10．（23-24高一下·江西宜春·階段練習）已知向量則下列說法正確的是（ ）
A．的相反向量是B．若，則
C．在上的投影數(shù)量為D．若，則
三、填空題
11．（23-24高一下·湖北武漢·階段練習）已知，若向量滿足，則在方向上的投影向量的坐標為 .
12．（2024·全國·模擬預測）在平行四邊形中，已知，點滿足，且，則 ．
四、解答題
13．（23-24高一下·廣東東莞·階段練習）已知，.
(1)若，求；
(2)若與的夾角為，求；
(3)若與垂直，求與的夾角．
14．（23-24高一下·廣東惠州·階段練習）在四邊形中，已知，，.
(1)若四邊形是矩形，求的值；
(2)若四邊形是平行四邊形，且，求與夾角的余弦值.
15．（23-24高一下·江蘇揚州·階段練習）如圖，在平面四邊形ABCD中，，分別是AD，DC的中點，為線段上一點（除端點外），且，設．
(1)若，以為基底表示向量與；
(2)求的取值范圍．
B能力提升
1．（2024·內蒙古呼和浩特·一模）已知向量，則“”是“與的夾角為鈍角”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
2．（23-24高一下·浙江·階段練習）已知，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習）設A，B，C，D為平面內四點，已知，，與的夾角為，M為AB的中點，，則的最大值為 ，此時 ．
4．（23-24高一下·重慶·階段練習）已知正六邊形ABCDEF的邊長為1，若點H是正六邊形ABCDEF內或其邊界上的一點，則的最小值為 ；若點N為線段AE（含端點）上的動點，且滿足，則的最大值為 .
C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
1．（23-24高一下·福建三明·階段練習）利用平面向量的坐標表示，可以把平面向量的概念推廣為坐標為復數(shù)的“復向量”，即可將有序復數(shù)對（其中）視為一個向量，記作，類比平面向量的相關運算法則，對于復向量，我們有如下運算法則：
①
②；
③
④
(1)設，為虛數(shù)單位，求，，；
(2)設是兩個復向量，
①已知對于任意兩個平面向量，（其中），成立，證明：對于復向量，也成立；
②當時，稱復向量與平行.若復向量與平行（其中為虛數(shù)單位，），求復數(shù).
第03講 平面向量的數(shù)量積 (分層精練）
A夯實基礎B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
A夯實基礎
一、單選題
1．（23-24高一下·河南·階段練習）已知向量且，則（ ）
A．1B．2C．3D．-1
【答案】A
【分析】根據向量垂直的坐標表示求解即可
【詳解】由，得，解得，
故選：A
2．（23-24高一下·河南·階段練習）已知點，則（ ）
A．B．0C．2D．
【答案】D
【分析】先求出兩個向量的坐標，再根據數(shù)量積的坐標公式計算即可.
【詳解】因為，
所以，
所以.
故選：D.
3．（23-24高一下·海南省直轄縣級單位·階段練習）已知向量滿足，且，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用向量夾角余弦公式求出，得到答案.
【詳解】∵，且，
，
∵，
∴.
故選：B.
4．（2024·河北·模擬預測）平面向量滿足，則在方向上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據給定條件，利用投影向量的定義求解即得.
【詳解】依題意，在方向上的投影向量為.
故選：D
5．（23-24高三下·重慶·階段練習）已知，，若，則（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量垂直的坐標表示即可求解.
【詳解】，由得，
解得.
故選：A.
6．（23-24高一下·甘肅金昌·階段練習）已知向量，若與垂直，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據與垂直，由求解.
【詳解】解：，
與垂直，
，
.
故選：A.
7．（23-24高一下·河南南陽·階段練習）已知向量的夾角為，且，則（ ）
A．6B．C．3D．
【答案】A
【分析】由平面向量減法的幾何意義，結合平面幾何的知識可解.
【詳解】在邊長為6的等邊三角形中，設，
則，故.
故選：A
8．（2024·全國·模擬預測）單位向量滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】法一：將平方得，求出，再利用夾角公式求解；法二：設向量坐標化，確定，再利用向量夾角的坐標公式求解.
【詳解】法一：因為，所以，所以.
由是單位向量，得，故.
所以，所以.
因為，
所以.
法二： 因為，所以.因為是單位向量，
所以設，，，則，，，
解得.
取，則.
因為，，
所以.
故選：B.
二、多選題
9．（2024·全國·模擬預測）已知向量．若，則（ ）
A．B．
C．在方向上的投影向量為D．與反向的單位向量是
【答案】ABC
【分析】利用平面向量的坐標運算及投影向量、單位向量的定義一一判定選項即可.
【詳解】．
．
，即．
，即，解得，則．
對于A，，故A正確；
對于B，因為，故B正確；
對于C，在方向上的投影向量為，故正確；
對于D，與反向的單位向量是，故D錯誤．
故選:ABC．
10．（23-24高一下·江西宜春·階段練習）已知向量則下列說法正確的是（ ）
A．的相反向量是B．若，則
C．在上的投影數(shù)量為D．若，則
【答案】AC
【分析】由相反向量的定義判斷A；由向量垂直數(shù)量積為0判斷B；由投影數(shù)量的概念判斷C；由共線量的坐標運算判斷D.
【詳解】對于A，由相反向量的定義，即可得到的相反向量是，故A正確；
對于B，因為，所以，
又，且，所以，解得，故B錯誤；
對于C，因為，所以，，
所以在上的投影數(shù)量為，故C正確；
對于D，因為，又，且，
所以，解得，故D錯誤.
