C．D．
7．（2024·河南·一模）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則的極值點為（ ）
A．或B．C．或D．
8．（23-24高二下·吉林通化·階段練習(xí)）已知函數(shù)其中，，若對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．（23-24高二上·湖南長沙·期末）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，下列說法正確的是（ ）

A．函數(shù)在上單調(diào)遞增B．函數(shù)在上單調(diào)遞減
C．函數(shù)在處取得極大值D．函數(shù)有最大值
10．（23-24高三下·湖南長沙·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列說法正確的有
A．有唯一零點
B．無最大值
C．在區(qū)間上單調(diào)遞增
D．為的一個極小值點
三、填空題
11．（23-24高二下·四川遂寧·階段練習(xí)）已知函數(shù)在處取得極值5，則 .
12．（23-24高二下·天津濱海新·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
四、解答題
13．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝ax2－2bx－c ln x＋2b.
(1)若a＝1，b＝0，c＝2，求f(x)在[，e]上的最值；
(2)若a＝0，c＝－1，求函數(shù)f(x)在[1，2]上的最大值．
14．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
(2)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(3)若函數(shù)在區(qū)間上只有一個極值點，求a的取值范圍.
B能力提升
1．（23-24高二下·江蘇南京·開學(xué)考試）設(shè)，若函數(shù)有極值點，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·陜西咸陽·二模）已知函數(shù)，若是函數(shù)的唯一極小值點，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）在區(qū)間上，函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高二下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）若存在，使得不等式成立，則實數(shù)m的最大值為（ ）
A．B．C．4D．
5．（2024·云南·一模）已知在上只有一個極值點，則實數(shù)的取值范圍為 .
6．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知對于任意正數(shù)，恒成立，則正數(shù)的取值范圍為 ．
C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
1．（23-24高三上·上海黃浦·期中）設(shè)函數(shù)與的定義域均為，若存在，滿足且，則稱函數(shù)與“局部趨同”．
(1)判斷函數(shù)與是否“局部趨同”，并說明理由；
(2)已知函數(shù)．求證：對任意的正數(shù)，都存在正數(shù)，使得函數(shù)與“局部趨同”；
(3)對于給定的實數(shù)，若存在實數(shù)，使得函數(shù)與“局部趨同”，求實數(shù)的取值范圍．
第03講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值(分層精練）
A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
A夯實基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)f（x）＝x－ln x的（ ）
A．極大值為1B．極小值為1
C．極小值為－1D．極小值為e－1
【答案】B
【解析】略
2．（23-24高三上·黑龍江·階段練習(xí)）如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，下列結(jié)論正確的是（ ）

A．在處取得極大值B．是函數(shù)的極值點
C．是函數(shù)的極小值點D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
【答案】C
【分析】
根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可求解的單調(diào)性，即可結(jié)合選項逐一求解.
【詳解】由圖象可知：當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，
故是函數(shù)的極小值點，無極大值.
故選：C
3．（20-21高二上·陜西渭南·期末）已知函數(shù)的定義域為，且其導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖像如圖所示，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極大值點的個數(shù)為（ ）

A．3B．2C．1D．0
【答案】C
【分析】結(jié)合圖象，根據(jù)導(dǎo)數(shù)大于零，即導(dǎo)函數(shù)的圖象在軸上方，說明原函數(shù)在該區(qū)間上是單調(diào)遞增，否則為減函數(shù)，極大值點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號，從左往右，先正后負(fù)，因此根據(jù)圖象即可求得極大值點的個數(shù)．
【詳解】結(jié)合函數(shù)圖象，根據(jù)極大值的定義可知在該點處從左向右導(dǎo)數(shù)符號先正后負(fù)，
結(jié)合圖象可知，函數(shù)在區(qū)間的極大值點只有.
故選：C.
4．（21-22高二下·四川成都·期中）函數(shù)在[ 0，3 ]上的最大值為（ ）
A．－2B． C．－1D．1
【答案】B
【分析】求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)求出單調(diào)性，從而確定極大值，再求出端點值，比較得到最大值.
