
【分析】
（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進而得出，；再根據(jù)點斜式方程即可求解.
（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；再分和兩種情況，在每一種情況中借助導(dǎo)數(shù)即可解答.
（3）先根據(jù)函數(shù)在處取得極值得出；再將問題“對，恒成立”轉(zhuǎn)化為“對，恒成立”；最后構(gòu)造函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)求出即可解答.
【詳解】（1）當(dāng)時，，，
則，.
所以在處的切線方程為，即.
（2）由可得：函數(shù)定義域為，.
當(dāng)時，，此時函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，令，解得；令，解得，
此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.
綜上可得：當(dāng)時，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.
（3）因為函數(shù)在處取得極值，
所以，即，解得.
此時，
令，解得；令，解得，
所以函數(shù)在處取得極值，
故.
所以.
因為對，恒成立，
所以對，恒成立.
令，
則.
令，解得；令，解得，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以.
則，解得：.
所以實數(shù)b的取值范圍為
練透核心考點
1．（23-24高二下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）若不等式恒成立，則a的取值范圍是 .
【答案】
【分析】分類討論去解析式中的絕對值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最大值，從而即可得解.
【詳解】若不等式恒成立，也就是恒成立，
函數(shù)，定義域為，
當(dāng)時，，，
在為減函數(shù)，此時；
當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
此時，
綜上可知，則a的取值范圍是.
故答案為：.
2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)且時， 不等式在 上恒成立，求的最大值.
【答案】3
【分析】
依題意參變分離可得在上恒成立，則，令，，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值，從而求出參數(shù)的取值范圍，即可得解．
【詳解】
當(dāng)時，，又不等式在上恒成立，
則在上恒成立，
所以，
令，，則，
令，，
則，在上單調(diào)遞增，
，存在唯一，使，
所以，當(dāng)時即，當(dāng)時即，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，即，
所以，
所以，又，
．
3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，在上恒成立，求整數(shù)k的最大值.
【答案】3
【分析】
分離參數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為 ()．設(shè) ()，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，得解.
【詳解】由題意，在上恒成立，
即 ()．
設(shè) ()，
則，
令 ()，則，
所以，在上為增函數(shù)．
因為，，，
所以在上有唯一實數(shù)根，
使得.
當(dāng)時，，即；
當(dāng)時，，即.
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以在處取得最小值，
且，
所以.由，得整數(shù)k的最大值為3.
角度2：部分分離參數(shù)法
典型例題
例題1．（23-24高二上·福建福州·期末）已知關(guān)于的不等式解集中恰有3個不同的正整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由題意可得的解集中恰有3個不同的正整數(shù)解，設(shè) ，，作出兩函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象分，分別求解即可.
【詳解】因為，所以.
設(shè)，，則，
所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
又因為是過點的直線，如圖所示：

由此可得當(dāng)時，的解集中有若干個不同的正整數(shù)解，不滿足題意；
當(dāng)時，要使不等式的解集中恰有3個不同的正整數(shù)解，

當(dāng)過點時，取最小值，
因為，此時，
當(dāng)過點時，取最大值，
因為，此時，
所以的取值范圍為.
故選：D.
例題2．（22-23高二下·浙江杭州·階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集中恰有個整數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性和最值，根據(jù)題意利用數(shù)形結(jié)合，列式求解即可.
【詳解】因為，且，可得，
構(gòu)建，則，
令，解得；令，解得；
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得，
且，
由題意可得，解得，
所以的取值范圍是.
故選：C.

