A．-7B．5C．6D．7
10．（23-24高二下·安徽亳州·期末）已知數(shù)列的前項和為，且，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．是等比數(shù)列
C．D．是遞增數(shù)列
三、填空題
11．（23-24高二下·陜西榆林·期末）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則 ．
12．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，若，，則 ．
四、解答題
13．（22-23高二下·北京延慶·期中）在數(shù)列中，已知，．
(1)若數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的通項公式及前項和；
(2)若數(shù)列是等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式及前項和；
(3)若數(shù)列的前項和，求數(shù)列的通項公式．
B能力提升
1．（23-24高二下·廣東佛山·期中）在當(dāng)前市場經(jīng)濟條件下，私營個體商店中的商品，所標(biāo)價格與其實際價值之間，存在著相當(dāng)大的差距，對顧客而言，總是希望通過“討價還價”來減少商品所標(biāo)價格與其實際價值的差距.設(shè)顧客第次的還價為，商家第次的討價為，有一種“對半討價還價”法如下：顧客第一次的還價為標(biāo)價的一半，即第一次還價，商家第一次的討價為與標(biāo)價的平均值，即；…，顧客第次的還價為上一次商家的討價與顧客的還價的平均值，即，商家第次討價為上一次商家的討價與顧客這一次的還價的平均值，即，現(xiàn)有一件衣服標(biāo)價1200元，若經(jīng)過次的“對半討價還價”，與相差不到2元，則的最小值為（ ）
A．4B．5C．6D．7
2．（23-24高三上·重慶南岸·階段練習(xí)）等比數(shù)列的首項為4，公比為3，前n項的和為，若（n，），則的最小值為 .
3．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項和為，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在不同的3項（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項，若不存在，請說明理由．
C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
1．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）設(shè)任意一個無窮數(shù)列的前項之積為，若，，則稱是數(shù)列．
(1)若是首項為，公差為的等差數(shù)列，請判斷是否為數(shù)列？并說明理由；
(2)證明：若的通項公式為，則不是數(shù)列；
(3)設(shè)是無窮等比數(shù)列，其首項，公比為，若是數(shù)列，求的值．
第03講 等比數(shù)列及其前n項和 (分層精練）
A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
A夯實基礎(chǔ)
一、單選題
1．（24-25高三上·浙江·開學(xué)考試）已知等比數(shù)列的前2項和為12，， 則公比的值為（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】A
【知識點】等比數(shù)列通項公式的基本量計算
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式建立方程組，解之即可求解.
【詳解】由題意知，設(shè)等比數(shù)列的公比為，
則，即，
解得，.
所以.
故選：A
2．（23-24高三下·廣西·階段練習(xí)）已知為等比數(shù)列，，，則（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】D
【知識點】等比數(shù)列通項公式的基本量計算
【分析】由等比數(shù)列基本量的計算依次求得，，進一步即可得解.
【詳解】由題得，，故，
，故，即，，
所以.
故選：D.
3．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）已知為等比數(shù)列的前項積，若，且（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識點】等比中項的應(yīng)用
【分析】利用等比中項的性質(zhì)求解即可.
【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)，得，所以.
故選:B.
4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，是的兩個根，則 的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識點】等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用
【分析】根據(jù)一元二次方程韋達(dá)定理得出，得出，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)，計算出結(jié)果；
【詳解】若，是的兩個根，則，
因為數(shù)列是等比數(shù)列，，.
故選：C.
5．（24-25高三上·安徽·開學(xué)考試）設(shè)公差的等差數(shù)列中，成等比數(shù)列，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識點】等差數(shù)列通項公式的基本量計算、利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算、等比中項的應(yīng)用
【分析】由題意可得，根據(jù)求解即可.
【詳解】因為公差的等差數(shù)列中，成等比數(shù)列，
所以，即，解得，
所以.
故選：A.
6．（23-24高三上·山東菏澤·階段練習(xí)）已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識點】等比數(shù)列通項公式的基本量計算、利用等比數(shù)列的通項公式求數(shù)列中的項
【分析】根據(jù)已知條件算出等比數(shù)列的首項和公比，即可計算.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，，
所以由，得，所以，
又，即，所以，
所以.
故選：B.
7．（2024·山西太原·二模）已知，分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列，其前項和分別是和，且，，，則（ ）
A．9B．9或18C．13D．13或37
【答案】B
【知識點】等比數(shù)列前n項和的基本量計算、求等差數(shù)列前n項和
【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，當(dāng)時求出，即可求出，再由等差數(shù)列求和公式及下標(biāo)和性質(zhì)計算可得，當(dāng)時根據(jù)等比數(shù)列求和公式求出，從而求出，即可求出，再由等差數(shù)列求和公式及下標(biāo)和性質(zhì)計算可得.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由且，
當(dāng)時，則，符合題意，則，又，所以，
所以；
當(dāng)時，則，即，解得（舍去）或，
所以，則，又，所以，
所以；
綜上可得或.
故選：B
8．（23-24高二下·西藏拉薩·期末）遞增等比數(shù)列中，，，則（ ）
A．B．C．72D．144
【答案】D
【知識點】等比數(shù)列通項公式的基本量計算
【分析】設(shè)公比為，然后由已知條件列方程可求出，從而可求出.
【詳解】設(shè)公比為，因為，，
所以，得，得，
所以或（舍去），
所以，
所以.
故選：D
二、多選題
9．（24-25高三上·山東菏澤·開學(xué)考試）記等比數(shù)列的前項積為，且，若，則的可能取值為（ ）
A．-7B．5C．6D．7
【答案】BD
【知識點】等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用
【分析】由題意結(jié)合等比數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)可得，結(jié)合即可求解.
