TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc4772" 第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) PAGEREF _Tc4772 \h 2
\l "_Tc24722" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc24722 \h 4
\l "_Tc18474" 第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) PAGEREF _Tc18474 \h 4
\l "_Tc30252" 高頻考點(diǎn)一：平面向量數(shù)量積的定義及辨析 PAGEREF _Tc30252 \h 4
\l "_Tc29429" 高頻考點(diǎn)二：平面向量數(shù)量積的幾何意義 PAGEREF _Tc29429 \h 5
\l "_Tc2208" 高頻考點(diǎn)三：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（求數(shù)量積） PAGEREF _Tc2208 \h 6
\l "_Tc568" 高頻考點(diǎn)四：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（模運(yùn)算） PAGEREF _Tc568 \h 7
\l "_Tc2457" 高頻考點(diǎn)五：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（向量的夾角） PAGEREF _Tc2457 \h 8
\l "_Tc27440" 高頻考點(diǎn)六：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（兩向量成銳角（鈍角）求參數(shù)） PAGEREF _Tc27440 \h 10
\l "_Tc8876" 高頻考點(diǎn)七：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（已知模求數(shù)量積） PAGEREF _Tc8876 \h 11
\l "_Tc23841" 高頻考點(diǎn)八：向量的垂直關(guān)系 PAGEREF _Tc23841 \h 12
\l "_Tc27123" 高頻考點(diǎn)九：向量的投影（投影向量) PAGEREF _Tc27123 \h 13
\l "_Tc12831" 高頻考點(diǎn)十：平面向量的綜合應(yīng)用 PAGEREF _Tc12831 \h 13
\l "_Tc25634" 高頻考點(diǎn)十一：最值范圍問(wèn)題 PAGEREF _Tc25634 \h 15
\l "_Tc27444" 第四部分：典型易錯(cuò)題型 PAGEREF _Tc27444 \h 16
\l "_Tc2209" 備注：兩向量成銳角（鈍角）求參數(shù)時(shí)注意共線問(wèn)題 PAGEREF _Tc2209 \h 16
\l "_Tc15009" 第五部分：新定義題 PAGEREF _Tc15009 \h 17
第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)
1、平面向量數(shù)量積有關(guān)概念
1.1向量的夾角
已知兩個(gè)非零向量和，如圖所示，作，，則
()叫做向量與的夾角，記作．
(2)范圍：夾角的范圍是．
當(dāng)時(shí)，兩向量，共線且同向；
當(dāng)時(shí)，兩向量，相互垂直，記作；
當(dāng)時(shí)，兩向量，共線但反向．
1.2數(shù)量積的定義：
已知兩個(gè)非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作，即，其中θ是與的夾角，記作：．
規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為零．記作：.
1.3向量的投影
①定義：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作.過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量.
②投影向量計(jì)算公式:
當(dāng)為銳角（如圖（1））時(shí)，與方向相同，，所以；
當(dāng)為直角（如圖（2））時(shí)，，所以；
當(dāng)為鈍角（如圖（3））時(shí)，與方向相反，所以，即.
當(dāng)時(shí)，，所以；
當(dāng)時(shí)，，所以
綜上可知，對(duì)于任意的，都有.
2、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示
已知向量，為向量和的夾角：
2.1數(shù)量積
2.2模：
2.3夾角：
2.4非零向量的充要條件：
2.5三角不等式：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）
3、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
①
②
③
4、極化恒等式
①平行四邊形形式：若在平行四邊形中，則
②三角形形式：在中，為的中點(diǎn)，所以
5、常用結(jié)論
①
②
③
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·北京·高考真題）已知向量滿足，則（ ）
A．B．C．0D．1
2．（2023·全國(guó)·乙卷文）正方形的邊長(zhǎng)是2，是的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．3C．D．5
3．（2023·全國(guó)·甲卷文）已知向量，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全國(guó)·乙卷理）已知的半徑為1，直線PA與相切于點(diǎn)A，直線PB與交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若，則的最大值為（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·天津·高考真題）在中，，，記，用表示 ；若，則的最大值為 ．
6．（2023·全國(guó)·新課標(biāo)Ⅱ卷）已知向量，滿足，，則 ．
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)
高頻考點(diǎn)一：平面向量數(shù)量積的定義及辨析
典型例題
1．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）對(duì)于任意向量，下列命題中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高一下·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）在中，下列命題正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①；②；③若，則為等腰三角形；④，則為銳角三角形．
A．1B．2C．3D．4
3．（23-24高一下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）在三角形中，在上的投影向量為，則 ．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·山東青島·期中）在中，，若，則下列結(jié)論正確的為（ ）
A．一定為鈍角三角形B．一定不為直角三角形
C．一定為銳角三角形D．可為任意三角形
2．（23-24高一下·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）在等式①；②；③；④若，且，則；其中正確的命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（多選）（23-24高一下·四川樂(lè)山·期末）已知平面向量，，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．
C．若，，則D．，則
高頻考點(diǎn)二：平面向量數(shù)量積的幾何意義
典型例題
1．（23-24高一下·河北衡水·期末）如圖，在邊長(zhǎng)為的等邊中，點(diǎn)為中線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）圓是中華民族傳統(tǒng)文化的形態(tài)象征，象征著“圓滿”和“飽滿”，是自古以和為貴的中國(guó)人所崇尚的圖騰.如圖所示的是一個(gè)圓形，圓心為，、是圓上的兩點(diǎn)，若，則 .

練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·安徽滁州·階段練習(xí)）《易經(jīng)》是中華民族智慧的結(jié)晶，易有太極，太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦，易經(jīng)包含了深菨的哲理.如圖所示是八卦模型圖以及根據(jù)八卦圖抽象得到的正八邊形，其中為正八邊形的中心，則（ ）

A．B．1C．D．
2．（23-24高一上·湖南長(zhǎng)沙·期末）在中，C為直角頂點(diǎn)，，則的值為（ ）
A．4B．8C．16D．缺少條件，做不出來(lái)
高頻考點(diǎn)三：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（求數(shù)量積）
典型例題
1．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）已知等邊的邊長(zhǎng)為，那么（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·山東·階段練習(xí)）在中，為邊上一點(diǎn)，滿足，則（ ）
A．B．6C．D．
3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在正六邊形中，已知，則 ．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高三下·海南省直轄縣級(jí)單位·開學(xué)考試）如圖，點(diǎn)P，A，B均在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格上，則（ ）

A．－8B．－4C．0D．4
2．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，若，則（ ）
A．B．C．1D．
3．（23-24高三下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，正八邊形，其外接圓半徑為2，則= .

