2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第02講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(含新定義解答題)(分層精練)(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

二、多選題
9．（2024·安徽合肥·一模）函數(shù)的圖象可能是（）
A．B．
C．D．
10．（2023·重慶·三模）德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者之一，他從幾何問題出發(fā)，引進(jìn)微積分概念．在研究切線時認(rèn)識到，求曲線的切線的斜率依賴于縱坐標(biāo)的差值和橫坐標(biāo)的差值，以及當(dāng)此差值變成無限小時它們的比值，這也正是導(dǎo)數(shù)的幾何意義．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，對，，且，總有，則下列選項(xiàng)正確的是（）
A．
B．
C．
D．
三、填空題
11．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
12．（22-23高二下·河南焦作·期末）已知函數(shù) ，若不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
四、解答題
13．（23-24高三上·北京豐臺·期末）已知函數(shù)．
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，求實(shí)數(shù)的值；
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
14．（2023高二·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，.討論函數(shù)的單調(diào)性.
B能力提升
1．（2024·湖南邵陽·二模）已知函數(shù)的定義域?yàn)闉榈膶?dǎo)函數(shù).若，且在上恒成立，則不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二下·福建寧德·階段練習(xí)）已知是定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，則的大小關(guān)系為（）
A．B．C．D．
3．（多選）（23-24高二下·湖北·階段練習(xí)）已知，其圖像上能找到A、B兩個不同點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則稱A、B為函數(shù)的一對“友好點(diǎn)”，下列說法正確的是（）
A．可能有三對“友好點(diǎn)”
B．若，則有兩對“友好點(diǎn)”
C．若僅有一對“友好點(diǎn)”，則
D．當(dāng)時，對任意的，總是存在使得
4．（2024·四川南充·二模）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
5．（23-24高二下·江蘇·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求的單調(diào)增區(qū)間；
(2)求的單調(diào)區(qū)間；
(3)若在區(qū)間上為減函數(shù)，求的取值范圍.
C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
1．（23-24高三上·浙江寧波·期末）我們把底數(shù)和指數(shù)同時含有自變量的函數(shù)稱為冪指函數(shù)，其一般形式為，冪指函數(shù)在求導(dǎo)時可以將函數(shù)“指數(shù)化"再求導(dǎo).例如，對于冪指函數(shù)，.
(1)已知，求曲線在處的切線方程；
(2)若且，.研究的單調(diào)性；
(3)已知均大于0，且，討論和大小關(guān)系.
第02講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 (分層精練）
A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
A夯實(shí)基礎(chǔ)
1、單選題
1．（2022高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
直接求導(dǎo)，再令，解出不等式即可.
【詳解】，令，解得，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，
故選：A.
2．（2023·吉林長春·模擬預(yù)測）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性，并結(jié)合偶函數(shù)的定義逐一判斷即可.
【詳解】對于A選項(xiàng)：當(dāng)時，的導(dǎo)函數(shù)為，
所以在時單調(diào)遞減，故A選項(xiàng)不符合題意；
對于B選項(xiàng)：當(dāng)時，的導(dǎo)函數(shù)為，
所以在時單調(diào)遞減，故B選項(xiàng)不符合題意；
對于C選項(xiàng)：當(dāng)時，的導(dǎo)函數(shù)為，
所以在時單調(diào)遞減，故C選項(xiàng)不符合題意；
對于D選項(xiàng)：當(dāng)時，的導(dǎo)函數(shù)為，
所以在時單調(diào)遞增，
又函數(shù)的定義域?yàn)?，且，故D選項(xiàng)符合題意.
故選：D.
3．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）已知是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，且，，，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，再由，不等式即，結(jié)合單調(diào)性解得即可.
【詳解】令，則，
所以在上單調(diào)遞增，又，所以，
不等式，即，即，所以，
即不等式的解集為.
故選：B
4．（23-24高二下·江蘇常州·階段練習(xí)）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系將問題轉(zhuǎn)化為在上有解問題，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得其最小值，從而得解.
【詳解】因?yàn)榇嬖趩握{(diào)遞減區(qū)間，
所以在上有解，即在上有解，
令，則，令，解得(負(fù)值舍去)，
當(dāng)時，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，單調(diào)遞增；
所以，故，
故選：A.
5．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用給定單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性列出列式，分離參數(shù)求解即得.
