(1)證明：；
(2)記．證明：（其中i為虛數(shù)單位）；
(3)以函數(shù)為指數(shù)型母函數(shù)生成數(shù)列，．其中稱為伯努利數(shù)．證明：．且．
2．（2024上·全國·高三校聯(lián)考競賽）設(shè)有兩個集合，如果對任意，存在唯一的，滿足，那么稱是一個的函數(shù).設(shè)是的函數(shù)，是的函數(shù)，那么是的函數(shù)，稱為和的復(fù)合，記為.如果兩個的函數(shù)對任意，都有，則稱.
(1)對，分別求一個，使得對全體恒成立；
(2)設(shè)集合和的函數(shù)以及的函數(shù).
（i）對，構(gòu)造的函數(shù)以及的函數(shù)，滿足；
（ii）對，構(gòu)造的函數(shù)以及的函數(shù)，滿足，并且說明如果存在其它的集合滿足存在的函數(shù)以及的函數(shù)，滿足，則存在唯一的的函數(shù)滿足.
3．（2024下·湖北·高一湖北省漢川市第一高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）定義在上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)，恒成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為的上界．
(1)若在上是以2為上界的有界函數(shù)，求的取值范圍；
(2)已知，為正整數(shù)，是否存在整數(shù)，使得對，不等式恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
4．（2024上·安徽·高一校聯(lián)考期末）對于函數(shù)，為函數(shù)定義域，若存在正常數(shù)，使得對任意的，都有成立，我們稱函數(shù)為“同比不增函數(shù)”.
(1)若函數(shù)是“同比不增函數(shù)”，求的取值范圍；
(2)是否存在正常數(shù)，使得函數(shù)為“同比不增函數(shù)”，若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.
5．（2024上·江蘇常州·高一統(tǒng)考期末）中心對稱函數(shù)指的是圖形關(guān)于某個定點成中心對稱的函數(shù)，我們學(xué)過的奇函數(shù)便是一類特殊的中心對稱函數(shù)，它的對稱中心為坐標(biāo)原點. 類比奇函數(shù)的代數(shù)定義，我們可以定義中心對稱函數(shù)：設(shè)函數(shù)的定義域為，若對，都有，則稱函數(shù)為中心對稱函數(shù)，其中為函數(shù)的對稱中心. 比如，函數(shù)就是中心對稱函數(shù)，其對稱中心為.
(1)判斷是否為中心對稱函數(shù)（不用寫理由），若是，請寫對稱中心；
(2)若定義在上的函數(shù)為中心對稱函數(shù)，求的值；
(3)判斷函數(shù)是否為中心對稱函數(shù)，若是，求出其對稱中心；若不是，請說明理由.
6．（2024上·山東濟(jì)寧·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．
對任意，恰好存在個不同的實數(shù)，，，，使得（其中，，，，），則稱為的“重覆蓋函數(shù)” .
(1)判斷是否為的“重覆蓋函數(shù)”，如果是，求出的值；如果不是，說明理由．
(2)若為的“2重覆蓋函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍.
9．（2024上·廣東·高一統(tǒng)考期末）定義：函數(shù)若存在正常數(shù)，使得，為常數(shù)，對任意恒成；則稱函數(shù)為“代階函數(shù)”．
(1)判斷下列函數(shù)是否為“代階函數(shù)”？并說明理由．
①，②.
(2)設(shè)函數(shù)為“代階函數(shù)”，其中是奇函數(shù)，是偶函數(shù).若，求的值．
10．（2024上·上?！じ咭簧虾Ｊ醒鬀苤袑W(xué)校考期末）對于定義在區(qū)間上的函數(shù)，若．
(1)已知，，試寫出、的表達(dá)式；
(2)設(shè)且，函數(shù)，，如果與恰好為同一函數(shù)，求的取值范圍；
(3)若，存在最小正整數(shù)，使得對任意的成立，則稱函數(shù)為上的“階收縮函數(shù)”，已知函數(shù)，，試判斷是否為上的“階收縮函數(shù)”，如果是，求出對應(yīng)的，如果不是，請說明理由．
11．（2024上·廣東肇慶·高一統(tǒng)考期末）對于函數(shù)，若定義域內(nèi)存在實數(shù)，滿足，則稱為“函數(shù)”.