練透核心考點
1．（23-24高二上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若有且只有兩個整數(shù)使得，且，則的取值范圍是
【答案】
【分析】
將不等式等價變形，構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)性質(zhì)，作出函數(shù)圖象，結(jié)合已知列出不等式組，求解即得.
【詳解】當(dāng)時，由，得，
設(shè)，，求導(dǎo)得，由，得，
當(dāng)時，，為減函數(shù)，當(dāng)上，，為增函數(shù)，
的圖象恒過點，在同一坐標系中作出函數(shù)，的圖象，
顯然，即，由于有且只有兩個整數(shù)，使得，
則這兩個整數(shù)要么是2，3，不是1，要么是1，2，不能是3，
當(dāng)時，即，解得，此時，，
顯然至少有3個整數(shù)使得對應(yīng)的函數(shù)值大于0，不符合題意，因此這兩個整數(shù)是1，2，不能是3，
于是，解得，
所以的取值范圍是．
故答案為：
2．（22-23高二下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）已知不等式的解集中有且只有個整數(shù),則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】因為,設(shè),,本題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在直線上方的范圍中有且只有個整數(shù).先利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的圖像,再與直線的圖像結(jié)合列出不等式組求解即可.
【詳解】,
設(shè),
則,
當(dāng),即當(dāng)時,函數(shù)為增函數(shù);
當(dāng),即當(dāng)時,函數(shù)為減函數(shù);
當(dāng)時,;當(dāng)時,,
則滿足題意的函數(shù)的圖像與直線圖像如圖:
,
所以,即,
解得.
故答案為:.
類型二：已知零點個數(shù)求解參數(shù)范圍
角度1：完全分離參數(shù)法
典型例題
例題1．（23-24高二下·廣東廣州·階段練習(xí)）若函數(shù)恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】令，得到，令，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出的單調(diào)區(qū)間，進而得出函數(shù)值的變化，即可求出結(jié)果.
【詳解】令，得到，令，則，
由得到，由，得到，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
又，當(dāng)時，，當(dāng)時，，且時，，
所以，當(dāng)函數(shù)恰有2個零點時，，
故選：A.
例題2．（23-24高二下·湖南長沙·開學(xué)考試）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在點處的切線方程；
(2)若，證明：當(dāng)時，；
(3)若在有兩個零點，求a的取值范圍.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)條件，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求出結(jié)果；
（2）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性間的關(guān)系，求出在區(qū)間的單調(diào)性，再求出的最小值，即可證明結(jié)果；
（3）通過分離常量，得到，構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)得到的單調(diào)性，即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）因為，所以，所以，
又，所以函數(shù)在點處的切線方程為，即.
（2）當(dāng)時，，則，
令，則，由，得到，
當(dāng)時，，當(dāng)，，
所以，即恒成立，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，命題得證.
（3）因為，令，得到，又，所以，
令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以，又當(dāng)時，，時，，
又在有兩個零點，所以.
例題3．（23-24高三上·陜西安康·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；
(2)若有兩個不等的實根，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)，得到進而求出切線方程；
（2），故只需當(dāng)時，有且僅有一個實根，參變分離，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)只有1個交點，求導(dǎo)，得到的單調(diào)性，畫出其圖象，數(shù)形結(jié)合得到參數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時，，
所以曲線在處的切線方程為，即.
（2）顯然，要使方程有兩個不等的實根，
只需當(dāng)時，有且僅有一個實根，
當(dāng)時，由方程，得.
令，則直線與的圖象有且僅有一個交點.
.
又當(dāng)時，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，取得極小值，
又當(dāng)時，，所以，即，
當(dāng)時，，即，
所以作出的大致圖象如圖所示.

