已知不含參函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程的根存在，卻無(wú)法求出，設(shè)方程的根為，則有：
①關(guān)系式成立；②注意確定的合適范圍.
2、含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問(wèn)題
已知含參函數(shù)，其中為參數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程的根存在，卻無(wú)法求出，設(shè)方程的根為，則有
①有關(guān)系式成立，該關(guān)系式給出了的關(guān)系；②注意確定的合適范圍，往往和的范圍有關(guān).
3、函數(shù)零點(diǎn)的存在性
（1）函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，那么在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)，使得.
① 若，則的零點(diǎn)不一定只有一個(gè)，可以有多個(gè)
② 若，那么在不一定有零點(diǎn)
③ 若在有零點(diǎn)，則不一定必須異號(hào)
(3)若在上是單調(diào)函數(shù)且連續(xù)，則在的零點(diǎn)唯一.
高頻考點(diǎn)
1．（23-24高三下·湖南湘潭·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時(shí)，記的極小值點(diǎn)為，證明：存在唯一零點(diǎn)，且.（參考數(shù)據(jù)：）
6．（23-24高三上·浙江杭州·期末）定義滿足的實(shí)數(shù)為函數(shù)的然點(diǎn).已知.
(1)證明：對(duì)于，函數(shù)必有然點(diǎn)；
(2)設(shè)為函數(shù)的然點(diǎn)，判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并證明.
7．（23-24高三上·全國(guó)·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)．
(1)求曲線在處的切線；
(2)若對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，證明函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)．
8．（23-24高三上·河南駐馬店·期末）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).
(1)求的取值范圍；
(2)設(shè)，是的兩個(gè)零點(diǎn)，，證明：.
9．（23-24高二上·廣東深圳·期末）已知函數(shù).
(1)證明：當(dāng)時(shí)，；
(2)若恒成立，求的取值范圍.
10．（23-24高三上·四川成都·期末）已知函數(shù)，.
(1)若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值所構(gòu)成的集合；
(2)已知，若，函數(shù)的最小值為，求的值域.
11．（23-24高三上·北京東城·期末）已知函數(shù).
(1)若，求曲線在處的切線方程；
(2)若，求證：函數(shù)在上有極大值，且.
12．（2024·湖南邵陽(yáng)·一模）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)設(shè)，求證：當(dāng)時(shí)，恰有兩個(gè)零點(diǎn).
13．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若對(duì)任意的恒成立，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，求實(shí)數(shù)的最大值．
14．（21-22高三上·重慶黔江·階段練習(xí)）已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，
(1)當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在上是否存在零點(diǎn)，并說(shuō)明理由；
(2)若在上存在最小值，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.
15．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
第11講：拓展四：導(dǎo)數(shù)中的隱零點(diǎn)問(wèn)題
1、不含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問(wèn)題
已知不含參函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程的根存在，卻無(wú)法求出，設(shè)方程的根為，則有：
①關(guān)系式成立；②注意確定的合適范圍.
2、含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問(wèn)題
已知含參函數(shù)，其中為參數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程的根存在，卻無(wú)法求出，設(shè)方程的根為，則有
①有關(guān)系式成立，該關(guān)系式給出了的關(guān)系；②注意確定的合適范圍，往往和的范圍有關(guān).
3、函數(shù)零點(diǎn)的存在性
（1）函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，那么在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)，使得.
① 若，則的零點(diǎn)不一定只有一個(gè)，可以有多個(gè)
② 若，那么在不一定有零點(diǎn)
③ 若在有零點(diǎn)，則不一定必須異號(hào)
(3)若在上是單調(diào)函數(shù)且連續(xù)，則在的零點(diǎn)唯一.