高頻考點(diǎn)四：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（模運(yùn)算）
典型例題
1．23-24高三下·安徽滁州·階段練習(xí)）已知向量滿足，則（ ）
A．3B．C．7D．
2．（23-24高三下·浙江寧波·階段練習(xí)）已知平面向量滿足且，則（ ）
A．B．5C．D．6
3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若，，則 ．
4．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）已知，，，，則 .
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·陜西西安·三模）已知平面向量，的夾角為，若，，則（ ）
A．2B．C．或2D．2或
2．（2023高二上·甘肅蘭州·學(xué)業(yè)考試）已知向量，，則 （ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（23-24高三上·山西·期末）已知向量和的夾角的余弦值為，，，則等于（ ）
A．2B．4C．D．
4．（2023·北京海淀·三模）已知為單位向量，向量滿足，，則的最大值為（ ）
A．1B．2C．D．4
高頻考點(diǎn)五：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（向量的夾角）
典型例題
1．（2024·遼寧鞍山·二模）已知非零向量，滿足，向量在向量方向上的投影向量是，則與夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）已知非零向量滿足，則向量夾角的余弦值為 .
3．（23-24高一下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知在中，N是邊AB的中點(diǎn)，且，設(shè)AM與CN交于點(diǎn)P．記．
(1)用表示向量；
(2)若，且，求的余弦值．
4．（23-24高一下·云南昆明·階段練習(xí)）已知向量．
(1)若，求的坐標(biāo)；
(2)若，求與的夾角．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·河北滄州·階段練習(xí)）已知向量，則 ．
2．（2021·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則向量與的夾角的正切值為 ．
3．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知，，．
(1)求；
(2)求向量與的夾角．
4．（23-24高一下·河北滄州·階段練習(xí)）已知向量，，．
(1)若，，求的值；
(2)若，求與的夾角的余弦值．
高頻考點(diǎn)六：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（兩向量成銳角（鈍角）求參數(shù)）
典型例題
1．（23-24高二上·湖南長(zhǎng)沙·開學(xué)考試）已知點(diǎn)，，向量，若與成銳角，則y的取值范圍為 ．
2．（23-24高一下·河南南陽(yáng)·期中）已知且與的夾角為銳角，則的取值范圍是 .
3．（23-24高三上·黑龍江雞西·階段練習(xí)）已知平面向量，，．
(1)①若，求；②若，求；
(2)若向量與的夾角為鈍角，求x的取值范圍．
4．（23-24高一下·江蘇淮安·期中）已知向量，．
(1)若，求實(shí)數(shù)k的值；
(2)若與的夾角是鈍角，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·甘肅天水·期末）已知，若與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
2．（23-24高一下·內(nèi)蒙古呼和浩特·階段練習(xí)）已知向量，，則與的夾角為鈍角時(shí)，的取值范圍為 .
3．（23-24高一下·江西景德鎮(zhèn)·期中）若向量，的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
4．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）已知向量，．
(1)求以及向量與的夾角的余弦值；
(2)已知與的夾角為銳角，求的取值范圍．
高頻考點(diǎn)七：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（已知模求數(shù)量積）
典型例題
1．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知向量，，滿足，則（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三下·云南昆明·階段練習(xí)）已知平面向，，，， ，若，則的最大值為（ ）
A．8B．C．D．
3．（23-24高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）若向量，滿足，，，則 .
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高三上·山西·期末）已知向量和的夾角的余弦值為，，，則等于（ ）
A．2B．4C．D．
2．（2023·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量與的夾角為，且，則（ ）
A．B．-2C．2D．
3．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）向量，若存在實(shí)數(shù)，使得，則的取值范圍是
高頻考點(diǎn)八：向量的垂直關(guān)系
典型例題
1．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）已知且向量與互相垂直，則k的值為（ ）
A．B．
C．D．1
2．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知向量，若，則 .
3．（23-24高一下·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）已知，，與的夾角為．
(1)求；
(2)若向量與相互垂直，求實(shí)數(shù)k的值．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·天津靜?！るA段練習(xí)）已知，，，且與垂直，則實(shí)數(shù)的值為 （ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三下·云南·階段練習(xí)）已知單位向量，的夾角為，，若與垂直，則 .
3．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）已知向量，滿足，，且，的夾角為.
(1)求；
(2)若，求實(shí)數(shù)的值；
高頻考點(diǎn)九：向量的投影（投影向量)
典型例題
1．（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）已知，則向量在上的投影向量的模長(zhǎng)為（ ）
A．1B．C．D．
2．（23-24高一下·江西宜春·階段練習(xí)）已知向量與的夾角為，且，，則向量在向量上的投影數(shù)量為（ ）
A．1B．C．2D．
3．（23-24高一下·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）已知向量、、，其中且與的夾角是與的夾角是，則在方向上的投影數(shù)量為 ．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·山東泰安·階段練習(xí)）已知向量，，則在上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·山東青島·期末）已知平面向量，則向量在向量上的投影向量是（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高三上·上海浦東新·期末）已知向量，向量，則向量在向量上的投影向量為 ．
高頻考點(diǎn)十：平面向量的綜合應(yīng)用
典型例題
1．（23-24高一下·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知向量
(1)向量夾角的余弦值；
(2)若向量與垂直，求實(shí)數(shù)k的值；
(3)若向量，且與向量平行，求實(shí)數(shù)k的值.
2．（23-24高一下·廣東惠州·階段練習(xí)）已知非零向量滿足，且.
(1)求；
(2)當(dāng)時(shí)，求向量與的夾角θ的值.