(1)已知函數(shù)，試判斷是否為“函數(shù)”，并說明理由；
(2)已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，函數(shù)，為其定義域上的“函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍.
12．（2024上·北京順義·高一統(tǒng)考期末）對于定義域為I的函數(shù)，如果存在區(qū)間，使得在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)，的值域是，則稱區(qū)間是函數(shù)的一個“優(yōu)美區(qū)間”.
(1)判斷函數(shù)和函數(shù)是否存在“優(yōu)美區(qū)間”?（直接寫出結(jié)論，不要求證明）
(2)如果函數(shù)在R上存在“優(yōu)美區(qū)間”，求實數(shù)a的取值范圍.
第10講：拓展一：定義題（解答題）
1．（2024·安徽蚌埠·統(tǒng)考模擬預(yù)測）對于無窮數(shù)列，我們稱（規(guī)定）為無窮數(shù)列的指數(shù)型母函數(shù)．無窮數(shù)列1，1，…，1，…的指數(shù)型母函數(shù)記為，它具有性質(zhì)．
(1)證明：；
(2)記．證明：（其中i為虛數(shù)單位）；
(3)以函數(shù)為指數(shù)型母函數(shù)生成數(shù)列，．其中稱為伯努利數(shù)．證明：．且．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）由，通過賦值即可證得；
（2）根據(jù)的周期性，經(jīng)過多次推理，由求和可以證得；
（3）構(gòu)造，可以推出，然后再可證得.
【詳解】（1）令，則．
由，令，則．
因為，故．
（2）證明：因為，
，
，
，
，
所以
（3）證明：令，則有
，
因此
故且，即．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：主要考查了復(fù)數(shù)的周期性，考查推理論證能力，對學(xué)生思維要求比較高，綜合性很強(qiáng).
2．（2024上·全國·高三校聯(lián)考競賽）設(shè)有兩個集合，如果對任意，存在唯一的，滿足，那么稱是一個的函數(shù).設(shè)是的函數(shù)，是的函數(shù)，那么是的函數(shù)，稱為和的復(fù)合，記為.如果兩個的函數(shù)對任意，都有，則稱.
(1)對，分別求一個，使得對全體恒成立；
(2)設(shè)集合和的函數(shù)以及的函數(shù).
（i）對，構(gòu)造的函數(shù)以及的函數(shù)，滿足；
（ii）對，構(gòu)造的函數(shù)以及的函數(shù)，滿足，并且說明如果存在其它的集合滿足存在的函數(shù)以及的函數(shù)，滿足，則存在唯一的的函數(shù)滿足.
【答案】(1)，
(2)（i），；（ii），，說明見解析
【分析】（1）利用對數(shù)函數(shù)性質(zhì)結(jié)合題干條件求解；
（2）（i）利用常函數(shù)求解；（ii）結(jié)合（i）再證明唯一性即可.
【詳解】（1）因為，而，
對全體恒成立；
故對所有成立.
（2）（i）考慮以及兩個函數(shù)，
對任意，因為，
所以.
（ii）我們可以繼續(xù)使用（i）的構(gòu)造，
任意取，因為，所以，
所以，則，
因此存在滿足條件；
如果符合題意，即，
則，
由定義得到；
所以存在唯一的的函數(shù)滿足題意.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：充分利用題目定義的新函數(shù)證明唯一性是關(guān)鍵.
3．（2024下·湖北·高一湖北省漢川市第一高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）定義在上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)，恒成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為的上界．
(1)若在上是以2為上界的有界函數(shù)，求的取值范圍；
(2)已知，為正整數(shù)，是否存在整數(shù)，使得對，不等式恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）利用上界的定義，換元令轉(zhuǎn)化函數(shù)式得，再結(jié)合與的單調(diào)性計算即可；
（2）假設(shè)存在滿足題意，分離參數(shù)得，然后分類討論為奇數(shù)或偶數(shù)，結(jié)合的取值范圍計算即可.