【詳解】，
令得：或，
令得：，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以在處取得極大值，，
又，
故在[ 0，3 ]上的最大值為.
故選：B
5．（23-24高二下·四川遂寧·階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上存在最值，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【分析】
借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性即可得其在何處取得最值，即可得解.
【詳解】，
則當(dāng)時，，當(dāng)時，，
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
即在處取得最值，則有，
解得.
故選：C.
6．（2023高二上·江蘇·專題練習(xí)）已知函數(shù)，存在最小值，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)圖形，由題意，結(jié)合圖形可得，即可求解.
【詳解】，，
令得，
且時，；時，，時，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，令時，解得或，
所以其圖象如下：
由圖可知，時存在最小值，
所以，解得，
即實數(shù)a的取值范圍為.
故選：
7．（2024·河南·一模）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則的極值點為（ ）
A．或B．C．或D．
【答案】D
【分析】
先對函數(shù)求導(dǎo)，先后代入和，確定函數(shù)的解析式，再通過導(dǎo)函數(shù)的符號確定函數(shù)的極小值點即可.
【詳解】對進(jìn)行求導(dǎo)，可得，
將代入整理，①
將 代入可得，即，
將其代入① ，解得：，故得.
于是，由可得或，因，
故當(dāng)時，，當(dāng)時， ，
即是函數(shù)的極小值點，函數(shù)沒有極大值.
故選：D.
8．（23-24高二下·吉林通化·階段練習(xí)）已知函數(shù)其中，，若對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由題意不等式成立轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)求最值解不等式即可.
【詳解】
由于，，
，，
，，即，在上單調(diào)遞增，
由任意的，都有成立，
所以，即，
，
，又，得，
則實數(shù)的取值范圍為，
故選：D．
二、多選題
9．（23-24高二上·湖南長沙·期末）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，下列說法正確的是（ ）

A．函數(shù)在上單調(diào)遞增B．函數(shù)在上單調(diào)遞減
C．函數(shù)在處取得極大值D．函數(shù)有最大值
【答案】BC
【分析】
根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號與原函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系可得的單調(diào)性，進(jìn)而逐項分析判斷.
【詳解】由題意可知：當(dāng)時，（不恒為0）；
當(dāng)時，；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
可知：A錯誤；B正確；
且函數(shù)在處取得極大值，故C正確；
雖然確定的單調(diào)性，但沒有的解析式，故無法確定的最值，故D錯誤；
故選：BC.
10．（23-24高三下·湖南長沙·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列說法正確的有
A．有唯一零點
B．無最大值
C．在區(qū)間上單調(diào)遞增
D．為的一個極小值點
【答案】BCD
【分析】求出函數(shù)的零點判斷A；利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)在上的取值情況判斷B；利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性及極值情況判斷CD.
【詳解】對于A，依題意，，即和是函數(shù)的零點，A錯誤；
對于B，當(dāng)時，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上遞增，當(dāng)時，，
而在上遞增，值域為，
因此當(dāng)時，，則無最大值，B正確；
對于C，，
令，求導(dǎo)得，
當(dāng)時，令，則，即在上遞增，
，則在上遞增，，
因此在上遞增，即在上單調(diào)遞增，C正確；
對于D，當(dāng)時，，
求導(dǎo)得，顯然函數(shù)在上遞增，
而，則存在，使得，
當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，
即當(dāng)時，，則，又，
因此為的一個極小值點，D正確.
故選：BCD
【點睛】方法點睛：函數(shù)零點的求解與判斷方法：
①直接求零點：令，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．
②零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點．
③利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．
三、填空題
11．（23-24高二下·四川遂寧·階段練習(xí)）已知函數(shù)在處取得極值5，則 .
【答案】
【分析】
由極值及極值點的定義可得、，計算即可得.
【詳解】，則有，解得，
，解得，故.