3．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知平面內(nèi)的三個(gè)向量，，．
(1)若，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若，求實(shí)數(shù)的值．
高頻考點(diǎn)十一：最值范圍問(wèn)題
典型例題
1．（23-24高一下·北京·階段練習(xí)）已知向量滿足，，則的最大值等于（ ）
A．B．C．2D．
2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，，，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）鍵線式可以簡(jiǎn)潔直觀地描述有機(jī)物的結(jié)構(gòu)，在有機(jī)化學(xué)中極其重要．有機(jī)物萘可以用左圖所示的鍵線式表示，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)式可以抽象為右圖所示的圖形．已知與為全等的正六邊形，且，點(diǎn)為該圖形邊界（包括頂點(diǎn)）上的一點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高一下·福建莆田·期中）設(shè)平面向量，其中為單位向量，且滿足，則的最大值為 ．
練透核心考點(diǎn)
1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知A，B，C，D是半徑為2的圓O上的四個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的最大值為（ ）
A．6B．12C．24D．32
2．（23-24高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知，，，，，則的最大值為（ ）
A．B．4C．D．
3．（23-24高一下·河南周口·階段練習(xí)）已知平面向量滿足，則的最大值為 .
4．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）若，，平面內(nèi)一點(diǎn)P，滿足，的最大值是 ．
第四部分：典型易錯(cuò)題型
備注：兩向量成銳角（鈍角）求參數(shù)時(shí)注意共線問(wèn)題
1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，為互相垂直的單位向量，，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
2．（23-24高一下·河北滄州·階段練習(xí)）已知是夾角為的兩個(gè)單位向量．若，其中，若的夾角為銳角，則的取值范圍 ．
3．（23-24高三上·北京懷柔·階段練習(xí)）已知平面向量，滿足，與的夾角為，若與的夾角為鈍角，則一個(gè)滿足條件的的值可以為 ．
第五部分：新定義題
1．（23-24高一下·山西大同·階段練習(xí)）元向量（）也叫維向量，是平面向量的推廣，設(shè)為正整數(shù)，數(shù)集中的個(gè)元素構(gòu)成的有序組稱為上的元向量，其中為該向量的第個(gè)分量．元向量通常用希臘字母等表示，如上全體元向量構(gòu)成的集合記為．對(duì)于，記，定義如下運(yùn)算：加法法則，模公式，內(nèi)積，設(shè)的夾角為，則．
(1)設(shè)，解決下面問(wèn)題：
①求；
②設(shè)與的夾角為，求；
(2)對(duì)于一個(gè)元向量，若，稱為維信號(hào)向量．規(guī)定，已知個(gè)兩兩垂直的120維信號(hào)向量滿足它們的前個(gè)分量都相同，證明：．
第03講 平面向量的數(shù)量積
目錄
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc4772" 第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) PAGEREF _Tc4772 \h 1
\l "_Tc24722" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc24722 \h 3
\l "_Tc18474" 第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) PAGEREF _Tc18474 \h 8
\l "_Tc30252" 高頻考點(diǎn)一：平面向量數(shù)量積的定義及辨析 PAGEREF _Tc30252 \h 8
\l "_Tc29429" 高頻考點(diǎn)二：平面向量數(shù)量積的幾何意義 PAGEREF _Tc29429 \h 11
\l "_Tc2208" 高頻考點(diǎn)三：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（求數(shù)量積） PAGEREF _Tc2208 \h 13
\l "_Tc568" 高頻考點(diǎn)四：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（模運(yùn)算） PAGEREF _Tc568 \h 16
\l "_Tc2457" 高頻考點(diǎn)五：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（向量的夾角） PAGEREF _Tc2457 \h 19
\l "_Tc27440" 高頻考點(diǎn)六：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（兩向量成銳角（鈍角）求參數(shù)） PAGEREF _Tc27440 \h 23
\l "_Tc8876" 高頻考點(diǎn)七：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（已知模求數(shù)量積） PAGEREF _Tc8876 \h 27
\l "_Tc23841" 高頻考點(diǎn)八：向量的垂直關(guān)系 PAGEREF _Tc23841 \h 30
\l "_Tc27123" 高頻考點(diǎn)九：向量的投影（投影向量) PAGEREF _Tc27123 \h 32
\l "_Tc12831" 高頻考點(diǎn)十：平面向量的綜合應(yīng)用 PAGEREF _Tc12831 \h 34
\l "_Tc25634" 高頻考點(diǎn)十一：最值范圍問(wèn)題 PAGEREF _Tc25634 \h 39
\l "_Tc27444" 第四部分：典型易錯(cuò)題型 PAGEREF _Tc27444 \h 48
\l "_Tc2209" 備注：兩向量成銳角（鈍角）求參數(shù)時(shí)注意共線問(wèn)題 PAGEREF _Tc2209 \h 48
\l "_Tc15009" 第五部分：新定義題 PAGEREF _Tc15009 \h 50
第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)
1、平面向量數(shù)量積有關(guān)概念
1.1向量的夾角
已知兩個(gè)非零向量和，如圖所示，作，，則
()叫做向量與的夾角，記作．
(2)范圍：夾角的范圍是．
當(dāng)時(shí)，兩向量，共線且同向；
當(dāng)時(shí)，兩向量，相互垂直，記作；
當(dāng)時(shí)，兩向量，共線但反向．
1.2數(shù)量積的定義：
已知兩個(gè)非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作，即，其中θ是與的夾角，記作：．
規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為零．記作：.
1.3向量的投影
①定義：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作.過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量.
②投影向量計(jì)算公式:
當(dāng)為銳角（如圖（1））時(shí)，與方向相同，，所以；
當(dāng)為直角（如圖（2））時(shí)，，所以；
當(dāng)為鈍角（如圖（3））時(shí)，與方向相反，所以，即.
當(dāng)時(shí)，，所以；
當(dāng)時(shí)，，所以
綜上可知，對(duì)于任意的，都有.
2、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示
已知向量，為向量和的夾角：
2.1數(shù)量積
2.2模：
2.3夾角：
2.4非零向量的充要條件：
2.5三角不等式：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）
3、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
①
②
③
4、極化恒等式
①平行四邊形形式：若在平行四邊形中，則
②三角形形式：在中，為的中點(diǎn)，所以
5、常用結(jié)論
①
②
③
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·北京·高考真題）已知向量滿足，則（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】B
【分析】
利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律，數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解作答.