高頻考點(diǎn)
1．（23-24高三下·湖南湘潭·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時(shí)，記的極小值點(diǎn)為，證明：存在唯一零點(diǎn)，且.（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】(1)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)研究導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性即可得原函數(shù)的單調(diào)性；
（2）設(shè)，則可借助導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理得到存在，使得，再借助零點(diǎn)存在性定理得到存在存在唯一零點(diǎn)，要證，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，即只需證，即證，將用表示后消去，構(gòu)造對(duì)應(yīng)函數(shù)求出其最值即可得證.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，取得極大值，所以，即，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；
（2），設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，
，
所以存在，使得，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
又且時(shí)，，
所以存在唯一，使得，
存在唯一零點(diǎn).
要證，只需證，
即證，因?yàn)椋?br>所以
，
設(shè)，則，
令，解得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，取得極大值，
所以，即成立，命題得證.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，其中零點(diǎn)不可求，關(guān)鍵點(diǎn)在于借助零點(diǎn)存在性定理確定存在零點(diǎn)，然后虛設(shè)零點(diǎn)，借助所得等式消去變量.
2．（23-24高三下·河南信陽(yáng)·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)定義域可化簡(jiǎn)函數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，即求的解集即可，而，所以解集為．
（2）引入隱零點(diǎn)x0 ，利用導(dǎo)數(shù)得到在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，最后得到的范圍.
【詳解】（1）的定義域?yàn)?br>∴當(dāng)時(shí)，，
令，．
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，
則不等式的解集為．
（2）當(dāng)時(shí)，，
令，恒成立，
則在上單調(diào)遞增，又，
，存在唯一的使，且，
所以
當(dāng)時(shí)，，由，
則在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，由，（分開(kāi)考慮導(dǎo)函數(shù)符號(hào)）
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，
所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
所以，
由題意則，
設(shè)，則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，此時(shí)，即，
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是構(gòu)造新的函數(shù)，并利用隱零點(diǎn)法求解的范圍..
3．（2024·江西贛州·一模）已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間，
(2)已如.若函數(shù)有唯一的零點(diǎn).證明，.
【答案】(1)減區(qū)間為，增區(qū)間為；
(2)證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）求出，進(jìn)一步判斷為增函數(shù)，由，結(jié)合定義域可得單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由已知可得，求導(dǎo)，由（1）可知在單調(diào)遞增，且，及，則存在唯一的使得，分析單調(diào)性，得到，再通過(guò)函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，即，化簡(jiǎn)可得，構(gòu)造函數(shù)，分析單調(diào)性，再分別判斷的正負(fù)，由零點(diǎn)存在性定理即可證明.
【詳解】（1），令，
當(dāng)時(shí)，即為增函數(shù)，
又
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.
的減區(qū)間為，增區(qū)間為
（2）
由（1）可知在單調(diào)遞增，且，
又
存在唯一的使得
當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增；
若方程有唯一的實(shí)數(shù)，則
消去可得，
令，
則，在上為減函數(shù)
且
當(dāng)時(shí)，即
4．（2024·山東聊城·一模）已知函數(shù)，，.
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)求的最小值；
(3)設(shè)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【答案】(1)
(2)
(3)當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)
【分析】
（1）求導(dǎo)后令，計(jì)算即可得；
（2）求導(dǎo)后，令，再次求導(dǎo)后可得的單調(diào)性，無(wú)法直接求出使的解，因此虛設(shè)零點(diǎn)，借助零點(diǎn)的存在性定理，得到，使，再借助對(duì)數(shù)變形，得到，從而構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，得到，代入中，即可得解.
（3）變形后可得函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，結(jié)合的單調(diào)性討論即可得.
【詳解】（1），令，可得，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為；
（2），
令，
則，
由，故恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
又，，
故存在，使，即，
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，
由，則，
令，則有，
，當(dāng)時(shí)，恒成立，
故在上單調(diào)遞增，故，即，
則，
即的最小值為；
（3）令，
即有，
即函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，
由（2）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，
又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故當(dāng)，即時(shí)，有唯一實(shí)數(shù)根，
當(dāng)，即時(shí)，有兩實(shí)數(shù)根，
當(dāng)，即時(shí)，無(wú)實(shí)數(shù)根，
即當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn).
