TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc4595" 高頻考點(diǎn)一：平面向量夾角為銳角問題 PAGEREF _Tc4595 \h 1
\l "_Tc21751" 高頻考點(diǎn)二：平面向量夾角為鈍角問題 PAGEREF _Tc21751 \h 2
\l "_Tc22241" 高頻考點(diǎn)三：平面向量模的最值（或范圍）問題（定義法） PAGEREF _Tc22241 \h 3
\l "_Tc15797" 高頻考點(diǎn)四：平面向量模的最值（或范圍）問題（幾何法） PAGEREF _Tc15797 \h 4
\l "_Tc6960" 高頻考點(diǎn)五：平面向量模的最值（或范圍）問題（三角不等式法） PAGEREF _Tc6960 \h 5
\l "_Tc1475" 高頻考點(diǎn)六：平面向量模的最值（或范圍）問題（坐標(biāo)法） PAGEREF _Tc1475 \h 6
\l "_Tc21040" 高頻考點(diǎn)七：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（定義法） PAGEREF _Tc21040 \h 7
\l "_Tc18665" 高頻考點(diǎn)八：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（向量數(shù)量積幾何意義法） PAGEREF _Tc18665 \h 7
\l "_Tc3952" 高頻考點(diǎn)九：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（坐標(biāo)法（自主建系法）） PAGEREF _Tc3952 \h 8
\l "_Tc16312" 高頻考點(diǎn)十：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（積化恒等式法） PAGEREF _Tc16312 \h 10
高頻考點(diǎn)一：平面向量夾角為銳角問題
典型例題
例題1．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知：向量與的夾角為銳角．若是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
例題2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，為互相垂直的單位向量，，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
例題3．（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，是夾角為的兩個(gè)單位向量．若，，其中，若，的夾角為銳角，求的取值范圍．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習(xí)）已知平面向量與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
2．（23-24高一下·福建莆田·階段練習(xí)）已知與的夾角為.
(1)求在方向上的投影向量;
(2)求的值;
(3)若向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
高頻考點(diǎn)二：平面向量夾角為鈍角問題
典型例題
例題1．（23-24高一下·山東德州·階段練習(xí)）已知，與的夾角為，若向量與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
例題2．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）若向量，的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
例題3．（23-24高一下·廣東廣州·階段練習(xí)）已知向量與的夾角為，且.
(1)求；
(2)求與的夾角的余弦值；
(3)若與夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·江蘇連云港·階段練習(xí)）設(shè)兩個(gè)向量，滿足，，，之間的夾角為，若向量與向量的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高一下·新疆烏魯木齊·階段練習(xí)）設(shè)兩個(gè)向量滿足，
(1)求在上的投影向量（用坐標(biāo)表示）；
(2)若向量與向量的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
高頻考點(diǎn)三：平面向量模的最值（或范圍）問題（定義法）
典型例題
例題1．（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知為單位向量，向量滿足，，則的最大值為（ ）
A．4B．2C．D．5
例題2．（23-24高一下·浙江·階段練習(xí)）已知，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
例題3．（23-24高三下·上海松江·階段練習(xí)）向量滿足，，，則的最大值為 .
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，，，為的中點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·福建泉州·階段練習(xí)）若、是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直，且模長(zhǎng)都是2的向量，向量滿足，則的最大值是 ．
3．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）定義：已知兩個(gè)非零向量與的夾角為.我們把數(shù)量叫做向量與的叉乘的模，記作，即.
(1)若向量，，求；
(2)若平行四邊形的面積為4，求；
(3)若，，求的最小值.
高頻考點(diǎn)四：平面向量模的最值（或范圍）問題（幾何法）
典型例題
例題1．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習(xí)）已知向量滿足：為單位向量，且和相互垂直，又對(duì)任意不等式恒成立，若，則的最小值為（ ）
A．1B．C．D．
例題2．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）已知向量、垂直，且，若，則的最小值為（ ）
A．34B．26C．24D．14
例題3．（23-24高三下·浙江·開學(xué)考試）已知平面向量滿足，則的最大值為（ ）
A．2B．C．D．3
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·北京·階段練習(xí)）已知向量滿足，，則的最大值等于（ ）
A．B．C．2D．
2．（23-24高三下·江蘇揚(yáng)州·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知為圓上兩點(diǎn)，點(diǎn)，且，則線段的長(zhǎng)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，，，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
高頻考點(diǎn)五：平面向量模的最值（或范圍）問題（三角不等式法）
典型例題
例題1．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）已知平面向量，，滿足：，，，則 ，且的取值范圍為 .