【詳解】
向量滿足，
所以.
故選：B
2．（2023·全國(guó)·乙卷文）正方形的邊長(zhǎng)是2，是的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．3C．D．5
【答案】B
【分析】方法一：以為基底向量表示，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；方法三：利用余弦定理求，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的定義運(yùn)算求解.
【詳解】方法一：以為基底向量，可知，
則，
所以；
方法二：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，
則，可得，
所以；
方法三：由題意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故選：B.
3．（2023·全國(guó)·甲卷文）已知向量，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用平面向量模與數(shù)量積的坐標(biāo)表示分別求得，從而利用平面向量余弦的運(yùn)算公式即可得解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>則，，
所以.
故選：B.
4．（2023·全國(guó)·乙卷理）已知的半徑為1，直線PA與相切于點(diǎn)A，直線PB與交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若，則的最大值為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得，或然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定的最大值.
【詳解】
如圖所示，，則由題意可知:，
由勾股定理可得

當(dāng)點(diǎn)位于直線異側(cè)時(shí)或PB為直徑時(shí)，設(shè)，
則：
，則
當(dāng)時(shí)，有最大值.

當(dāng)點(diǎn)位于直線同側(cè)時(shí)，設(shè)，
則：
，
，則
當(dāng)時(shí)，有最大值.
綜上可得，的最大值為.
故選：A.
【點(diǎn)睛】
本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問(wèn)題，考查了學(xué)生對(duì)于知識(shí)的綜合掌握程度和靈活處理問(wèn)題的能力.
5．（2023·天津·高考真題）在中，，，記，用表示 ；若，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】
空1：根據(jù)向量的線性運(yùn)算，結(jié)合為的中點(diǎn)進(jìn)行求解；空2：用表示出，結(jié)合上一空答案，于是可由表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算和基本不等式求解.
【詳解】空1：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，可得，
兩式相加，可得到，
即，則；
空2：因?yàn)?，則，可得，
得到，
即，即.
于是.
記，
則，
在中，根據(jù)余弦定理：，
于是，
由和基本不等式，，
故，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)，
則時(shí)，有最大值.
故答案為：；.

6．（2023·全國(guó)·新課標(biāo)Ⅱ卷）已知向量，滿足，，則 ．
【答案】
【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；法二：換元令，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解.
【詳解】法一：因?yàn)?，即?br>則，整理得，
又因?yàn)?，即?br>則，所以.
法二：設(shè)，則，
由題意可得：，則，
整理得：，即.
故答案為：.
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)
高頻考點(diǎn)一：平面向量數(shù)量積的定義及辨析
典型例題
1．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）對(duì)于任意向量，下列命題中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用向量的數(shù)量積及向量加法法則，逐項(xiàng)分析判斷即得.
【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號(hào)，A錯(cuò)誤；
由向量加法的三角形法則知，，當(dāng)且僅當(dāng)同向或至少一個(gè)為零向量時(shí)取等號(hào)，B錯(cuò)誤；
是與共線的向量，是與共線的向量，因此與不一定相等，C錯(cuò)誤；
，因此，D正確.
故選：D
2．（23-24高一下·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）在中，下列命題正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①；②；③若，則為等腰三角形；④，則為銳角三角形．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】
根據(jù)向量的運(yùn)算公式，即可判斷選項(xiàng).
【詳解】
①，故①錯(cuò)誤；②.故②正確；
③，則，為等腰三角形，故③正確；
④若，只能說(shuō)明中，角是銳角，不能說(shuō)明其它角的情況，所以不能判斷為銳角三角形，故④錯(cuò)誤.
故選：B
3．（23-24高一下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）在三角形中，在上的投影向量為，則 ．
【答案】
【分析】首先根據(jù)投影公式求，再轉(zhuǎn)化向量，即可求解.
【詳解】由題意，，為中點(diǎn)，
由在上的投影向量為，
即，又，
所以，
所以.
故答案為：
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·山東青島·期中）在中，，若，則下列結(jié)論正確的為（ ）
A．一定為鈍角三角形B．一定不為直角三角形
C．一定為銳角三角形D．可為任意三角形
【答案】D
【分析】
根據(jù)數(shù)量積的概念即可判斷為銳角，再利用三角形的定義判斷即可.
【詳解】因?yàn)椋?，所以?br>所以為銳角，但是不能確定其它角是否為銳角、直角或鈍角，所以不能確定的形狀，
故可為任意三角形.
故選：D
2．（23-24高一下·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）在等式①；②；③；④若，且，則；其中正確的命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】由零向量、向量數(shù)乘、數(shù)量積等概念和性質(zhì)，即可判斷正誤，進(jìn)而確定答案.
【詳解】零向量與任何向量的數(shù)量積都為0，故①錯(cuò)誤；
0乘以任何向量都為零向量，故②正確；
向量的加減、數(shù)乘滿足結(jié)合律，而向量數(shù)量積不滿足結(jié)合律，故③錯(cuò)誤；
不一定有，如滿足條件，結(jié)論不成立，故④錯(cuò)誤；
故選：A
3．（多選）（23-24高一下·四川樂(lè)山·期末）已知平面向量，，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．
C．若，，則D．，則
【答案】BD
【分析】
根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及定義判斷即可.
【詳解】對(duì)于A：表示與共線的一個(gè)向量，
表示與共線的一個(gè)向量，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：，故B正確；
對(duì)于C：因?yàn)?，即?br>又，所以，
即向量與在向量方向上的投影相同，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：若，則，
即，
所以，則，故D正確；
故選：BD
高頻考點(diǎn)二：平面向量數(shù)量積的幾何意義
典型例題
1．（23-24高一下·河北衡水·期末）如圖，在邊長(zhǎng)為的等邊中，點(diǎn)為中線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)數(shù)量積的定義可得為在上的投影，結(jié)合圖，分別計(jì)算點(diǎn)與點(diǎn)重合、點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)對(duì)應(yīng)的的值，可得的取值范圍，從而可得的取值范圍.