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二小問(wèn)中，令無(wú)法直接解出，因此需要虛設(shè)零點(diǎn)，借助零點(diǎn)的存在性定理，得到，使，再借助對(duì)數(shù)變形，得到，從而構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，得到，從而求出的最小值.
5．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.
【答案】
【分析】
對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)得導(dǎo)函數(shù)，設(shè)，對(duì)的范圍分，，三類情況，分別討論函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)性，從而在不同區(qū)間上討論函數(shù)的零點(diǎn)情況，驗(yàn)證得解.
【詳解】
由求導(dǎo)得：
設(shè)
若,當(dāng)時(shí)，,此時(shí)，則在上單調(diào)遞增,，故在上沒(méi)有零點(diǎn),不合題意；
若,當(dāng),則，
故在上單調(diào)遞增，則,此時(shí)，則在上單調(diào)遞增,，故在上沒(méi)有零點(diǎn),不合題意；
若，
(1)當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增，
，則存在,使得,即，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
故當(dāng)，,
令則，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，
又，，故在上有唯一零點(diǎn)
又函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn),即在上有唯一零點(diǎn)
(2)當(dāng)
設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，
因，故存在,使得，
當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增, ，
又，故存在使得,即
當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減，
當(dāng)，，又
而,則當(dāng)，故在上有唯一零點(diǎn),上無(wú)零點(diǎn)
即在上有唯一零點(diǎn)，所以,符合題意
所以若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是對(duì)的范圍進(jìn)行合理分類，否定和肯定并用，否定只需要說(shuō)明一邊不滿足即可，肯定要兩方面都說(shuō)明.
6．（23-24高三上·浙江杭州·期末）定義滿足的實(shí)數(shù)為函數(shù)的然點(diǎn).已知.
(1)證明：對(duì)于，函數(shù)必有然點(diǎn)；
(2)設(shè)為函數(shù)的然點(diǎn)，判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并證明.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)2個(gè)零點(diǎn)，證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在原理，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、題中定義進(jìn)行運(yùn)算證明即可；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在原理、結(jié)合放縮法進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1），由得.
令，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，故至多一個(gè)零點(diǎn)，
又因?yàn)?，?br>所以使，故對(duì)于，函數(shù)有唯一然點(diǎn).
（2）由（I）得，
令，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，
，故使，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
因?yàn)椋剩?br>將代入，得
，
所以有2個(gè)零點(diǎn).
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)題中定義，運(yùn)用零點(diǎn)存在原理是解題的關(guān)鍵.
7．（23-24高三上·全國(guó)·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)．
(1)求曲線在處的切線；
(2)若對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，證明函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)．
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)得切線斜率，進(jìn)而由點(diǎn)斜式得切線方程；
（2）令，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性可得，從而得到證明．
【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以?br>則，，
此時(shí)切線方程為，即；
（2）證明：函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，得方程有兩解，
即存在兩解．
令，則，
令，因?yàn)椋?br>所以在上為單調(diào)遞減函數(shù)，
由，，
所以存在，使得，
且，，，，
所以在上遞增，在上遞減．
所以
，
由，且，
則任意，時(shí)，函數(shù)與有兩交點(diǎn)，
故函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意得方程有兩解，即存在兩解，令，通過(guò)二次求導(dǎo)及零點(diǎn)存在性定理得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)行求解．
8．（23-24高三上·河南駐馬店·期末）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).
(1)求的取值范圍；
(2)設(shè)，是的兩個(gè)零點(diǎn)，，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】
（1）分離參數(shù)得,構(gòu)造函數(shù)判單調(diào)性即可求解；
（2）利用變量集中設(shè)，得，，證明即可.
【詳解】（1）由且，可得.
設(shè)，，則，
令，解得.
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.