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知為單位向量，且，則的最小值為（ ）
A．2B．C．4D．6
高頻考點(diǎn)六：平面向量模的最值（或范圍）問題（坐標(biāo)法）
典型例題
例題1．（23-24高二上·福建泉州·期中）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為中點(diǎn)，在平面內(nèi)，且滿足.則點(diǎn)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
例題2．（23-24高三·浙江·開學(xué)考試）均為單位向量，且它們的夾角為45°，設(shè)，滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
例題3．（23-24·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量滿足，則的取值范圍是 ．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高三上·重慶九龍坡·期中）已知，，，，則的取值范圍（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·新疆烏魯木齊·二模）已知五個(gè)點(diǎn)，滿足：，，則的最小值為 ．
3．（23-24高三上·河南駐馬店·階段練習(xí)）△QAB是邊長(zhǎng)為6的正三角形，點(diǎn)C滿足，且，，，則的取值范圍是 .
高頻考點(diǎn)七：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（定義法）
典型例題
例題1．（23-24高三上·陜西西安·期中）在直角中，，點(diǎn)M是外接圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．6B．8C．10D．12
例題2．（23-24高三上·北京大興·期中）已知等邊的邊長(zhǎng)為，分別是的中點(diǎn)，則 ；若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為 ．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高三上·湖北武漢·期末）已知中，，，的對(duì)邊，，成等比數(shù)列，，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使.求：
(1)的大??；
(2)的取值范圍.
高頻考點(diǎn)八：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（向量數(shù)量積幾何意義法）
典型例題
例題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正六邊形的邊長(zhǎng)為2，對(duì)稱中心為，以為圓心作半徑為1的圓，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）

A．B．C．D．
(2)若 求實(shí)數(shù)λ的值；
(3)在（2）的條件下，若M，N是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)， 且 求 的最小值.
練透核心考點(diǎn)
1．（多選）（23-24高一下·四川涼山·階段練習(xí)）已知梯形ABCD中，，，，，，點(diǎn)P，Q在線段BC上移動(dòng)，且，則的值可能為（ ）
A．3B．C．D．
2．（2024·天津河西·一模）在中，D是AC邊的中點(diǎn)，，，，則 ；設(shè)M為平面上一點(diǎn)，且，其中，則的最小值為 ．
3．（23-24高一下·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）如圖，已知是邊長(zhǎng)為的正方形的中心，質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向，同時(shí)質(zhì)點(diǎn)也從點(diǎn)出發(fā)沿方向在該正方形上運(yùn)動(dòng)，直至它們首次相遇為止．已知質(zhì)點(diǎn)的速度為，質(zhì)點(diǎn)的速度為．
(1)請(qǐng)將表示為時(shí)間（單位：）的函數(shù)______；
(2)求的最小值．
高頻考點(diǎn)十：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（積化恒等式法）
典型例題
例題1．（23-24高一下·江蘇蘇州·期中）閱讀一下一段文字：，，兩式相減得 我們把這個(gè)等式稱作“極化恒等式”，它實(shí)現(xiàn)了在沒有夾角的參與下將兩個(gè)向量的數(shù)量積運(yùn)算化為“?！钡倪\(yùn)算．試根據(jù)上面的內(nèi)容解決以下問題：如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)．
(1)若AD＝6，BC＝4，求的值；
(2)若，，求的值．
例題2．（23-24高一下·貴州·階段練習(xí)）閱讀以下材料，解決本題：我們知道①；②.由①-②得，我們把最后推出的式子稱為“極化恒等式”，它實(shí)現(xiàn)了沒有夾角參與的情況下將兩個(gè)向量的數(shù)量積化為“?！钡倪\(yùn)算.如圖所示的四邊形中，，為中點(diǎn).
(1)若，求的面積；
(2)若，求的值.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的四分之一.即如圖所示：，我們稱為極化恒等式.在△中，是中點(diǎn)，，，則（ ）
A．32B．-32C．16D．-16
2．（23-24高一下·廣東潮州·階段練習(xí)）閱讀以下材料，解決本題：我們知道①；②.由①-②得，我們把最后推出的式子稱為“極化恒等式”，它實(shí)現(xiàn)了沒有夾角參與的情況下將兩個(gè)向量的數(shù)量積化為“模”的運(yùn)算.如圖所示的四邊形中，，為中點(diǎn).
(1)若，求的面積；
(2)若，求的值；
(3)若為平面內(nèi)一點(diǎn)，求的最小值.
第06講 拓展一：平面向量的拓展應(yīng)用
目錄
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc4595" 高頻考點(diǎn)一：平面向量夾角為銳角問題 PAGEREF _Tc4595 \h 1
\l "_Tc21751" 高頻考點(diǎn)二：平面向量夾角為鈍角問題 PAGEREF _Tc21751 \h 4
\l "_Tc22241" 高頻考點(diǎn)三：平面向量模的最值（或范圍）問題（定義法） PAGEREF _Tc22241 \h 8
\l "_Tc15797" 高頻考點(diǎn)四：平面向量模的最值（或范圍）問題（幾何法） PAGEREF _Tc15797 \h 11
\l "_Tc6960" 高頻考點(diǎn)五：平面向量模的最值（或范圍）問題（三角不等式法） PAGEREF _Tc6960 \h 17
\l "_Tc1475" 高頻考點(diǎn)六：平面向量模的最值（或范圍）問題（坐標(biāo)法） PAGEREF _Tc1475 \h 19
\l "_Tc21040" 高頻考點(diǎn)七：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（定義法） PAGEREF _Tc21040 \h 25
\l "_Tc18665" 高頻考點(diǎn)八：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（向量數(shù)量積幾何意義法） PAGEREF _Tc18665 \h 27
\l "_Tc3952" 高頻考點(diǎn)九：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（坐標(biāo)法（自主建系法）） PAGEREF _Tc3952 \h 31
\l "_Tc16312" 高頻考點(diǎn)十：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（積化恒等式法） PAGEREF _Tc16312 \h 37
高頻考點(diǎn)一：平面向量夾角為銳角問題
典型例題
例題1．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知：向量與的夾角為銳角．若是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用向量夾角為銳角得到關(guān)于的不等式組，進(jìn)而求得的取值范圍，再結(jié)合為假命題取的取值范圍的補(bǔ)集即可得解.