【詳解】
因?yàn)椋?br>其中為在上的投影，
又因?yàn)辄c(diǎn)為邊長(zhǎng)為的等邊中線上的動(dòng)點(diǎn)，
點(diǎn)為的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，為等邊三角形，
此時(shí)有最大值，所以，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)有最小值，
，
所以，又，
所以，即．
故選：B．
2．（23-24高二下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）圓是中華民族傳統(tǒng)文化的形態(tài)象征，象征著“圓滿”和“飽滿”，是自古以和為貴的中國(guó)人所崇尚的圖騰.如圖所示的是一個(gè)圓形，圓心為，、是圓上的兩點(diǎn)，若，則 .

【答案】18
【分析】利用平面向量的投影求解.
【詳解】依題意得，
則.
故答案為：18
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·安徽滁州·階段練習(xí)）《易經(jīng)》是中華民族智慧的結(jié)晶，易有太極，太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦，易經(jīng)包含了深菨的哲理.如圖所示是八卦模型圖以及根據(jù)八卦圖抽象得到的正八邊形，其中為正八邊形的中心，則（ ）

A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，利用正八邊形的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合數(shù)量積的定義計(jì)算即得.
【詳解】在正八邊形中，連接，則，
而，即，于是，
在等腰梯形中，，
所以.
故選：D

2．（23-24高一上·湖南長(zhǎng)沙·期末）在中，C為直角頂點(diǎn)，，則的值為（ ）
A．4B．8C．16D．缺少條件，做不出來(lái)
【答案】C
【分析】
由已知結(jié)合數(shù)量積的幾何意義求解.
【詳解】
如圖，
∵C為直角，，
∴.
故選：C
高頻考點(diǎn)三：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（求數(shù)量積）
典型例題
1．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）已知等邊的邊長(zhǎng)為，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的定義計(jì)算即得.
【詳解】等邊的邊長(zhǎng)為1，則，
，
所以.
故選：D
2．（23-24高一下·山東·階段練習(xí)）在中，為邊上一點(diǎn)，滿足，則（ ）
A．B．6C．D．
【答案】B
【分析】由題意分解向量得，進(jìn)一步結(jié)合向量的數(shù)量積公式即可求解.
【詳解】
由題意，因?yàn)椋?br>所以，
所以，
因?yàn)椋?br>所以.
故選：B.
3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在正六邊形中，已知，則 ．
【答案】/
【分析】求出角度，由余弦定理得到，利用數(shù)量積公式求出答案.
【詳解】在正六邊形中，，，
，
．
其中≌，
由余弦定理可得，
．
故答案為：
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高三下·海南省直轄縣級(jí)單位·開學(xué)考試）如圖，點(diǎn)P，A，B均在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格上，則（ ）

A．－8B．－4C．0D．4
【答案】A
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.
【詳解】如圖，以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則：，
，
，
故選:A．

2．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，若，則（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【分析】根據(jù)數(shù)量積得運(yùn)算律計(jì)算即可.
【詳解】由，
所以，則.
故選：C
3．（23-24高三下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，正八邊形，其外接圓半徑為2，則= .

【答案】
【分析】由，結(jié)合角度關(guān)系以及數(shù)量積定義和運(yùn)算律即可求得結(jié)果.
【詳解】正八邊形，故，
故；
則.
故答案為：.
高頻考點(diǎn)四：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（模運(yùn)算）
典型例題
1．23-24高三下·安徽滁州·階段練習(xí)）已知向量滿足，則（ ）
A．3B．C．7D．
【答案】B
【分析】根據(jù)平面向量模的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】∵向量滿足，
，
，
，
.
故選：B
2．（23-24高三下·浙江寧波·階段練習(xí)）已知平面向量滿足且，則（ ）
A．B．5C．D．6
【答案】D
【分析】由垂直關(guān)系的向量表示及數(shù)量積的運(yùn)算律列式計(jì)算即得.
【詳解】由，得，由，得，則，
由，得，即，則，
所以.
故選：D
3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若，，則 ．
【答案】
【分析】首先求出，再根據(jù)數(shù)據(jù)量的運(yùn)算律得到，最后根據(jù)計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>又，所以，
所以
.
故答案為：
4．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）已知，，，，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示求解即得.
【詳解】由，，得，而，且，
因此，解得，即，所以.
故答案為：
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·陜西西安·三模）已知平面向量，的夾角為，若，，則（ ）
A．2B．C．或2D．2或
【答案】A
【分析】將平方后，結(jié)合平面向量數(shù)量積公式計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，解得（舍負(fù)）.
故選：A.
2．（2023高二上·甘肅蘭州·學(xué)業(yè)考試）已知向量，，則 （ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】
計(jì)算，再計(jì)算模長(zhǎng)即可.
【詳解】
由題意知，
所以，
故選：D．
3．（23-24高三上·山西·期末）已知向量和的夾角的余弦值為，，，則等于（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】B
【分析】
先由模長(zhǎng)公式得，再結(jié)合數(shù)量積公式求即可.
【詳解】由題意可得，，，
可得，，
解得.
故選：B.
4．（2023·北京海淀·三模）已知為單位向量，向量滿足，，則的最大值為（ ）
A．1B．2C．D．4
【答案】C
【分析】
設(shè)，，根據(jù)求出，再根據(jù)得到，最后根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示及二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】依題意設(shè)，，
由，所以，則，
又，且，
所以，即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
即的最大值為.
故選：C
高頻考點(diǎn)五：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（向量的夾角）
典型例題
1．（2024·遼寧鞍山·二模）已知非零向量，滿足，向量在向量方向上的投影向量是，則與夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)投影向量可得，再結(jié)合向量夾角公式運(yùn)算求解.
【詳解】由向量在向量上投影向量為，
所以得，
又因?yàn)?，所以，故C正確.
故選：C.
2．（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）已知非零向量滿足，則向量夾角的余弦值為 .
【答案】
【分析】由，可得，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求出，再根據(jù)向量夾角的計(jì)算公式求解即可.
【詳解】因?yàn)榍覟榉橇阆蛄?，設(shè)，則，
又，所以，則，
所以，
設(shè)向量的夾角為，則，
即向量夾角的余弦值為.
故答案為：.
3．（23-24高一下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知在中，N是邊AB的中點(diǎn)，且，設(shè)AM與CN交于點(diǎn)P．記．
(1)用表示向量；
(2)若，且，求的余弦值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)平面向量線性運(yùn)算結(jié)合條件求解即得；
（2）利用結(jié)合條件根據(jù)向量夾角公式運(yùn)算求解即得.