【詳解】（1）令，，則，
由題意可得，在上恒成立，
則在上恒成立，
∴，即，
易知在上單調(diào)遞減，則，
根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知：在上單調(diào)遞增，則，
綜上：．
（2）假設(shè)存在滿足題意，
當(dāng)為正偶數(shù)時，，即
設(shè)，易知，
則，，
∴；
當(dāng)為正奇數(shù)時，，即
同理設(shè)，易知，
則，，
∴；
若存在，則且，即，
∴，即，
∴．
4．（2024上·安徽·高一校聯(lián)考期末）對于函數(shù)，為函數(shù)定義域，若存在正常數(shù)，使得對任意的，都有成立，我們稱函數(shù)為“同比不增函數(shù)”.
(1)若函數(shù)是“同比不增函數(shù)”，求的取值范圍；
(2)是否存在正常數(shù)，使得函數(shù)為“同比不增函數(shù)”，若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，且
【分析】（1）由恒成立，分離常數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的最值來求得的取值范圍.
（2）結(jié)合的圖象以及圖象變換的知識求得的取值范圍.
【詳解】（1）因為函數(shù)是“同比不增函數(shù)”，則恒成立，
所以恒成立，所以，
即，由于，所以.
所以的取值范圍是.
（2）存在，理由如下：
，畫出的圖象如下圖所示，

的圖象是由的圖象向左平移個單位所得，
由圖可知，當(dāng)時，對任意的，都有成立，
所以存在正常數(shù)，使得函數(shù)為“同比不增函數(shù)”，且.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查新定義的理解和應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于利用題中的定義，將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，本題第（2）問利用數(shù)形結(jié)合思想求解比較直觀簡單.
5．（2024上·江蘇常州·高一統(tǒng)考期末）中心對稱函數(shù)指的是圖形關(guān)于某個定點成中心對稱的函數(shù)，我們學(xué)過的奇函數(shù)便是一類特殊的中心對稱函數(shù)，它的對稱中心為坐標(biāo)原點. 類比奇函數(shù)的代數(shù)定義，我們可以定義中心對稱函數(shù)：設(shè)函數(shù)的定義域為，若對，都有，則稱函數(shù)為中心對稱函數(shù)，其中為函數(shù)的對稱中心. 比如，函數(shù)就是中心對稱函數(shù)，其對稱中心為.
(1)判斷是否為中心對稱函數(shù)（不用寫理由），若是，請寫對稱中心；
(2)若定義在上的函數(shù)為中心對稱函數(shù)，求的值；
(3)判斷函數(shù)是否為中心對稱函數(shù)，若是，求出其對稱中心；若不是，請說明理由.
【答案】(1)是中心對稱函數(shù)，對稱中心為
(2)
(3)是中心對稱函數(shù)，對稱中心為.
【分析】（1）根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得，即可得結(jié)論；
（2）若定義在上的函數(shù)為中心對稱函數(shù)，其對稱中心的橫坐標(biāo)必為， 由可知，，即可得出的值；
（3）根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得，即可得結(jié)論．
【詳解】（1）根據(jù)題意，的定義域為，
，若對，
都有，
所以中心對稱函數(shù)，對稱中心為；
（2）若定義在上的函數(shù)為中心對稱函數(shù)，
明顯定義域僅關(guān)于點對稱，其對稱中心的橫坐標(biāo)必為，
則
，
因為為中心對稱函數(shù)，
則為定值，則，即，
所以關(guān)于點對稱.
（3）函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，其對稱中心為點
解方程得，所以函數(shù)的定義域為
明顯定義域僅關(guān)于點對稱
所以若函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，則其對稱中心橫坐標(biāo)必為
設(shè)其對稱中心為點， 則由題意可知有，
令，可得， 所以
所以若函數(shù)為中心對稱圖形，其對稱中心必定為點
下面論證函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形：
即只需證明，
，得證.
【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)的對稱性：
（1）若，則函數(shù)關(guān)于中心對稱；
（2）若，則函數(shù)關(guān)于對稱.
