2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第14講：拓展七：極值點(diǎn)偏移問(wèn)題(學(xué)生版+解析)-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc20785" 類型一：不含參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題 PAGEREF _Tc20785 \h 1
\l "_Tc27732" 類型二：含參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題 PAGEREF _Tc27732 \h 3
\l "_Tc13653" 類型三：與對(duì)數(shù)均值不等式有關(guān)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題 PAGEREF _Tc13653 \h 5
\l "_Tc2374" 類型四：與指數(shù)均值不等式有關(guān)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題 PAGEREF _Tc2374 \h 6
高頻考點(diǎn)類型
類型一：不含參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題
典型例題
1．（23-24高三上·北京房山·期中）已知函數(shù)
(1)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)函數(shù)，若是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，
①求的取值范圍；
②求證：．
2．（23-24高三上·山東臨沂·開學(xué)考試）已知函數(shù).
(1)證明：.
(2)若函數(shù)，若存在使，證明：.
3．（23-24高三下·廣東深圳·階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)若對(duì)任意的，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)設(shè)是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且．求證：
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24·河南平頂山·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．
(1)求a的取值范圍；
(2)設(shè)是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．
2．（23-24高三上·廣東清遠(yuǎn)·期末）已知函數(shù)．
(1)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
(2)若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：．
3．（23-24高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中為常數(shù)，且．
(1)當(dāng)時(shí)，若在，上的最大值為1，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若，且函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，，證明：．
類型二：含參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題
典型例題
1．（23-24高二下·四川南充·期末）設(shè)函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)設(shè)，記，當(dāng)時(shí)，若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求證：．
2．（2023·遼寧丹東·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)若，證明：；
(2)若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍，并證明：．
3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，求證：．
類型三：與對(duì)數(shù)均值不等式有關(guān)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題
典型例題
1．（23-24高三上·遼寧大連·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，試比較與的大?。?br>(2)若斜率為的直線與的圖象交于不同兩點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：.
2．（23-24高二下·上海浦東新·期末）已知，函數(shù).
(1)若，求曲線在處的切線方程；
(2)若有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若有兩個(gè)相異零點(diǎn)，求證：.
練透核心考點(diǎn)
1．（2023·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)已知函數(shù)，存在，證明：．
2．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.
類型四：與指數(shù)均值不等式有關(guān)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題
典型例題
1．（23-24高三下·重慶渝中·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若，求函數(shù)的極值；
(2)若，，且滿足，求證：.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高三上·江蘇南通·期中）已知，是函數(shù)在區(qū)間上的極值點(diǎn).
(1)若函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，求；
(2)求證：在區(qū)間上存在兩個(gè)零點(diǎn)，且.
第14講：拓展七：極值點(diǎn)偏移問(wèn)題
目錄
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc20785" 類型一：不含參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題 PAGEREF _Tc20785 \h 1
\l "_Tc27732" 類型二：含參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題 PAGEREF _Tc27732 \h 9
\l "_Tc13653" 類型三：與對(duì)數(shù)均值不等式有關(guān)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題 PAGEREF _Tc13653 \h 18
\l "_Tc2374" 類型四：與指數(shù)均值不等式有關(guān)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題 PAGEREF _Tc2374 \h 24
高頻考點(diǎn)類型
類型一：不含參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題
典型例題
1．（23-24高三上·北京房山·期中）已知函數(shù)
(1)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)函數(shù)，若是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，
①求的取值范圍；
②求證：．
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)①；②證明見(jiàn)解析
【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)正負(fù)即可得到的單調(diào)區(qū)間；
（2）①將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果；
②由①可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可求得，進(jìn)而得到，即，根據(jù)的范圍和單調(diào)性可得結(jié)論.
【詳解】（1）定義域?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）①若是的兩個(gè)不同零點(diǎn)，則與在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)；
由（1）知：，又，
在的圖象如下圖所示，
由圖象可知：，，即的取值范圍為.
②不妨設(shè)，由①知：，
，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
設(shè)，則，
在上單調(diào)遞減，，，
又，，又，；
，，在上單調(diào)遞增，
，則.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：處理極值點(diǎn)偏移問(wèn)題中的類似于（）的問(wèn)題的基本步驟如下：
①求導(dǎo)確定的單調(diào)性，得到的范圍；
②構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后可得恒正或恒負(fù)；
③得到與的大小關(guān)系后，將置換為；
④根據(jù)與所處的范圍，結(jié)合的單調(diào)性，可得到與的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.