【詳解】（1），
，
.
（2）因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以得，
，得，
所以，
所以，即的余弦值為.
4．（23-24高一下·云南昆明·階段練習(xí)）已知向量．
(1)若，求的坐標(biāo)；
(2)若，求與的夾角．
【答案】(1)或；
(2)．
【分析】
（1）根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示求解即可；
（2）利用坐標(biāo)表示向量的數(shù)量積及向量夾角公式得解.
【詳解】（1）由題意，設(shè)，
因?yàn)?，所以，所以?br>所以或．
（2）
因?yàn)椋?br>所以，所以，
即，
設(shè)與的夾角為，則，
又，所以，所以與的夾角．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·河北滄州·階段練習(xí)）已知向量，則 ．
【答案】/
【分析】
根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>則，
所以，
故答案為：.
2．（2021·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則向量與的夾角的正切值為 ．
【答案】/
【分析】確定，根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算，再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系計(jì)算即可.
【詳解】設(shè)向量與的夾角為，因?yàn)?，所以?br>，，所以，
又，所以，所以，
所以向量與的夾角的正切值為．
故答案為：．
3．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知，，．
(1)求；
(2)求向量與的夾角．
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）由條件結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求，再結(jié)合關(guān)系求；
（2）根據(jù)向量的夾角余弦公式求向量與的夾角余弦，再求其夾角.
【詳解】（1）因?yàn)?，?br>所以，
解得，．
所以，
所以．
（2）．
設(shè)向量與的夾角為，則
．
因?yàn)?，所以?br>4．（23-24高一下·河北滄州·階段練習(xí)）已知向量，，．
(1)若，，求的值；
(2)若，求與的夾角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助平面向量基本定理與坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可得；
（2）借助向量垂直可得數(shù)量積為0，結(jié)合向量夾角公式計(jì)算即可得.
【詳解】（1）因?yàn)椋裕?br>因?yàn)椋?，解得，所以?br>（2）因?yàn)?，所以?
即，解得，所以，
故．
高頻考點(diǎn)六：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（兩向量成銳角（鈍角）求參數(shù)）
典型例題
1．（23-24高二上·湖南長(zhǎng)沙·開學(xué)考試）已知點(diǎn)，，向量，若與成銳角，則y的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)向量夾角為銳角利用數(shù)量積求解.
【詳解】因?yàn)?，，與成銳角，
所以，
解得，
當(dāng)與同向時(shí)，，即，解得，
此時(shí)滿足，但與所成角為0，不滿足題意，
綜上，與成銳角時(shí)，y的取值范圍為.
故答案為：
2．（23-24高一下·河南南陽(yáng)·期中）已知且與的夾角為銳角，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】先利用題意算出，再利用平面向量夾角為銳角的充要條件，列出不等式求解作答.
【詳解】因?yàn)?，，所以?br>因?yàn)榕c的夾角為銳角，所以，且與不同向共線，
所以且，
解得且，所以的取值范圍為，
故答案為：.
3．（23-24高三上·黑龍江雞西·階段練習(xí)）已知平面向量，，．
(1)①若，求；②若，求；
(2)若向量與的夾角為鈍角，求x的取值范圍．
【答案】(1)①或；②或
(2)
【分析】
（1）根據(jù)向量平行，垂直可構(gòu)造方程求得；
（2）根據(jù)向量夾角與數(shù)量積的關(guān)系可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.
【詳解】（1），，
①若，則，即，解得或；
②若，則，解得或.
（2）由，解得或，
又時(shí)，或，
若向量與的夾角為鈍角，則或或，
故的取值范圍為.
4．（23-24高一下·江蘇淮安·期中）已知向量，．
(1)若，求實(shí)數(shù)k的值；
(2)若與的夾角是鈍角，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
【答案】(1)k＝
(2)．
【分析】（1）先求出，然后再根據(jù)垂直關(guān)系即可求出；
（2）由與的夾角是鈍角得到且與方向不相反，得到不等式組，求出實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【詳解】（1），
因?yàn)?，所以?br>解得：.
（2）若與的夾角是鈍角，
則且與方向不相反，
即，且
解得：且，
故實(shí)數(shù)k的取值范圍是.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·甘肅天水·期末）已知，若與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)兩向量夾角為鈍角列不等式，求解的取值范圍即可.
【詳解】因?yàn)榕c的夾角為鈍角，所以，
解得且，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
2．（23-24高一下·內(nèi)蒙古呼和浩特·階段練習(xí)）已知向量，，則與的夾角為鈍角時(shí)，的取值范圍為 .
【答案】
【分析】根據(jù)與的夾角為鈍角利用平面向量的夾角公式列出不等式，但是要排除兩個(gè)向量成角時(shí)的情況.
【詳解】因?yàn)榕c的夾角為鈍角，所以，
即，所以，解得，
同時(shí)向量，也不能成的角， 所以，
所以的取值范圍為.
故答案為：.
3．（23-24高一下·江西景德鎮(zhèn)·期中）若向量，的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)向量的夾角列式，從而求得的取值范圍.
【詳解】依題意，向量與的夾角為鈍角，
所以，解得且，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
4．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）已知向量，．
(1)求以及向量與的夾角的余弦值；
(2)已知與的夾角為銳角，求的取值范圍．
【答案】(1)；；
(2)
【分析】
（1）根據(jù)向量夾角公式計(jì)算求解即可；
（2）夾角為銳角時(shí)數(shù)量積為正，同時(shí)注意排除夾角為0的情況即可.
【詳解】（1）
由，，
得，
則；
，
（2）
，
由與的夾角為銳角，
則，
解得；
當(dāng)時(shí)，有，有．
此時(shí)．
所以的取值范圍為且．
高頻考點(diǎn)七：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（已知模求數(shù)量積）
典型例題
1．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知向量，，滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)已知條件可得向量的夾角為，，再利用數(shù)量積運(yùn)算可得解.
【詳解】由，可得向量的夾角為，
，
.
故選：C.