【詳解】，
，
又，而，
或.
故選：.
10．（23-24高二下·安徽亳州·期末）已知數(shù)列的前項和為，且，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．是等比數(shù)列
C．D．是遞增數(shù)列
【答案】ACD
【知識點】利用an與sn關(guān)系求通項或項、求等比數(shù)列前n項和、由定義判定等比數(shù)列、判斷數(shù)列的增減性
【分析】由題中條件可得，判斷A；通過兩式相減的，變形可得出，判斷B；
根據(jù)求和公式結(jié)合作差法比較大小判斷C，D；
【詳解】對于A，由得，
，所以．A正確；
對于B，將與整體相減得，，
所以，
又，即，
所以．
因此不是等比數(shù)列，B錯誤；
對于C,因為，
所以當(dāng)時，．
當(dāng)時，．
當(dāng)時，，因此,C正確；
對于D，因為，
所以，
所以，
因此是遞增數(shù)列，D正確；
故選:ACD．
三、填空題
11．（23-24高二下·陜西榆林·期末）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則 ．
【答案】3
【知識點】等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用、對數(shù)的運算
【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)和對數(shù)運算即可.
【詳解】由題意得.
故答案為：3.
12．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，若，，則 ．
【答案】
【知識點】等比數(shù)列通項公式的基本量計算、等差數(shù)列通項公式的基本量計算
【分析】根據(jù)等差和等比數(shù)列的性質(zhì)，再結(jié)合特殊角的正切值，即可求解.
【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，，即，而，
根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，則，，
所以.
故答案為：.
四、解答題
13．（22-23高二下·北京延慶·期中）在數(shù)列中，已知，．
(1)若數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的通項公式及前項和；
(2)若數(shù)列是等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式及前項和；
(3)若數(shù)列的前項和，求數(shù)列的通項公式．
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【知識點】等差數(shù)列通項公式的基本量計算、等比數(shù)列通項公式的基本量計算、求等差數(shù)列前n項和、求等比數(shù)列前n項和
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及求和公式計算即可；
（2）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式及求和公式計算即可；
（3）根據(jù)，時，求解即可．
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，則，解得，，
所以，
．
（2）設(shè)等比數(shù)列的首項為，公差為，則，解得，，
所以，．
（3）由已知得，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
又因為，
所以．
B能力提升
1．（23-24高二下·廣東佛山·期中）在當(dāng)前市場經(jīng)濟條件下，私營個體商店中的商品，所標(biāo)價格與其實際價值之間，存在著相當(dāng)大的差距，對顧客而言，總是希望通過“討價還價”來減少商品所標(biāo)價格與其實際價值的差距.設(shè)顧客第次的還價為，商家第次的討價為，有一種“對半討價還價”法如下：顧客第一次的還價為標(biāo)價的一半，即第一次還價，商家第一次的討價為與標(biāo)價的平均值，即；…，顧客第次的還價為上一次商家的討價與顧客的還價的平均值，即，商家第次討價為上一次商家的討價與顧客這一次的還價的平均值，即，現(xiàn)有一件衣服標(biāo)價1200元，若經(jīng)過次的“對半討價還價”，與相差不到2元，則的最小值為（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【知識點】由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列
【分析】判斷出數(shù)列是等比數(shù)列，由此列不等式，從而求得的最小值.
【詳解】依題意可知，
，
則，又，
所以數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，
所以，
由得，其中，
解得，因此的最小值為.
故選：B.
當(dāng)時，，②
聯(lián)立①②，解得，
所以數(shù)列的通項公式．
（2）由（1）知．
所以，
所以．
設(shè)數(shù)列中存在3項（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列．
則，
所以，即，
又因為成等差數(shù)列，
所以，
所以，
化簡得，
所以，
又，所以，與已知矛盾，
所以在數(shù)列中不存在不同的3項成等比數(shù)列．
C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
1．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）設(shè)任意一個無窮數(shù)列的前項之積為，若，，則稱是數(shù)列．
(1)若是首項為，公差為的等差數(shù)列，請判斷是否為數(shù)列？并說明理由；
(2)證明：若的通項公式為，則不是數(shù)列；
(3)設(shè)是無窮等比數(shù)列，其首項，公比為，若是數(shù)列，求的值．
【答案】(1)是T數(shù)列，理由見解析
(2)證明見解析
(3)或．
【知識點】數(shù)列新定義、利用定義求等差數(shù)列通項公式、求等差數(shù)列前n項和、寫出等比數(shù)列的通項公式
【分析】（1）由題知，再根據(jù)T數(shù)列的定義，即可作出判斷；
（2）先假設(shè)是數(shù)列，從而有，再進行驗證，即可證明結(jié)果；
（3）根據(jù)題設(shè)得到，取對數(shù)后可得，分類討論后可求.
【詳解】（1）是T數(shù)列，
理由：由題知，即，
所以，，
當(dāng)時，，所以是T數(shù)列．
（2）假設(shè)是數(shù)列，則對任意正整數(shù)，總是中的某一項，
，
所以對任意正整數(shù)，存在正整數(shù)滿足：，
顯然時，存在，滿足，
取，得，所以，
可以驗證：當(dāng)，2，3，4時，都不成立，
故不是T數(shù)列.
（3）已知是等比數(shù)列，其首項，公比，
所以，
所以，
由題意知對任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得，
即對任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得，
即對任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得，
若，則，任意，這不可能成立；
若，
故對任意，總存在使得該等式成立，
故必為整數(shù)，
取，則有正整數(shù)解，故，
若，則，此時方程對任意，
必有正整數(shù)解；
若，則，
此時方程對任意，
必有正整數(shù)解；
綜上，或．
【點睛】方法點睛：新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的．遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決．

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