6．（2024上·山東濟(jì)寧·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的定義域；
(2)試判斷的單調(diào)性，并說明理由；
(3)定義：若函數(shù)在區(qū)間上的值域為，則稱區(qū)間是函數(shù)的“完美區(qū)間”．若函數(shù)存在“完美區(qū)間”，求實數(shù)b的取值范圍．
【答案】(1)
(2)單調(diào)遞增，理由見解析
(3)
【分析】（1）由函數(shù)解析式直接求定義域；
（2）法一：利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判定；
法二：定義法證明單調(diào)性；
（3）由題意可知方程在上至少存在兩個不同的實數(shù)解，即在上至少存在兩個不同的實數(shù)解，所以與在上至少存在兩個不同的交點．再利用基本不等式求出函數(shù)的值域即可.
【詳解】（1）要使函數(shù)的表達(dá)式有意義，須使，解得，
所以函數(shù)的定義域是．
（2）在上單調(diào)遞增．
理由如下：法一：
因為，
又在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，
故在上單調(diào)遞增．
法二：
因為，
對任意，，且，可知，則
，
又，
可知，所以，
即．故在上單調(diào)遞增，
（3）由（2）可知在上單調(diào)遞增，
設(shè)區(qū)間是函數(shù)的“完美區(qū)間”．則，．
可知方程在上至少存在兩個不同的實數(shù)解，
即在上至少存在兩個不同的實數(shù)解，
所以與在上至少存在兩個不同的交點．
令，則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號．
又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且當(dāng)時，；當(dāng)時，．
所以．故實數(shù)b的取值范圍為．
【點睛】思路點睛：第三問由題意，可將問題轉(zhuǎn)化為方程在上至少存在兩個不同的實數(shù)解，即在上至少存在兩個不同的實數(shù)解，所以與在上至少存在兩個不同的交點．接下來利用換元法求出函數(shù)的值域即可.
7．（2024·云南昆明·統(tǒng)考模擬預(yù)測）我們把（其中，）稱為一元n次多項式方程．代數(shù)基本定理：任何復(fù)系數(shù)一元次多項式方程（即，，，…，為實數(shù)）在復(fù)數(shù)集內(nèi)至少有一個復(fù)數(shù)根；由此推得，任何復(fù)系數(shù)一元次多項式方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)有且僅有n個復(fù)數(shù)根（重根按重數(shù)計算）．那么我們由代數(shù)基本定理可知：任何復(fù)系數(shù)一元次多項式在復(fù)數(shù)集內(nèi)一定可以分解因式，轉(zhuǎn)化為n個一元一次多項式的積．即，其中k，，，，，……，為方程的根．進(jìn)一步可以推出：在實系數(shù)范圍內(nèi)（即，，，…，為實數(shù)），方程的有實數(shù)根，則多項式必可分解因式．例如：觀察可知，是方程的一個根，則一定是多項式的一個因式，即，由待定系數(shù)法可知，．
(1)解方程：；
(2)設(shè)，其中，，，，且．
（i）分解因式：；
（ii）記點是的圖象與直線在第一象限內(nèi)離原點最近的交點．求證：當(dāng)時，．
【答案】(1)，，
(2)（i）；（ii）證明見解析
【分析】（1）觀察得到是方程的一個根，從而設(shè)，對照系數(shù)得到，，，得到，求出方程的根；
（2）（i）是方程的一個根，設(shè)，對照系數(shù)得到，，，從而得到答案；
（ii）令，故是方程的最小正實根，由（i）知：，設(shè)，根據(jù)的開口方向，結(jié)合，則一定有一正一負(fù)兩個實根，設(shè)正實根為t，結(jié)合得到，故，得到.