【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，
由在上單調(diào)遞增，得，，而恒有，
則，又時，，在上單調(diào)遞增，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故選：D
6．（2024·云南貴州·二模）已知，則的大關(guān)系為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)的特點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，判斷其單調(diào)性，得到，故有，再運(yùn)用作差法比較即得.
【詳解】設(shè)，則，
當(dāng)時，，在上遞增；
當(dāng)時，，在上遞減,
故.
則，即；
由可知，故.
故選：B.
7．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）拉格朗日中值定理又稱拉氏定理：如果函數(shù)在上連續(xù)，且在上可導(dǎo)，則必有，使得.已知函數(shù)，那么實(shí)數(shù)的最大值為（）
A．1B．C．D．0
【答案】C
【分析】根據(jù)題意得到，構(gòu)造，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，進(jìn)而求出最大值，得到答案.
【詳解】由題意得，，不妨設(shè)，
則存在，使得，
又，故，
其中，
故，
由于，
令，，
則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故在處取得極大值，也是最大值，，
故實(shí)數(shù)的最大值為.
故選：C
8．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若對任意的，當(dāng)時，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，分離參數(shù)求最值即可.
【詳解】不等式等價于，
令，根據(jù)題意對任意的，
當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以在上恒成立，
即在上恒成立.
令，則，
所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，單調(diào)遞減.所以，所以.
故選：C.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：對于恒成立問題，常用到以下兩個結(jié)論：
（1）恒成立；
（2）恒成立.
二、多選題
9．（2024·安徽合肥·一模）函數(shù)的圖象可能是（）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】
利用分類討論及函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B正確；
當(dāng)時，，，所以在上單調(diào)遞增，故D正確；
當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時，；
故A正確；C錯誤.
故選：ABD.
10．（2023·重慶·三模）德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者之一，他從幾何問題出發(fā)，引進(jìn)微積分概念．在研究切線時認(rèn)識到，求曲線的切線的斜率依賴于縱坐標(biāo)的差值和橫坐標(biāo)的差值，以及當(dāng)此差值變成無限小時它們的比值，這也正是導(dǎo)數(shù)的幾何意義．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，對，，且，總有，則下列選項(xiàng)正確的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到；B選項(xiàng)，根據(jù)條件得到函數(shù)圖象上凸，畫出函數(shù)圖象，由的幾何意義得到；CD選項(xiàng)，結(jié)合，結(jié)合圖象得到答案.
【詳解】A選項(xiàng)，根據(jù)可得，在R上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以，A正確；
B選項(xiàng)，因?yàn)?，，且，總有?br>所以函數(shù)圖象上凸，畫出函數(shù)圖象，由幾何意義可知，表示函數(shù)圖象上的各點(diǎn)處的切線斜率，
顯然隨著的增大，切線斜率變小，且恒為正，
因?yàn)?，所以，B正確；
C選項(xiàng)，，結(jié)合函數(shù)圖象可知，C錯誤，D正確.

故選：ABD
三、填空題
11．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
【答案】
【詳解】由條件知f′(x)＝＋2ax＋(2a＋1)≤0，x∈(1，＋∞)恒成立．所以2a(x＋1)＋＋1≤0在x∈(1，＋∞)上恒成立，所以2a≤－，所以a≤－.
12．（22-23高二下·河南焦作·期末）已知函數(shù) ，若不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
【答案】
【分析】用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性解不等式.
【詳解】由得，，
所以在上為減函數(shù)，
由得，解得或.
故答案為：
四、解答題
13．（23-24高三上·北京豐臺·期末）已知函數(shù)．
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，求實(shí)數(shù)的值；
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】
（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，只需保證，求實(shí)數(shù)的值即可；
（2）求得有兩個根“和”，再分、和三種情況分析函數(shù)的單調(diào)性即可.
【詳解】（1）
由題可得，
因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線平行于軸，所以，
即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．
（2）
因?yàn)椋?br>令，得或．
當(dāng)時，隨的變化，，的變化情況如下表所示：
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．
當(dāng)時，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．
當(dāng)時，隨的變化，，的變化情況如下表所示：
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．
綜上所述，
當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；
當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．
14．（2023高二·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，.討論函數(shù)的單調(diào)性.
【答案】答案見解析
【分析】對求導(dǎo)，然后分和兩種情況討論即可；
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>所以.