2．（23-24高三上·山東臨沂·開學(xué)考試）已知函數(shù).
(1)證明：.
(2)若函數(shù)，若存在使，證明：.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）構(gòu)造，求導(dǎo)后判斷函數(shù)最大值，得到，即得證；
（2）根據(jù)題意判斷，，將原題轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)后求導(dǎo)證明即可.
【詳解】（1）令，，，
令，解得：；令，解得：，
∴在遞增，在遞減，則，
∴恒成立，即.
（2）∵，，∴，
令，解得：；令，解得：；
∴在遞增，在遞減.
又∵，，，，且，.
要證，即證.
∵，∴，
又∵，∴只證即可.
令，，
恒成立，
∴在單調(diào)遞增.
又∵，∴，∴，
即，∴.
【點(diǎn)睛】極值點(diǎn)偏移的題目常用的手法就是對(duì)稱構(gòu)造，本題可先判斷，，再轉(zhuǎn)化為證明，根據(jù)的單調(diào)性可以將其轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)后利用導(dǎo)數(shù)證明不等式即可.
3．（23-24高三下·廣東深圳·階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)若對(duì)任意的，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)設(shè)是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且．求證：
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）先判斷不成立，當(dāng)時(shí)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合最值可得參數(shù)的取值范圍；
（2）設(shè)，可得恒成立，從而可證不等式.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋?，即，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
所以．
由恒成立可知，所以．
又因?yàn)?，所以的取值范圍為?br>（2）因?yàn)椋?，即?br>令，由題意可知，存在不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)，，使得．
由（1）可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．
不妨設(shè)，則．
設(shè)，
則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，即在區(qū)間上恒成立．
因?yàn)?，所以?
因?yàn)椋裕?
又因?yàn)?，，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，即．
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：不等式恒成立問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化函數(shù)的最值問(wèn)題，而極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，通過(guò)可構(gòu)建新函數(shù)，并利用原函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24·河南平頂山·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．
(1)求a的取值范圍；
(2)設(shè)是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．
【答案】(1)；
(2)證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）等價(jià)于有兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)，求出函數(shù)的最小值利用零點(diǎn)存在性定理分析即得解；
（2）不妨設(shè)，等價(jià)于證明，再利用極值點(diǎn)偏移的方法證明.
【詳解】（1）解：由，得，
設(shè)，則，，
因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
又因?yàn)?，所以?br> ，
，
所以a的取值范圍是．
（2）證明：不妨設(shè)，
由（1）知，則，，，
又在上單調(diào)遞增，
所以等價(jià)于，即．
設(shè)，
則．
設(shè)，則，
設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，?br>所以存在，使得，當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
又因?yàn)?，?br>所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
因?yàn)?，所以?br>所以，即原命題得證．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是掌握極值點(diǎn)偏移的解題方法，對(duì)于這些典型題型，學(xué)生要理解并靈活掌握.
2．（23-24高三上·廣東清遠(yuǎn)·期末）已知函數(shù)．
(1)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
(2)若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：．
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）先通過(guò)求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分類討論即可求解；
（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的單調(diào)性后再求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋?不是的零點(diǎn)．
當(dāng)，可變形為，
令，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即直線與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
因?yàn)椋?，得，又?br>所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
因?yàn)椋耶?dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．
（2）證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．
設(shè)，則，
由得，
所以，即．
令，則，
易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
要證，即證．
因?yàn)?，且在上單調(diào)遞增，所以只需證．
因?yàn)?，所以即證．
令，
則，
所以在上單調(diào)遞減．
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所以，故?br>3．（23-24高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中為常數(shù)，且．
(1)當(dāng)時(shí)，若在，上的最大值為1，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若，且函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）由題知，進(jìn)而分，，，四種情況討論求解即可得答案；
（2）根據(jù)題意，不妨設(shè)，則，，再構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明即可.