【詳解】（1）觀察可知：是方程的一個根；
所以，
由待定系數(shù)法可知，，解得，，；
所以，即或，
則方程的根為，，．
（2）（i）由可知，是方程的一個根；
所以，
即，
對照系數(shù)得，，，，
故，，；
所以
．
（ii）令，即，
點是的圖象與直線在第一象限內(nèi)離原點最近的交點，
等價于是方程的最小正實根；
由（i）知：是方程的一個正實根，
且，
設(shè)，由，，，可知為開口向上的二次函數(shù)；
又因為，則一定有一正一負(fù)兩個實根，設(shè)正實根為t；
又，可得，
所以；
當(dāng)時，，
由二次函數(shù)單調(diào)性可知，即是方程的最小正實根．
【點睛】方法點睛：三次函數(shù)是近兩年高考?？伎键c，需要對三次函數(shù)理解到位，求解三次函數(shù)的零點，常常需要先觀察函數(shù)，直接法得到其中一個零點，將三次函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，故常常利用二次函數(shù)的性質(zhì)來研究三次函數(shù)的性質(zhì).
8．（2024上·江蘇蘇州·高一?？计谀┮阎瘮?shù)和的定義域分別為和，若對任意，恰好存在個不同的實數(shù)，，，，使得（其中，，，，），則稱為的“重覆蓋函數(shù)” .
(1)判斷是否為的“重覆蓋函數(shù)”，如果是，求出的值；如果不是，說明理由．
(2)若為的“2重覆蓋函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)是，
(2)
【分析】（1）根據(jù)定義，結(jié)合單調(diào)性即可求解；
（2）先求出的值域，然后將問題轉(zhuǎn)化為的圖象與直線有兩個交點的問題，然后對a進(jìn)行分類討論可得；
【詳解】（1）由定義可得，對任意，恰好存在個不同的實數(shù)，
使得（其中），
即，
由，
故當(dāng)時，，此時不存在使成立，
當(dāng)時，，且在上單調(diào)遞增，
故對于任意，都有唯一一個，使得，
綜上所述，對于任意，都有唯一一個，使得，
是的“重覆蓋函數(shù)”，且；
（2）由可得，故，
，
即，存在2個不同的實數(shù)，使得，其中，
由時，，故，即，
故，故對任意，，
，
即對任意，都有2個實根，
當(dāng)時，，且在上遞增，
故時，都有唯一確定的實根，
故當(dāng)時，亦有且有一個實根，
當(dāng)時，，且在上單調(diào)遞減，符合題意，
當(dāng)時， 為開口向下的拋物線，不符合要求，故舍去。
當(dāng)時，則需對稱軸，且，
即，且，即，
綜上，實數(shù)的取值范圍是.
9．（2024上·廣東·高一統(tǒng)考期末）定義：函數(shù)若存在正常數(shù)，使得，為常數(shù)，對任意恒成；則稱函數(shù)為“代階函數(shù)”．
(1)判斷下列函數(shù)是否為“代階函數(shù)”？并說明理由．
①，②.
(2)設(shè)函數(shù)為“代階函數(shù)”，其中是奇函數(shù)，是偶函數(shù).若，求的值．
【答案】(1)①是代階函數(shù)，②不是代階函數(shù)，理由見解析
(2)
【分析】（1）利用“代階函數(shù)”的定義判斷即可；
（2）根據(jù)“代階函數(shù)”的定義，結(jié)合函數(shù)的奇偶性變形，得到，求解即可.
【詳解】（1）①是代階函數(shù)，
因為，此時，，
所以為代階函數(shù)；
②不是代階函數(shù)，
因為，所以不是代階函數(shù)；
（2）由已知存在常數(shù)滿足，
即，
令，則①，
令，則②，
因為是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，
所以，，，，
①②，整理得，
令，則，又因為，
且，可得，所以，
所以
【點睛】方法點睛：新定義題型的特點：通過給定一個新的概念，根據(jù)題目提供的信息，結(jié)合所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的；遇到新定義的題目，要耐心讀題，分析新定義的特點和性質(zhì)，按新定義的要求求解.