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，令得，令得，
所以在上單調(diào)遞減：在上單調(diào)遞增.
綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
B能力提升
1．（2024·湖南邵陽·二模）已知函數(shù)的定義域?yàn)闉榈膶?dǎo)函數(shù).若，且在上恒成立，則不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得在上單調(diào)遞減，把不等式轉(zhuǎn)化為，即可求解.
【詳解】
設(shè)函數(shù)，可得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
由，可得，即，
可得，所以，即不等式的解集為.
故選：D.
2．（23-24高二下·福建寧德·階段練習(xí)）已知是定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，則的大小關(guān)系為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小即可.
【詳解】令，
則在上為減函數(shù)，所以，
則.
故選：A
3．（多選）（23-24高二下·湖北·階段練習(xí)）已知，其圖像上能找到A、B兩個不同點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則稱A、B為函數(shù)的一對“友好點(diǎn)”，下列說法正確的是（）
A．可能有三對“友好點(diǎn)”
B．若，則有兩對“友好點(diǎn)”
C．若僅有一對“友好點(diǎn)”，則
D．當(dāng)時，對任意的，總是存在使得
【答案】BD
【分析】
不妨設(shè)，存在友好點(diǎn)等價于方程有實(shí)數(shù)根，從而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得其單調(diào)性，畫出圖形，討論的圖象以及直線的圖象的交點(diǎn)個數(shù)情況即可逐一判斷求解.
【詳解】若和互為友好點(diǎn)，不妨設(shè)，
則，即，
令，則，
令，則，
所以單調(diào)遞減，注意到和同號，且，
所以當(dāng)時，即，單調(diào)遞增，
故方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根，
分別為，，且，，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增.
綜上可知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
5．（23-24高二下·江蘇·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求的單調(diào)增區(qū)間；
(2)求的單調(diào)區(qū)間；
(3)若在區(qū)間上為減函數(shù)，求的取值范圍.
【答案】(1)增區(qū)間為
(2)答案見解析
(3)
【分析】
（1）將函數(shù)求導(dǎo)，使導(dǎo)函數(shù)大于0求得，即得函數(shù)單調(diào)增區(qū)間；
（2）將函數(shù)求導(dǎo)分解因式，根據(jù)參數(shù)進(jìn)行分類討論，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）由在區(qū)間上為減函數(shù)等價于在區(qū)間上恒成立，結(jié)合函數(shù)圖象，得到關(guān)于參數(shù)的不等式組，解之即得.
【詳解】（1）當(dāng)時，，
因，由可得，則的單調(diào)增區(qū)間為.
（2）由求導(dǎo)得，
由可得或.
①當(dāng)時，由可得，由可得；
②當(dāng)時，在上恒成立；
③當(dāng)時，由可得，由可得.
故當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；
當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，無遞減區(qū)間；
當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.
（3）由（2）得
在區(qū)間上為減函數(shù)等價于在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立.
不妨設(shè)，結(jié)合函數(shù)的圖象知，需使，解得或.
即的取值范圍是.
C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
1．（23-24高三上·浙江寧波·期末）我們把底數(shù)和指數(shù)同時含有自變量的函數(shù)稱為冪指函數(shù)，其一般形式為，冪指函數(shù)在求導(dǎo)時可以將函數(shù)“指數(shù)化"再求導(dǎo).例如，對于冪指函數(shù)，.
(1)已知，求曲線在處的切線方程；
(2)若且，.研究的單調(diào)性；
(3)已知均大于0，且，討論和大小關(guān)系.
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)答案見解析
【分析】（1）利用“指數(shù)化"，即可結(jié)合復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即可求解，
（2）利用“指數(shù)化"，即可結(jié)合復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)，即可求解，
（3）根據(jù)的單調(diào)性，即可令求解.
【詳解】（1），
則，
所以，又因?yàn)椋郧芯€方程為.
（2），，
，
令，令，
，
令，解得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，所以，
所以在上單調(diào)遞增.
（3）由（2）知，令，得，
由（2）知在上單調(diào)遞增.
所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，即.
當(dāng)時，
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)比較大小的基本步驟
(1)作差或變形；
(2)構(gòu)造新的函數(shù)；
(3)利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性或最值；
(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．
單調(diào)遞增
單調(diào)遞減
單調(diào)遞增
單調(diào)遞增
單調(diào)遞減
單調(diào)遞增

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