【詳解】（1）解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>①當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，其最大值為，不符合題意；
②當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在，，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
，，所以，不符合題意；
③當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在，，在，單調(diào)遞減，其最大值為，不符合題意；
④當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在，，上單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減，
，，所以，符合題意；
綜上所述，實(shí)數(shù)的值為；
（2）證明：，
令，得，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，遞減，在單調(diào)遞增，
函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，，
不妨設(shè)，則，，
構(gòu)造函數(shù)，，則，
，
在單調(diào)遞減，，
，恒成立．
，恒成立．
即，
，，且函數(shù)在單調(diào)遞增，
，．
【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的的最值，極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力，分類討論思想等，是難題.本題第一問(wèn)解題的關(guān)鍵在于求導(dǎo)得，進(jìn)而分類討論求解；第二問(wèn)解題的關(guān)鍵在于結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)得，，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解.
類型二：含參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題
典型例題
1．（23-24高二下·四川南充·期末）設(shè)函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)設(shè)，記，當(dāng)時(shí)，若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求證：．
【答案】(1)答案見(jiàn)解析；
(2)證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）求導(dǎo)后轉(zhuǎn)化為含參的函數(shù)，討論單調(diào)性的實(shí)質(zhì)就是解含參的不等式，借助分子函數(shù)的圖像，完成討論．
（2）本問(wèn)題為極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，可轉(zhuǎn)換為單變量的不等式證明，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明即可．
【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?br>.
令，則得到導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，或，由于分母為正，
故我們只關(guān)注分子函數(shù)，其為二次函數(shù)，借助其圖像，
以兩個(gè)零點(diǎn)的大小關(guān)系為分類標(biāo)準(zhǔn)得到如下：
①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，恒成立，即恒成立，故在上單調(diào)遞增；
綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單減區(qū)間為，單增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，只有單增區(qū)間；
（2）由題可知，，
設(shè)是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，不妨設(shè)為，
則，兩式相減整理得到
，從而得到，
要證，故只需要證明，
由于，
轉(zhuǎn)化為，
即，即，
令，則上述式子轉(zhuǎn)化為
設(shè)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故在上單調(diào)遞增，故有，
故得證，
即.
2．（2023·遼寧丹東·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)若，證明：；
(2)若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍，并證明：．
【答案】(1)證明見(jiàn)詳解；
(2)證明見(jiàn)詳解．
【分析】（1）令，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性求出最大值即可證明；
（2）令，通過(guò)求導(dǎo)分析單調(diào)性，結(jié)合的單調(diào)性從而證明結(jié)結(jié)論．
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?br>令，則
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故，所以，得；
（2）因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的零點(diǎn)，則在定義域內(nèi)不單調(diào)；
由
當(dāng)時(shí)，在恒成立，則在上單調(diào)遞減，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，在上有，在上有，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．不妨設(shè)
令
則
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增
所以
故，因?yàn)?br>所以，又，
則，又在上單調(diào)遞減，
所以，則．
3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，求證：．
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后分類討論的取值情況，從而可求解.
（2）結(jié)合（1）中結(jié)論可知，從而求出，，然后設(shè)并構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求解，然后再構(gòu)造函數(shù)證明，從而求解.
【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，無(wú)增區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為．
（2）因?yàn)槭呛膬蓚€(gè)零點(diǎn)，由（1）知，
因?yàn)?，設(shè)，則，
當(dāng)，，當(dāng)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，．
又因?yàn)?，且?br>所以，．
首先證明：．
由題意，得，設(shè)，則
兩式相除，得．
要證，只要證，即證．
只要證，即證．
設(shè)，．
因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增．
所以，即證得①．
其次證明：．設(shè)，．
因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減．
所以，
即．
所以②．
由①②可證得．
【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：
（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．
（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．
（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題．
（4）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高二下·吉林長(zhǎng)春·期末）已知函數(shù)，．（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極大值；
(2)已知，，且滿足，求證：．
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，進(jìn)而求得其最大值.
（2）同構(gòu)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合換元法，分別討論與，當(dāng)時(shí)運(yùn)用不等式性質(zhì)即可證得結(jié)果，當(dāng)時(shí)運(yùn)用極值點(diǎn)偏移即可證得結(jié)果.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?br>則，，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故的極大值為；
（2）由題意知，，由可得，
所以，令，
由（1）可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，
令，，又，，所以，，則，
①若，則，即，所以；
②若，設(shè)，且滿足，如圖所示，

則，所以，下證：．
令，，
則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
所以，即，
又因?yàn)?，所以，，?br>所以，即，
又因?yàn)?，所以，即?br>由①②可知，得證.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的一般題設(shè)形式：
1.若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)且，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）；
2.若函數(shù)中存在且滿足，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）；
3.若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)且，令，求證：；
4.若函數(shù)中存在且滿足，令，求證：.