【詳解】當(dāng)向量向量與的夾角為銳角時(shí)，
有且與方向不相同，即，解得且，
因?yàn)槭羌倜}，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：C.
例題2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，為互相垂直的單位向量，，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】且
【分析】根據(jù)題意可知，，，，可得出的取值范圍，再計(jì)算與同向時(shí)的值，即可得的取值范圍.
【詳解】因?yàn)榕c的夾角為銳角，
所以，且與不同向，
所以，
因?yàn)?，為互相垂直的單位向量?br>所以，，，
所以，可得，
當(dāng)與同向時(shí)，，即，
可得，可得，此時(shí)不滿足與的夾角為銳角，
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為且.
故答案為：且.
例題3．（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，是夾角為的兩個(gè)單位向量．若，，其中，若，的夾角為銳角，求的取值范圍．
【答案】．
【分析】
向量的夾角為銳角，轉(zhuǎn)化成為向量的數(shù)量積大于0，且向量不共線，從而求參數(shù)的取值范圍.
【詳解】
∵，是夾角為的兩個(gè)單位向量，
所以，
因?yàn)?，的夾角為銳角，
由
.
由，
綜上，的取值范圍是且，即.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習(xí)）已知平面向量與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】且
【分析】
因夾角為銳角可知數(shù)量積大于0，但要去掉夾角為0的情況.
【詳解】
由題意知，得，
當(dāng)時(shí)，，得
故答案為：且
2．（23-24高一下·福建莆田·階段練習(xí)）已知與的夾角為.
(1)求在方向上的投影向量;
(2)求的值;
(3)若向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接根據(jù)投影向量的概念求解；
（2）通過(guò)展開計(jì)算；
（3）根據(jù)，且與不共線計(jì)算求解.
【詳解】（1）在方向上的投影向量為；
（2）；
（3）因?yàn)橄蛄颗c的夾角為銳角，
所以，且與不共線，
對(duì)于，
得，
解得，
若與共線，
則存在，得，解得，
所以若向量與的夾角為銳角，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
高頻考點(diǎn)二：平面向量夾角為鈍角問題
典型例題
例題1．（23-24高一下·山東德州·階段練習(xí)）已知，與的夾角為，若向量與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由題意當(dāng)且僅當(dāng)且與不反向才滿足題意，由此解不等式組即可求解.
【詳解】已知，與的夾角為，則，
由題意，
，又時(shí)，與反向，
，且
故選：C.
例題2．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）若向量，的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】
兩向量的夾角為鈍角，等價(jià)于兩向量的數(shù)量積小于零且兩向量不同向共線，由此可求參數(shù)的取值范圍.
【詳解】
因?yàn)橄蛄浚膴A角為鈍角，
所以且不同向共線，
由；
由；
所以，的夾角為鈍角，可得的取值范圍是：.
故答案為：
例題3．（23-24高一下·廣東廣州·階段練習(xí)）已知向量與的夾角為，且.
(1)求；
(2)求與的夾角的余弦值；
(3)若與夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)定義得出內(nèi)積的值，并根據(jù)展開得到；
（2）利用直接計(jì)算即可得到結(jié)果；
（3）將條件轉(zhuǎn)化為且，然后計(jì)算，解不等式即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）由題目條件知，.
（2）.
（3）由于，
，
，
而與夾角為鈍角，這等價(jià)于且.
從而且，即且.
將方程變形為，
整理得到，即.
這在時(shí)一定不成立，故可直接去除該條件.
從而的取值范圍是.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·江蘇連云港·階段練習(xí)）設(shè)兩個(gè)向量，滿足，，，之間的夾角為，若向量與向量的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，，且不能共線反向，再求解即可得實(shí)數(shù)的取值范圍；
【詳解】因?yàn)?，，與的夾角為，
所以，
因?yàn)橄蛄颗c向量的夾角為鈍角，
所以且不能共線反向，
若，
則，
解得，
若向量與向量共線反向，則有，
即，解得（舍去）或，所以，
綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍.