2．（23-24高三下·云南昆明·階段練習(xí)）已知平面向，，，， ，若，則的最大值為（ ）
A．8B．C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)題意由各向量間的夾角以及模長(zhǎng)，畫出圖形利用圓心角和圓周角的關(guān)系并由向量數(shù)量積定義可得結(jié)果.
【詳解】如下圖所示：
令，，，
由余弦定理得，，
因?yàn)?，所以?br>則C點(diǎn)在圓E的優(yōu)弧AB上運(yùn)動(dòng)，可得圓心角，
其中，，，，
則，所以，
所以
故選：B．
3．（23-24高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）若向量，滿足，，，則 .
【答案】
【分析】利用垂直向量的數(shù)量積為0，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算法則即可求得，從而得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
又，，所以，解得.
故答案為：.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高三上·山西·期末）已知向量和的夾角的余弦值為，，，則等于（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】B
【分析】
先由模長(zhǎng)公式得，再結(jié)合數(shù)量積公式求即可.
【詳解】由題意可得，，，
可得，，
解得.
故選：B.
2．（2023·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量與的夾角為，且，則（ ）
A．B．-2C．2D．
【答案】C
【分析】首先根據(jù)已知條件結(jié)合數(shù)量積的定義運(yùn)算求出，然后再根據(jù)向量的運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可.
【詳解】，解得：.
因此可得：.
故選：C
3．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）向量，若存在實(shí)數(shù)，使得，則的取值范圍是
【答案】
【分析】對(duì)給定向量等式兩邊平方，借助一元二次方程有實(shí)根求出的取值范圍即得.
【詳解】向量，由兩邊平方，得，
整理得，
依題意，關(guān)于的方程有實(shí)根，顯然，否則，
則，即，解得或，
由，得，因此，，
所以的取值范圍是.
故答案為：
高頻考點(diǎn)八：向量的垂直關(guān)系
典型例題
1．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）已知且向量與互相垂直，則k的值為（ ）
A．B．
C．D．1
【答案】B
【分析】根據(jù)向量垂直時(shí)數(shù)量積為0，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律，列方程求解，即可求得答案.
【詳解】因?yàn)橄蛄颗c互相垂直，
所以．所以，
因?yàn)?，所以?br>所以，解得，
故選：B
2．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知向量，若，則 .
【答案】
【分析】利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得，，再根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算求解即可.
【詳解】因?yàn)?，所以，?br>因?yàn)?，所以，所以，解?
故答案為：
3．（23-24高一下·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）已知，，與的夾角為．
(1)求；
(2)若向量與相互垂直，求實(shí)數(shù)k的值．
【答案】(1)2；
(2).
【分析】（1）根據(jù)題意求得數(shù)量積，再求向量的模長(zhǎng)即可；
（2）根據(jù)向量垂直則數(shù)量積為零，結(jié)合（1）中所求，即可求得參數(shù)值.
【詳解】（1）根據(jù)題意，，
又.
（2）根據(jù)題意， ，即，，解得.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·天津靜?！るA段練習(xí)）已知，，，且與垂直，則實(shí)數(shù)的值為 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)向量垂直的數(shù)量積表示、向量數(shù)量積的運(yùn)算律可構(gòu)造方程求得結(jié)果.
【詳解】，，
與垂直，，
解得：.
故選：C.
2．（23-24高三下·云南·階段練習(xí)）已知單位向量，的夾角為，，若與垂直，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合，列出方程，即可求解.
【詳解】因?yàn)閱挝幌蛄?，的夾角為，可得，
又因?yàn)榕c垂直，可得，
即，解得.
故答案為：.
3．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）已知向量，滿足，，且，的夾角為.
(1)求；
(2)若，求實(shí)數(shù)的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解；
（2）根據(jù)題意，得到，結(jié)合數(shù)量積的計(jì)算公式，列出方程，即可求解.
【詳解】（1）解：由向量，，且，的夾角為，可得，
則.
（2）解：因?yàn)?，所以?
即，即，
可得，即，解得.
高頻考點(diǎn)九：向量的投影（投影向量)
典型例題
1．（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）已知，則向量在上的投影向量的模長(zhǎng)為（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】直接根據(jù)投影的公式計(jì)算即可.
【詳解】向量在上的投影向量的模長(zhǎng)為.
故選：B.
2．（23-24高一下·江西宜春·階段練習(xí)）已知向量與的夾角為，且，，則向量在向量上的投影數(shù)量為（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義求出，再由向量在向量上的投影數(shù)量為計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)橄蛄颗c的夾角為，且，，
所以，
所以向量在向量上的投影數(shù)量為.
故選：B
3．（23-24高一下·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）已知向量、、，其中且與的夾角是與的夾角是，則在方向上的投影數(shù)量為 ．
【答案】1
【分析】先求出數(shù)量積，再根據(jù)數(shù)量積的幾何意義求解即可.
【詳解】因?yàn)榍遗c的夾角是與的夾角是，
所以，
所以在方向上的投影數(shù)量為.
故答案為：1
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·山東泰安·階段練習(xí)）已知向量，，則在上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)投影向量的定義，把在上的投影向量化簡(jiǎn)為，代入坐標(biāo)計(jì)算即得.
【詳解】在上的投影向量為.
故選：D.
2．（23-24高三上·山東青島·期末）已知平面向量，則向量在向量上的投影向量是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)向量在向量上的投影向量公式：計(jì)算即得.
【詳解】根據(jù)平面向量的投影向量的規(guī)定可得: 向量在向量上的投影向量為：，即，
因，則，，則向量在向量上的投影向量為：.
故選：D.
3．（23-24高三上·上海浦東新·期末）已知向量，向量，則向量在向量上的投影向量為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合投影向量公式，求得，即可求解.
【詳解】由向量，，可得，可得，
所以向量在向量上的投影向量為.
故答案為：.
高頻考點(diǎn)十：平面向量的綜合應(yīng)用
典型例題
1．（23-24高一下·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知向量
(1)向量夾角的余弦值；
(2)若向量與垂直，求實(shí)數(shù)k的值；
(3)若向量，且與向量平行，求實(shí)數(shù)k的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積以及模的坐標(biāo)運(yùn)算，計(jì)算即可得出答案；
（2）求出向量與的坐標(biāo)，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列出方程，求解即可得出答案；
（3）求出向量與向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示列出方程，求解即可得出答案.