2．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函數(shù)（）．
(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，（），求證：．
【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)的不同取值范圍，對(duì)的符號(hào)進(jìn)行討論即可；
（2）由已知及（1）中單調(diào)性，可知，且，故只需證明，再借助不等式性質(zhì)和放縮，即可證出.
【詳解】（1）由已知，的定義域?yàn)?，?br>①當(dāng)時(shí)，，恒成立，
∴此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.
（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，（），
則由（1）知，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
且，，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，（*）
∵，∴，∴，
又∵，∴，
∴只需證明，即有.
下面證明，
設(shè)
，，
設(shè)，則，
令，解得，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞增，
∴，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又∵，∴，
即，
∴由（*）知，，∴，即.
又∵，，
∴，原命題得證.
【點(diǎn)睛】本題第（2）問(wèn)為極值點(diǎn)偏移的變式，首先需要通過(guò)和，確認(rèn)只需證，再通過(guò)構(gòu)造關(guān)于其中一個(gè)零點(diǎn)的一元差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性，證出，最后使用不等式性質(zhì)和放縮得到.
3．（23-24高三上·山西·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）函數(shù)求導(dǎo)，分類討論通過(guò)判斷導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，確定函數(shù)單調(diào)性.
（2）對(duì)分類討論，求得有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)的范圍，及的范圍，構(gòu)造函數(shù)，研究在上的單調(diào)性，可得，又，及的單調(diào)性可得結(jié)論.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞減；
時(shí)，令得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）證明：時(shí)，由（1）知至多有一個(gè)零點(diǎn).
時(shí)，由（1）知當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.
①當(dāng)時(shí)，由于，故只有一個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，即，故沒(méi)有零點(diǎn)；
③當(dāng)時(shí)，即，
又，
由（1）知在上有一個(gè)零點(diǎn).
又，
由（1）知在有一個(gè)零點(diǎn)，
所以在上有兩個(gè)零點(diǎn)，的取值范圍為
不妨設(shè)，則，且，
令
，
則，
由于（且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，
所以當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，又，
所以，即，
又，所以，
又由于，且在上單調(diào)遞增，
所以即.
【點(diǎn)睛】極值點(diǎn)偏移問(wèn)題是根據(jù)極值點(diǎn)的偏移情況，即極值點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異構(gòu)造關(guān)于其中一個(gè)極值點(diǎn)的一元差函數(shù)（或比函數(shù)），然后通過(guò)探究該函數(shù)的單調(diào)性解決問(wèn)題。
類型三：與對(duì)數(shù)均值不等式有關(guān)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題
典型例題
1．（23-24高三上·遼寧大連·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，試比較與的大??；
(2)若斜率為的直線與的圖象交于不同兩點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）利用作差得，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，證明當(dāng)時(shí)，函數(shù)小于0恒成立，即可比較與的大??；
（2）通過(guò)題干條件求出和，利用分析法得出只需證成立，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明式子成立.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，
，
所以，
令，，
所以，
又因?yàn)?，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，
所以，即.
（2）因?yàn)樾甭蕿榈闹本€與的圖象交于不同兩點(diǎn)，，
所以，
，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，所以，
要證，即證，
又因?yàn)榫€段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，即證，
不妨設(shè)，上式可整理為，即，
令，則，所以上式即為，
令，則，
因?yàn)?，所以，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，即，
故得證.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：題干中涉及到含兩個(gè)變量的不等式時(shí)，都是要把雙變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一元變量問(wèn)題求解，途徑都是構(gòu)造一元函數(shù).
2．（23-24高二下·上海浦東新·期末）已知，函數(shù).
(1)若，求曲線在處的切線方程；
(2)若有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若有兩個(gè)相異零點(diǎn)，求證：.
【答案】(1)
(2)
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率為，再根據(jù)點(diǎn)斜式求切線方程；
（2）對(duì)分三種情況討論得解；
（3）利用分析法證不等式，要證，只要證，根據(jù)零點(diǎn)解得，化簡(jiǎn)欲證不等式，再令，構(gòu)造關(guān)于t的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求得范圍證不等式.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，，則切線方程為，
即切線方程為.