故選：B
2．（23-24高一下·新疆烏魯木齊·階段練習(xí)）設(shè)兩個(gè)向量滿足，
(1)求在上的投影向量（用坐標(biāo)表示）；
(2)若向量與向量的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用投影向量的意義求解即得.
（2）利用向量夾角的余弦，結(jié)合共線向量的坐標(biāo)表示求解即得.
【詳解】（1）依題意，，所以在上的投影向量是.
（2）由，得，
，
由向量與向量的夾角為鈍角，得，且與不共線，
因此，整理得，解得且，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
高頻考點(diǎn)三：平面向量模的最值（或范圍）問題（定義法）
典型例題
例題1．（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知為單位向量，向量滿足，，則的最大值為（ ）
A．4B．2C．D．5
【答案】C
【分析】利用進(jìn)行轉(zhuǎn)化，把轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)，再用二次函數(shù)的性質(zhì)求值域.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以
所以，所以.
故選：C
例題2．（23-24高一下·浙江·階段練習(xí)）已知，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)向量，的夾角為，求得的表達(dá)式，利用平方的方法，結(jié)合余弦函數(shù)的值域等知識(shí)求得正確答案.
【詳解】設(shè)向量，的夾角為，則，
因?yàn)椋?br>所以，
令，則，
因?yàn)?，所以，又，所?
故選：C
例題3．（23-24高三下·上海松江·階段練習(xí)）向量滿足，，，則的最大值為 .
【答案】
【分析】利用數(shù)量積的運(yùn)算法則求得，從而假設(shè)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到的三角表示，再結(jié)合三角恒等變換即可得解.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，則，
則，所以，
又因?yàn)椋裕?br>則可設(shè)，則，
又因?yàn)?，所以?br>故又可設(shè)的坐標(biāo)為，
所以
，
因此，所以最大值為.
故答案為：.
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，，，為的中點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先由平面向量基本定理及數(shù)量積求出余弦定理求出，解法一利用重要不等式求解即可；解法二先利用重要不等式求的最大值，再結(jié)合題意求解即可；解法三根據(jù)數(shù)形結(jié)合得出三點(diǎn)共線時(shí)取得最大值，進(jìn)而求出.
【詳解】記，由于，為的中點(diǎn)，則，
等式兩邊平方得:．
在中，由余弦定理得．
解法一：因?yàn)椋裕?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，故．
解法二：因?yàn)?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，即的最大值為．
又，所以的最大值為．
解法三：在中，，，
所以外接圓圓的半徑為，．
在中，．
因?yàn)?，?br>當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為．
故選:B．
2．（23-24高一下·福建泉州·階段練習(xí)）若、是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直，且模長(zhǎng)都是2的向量，向量滿足，則的最大值是 ．
【答案】
【分析】首先根據(jù)數(shù)量積公式展開，再化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值.
【詳解】、是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直，且模長(zhǎng)都是2的向量，
設(shè)，，
，，
，
，
其中為向量與之間的夾角，，
或，
，，
，
的最大值是.
故答案為：.
3．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）定義：已知兩個(gè)非零向量與的夾角為.我們把數(shù)量叫做向量與的叉乘的模，記作，即.
(1)若向量，，求；
(2)若平行四邊形的面積為4，求；
(3)若，，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用向量數(shù)量積的運(yùn)算求得，從而利用新定義即可得解；
（2）利用平行四邊形的面積公式，結(jié)合新定義即可得解；
（3）利用新定義與向量數(shù)量積的定義求得的夾角，從而得到，再利用向量數(shù)量積的運(yùn)算法則與基本不等式即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)?，?br>則，
所以，
因?yàn)槭窍蛄康膴A角，所以，
因此，故.
（2）因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD的面積為4，
所以，所以.
（3）因?yàn)椋?br>所以，所以，
因?yàn)椋?，所以?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.
高頻考點(diǎn)四：平面向量模的最值（或范圍）問題（幾何法）
典型例題
例題1．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習(xí)）已知向量滿足：為單位向量，且和相互垂直，又對(duì)任意不等式恒成立，若，則的最小值為（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)已知由向量垂直可得的模，再由不等式恒成立，結(jié)合圖象可得，從而可得，接下來(lái)方法一，直接對(duì)進(jìn)行平方化簡(jiǎn)，由二次函數(shù)最值可解；方法二，由三點(diǎn)共線基本定理，結(jié)合三角形面積公式和余弦定理可解.
【詳解】和相互垂直，
則，則，
結(jié)合圖象，，
則 ，
因?yàn)楹愠闪?，則，
即，則，
法（一）：
對(duì)稱軸時(shí)：
，即
法（二）：，因?yàn)椋?br>所以向量的終點(diǎn)共線（起點(diǎn)重合），
則的面積，
，所以.
故選:．

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：數(shù)形結(jié)合發(fā)現(xiàn)，，則 ，因?yàn)楹愠闪?，則.
例題2．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）已知向量、垂直，且，若，則的最小值為（ ）
A．34B．26C．24D．14
【答案】B
【分析】取點(diǎn)，使得，在取一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，轉(zhuǎn)化為，過(guò)點(diǎn)作，使得點(diǎn)與關(guān)于對(duì)稱，結(jié)合三點(diǎn)共線，即可求解.