由圖象，知要使直線與的圖象有且僅有一個交點，
只需或.
綜上，若有兩個不等的實根，則的取值范圍為.
練透核心考點
1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝aex－x，a∈R.若f(x)有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是 .
【答案】
【詳解】(解法1)因為f′(x)＝aex－1.
① 當(dāng)a≤0時，f′(x)＜0，f(x)在R上單調(diào)遞減，不可能有兩個零點，舍去；
② 當(dāng)a＞0時，令f′(x)＝0?x＝－ln a.
且當(dāng)x∈(－∞，－ln a)時，f′(x)＜0，此時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈(－ln a，＋∞)時，f′(x)＞0，此時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.
因為f(x)有兩個不同的零點，所以f(x)min＝f(－ln a)＝1＋ln a＜0，解得0＜a＜.
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是(0，).
(解法2)由f(x)＝aex－x＝0，則a＝.
令g(x)＝，g′(x)＝，
所以g(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，
所以g(x)max＝g(1)＝.
當(dāng)x→－∞時，g(x)＜0；
當(dāng)x→＋∞時，g(x)＞0，
根據(jù)函數(shù)的圖象，若方程a＝有兩個不同的解，則a∈(0，).
2．（23-24高二下·陜西西安·階段練習(xí)）已知函數(shù)在處的切線方程為.
(1)求的解析式；
(2)若方程（m為常數(shù)）有兩個根，求實數(shù)m的范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)切線方程為，得到切點坐標，列出方程組，求得的值，即可求得函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為與圖象有兩個交點問題，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求解.
【詳解】（1）因為，所以，
又因為已知函數(shù)在處的切線為，即切點為，
所以，解之得，，
所以函數(shù)的解析式為.
（2）因為，所以，
令，解得，
當(dāng)，，在為增函數(shù)，
且時，，時，，
當(dāng)，，在為減函數(shù)，
且時，，當(dāng)時，，
若方程（m為常數(shù)）有兩個根，則.
故實數(shù)m的范圍為.
.
3．（23-24高三上·重慶南岸·階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若方程有兩個實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)減區(qū)間是，增區(qū)間是
(2)
【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間；
（2）由（1）得出的極值及變化趨勢，利用的圖象與直線有兩個交點可得參數(shù)范圍．
【詳解】（1）由已知，
時，，時，，
所以的減區(qū)間是，增區(qū)間是；
（2）由（1）知時，取得極小值也是最小值，
即，
令，，則.
由，得，
由，得，
由，得，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.
所以當(dāng)時，取得最大值.
又函數(shù)，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取得最小值.

因為函數(shù)有且只有一個零點，
所以，解得，所以的值為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：第(2)問的轉(zhuǎn)化是一個關(guān)鍵，由于直接研究函數(shù)有且只有一個零點比較困難，所以本題把函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為與只有唯一交點，通過導(dǎo)數(shù)研究和發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時，取得最大值，當(dāng)時，取得最小值，數(shù)形結(jié)合從而求得值.
練透核心考點
1．（23-24高三上·北京·開學(xué)考試）已知函數(shù)．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；
(3)當(dāng)時，判斷在零點的個數(shù)，并說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)僅有一個零點，理由見解析；
【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義，求出在處的導(dǎo)數(shù)值，再由直線的點斜式方程即可求得切線方程；
（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系可知，在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)并求出其最小值即可求得實數(shù)的取值范圍；
（3）利用函數(shù)與方程的思想，求出方程的根的個數(shù)即可，在同一坐標系下畫出函數(shù)和的圖象，利用切線方程位置可求出結(jié)果.
【詳解】（1）由可得，
此時切線斜率為，而；
所以切線方程為，即；
即曲線在點處的切線方程為；
（2）根據(jù)題意，若在上單調(diào)遞增，
即可得在上恒成立，即恒成立；
令，則；
顯然在上滿足，而恒成立，所以在上恒成立；
即在單調(diào)遞增，所以；
所以即可；
因此實數(shù)的取值范圍為.
（3）令，即可得；
構(gòu)造函數(shù)，，易知在上恒成立，
即在上單調(diào)遞增，如下圖中實曲線所示：
又函數(shù)恒過，且，
易知，所以函數(shù)在處的切線方程為；
又，所以（圖中虛線）在范圍內(nèi)恒在（圖中實直線）的上方；
所以由圖易知與在范圍內(nèi)僅有一個交點，
即函數(shù)在內(nèi)僅有一個零點.
0
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增

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