（2）①若時(shí)，則，是區(qū)間上的增函數(shù)，
因?yàn)?，?br>所以，則函數(shù)在區(qū)間有唯一零點(diǎn)；
②若，有唯一零點(diǎn)；
③若，令，得，
在區(qū)間上，，函數(shù)是增函數(shù)；
在區(qū)間上，，函數(shù)是減函數(shù)；
故在區(qū)間上，的極大值為，
由于有零點(diǎn)，須使，解得，
故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.
綜上，所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（3）要證，兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)得.
由得，得.
所以原命題等價(jià)于證明.
不妨取，故只需證，即.
令，則，設(shè)（），只需證.
而，故在單調(diào)遞增，所以.
綜上得.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)在第3小問(wèn)，解答有兩個(gè)關(guān)鍵，其一是要會(huì)利用分析法等價(jià)轉(zhuǎn)化命題；其二是能夠利用代換化雙變量問(wèn)題為單變量問(wèn)題解答.
練透核心考點(diǎn)
1．（2023·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)已知函數(shù)，存在，證明：．
【答案】(1)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性即可.
（2）由可得，結(jié)合（1）可得，聯(lián)立兩者可得，運(yùn)用比值代換法，設(shè)，轉(zhuǎn)化為求證,即可證明.
【詳解】（1）的定義域?yàn)?，?br>令，則，
所以函數(shù)在單調(diào)遞增，
又因?yàn)椋?br>所以，，
即：，，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.
（2）由（1），得，
又，即，
所以．
不妨設(shè)，所以．
由（1）得當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，
故，
所以，
所以，故．
下證．
即證：，
設(shè)，
則，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，
故，即，
所以，即，
所以，得證．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：極值點(diǎn)偏移問(wèn)題
(1)(對(duì)稱化構(gòu)造法)構(gòu)造輔助函數(shù)：對(duì)結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)；對(duì)結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)研究的單調(diào)性獲得不等式．
(2)(比值代換法)通過(guò)代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過(guò)代換化為單變量的函數(shù)不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明．
2．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）將代入后得，對(duì)其求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性即可得解；
（2）由題意得，從而利用分析法將變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得，由此得證.
(2)若，，且滿足，求證：.
【答案】(1)極小值為，無(wú)極大值.
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值；
（2）依題意可得，則，先證明，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)即可證明，則，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可證明.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，則，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以在處取得極小值為，無(wú)極大值.
（2）證明：當(dāng)時(shí)，依題意可得，顯然，
先證明，令，則，
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，
所以，
又依題意，
令，則，
所以當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，
所以，也即，
當(dāng)時(shí)利用在上單調(diào)遞減可知，
當(dāng)時(shí)也有，
所以，則，綜上可得.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高三上·江蘇南通·期中）已知，是函數(shù)在區(qū)間上的極值點(diǎn).
(1)若函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，求；
(2)求證：在區(qū)間上存在兩個(gè)零點(diǎn)，且.
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）求導(dǎo)，求出函數(shù)的極值點(diǎn)滿足的等式，再加上函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)得到的等式，聯(lián)立求出；
（2）求導(dǎo)，可得一個(gè)零點(diǎn)為0，另一個(gè)零點(diǎn)所在范圍，再利用的單調(diào)性，判斷出，進(jìn)而可通過(guò)單調(diào)性去掉得到答案.
【詳解】（1），
令，
時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，
∵，，
∴存在唯一的使，
且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
∴為的極小值點(diǎn)且，
則，
∵過(guò)，
∴，
，
，
∴，，
;
（2）當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
由（1）知存在唯一的使，
∴在上單調(diào)遞減；上單調(diào)遞增，
∵，，，
∴在上有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)一個(gè)零點(diǎn)為，另一個(gè)零點(diǎn)
∴且，在上單調(diào)遞增，
，
（利用放縮）
∴，即命題得證！
證明：，
設(shè)，，
則，即在上單調(diào)遞增，
，
即；
證明：，
設(shè)，
則，即在上單調(diào)遞增，
，
即.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1：當(dāng)一次求導(dǎo)不能解決問(wèn)題的時(shí)候，可以再求一次導(dǎo)；
2：針對(duì)不等式的證明，有時(shí)候可以利用不等式，來(lái)幫助進(jìn)行證明.

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