【詳解】如圖所示，在直角中，由已知得，
在上取點(diǎn)，使得，
在取一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，
則，
過(guò)點(diǎn)作，取，則點(diǎn)與關(guān)于對(duì)稱，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小值為.
故選：B.
例題3．（23-24高三下·浙江·開學(xué)考試）已知平面向量滿足，則的最大值為（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】C
【分析】根據(jù)向量加減法的平行四邊形法則作圖，問題轉(zhuǎn)化為求的最值，利用外接圓數(shù)形結(jié)合可求最值.
【詳解】設(shè)，如圖，

由題意，即在平行四邊形中，，，
求的最大值.
延長(zhǎng)至，使，則，
由正弦定理，三點(diǎn)所在外接圓的直徑，
所以，設(shè)圓心為，如圖，

所以可知，又，
所以由余弦定理可得，
則由圖象可知，
故選：C
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·北京·階段練習(xí)）已知向量滿足，，則的最大值等于（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】由，即得到點(diǎn)共圓，再利用余弦定理和正弦定理求解即可.
【詳解】設(shè)，
因?yàn)?，，所以?br>又，所以，所以點(diǎn)共圓，
要使的最大，即為直徑，
在中，由余弦定理可得，
又由正弦定理，
即的最大值等于，
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是由向量之間的夾角確定點(diǎn)共圓，再由正弦和余弦定理求解即可.
2．（23-24高三下·江蘇揚(yáng)州·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知為圓上兩點(diǎn)，點(diǎn)，且，則線段的長(zhǎng)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】易知以為鄰邊作平行四邊形為矩形，由平面向量可證明，再由可得其取值范圍.
【詳解】以為鄰邊作平行四邊形，
由可得四邊形為矩形，如下圖所示：
，
可得，
解得，即，
即點(diǎn)軌跡是以為圓心，半徑為的圓，
易知，，
所以線段的長(zhǎng)的取值范圍是.
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本意關(guān)鍵在于利用平面向量證明求得，再結(jié)合圓上點(diǎn)到定點(diǎn)距離最值問題求得結(jié)果.
3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，，，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)題設(shè)向量模長(zhǎng)和垂直條件，考慮運(yùn)用幾何法求解，由想到構(gòu)造矩形，運(yùn)用極化恒等式推導(dǎo)出結(jié)論，求得,最后用三角形三邊關(guān)系定理得到的范圍，轉(zhuǎn)化即得.
【詳解】
如圖，設(shè)，，，點(diǎn)在圓上，
點(diǎn)在圓上，則，，由可得：，
作矩形, 則.
下證： .
設(shè)交于點(diǎn)，連接,因則 ，
同理可得：，兩式左右分別相加得：
，
.
即，故.
又，因，
即，故有．
故選:C．
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：本題考查平面向量的線性運(yùn)算的模長(zhǎng)范圍問題，屬于較難題.
處理平面向量的模長(zhǎng)范圍問題，常用的方法有：
（1）坐標(biāo)法：即通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，通過(guò)向量坐標(biāo)運(yùn)算求得；
（2）基向量表示法：即通過(guò)選設(shè)平面的基底，用基底表示相關(guān)向量，運(yùn)算求得；
（3）構(gòu)造幾何圖形法：即根據(jù)模長(zhǎng)定值構(gòu)造圓形，由向量點(diǎn)乘等于零得到兩向量垂直.
高頻考點(diǎn)五：平面向量模的最值（或范圍）問題（三角不等式法）
典型例題
例題1．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）已知平面向量，，滿足：，，，則 ，且的取值范圍為 .
【答案】 5
【分析】第一空：直接根據(jù)模的計(jì)算公式即可求解；第二空，由向量之間的“三角不等式”即可求解.
【詳解】第一空：因?yàn)?，，?br>所以，
；
第二空：對(duì)于兩個(gè)向量，有，
進(jìn)一步有，
所以，
注意到，，
從而，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)反向，
，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)同向，
所以的取值范圍為.
故答案為：5；.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第一空的關(guān)鍵是在于利用整體思想結(jié)合，得到，其中，，由此即可順利得解.
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知為單位向量，且，則的最小值為（ ）
A．2B．C．4D．6
【答案】B
【分析】由，得，可得，由，當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)可得最小值.
【詳解】為單位向量，有，得，
由，得，
有，所以，
，
，，有，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)與方向相反時(shí)“”成立，
如取時(shí)，可使“”成立.
所以.
故選：B．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
本題關(guān)鍵點(diǎn)是由已知條件得，這樣就能得到.
高頻考點(diǎn)六：平面向量模的最值（或范圍）問題（坐標(biāo)法）
典型例題
例題1．（23-24高二上·福建泉州·期中）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為中點(diǎn)，在平面內(nèi)，且滿足.則點(diǎn)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先考慮的軌跡，再結(jié)合該軌跡可在平面直角坐標(biāo)系中求出的取值范圍.