故選：AC.
三、填空題
11．（23-24高一下·湖北武漢·階段練習）已知，若向量滿足，則在方向上的投影向量的坐標為 .
【答案】
【分析】根據數(shù)量積的運算律求得，根據投影向量的概念，即可求得答案.
【詳解】由題意知，故，
所以，而，則，
故，
則在方向上的投影向量為，
即在方向上的投影向量的坐標為，
故答案為：
12．（2024·全國·模擬預測）在平行四邊形中，已知，點滿足，且，則 ．
【答案】/
【分析】根據平面向量的線性運算可得，，結合數(shù)量積的運算律和定義即可求解.
【詳解】由題意得，，，
，
故，．
故答案為：
四、解答題
13．（23-24高一下·廣東東莞·階段練習）已知，.
(1)若，求；
(2)若與的夾角為，求；
(3)若與垂直，求與的夾角．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）由可得出的夾角為0或，再根據,即可求出；
（2）先求出,再利用模長公式求解；
（3）根據與垂直，即可得出，從而可求出，進而得出與的夾角．
【詳解】（1）∵，∴與的夾角為或， ∴=;
（2）；
（3），∴
∴，
，∴
14．（23-24高一下·廣東惠州·階段練習）在四邊形中，已知，，.
(1)若四邊形是矩形，求的值；
(2)若四邊形是平行四邊形，且，求與夾角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以、作為一組基底表示出、，再根據數(shù)量積的運算律計算可得；
（2）設與夾角為，結合（1）及數(shù)量積的定義計算可得.
【詳解】（1）四邊形是矩形，
，即，
又，，，
，，
，，
；
（2）設與夾角為，由（1）得，
，
，即與夾角的余弦值．
15．（23-24高一下·江蘇揚州·階段練習）如圖，在平面四邊形ABCD中，，分別是AD，DC的中點，為線段上一點（除端點外），且，設．
(1)若，以為基底表示向量與；
(2)求的取值范圍．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）由向量的線性運算可求得向量與.
（2）先表示向量，再運用向量數(shù)量積的定義和運算律可求得，從而可求得取值范圍.
【詳解】（1）依題意，，
所以
；
由，得
所以.
（2）由（1）知，，
依題意，，
由，，得，
因此
，
顯然，則，即，
所以的取值范圍為.
B能力提升
1．（2024·內蒙古呼和浩特·一模）已知向量，則“”是“與的夾角為鈍角”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據向量數(shù)量積的坐標表示以及夾角范圍計算，考慮向量反向的情況可得結論.
【詳解】若“”可得，可得；
當時，與的方向相反，其夾角為，
即與的夾角為鈍角或平角，充分性不成立；
若“與的夾角為鈍角”，即可知，解得，必要性成立；
因此“”是“與的夾角為鈍角”的必要不充分條件.
故選：B
2．（23-24高一下·浙江·階段練習）已知，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設向量，的夾角為，求得的表達式，利用平方的方法，結合余弦函數(shù)的值域等知識求得正確答案.
【詳解】設向量，的夾角為，則，
因為，
所以，
令，則，
因為，所以，又，所以.
故選：C
上的動點，且滿足，則的最大值為 .
【答案】 /-0.5 4
【分析】從向量的數(shù)量積的定義入手理解，將數(shù)量積最小問題轉化為在上的投影數(shù)量最小問題，結合圖象易于找到，計算即得；根據題意，建立如圖坐標系，設動點，,表示出相關向量坐標代入題設條件，列出方程組，求出，計算的取值范圍即得.
【詳解】
如圖，由向量數(shù)量積的幾何意義可知可理解為在上的投影數(shù)量與的乘積，
要使最小，需使在上的投影數(shù)量最小，由圖知，當且僅當點與重合時，投影的數(shù)量最小，即，
故；

如上圖，分別以所在直線為軸建立平面直角坐標系，則,不妨設，則，
則，由代入坐標，即得，，
解得：于是，因，故當且僅當時，的最大值為4.
故答案為：
C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
1．（23-24高一下·福建三明·階段練習）利用平面向量的坐標表示，可以把平面向量的概念推廣為坐標為復數(shù)的“復向量”，即可將有序復數(shù)對（其中）視為一個向量，記作，類比平面向量的相關運算法則，對于復向量，我們有如下運算法則：
①
②；
③
④
(1)設，為虛數(shù)單位，求，，；
(2)設是兩個復向量，
①已知對于任意兩個平面向量，（其中），成立，證明：對于復向量，也成立；
②當時，稱復向量與平行.若復向量與平行（其中為虛數(shù)單位，），求復數(shù).
【答案】(1)，，
(2)①證明見解析；②
【分析】（1）根據①③④即可解題；
（2）①設，由，得出，結合復數(shù)的三角不等式得即可證明；
②由①中復數(shù)的三角不等式等號成立的條件知，當復向量各分量均不為零時，其等號成立的條件是存在非負實數(shù)，使得，即再由復向量與平行時，，然后根據中等號成立的條件，求解即可.
【詳解】（1）因為，所以，
（2）①設，則，
由復數(shù)的三角不等式得，
由，得，所以，
所以
，
綜上所知，對于復向量，成立.
②由①中復數(shù)的三角不等式等號成立的條件知，
當復向量各分量均不為零時，其等號成立的條件是存在非負實數(shù)，使得
，即
故復向量與平行，有
，
根據中等號成立的條件，
應有，即，
所以，
結合，得，解得；
所以，所以.

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