故答案為：.
12．（23-24高二下·天津濱海新·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】
根據(jù)給定條件，求出函數(shù)在上的最小值即可得解.
【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
由不等式在上恒成立，得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
四、解答題
13．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝ax2－2bx－c ln x＋2b.
(1)若a＝1，b＝0，c＝2，求f(x)在[，e]上的最值；
(2)若a＝0，c＝－1，求函數(shù)f(x)在[1，2]上的最大值．
【答案】(1)最大值為e2－2，最小值為1
(2)答案見解析
【詳解】
解：(1) 由已知，得f(x)＝x2－2ln x，
所以f′(x)＝2x－＝.
當(dāng)x∈(，1)時，f′(x)＜0，則f(x)單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈(1，e)時，f′(x)＞0，則f(x)單調(diào)遞增，
所以f(x)min＝f(1)＝1.
又f()＝－2ln＝＋2，f(e)＝e2－2＞＋2，
所以f(x)max＝f(e)＝e2－2，
即f(x)在[，e]上的最大值為e2－2，最小值為1.
(2) 由已知得f(x)＝ln x－2bx＋2b，
則f′(x)＝－2b＝.
當(dāng)b≤0時，x∈(0，＋∞)時，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，故b≤0時，函數(shù)f(x)在[1，2]上的最大值為f(2)＝ln 2－2b；
當(dāng)b＞0時，x∈(0，)時，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，
x∈(，＋∞)時，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．
當(dāng)≤1，即b≥時，f(x)在[1，2]上單調(diào)遞減，最大值為f(1)＝0；
當(dāng)≥2，即b≤時，f(x)在[1，2]上單調(diào)遞增，最大值為f(2)＝ln 2－2b；
當(dāng)1＜＜2，即＜b＜時，f(x)在[1，)上單調(diào)遞增，[，2]上單調(diào)遞減，最大值為f()＝2b－ln 2b－1.
綜上，所以當(dāng)b≤時，f(x)在[1，2]上的最大值為f(2)＝ln 2－2b；
當(dāng)＜b＜時，f(x)在[1，2]上的最大值為f()＝2b－ln 2b－1；
當(dāng)b≥時，f(x)在[1，2]上的最大值為f(1)＝0.
【考查意圖】
利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值．
14．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
(2)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(3)若函數(shù)在區(qū)間上只有一個極值點，求a的取值范圍.
【答案】(1)
(2)單調(diào)遞增區(qū)間為，
(3)
【分析】
（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，求解不等式，即可得到結(jié)果；
（3）方法Ⅰ：將函數(shù)極值點問題轉(zhuǎn)化為零點問題，然后分，與討論，即可得到結(jié)果；方法Ⅱ：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點問題，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）當(dāng)時，，則，
所以，，，
故當(dāng)時，曲線在點處的切線方程為，即.
（2）當(dāng)時，，該函數(shù)的定義域為，，
由，即，解得或，
因此，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
（3）法Ⅰ：因為，則，
令，因為函數(shù)在上有且只有一個極值點，
則函數(shù)在上有一個異號零點，
當(dāng)時，對任意的，恒成立，無零點，故不符合題意；
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因為，只需，故符合題意；
當(dāng)時，函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為直線，
因為，只需，故不符合題意，舍去
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是.
法Ⅱ：令，
則有根，令，
設(shè)，，
又函數(shù)對稱軸為，則時，單調(diào)遞增，
所以，即，
.
B能力提升
1．（23-24高二下·江蘇南京·開學(xué)考試）設(shè)，若函數(shù)有極值點，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)函數(shù)存在極值點的條件得到方程，參變分離后即可求得范圍.
【詳解】因為，
所以，若函數(shù)有極值點，
則有解，
方程化為，
故選：A.
2．（2024·陜西咸陽·二模）已知函數(shù)，若是函數(shù)的唯一極小值點，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
求導(dǎo)后令，再求，分及討論的正負(fù)，從而得到的單調(diào)性與對應(yīng)極值點即可得解.