【詳解】
如圖，連接，因?yàn)槠矫?，平面?br>故，而，，
故平面，而平面，故.
在平面中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則，
因?yàn)椋试谝詾橹睆綀A上（如圖所示），
且圓的方程為：即，
設(shè)，則，
故，
設(shè)，則表示，
由圖可得，故，
故選：B.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于空間中的動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題，可利用空間中位置關(guān)系的判斷方法找到平面上動(dòng)點(diǎn)滿足的軌跡方程，從而把空間問題平面化.
例題2．（23-24高三·浙江·開學(xué)考試）均為單位向量，且它們的夾角為45°，設(shè)，滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】建立直角坐標(biāo)系，求得向量，的終點(diǎn)軌跡方程是圓和直線，利用圓心到直線距離減去半徑得到最小值得解
【詳解】設(shè)，
以的方向?yàn)檎较?，所在直線為軸，垂直于所在直線為 軸，建立平面直角坐標(biāo)系
均為單位向量，且它們的夾角為45°，則 ，
，設(shè)
滿足
，設(shè)
,故 ，
則，則 的最小值為圓上的點(diǎn)到直線 距離的最小值
其最小值為
故選:C.
【點(diǎn)睛】向量模長(zhǎng)最值問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線距離是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.
例題3．（23-24·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量滿足，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】由題可得當(dāng)時(shí)適合題意，當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，結(jié)合條件可得存在，使，進(jìn)而分類討論即得.
【詳解】當(dāng)時(shí)，取明顯成立，
當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，則，
∴，
即存在，使，
當(dāng)時(shí)，，不合題意，
當(dāng)時(shí)，存在，使，即適合題意；
綜上，的取值范圍是.
故答案為：.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高三上·重慶九龍坡·期中）已知，，，，則的取值范圍（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題設(shè)易知四邊形為矩形，構(gòu)建以為原點(diǎn)直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為平面上滿足的情況下，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式求兩點(diǎn)距離的范圍.
【詳解】由題設(shè)，四邊形為矩形，構(gòu)建以為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系，如下圖，

若，則，設(shè)，
∴，且，
又，
∴，即.
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)建直角坐標(biāo)系，將平面向量的模長(zhǎng)問題轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)的距離問題，應(yīng)用解析法求范圍.
2．（2024·新疆烏魯木齊·二模）已知五個(gè)點(diǎn)，滿足：，，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意設(shè)出合理的向量模，再將其置于坐標(biāo)系中，利用坐標(biāo)表示出，再用基本不等式求解出最值即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，，，
由題意設(shè)，則，，
設(shè)，如圖，因?yàn)榍蟮淖钚≈担?br>則，，，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為．
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：首先是對(duì)向量模的合理假設(shè)，然后為了進(jìn)一步降低計(jì)算的復(fù)雜性，我們選擇利用坐標(biāo)法將涉及的各個(gè)點(diǎn)用坐標(biāo)表示，最后得到，再利用基本不等式即可求出最值.
3．（23-24高三上·河南駐馬店·階段練習(xí)）△QAB是邊長(zhǎng)為6的正三角形，點(diǎn)C滿足，且，，，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意建立坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)坐標(biāo)，表示出，再求向量，再根據(jù)已知，，得，，代入得，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，
∴ ，，，∴ ，
∴
∴，
∵，，
∴ ，，
∴，
∴由二次函數(shù)的性質(zhì)知，∴
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查向量坐標(biāo)運(yùn)算，模的求解，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知用表示向量的模，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于一般題.
高頻考點(diǎn)七：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（定義法）
典型例題
例題1．（23-24高三上·陜西西安·期中）在直角中，，點(diǎn)M是外接圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】D
【分析】由平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，即可求解最大值，得到答案．
【詳解】由題意，設(shè)△ABC的外心即BC中點(diǎn)為O，
由平面向量的線性運(yùn)算，知，
所以=，
由圖可知：==，
當(dāng)時(shí)，，
，
故選：D．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的線性運(yùn)算，以及平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，其中解答中熟記向量的線性運(yùn)算和平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，合理運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．
例題2．（23-24高三上·北京大興·期中）已知等邊的邊長(zhǎng)為，分別是的中點(diǎn)，則 ；若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為 ．
【答案】 /
【分析】第一空：通過(guò)展開整理，帶入數(shù)據(jù)計(jì)算即可；第二空：設(shè)，通過(guò)展開整理，帶入數(shù)據(jù)然后配方求最值.
【詳解】
;
若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，不妨設(shè)點(diǎn)相對(duì)更靠近點(diǎn)，
設(shè)，
，
當(dāng)時(shí)，取最小值，且為.
故答案為：；.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高三上·湖北武漢·期末）已知中，，，的對(duì)邊，，成等比數(shù)列，，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使.求：
(1)的大??；
(2)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根據(jù)三角形內(nèi)角和，，化簡(jiǎn)得 ，又，則，利用兩角和公式即可得解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，，故為等邊三角形，設(shè)的邊長(zhǎng)為， ，結(jié)合的范圍即可得解.