又當(dāng)趨向于0時(shí)，趨向于，當(dāng)趨向于時(shí)，趨向于0，
所以要使的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則，
故的取值范圍是.
（2）證明：，由（1）得，
則，.
設(shè)，則，
即，
.
設(shè)，則.
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
又，，，
所以存在唯一的，使得，
即，
所以的最小值為，，
所以，故.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)和證明不等式，第二問(wèn)利用變量集中結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算得，，轉(zhuǎn)化為t的函數(shù)證明并進(jìn)行隱零點(diǎn)代換是關(guān)鍵.
9．（23-24高二上·廣東深圳·期末）已知函數(shù).
(1)證明：當(dāng)時(shí)，；
(2)若恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）將題意轉(zhuǎn)化為證明，直接求導(dǎo)證明即可.
（2）根據(jù)題意將不等式進(jìn)行參變分離，得到在上恒成立，令，求函數(shù)的最小值即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋裕?br>令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，所以得證
（2）因?yàn)?，且恒成立?br>則在上恒成立，令，
則，令，則，
所以在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)?，?br>所以存在，使得，
當(dāng)時(shí)，，也即，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，也即，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；
故，
因?yàn)?，所以?br>則，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，則有，
所以
，
所以，則，
故的取值范圍為
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問(wèn)題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：
一般地，已知函數(shù)，
（1）若，，總有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，則的值域是值域的子集.
10．（23-24高三上·四川成都·期末）已知函數(shù)，.
(1)若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值所構(gòu)成的集合；
(2)已知，若，函數(shù)的最小值為，求的值域.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由題意，且，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程只有一個(gè)根，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合判斷的取值.
（2），通過(guò)構(gòu)造函數(shù)判斷的符號(hào)得的單調(diào)性，由最小值得，再由的零點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)通過(guò)單調(diào)性求的值域.
【詳解】（1）函數(shù)，定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，顯然不滿足題意，
當(dāng)時(shí)，若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，即只有一個(gè)根，
因?yàn)?不是方程的根，所以可轉(zhuǎn)化為只有一個(gè)根，
即直線與函數(shù)（且）的圖象只有一個(gè)交點(diǎn).
，令，得，
在和上，，在上，，
所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
在時(shí)有極小值，圖象如圖所示：
由圖可知：若要使直線與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，則或，
綜上的取值所構(gòu)成的集合為.
（2）由題意知，
令，得，所以在上單調(diào)遞增.
又，由零點(diǎn)的存在性定理知存在使得，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
故
又，所以，又，所以.
令，則，在恒成立，在單調(diào)遞減，
，由得.
將代入，得.
令，得，
所以在單調(diào)遞減，又
所以的值域?yàn)?
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，解題過(guò)程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧，許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.
11．（23-24高三上·北京東城·期末）已知函數(shù).
(1)若，求曲線在處的切線方程；
(2)若，求證：函數(shù)在上有極大值，且.
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，進(jìn)而求出切線方程；
（2）先對(duì)求導(dǎo)，然后構(gòu)造函數(shù)，再對(duì)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷的單調(diào)性，最后根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求出極大值的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，即切點(diǎn)為，
，，即在處切線的斜率為，
故曲線在處的切線方程為；
（2），
令，，，
在單調(diào)遞增，且，
在單調(diào)遞增，且，
在單調(diào)遞減，
，，
即，，
存在唯一的，使，即，
當(dāng)時(shí)，，即，在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即，在單調(diào)遞減，
在處取得極大值，設(shè)極大值，
即，
令，，
，
對(duì)勾函數(shù)在單調(diào)遞增，
，
，
，
，
即，.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值.解題的關(guān)鍵是掌握導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，當(dāng)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)不容易確定時(shí)，構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性.確定極值點(diǎn)時(shí)，需要滿足極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為，極值點(diǎn)左右兩側(cè)附近的導(dǎo)數(shù)值異號(hào).