【詳解】，令，則，
當(dāng)時，，故單調(diào)遞增，
又，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故是函數(shù)的唯一極小值點，符合題意，
當(dāng)時，，
故一定存在，使在上單調(diào)遞減，
此時不是函數(shù)的極小值點，故時不符合題意，
綜上所述，的取值范圍為.
故選：A.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵是對這一種情況的處理，利用推得不是函數(shù)的極小值點，從而得解.
3．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）在區(qū)間上，函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性建立不等式，再構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)最大值即得.
【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，
依題意，不等式在上有解，即在上有解，
令，，求導(dǎo)得，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，因此，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故選：C
4．（23-24高二下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）若存在，使得不等式成立，則實數(shù)m的最大值為（ ）
A．B．C．4D．
【答案】A
【分析】
求出在有解，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值即可．
【詳解】
由存在，使得不等式成立得：
故答案為：.
6．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知對于任意正數(shù)，恒成立，則正數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】
將不等式同構(gòu)為：，即，構(gòu)造函數(shù)分析單調(diào)性，只需比較與的大小即可.
【詳解】
不等式，由于，兩邊同乘，
可得：，即，
構(gòu)造函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得，
因此，即，則恒成立，令函數(shù)，求導(dǎo)得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，
因此，則，所以正數(shù)的取值范圍為.
故答案是：
C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
1．（23-24高三上·上海黃浦·期中）設(shè)函數(shù)與的定義域均為，若存在，滿足且，則稱函數(shù)與“局部趨同”．
(1)判斷函數(shù)與是否“局部趨同”，并說明理由；
(2)已知函數(shù)．求證：對任意的正數(shù)，都存在正數(shù)，使得函數(shù)與“局部趨同”；
(3)對于給定的實數(shù)，若存在實數(shù)，使得函數(shù)與“局部趨同”，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)不是，理由見解析
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）求出兩函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)題意列等式解出值，再代入原函數(shù)看是否相等即可得出答案；
（2）求出兩函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)題意列等式，得出要證明對任意的正數(shù)，都存在正數(shù)，使得函數(shù)與“局部趨同”，證明有解即可，再根據(jù)二次函數(shù)證明即可；
（3）求出兩函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)題意列等式，消去得出若有解，函數(shù)與就“局部趨同”，令，利用導(dǎo)數(shù)求出其值域，即可得出答案.
【詳解】（1）由，，
得，，
令，解得：，
，且，
即不存在，滿足且，
則函數(shù)與不是“局部趨同”；
（2）函數(shù)，
則，
若函數(shù)與“局部趨同”，
則存在，滿足且，
即，且，
則若有解，存在正數(shù)，都存在，滿足且，
即對任意的正數(shù)，都存在正數(shù)，使得函數(shù)與“局部趨同”，
即，其，
即有解，設(shè)方程的兩根分別為，
不妨設(shè)，則，所以，，
而，取，
所以對任意的正數(shù)，都存在正數(shù)，使得函數(shù)與“局部趨同”.
（3）若函數(shù)與“局部趨同”，
則且，
由，得，
即，則，
代入，得，
即，
則若有解，函數(shù)與就“局部趨同”，
即有解，
令，則，
在上，，在上，，
則在上，，在上，，
即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，最大值為，
從趨向于0時，趨向于，趨向于0，
則在從趨向于0時，趨向于，
則，
則要使有解，即，即，
故實數(shù)的取值范圍為.
【點睛】方法點睛：對于新概念題要將題中概念轉(zhuǎn)換為我們熟悉的內(nèi)容再進(jìn)行求解；解決存在自變量使得兩函數(shù)相等問題，注意利用等式轉(zhuǎn)換相等的復(fù)雜內(nèi)容，讓等式變簡單；等式中參數(shù)的范圍利用參變分離，后構(gòu)造新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求解其值域，注意定義域.

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