【詳解】（1）.①
又，則②
故
或（舍去）.又，從而，.
（2）由（1）結(jié)論，①+②得
則，故為等邊三角形.
設(shè)的邊長(zhǎng)為.則.
故
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立.故的取值范圍是.
高頻考點(diǎn)八：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（向量數(shù)量積幾何意義法）
典型例題
例題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正六邊形的邊長(zhǎng)為2，對(duì)稱中心為，以為圓心作半徑為1的圓，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解法一 連接，，設(shè)，根據(jù)向量的線性運(yùn)算用，表示出，然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果．
解法二 以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果．
解法三 借助向量投影的知識(shí)將轉(zhuǎn)化，找到取得最值時(shí)點(diǎn)的位置，即可求得結(jié)果．
【詳解】解法一 ：如圖所示：

連接，設(shè)，連接，依題意得，，，，
則，
．
因?yàn)?，所以，（三角函?shù)的有界性）
所以．
故選：C．
解法二 如圖，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線為軸，過(guò)且和垂直的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則依題意可得，，，
因?yàn)閳A的半徑為1，所以可設(shè)，
所以，，所以，
又，（三角函數(shù)的有界性）
所以．
故選：C．
解法三 如圖所示：

設(shè)，則．
可看成是在上的投影，
當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)最小，最小值為，
當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)最大，最大值為0，
故．
故選：C．
例題2．（2024高三·江蘇·專題練習(xí)）如圖，是邊長(zhǎng)2的正方形，為半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)）則的取值范圍為 ．

【答案】
【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義，由投影的幾何意義并結(jié)合圖形即可求得其范圍.
【詳解】，由投影的定義知，
結(jié)合圖形得，當(dāng)與半圓弧相切于P點(diǎn)的直線平行于BC時(shí)，最大為，
此時(shí)；
當(dāng)P在C或B點(diǎn)重合時(shí)，最小為，
此時(shí)
即可得
故答案為：
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知平行四邊形ABCD中，，，，若以C為圓心的圓與對(duì)角線BD相切，P是圓C上的一點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意做出圖形，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果
【詳解】如圖所示，過(guò)作的平行線交圓于點(diǎn)，過(guò)作，垂足為，
在平行四邊形中，，，，
可得，，則由余弦定理可得，
由，可得，則四邊形為正方形，
則，因?yàn)椋?br>則的最小值為，
即的最小值為，故C正確。
故選：C.
2．（2024·遼寧沈陽(yáng)·一模）已知是半徑為1的球面上不同的三點(diǎn)，則的最小值為 .
【答案】/
【分析】根據(jù)數(shù)量積的幾何意義結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】是球面上不同的三點(diǎn)，不共線，故平面截球面得到的是一個(gè)圓，
記此圓半徑為，當(dāng)且僅當(dāng)平面過(guò)球心時(shí)，.
在半徑為的圓中，對(duì)于任意的弦，過(guò)作于,
由向量數(shù)量積的幾何意義知，當(dāng)在如圖所示的位置時(shí)，
取最小值，
則的最小值為，
當(dāng)時(shí)，取最小值，
又的最大值為1，故所求最小值為.
故答案為：
高頻考點(diǎn)九：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（坐標(biāo)法（自主建系法））
典型例題
例題1．（23-24高一下·全國(guó)·期末）在邊長(zhǎng)為2的正方形中，動(dòng)點(diǎn)P，Q在線段上，且，則的最小值為（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】C
【分析】方法一：設(shè)的中點(diǎn)為，則可得，化簡(jiǎn)后可求出其最小值；方法二：建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示.設(shè)，則，化簡(jiǎn)后可求得其最小值.
【詳解】方法一：設(shè)的中點(diǎn)為，
則
（當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)取等號(hào)）.
方法二：建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示.設(shè)，
因?yàn)樵谶呴L(zhǎng)為2的正方形中，動(dòng)點(diǎn)P，Q在線段上，且，
所以，，
所以
，
所以當(dāng)時(shí)，有最小值1.
故選：C.
例題2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知在菱形ABCD中，，若點(diǎn)M在線段AD上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍為 ．
【答案】．
【分析】解法一：建立平面直角坐標(biāo)系，求的坐標(biāo)，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示求再求其范圍；
解法二：根據(jù)數(shù)量積的定義，結(jié)合數(shù)量積的幾何意義求的范圍.
【詳解】解法一：，
記的交點(diǎn)為，以為原點(diǎn)，所在直線分別為x，y軸建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
故，，
則，
故，又
則．
解法二：，
如圖2所示，當(dāng)M在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)可得，
即，又，
所以．
故答案為：
例題3．（23-24高一下·天津紅橋·階段練習(xí)）如圖， 在四邊形中，， ， ，
(1)求的值；
(2)若 求實(shí)數(shù)λ的值；
(3)在（2）的條件下，若M，N是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)， 且 求 的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積公式求解；
（2）根據(jù)，可得，即可得，根據(jù)數(shù)量積公式，可得AD的長(zhǎng)，分析即可得答案；
（3）如圖建系，求得D點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，則，即可得坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積公式，結(jié)合x的范圍，即可得答案.