12．（2024·湖南邵陽(yáng)·一模）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)設(shè)，求證：當(dāng)時(shí)，恰有兩個(gè)零點(diǎn).
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分類討論函數(shù)單調(diào)性；
（2）由題意，當(dāng)時(shí)，，令，借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)值的正負(fù)性和零點(diǎn)存在定理可證.
【詳解】（1）.
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，在上，有，在上，有,
故在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.
（2）時(shí)，.
令，
則.
令.
i.時(shí)，恒成立，
在上單調(diào)遞增.
又，
存在一個(gè)零點(diǎn)，使.
ii.，
恒成立，
在上單調(diào)遞減.
又，
.
存在零點(diǎn)，使.
，
.
在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減.
又.
，
存在一個(gè)零點(diǎn)，使.
iii.，
恒成立.
在單調(diào)遞減.
恒成立.
在沒(méi)有零點(diǎn).
iv.時(shí)，
下面來(lái)證明當(dāng)時(shí)，.
設(shè).
.
在上單調(diào)遞增，
，
恒成立.
綜上所述，在只有兩個(gè)零點(diǎn).
又是由向右平移一個(gè)單位所得，
在只有兩個(gè)零點(diǎn).
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來(lái)求解．這類問(wèn)題求解的通法是：
（1）構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類題的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)，并求其定義域；
（2）求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；
（3）數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況進(jìn)而求解．
13．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若對(duì)任意的恒成立，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，求實(shí)數(shù)的最大值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分類討論，再證充分性即可;
（2）將恒成立問(wèn)題分離參數(shù)后，轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，借助導(dǎo)數(shù)及零點(diǎn)存在性定理計(jì)算即可.
【詳解】（1）結(jié)合題意:的定義域?yàn)?
所以，
若，在上遞增，至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，
若，，在上遞增，在上遞減，
所以．
下面證明充分性：，
故在上有一個(gè)零點(diǎn)，
，
令，，
所以，所以，
故在上有一個(gè)零點(diǎn)．
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
（2），令，
則．
令，
所以在上遞增，又，
因此在上有唯一零點(diǎn)
所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，
所以函數(shù)在沒(méi)有零點(diǎn).
（2）解：因?yàn)?，可得?br>令，則，
①當(dāng)時(shí)，，即，
所以在上單調(diào)遞增，
所以時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
所以在上不存在最小值；
②當(dāng)時(shí)，則，所以，
即在內(nèi)有唯一的解，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，又因?yàn)椋?br>所以在內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，即，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在處取得最小值，即時(shí)，函數(shù)上存在最小值，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】方法技巧：已知函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題的三種常用方法：
1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過(guò)解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍
2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；
3、數(shù)形結(jié)合法，先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.
15．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出，在上單調(diào)遞增轉(zhuǎn)化為恒成立且不恒為零，當(dāng)時(shí)即恒成立，求出的最大值；當(dāng)時(shí)即，求出的最小值可得答案；
（2）令，分離參數(shù)得，構(gòu)造函數(shù)，求出，令，根據(jù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)個(gè)數(shù)可得答案.
【詳解】（1）由題意得的導(dǎo)數(shù)為，
∵在上單調(diào)遞增，∴恒成立且不恒為零．
當(dāng)時(shí)，，則恒成立，
由，由即有；
當(dāng)時(shí)，，則恒成立，
由，由，即有，
綜上可得：；
（2），，
令，分離參數(shù)得，
令，則，
令，則，
∴在上單調(diào)遞增，
又，，
∴使得，
則當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，即；
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∵
由，即，
可得，
∴，又在上單調(diào)遞增，
∴，即，
，
又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
故，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)取值，也是高考經(jīng)常涉及的重點(diǎn)問(wèn)題，（1）利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域（最值）問(wèn)題求解，如果涉及由幾個(gè)零點(diǎn)時(shí)，還需考慮函數(shù)的圖象與參數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解.

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