10．（2024上·上?！じ咭簧虾Ｊ醒鬀苤袑W(xué)?？计谀τ诙x在區(qū)間上的函數(shù)，若．
(1)已知，，試寫出、的表達(dá)式；
(2)設(shè)且，函數(shù)，，如果與恰好為同一函數(shù)，求的取值范圍；
(3)若，存在最小正整數(shù)，使得對任意的成立，則稱函數(shù)為上的“階收縮函數(shù)”，已知函數(shù)，，試判斷是否為上的“階收縮函數(shù)”，如果是，求出對應(yīng)的，如果不是，請說明理由．
【答案】(1)、
(2)
(3)是，
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)、在上的單調(diào)性可得出、的表達(dá)式；
（2）若與恰好為同一函數(shù)，只須在上是單調(diào)遞減，討論的取值由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解；
（3）根據(jù)函數(shù)在上的值域，寫出、的解析式，再由求出的范圍得到答案．
故是上的“階收縮函數(shù)”，且小正整數(shù).
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)新定義問題，解題的關(guān)鍵在于確定新函數(shù)的解析式，根據(jù)題意將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式成立的問題，再結(jié)合恒成立思想求解.
11．（2024上·廣東肇慶·高一統(tǒng)考期末）對于函數(shù)，若定義域內(nèi)存在實數(shù)，滿足，則稱為“函數(shù)”.
(1)已知函數(shù)，試判斷是否為“函數(shù)”，并說明理由；
(2)已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，函數(shù)，為其定義域上的“函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)是“函數(shù)”，理由見解析
(2)
【分析】（1）直接由新定義判斷方程是否有解即可.
（2）由題意得首先得，然后對分類討論，將問題轉(zhuǎn)換為方程有解求參數(shù)范圍即可.
【詳解】（1）由題意，若函數(shù)在定義域內(nèi)存在實數(shù)，滿足，
可得，即.
當(dāng)時，上式成立，所以存在，滿足，
所以函數(shù)是“函數(shù)”.
（2）因為函數(shù)為上的奇函數(shù)，
所以，所以，經(jīng)檢驗滿足條件，
所以，所以，
所以，定義域為.
①當(dāng)在區(qū)間上存在，滿足時，
則，即.
令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
又，所以，即，
所以，
所以，
②當(dāng)在區(qū)間上存在，滿足時，
則，即有解.
因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以.
③當(dāng)在區(qū)間上存在，滿足時，
則，即有解.
因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以.
綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為.
【點睛】關(guān)鍵點睛：第二問的關(guān)鍵是首先求得表達(dá)式，結(jié)合分類討論以及方程有解即可順利得解.
12．（2024上·北京順義·高一統(tǒng)考期末）對于定義域為I的函數(shù)，如果存在區(qū)間，使得在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)，的值域是，則稱區(qū)間是函數(shù)的一個“優(yōu)美區(qū)間”.
(1)判斷函數(shù)和函數(shù)是否存在“優(yōu)美區(qū)間”?（直接寫出結(jié)論，不要求證明）
(2)如果函數(shù)在R上存在“優(yōu)美區(qū)間”，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)存在優(yōu)美區(qū)間是，不存在優(yōu)美區(qū)間
(2)或
【分析】（1）由函數(shù)的單調(diào)性及值域及新定義求解；
（2）由函數(shù)的單調(diào)性，分類討論，，確定函數(shù)的最大值和最小值，轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的分布，可得結(jié)論．
【詳解】（1），在上單調(diào)遞增，
由得或1，所以存在優(yōu)美區(qū)間，
是增函數(shù)，若存在優(yōu)美區(qū)間，則，無解，
即函數(shù)不存在優(yōu)美區(qū)間；
（2）函數(shù)在上存在“優(yōu)美區(qū)間”，設(shè)是一個優(yōu)美區(qū)間，
在上遞減，在上遞增，
若，則，即有兩個不等的非負(fù)根，
即，可得，當(dāng)，即時，
設(shè)方程兩根分別為，
則，則，所以；
若，則，即，
兩式相減得，即，
所以，所以方程有兩個不等的非正根，
方程整理為，
由，解得，
又滿足題意，由，解得，
所以；
綜上，的取值范圍是或．
【點睛】本題考查函數(shù)的新定義，解題關(guān)鍵是理解新定義，解題難點是新定義的應(yīng)用，解題方法是利用新定義把問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布，注意分類討論的應(yīng)用．對學(xué)生的邏輯思維能力運(yùn)算求解能力要求較高，屬于難題．

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