【詳解】（1）.
（2）因?yàn)椋?br>所以，所以，
所以，
所以，又，
所以，即.
（3）以BC為x軸正方向，過(guò)B作BC垂線為y軸，建立坐標(biāo)系，如圖所示，
因?yàn)椋?br>所以，則，
設(shè)，則，
因?yàn)槭蔷€段上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
所以，解得，
所以，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，有最小值.
練透核心考點(diǎn)
1．（多選）（23-24高一下·四川涼山·階段練習(xí)）已知梯形ABCD中，，，，，，點(diǎn)P，Q在線段BC上移動(dòng)，且，則的值可能為（ ）
A．3B．C．D．
【答案】AD
【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，利用坐標(biāo)表示向量，計(jì)算向量的數(shù)量積的范圍即可求解．
【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則，不妨設(shè)，，則；
所以，，
，
因?yàn)?，所以?br>故選：AD．
2．（2024·天津河西·一模）在中，D是AC邊的中點(diǎn)，，，，則 ；設(shè)M為平面上一點(diǎn)，且，其中，則的最小值為 ．
【答案】 4
【分析】以為基底，由，求出；建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算把表示為關(guān)于的函數(shù)，由二次函數(shù)性質(zhì)求最小值.
【詳解】中，D是AC邊的中點(diǎn)，，，
，
解得，即；
中，，，，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，點(diǎn)在第一象限，建立如圖所示為平面直角坐標(biāo)系，

則有，設(shè)
由，得，
解得，，即，
則有，，
，
則有時(shí)，有最小值.
故答案為： 4；.
3．（23-24高一下·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）如圖，已知是邊長(zhǎng)為的正方形的中心，質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向，同時(shí)質(zhì)點(diǎn)也從點(diǎn)出發(fā)沿方向在該正方形上運(yùn)動(dòng)，直至它們首次相遇為止．已知質(zhì)點(diǎn)的速度為，質(zhì)點(diǎn)的速度為．
(1)請(qǐng)將表示為時(shí)間（單位：）的函數(shù)______；
(2)求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知條件，建立平面直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，分，與，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可求出的表達(dá)式，
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及分段函數(shù)分段處理，結(jié)合一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，解得，所以，
當(dāng)時(shí)，，
則，
當(dāng)時(shí)，，
則，
當(dāng)時(shí)，，
則，
綜上，
（2）當(dāng)時(shí)由（1）知單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為．
當(dāng)時(shí)，由知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為；
當(dāng)時(shí)，由知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為0．
綜上的最小值為．
高頻考點(diǎn)十：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（積化恒等式法）
典型例題
例題1．（23-24高一下·江蘇蘇州·期中）閱讀一下一段文字：，，兩式相減得 我們把這個(gè)等式稱作“極化恒等式”，它實(shí)現(xiàn)了在沒有夾角的參與下將兩個(gè)向量的數(shù)量積運(yùn)算化為“?！钡倪\(yùn)算．試根據(jù)上面的內(nèi)容解決以下問題：如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)．
(1)若AD＝6，BC＝4，求的值；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)
解；
（2）先利用極化恒等式得，由得，代入極化恒等式求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋裕?br>即，所以，
又，所以，
所以；
（2）因?yàn)?，?br>由極化恒等式得，
所以，
又，所以，
由極化恒等式得.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的四分之一.即如圖所示：，我們稱為極化恒等式.在△中，是中點(diǎn)，，，則（ ）
A．32B．-32C．16D．-16
【答案】D
【分析】由題設(shè)有，代入極化恒等式求即可.
【詳解】由題設(shè)，，，
.
故選：D
2．（23-24高一下·廣東潮州·階段練習(xí)）閱讀以下材料，解決本題：我們知道①；②.由①-②得，我們把最后推出的式子稱為“極化恒等式”，它實(shí)現(xiàn)了沒有夾角參與的情況下將兩個(gè)向量的數(shù)量積化為“?！钡倪\(yùn)算.如圖所示的四邊形中，，為中點(diǎn).
(1)若，求的面積；
(2)若，求的值；
(3)若為平面內(nèi)一點(diǎn)，求的最小值.
【答案】(1)10；
(2)240；
(3)-32.
【分析】（1）結(jié)合數(shù)量積的定義和三角形面積公式求解；
（2）根據(jù)“極化恒等式”列出式子計(jì)算即可
（3）連接，，取的中點(diǎn)，連接，將進(jìn)行轉(zhuǎn)化求最值.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>即，所以，
又，所以，
所以；
（2）因?yàn)?，?br>由極化恒等式得
，
所以，
又，所以，
由極化恒等式得
；
（3）連接，，取的中點(diǎn)，連接，
由，，
則
，
所以當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)， .

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