【詳解】（1）由已知可得，，，，
所以，向量夾角的余弦值.
（2）由已知可得，，.
又向量與垂直，
所以，，即，
解得.
（3）由已知可得，.
又與向量平行，，
所以有，
整理可得，，解得.
2．（23-24高一下·重慶巴南·階段練習(xí)）已知向量滿足，設(shè)與的夾角為，
(1)若對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求的值；
(2)根據(jù)（1）中與的夾角值，求與夾角的余弦值．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）把不等式兩邊平方，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立問(wèn)題，即可得解；
（2）分別求出，再利用夾角公式即可得解．
【詳解】（1）將不等式兩邊同時(shí)平方，
得，
即
因?yàn)椋c的夾角為，
則恒成立，
所以，
化簡(jiǎn)得，解得．
（2）由（1）知，
則，
，則，
則，
故與夾角的余弦值為.
3．（23-24高一下·江蘇·階段練習(xí)）如圖所示，平行四邊形ABCD中，，，H，M分別是AD，DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC上一點(diǎn)，且．

(1)以，為基底表示向量與；
(2)若，，與的夾角為，求．
(3)設(shè)線段AM、FM的交點(diǎn)為，在（2）的條件下，求的余弦值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）利用向量的線性運(yùn)算及向量的中點(diǎn)表示即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及向量的數(shù)量積的定義，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解；
（3）利用（1）（2）及向量的數(shù)量積運(yùn)算律，結(jié)合向量的模公式及向量的夾角公式即可求解.
【詳解】（1）平行四邊形ABCD中，，，H，M分別是AD，DC的中點(diǎn)，．
，
.
（2）由（1）知，，，
，，與的夾角為，
,
.
（3）由（1）（2）知，，，，，
，，，
，
，
因?yàn)榫€段AM、FM的交點(diǎn)為，
所以就是向量與的夾角，
所以.
故的余弦值為.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·湖北武漢·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)和點(diǎn)，，且，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)若，求的值；
(2)若，設(shè)點(diǎn)D為線段OA（包括端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；
(3)若，向量，，求式的最小值及對(duì)應(yīng)的值．
【答案】(1)
(2)
(3)當(dāng)時(shí)，最小0.
【分析】（1）求出，將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為用表示，然后代入的值計(jì)算即可；
（2）設(shè)點(diǎn)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算模的最小值；
（3）計(jì)算化簡(jiǎn)，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解最值.
【詳解】（1）因?yàn)?，則，
則；
（2）因?yàn)椋?，則點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，，
則，
所以，
當(dāng)時(shí)，最小，且最小為；
（3）由已知點(diǎn)，則，
又，
所以
，
因?yàn)?，所以?br>則當(dāng)，即時(shí)，取最小值，且最小值為.
2．（23-24高一下·廣東惠州·階段練習(xí)）已知非零向量滿足，且.
(1)求；
(2)當(dāng)時(shí)，求向量與的夾角θ的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解即得.
（2）利用數(shù)量積的運(yùn)算律及夾角公式求解即得.
【詳解】（1）向量，由，得，即，
所以.
（2）由（1）知，，而，
則，，
因此，而，
所以所求夾角.
3．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知平面內(nèi)的三個(gè)向量，，．
(1)若，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若，求實(shí)數(shù)的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，得到，，再利用共線的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求出結(jié)果；
（2）根據(jù)條件，利用垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)椋?，?br>所以，，
因?yàn)?，所以，解得?br>（2）由（1）知，又，
因?yàn)?，所以，得到?br>解得．
高頻考點(diǎn)十一：最值范圍問(wèn)題
典型例題
1．（23-24高一下·北京·階段練習(xí)）已知向量滿足，，則的最大值等于（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】由，即得到點(diǎn)共圓，再利用余弦定理和正弦定理求解即可.
【詳解】設(shè)，
因?yàn)?，，所以?br>又，所以，所以點(diǎn)共圓，
要使的最大，即為直徑，
在中，由余弦定理可得，
又由正弦定理，
即的最大值等于，
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是由向量之間的夾角確定點(diǎn)共圓，再由正弦和余弦定理求解即可.
2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，，，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)題設(shè)向量模長(zhǎng)和垂直條件，考慮運(yùn)用幾何法求解，由想到構(gòu)造矩形，運(yùn)用極化恒等式推導(dǎo)出結(jié)論，求得,最后用三角形三邊關(guān)系定理得到的范圍，轉(zhuǎn)化即得.
【詳解】
如圖，設(shè)，，，點(diǎn)在圓上，
點(diǎn)在圓上，則，，由可得：，
作矩形, 則.
下證： .
設(shè)交于點(diǎn)，連接,因則 ，
同理可得：，兩式左右分別相加得：
，
.
即，故.
又，因，
即，故有．
故選:C．
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：本題考查平面向量的線性運(yùn)算的模長(zhǎng)范圍問(wèn)題，屬于較難題.
處理平面向量的模長(zhǎng)范圍問(wèn)題，常用的方法有：
（1）坐標(biāo)法：即通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，通過(guò)向量坐標(biāo)運(yùn)算求得；
（2）基向量表示法：即通過(guò)選設(shè)平面的基底，用基底表示相關(guān)向量，運(yùn)算求得；
（3）構(gòu)造幾何圖形法：即根據(jù)模長(zhǎng)定值構(gòu)造圓形，由向量點(diǎn)乘等于零得到兩向量垂直.
3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）鍵線式可以簡(jiǎn)潔直觀地描述有機(jī)物的結(jié)構(gòu)，在有機(jī)化學(xué)中極其重要．有機(jī)物萘可以用左圖所示的鍵線式表示，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)式可以抽象為右圖所示的圖形．已知與為全等的正六邊形，且，點(diǎn)為該圖形邊界（包括頂點(diǎn)）上的一點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】取線段的中點(diǎn)，可得出，求出的最大值和最小值，即可得出的取值范圍.
【詳解】取線段的中點(diǎn)，則，
，
由圖可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取最小值，且，
由圖形可知，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)在折線段上，
連接，則，
同理，
由正六邊形的幾何性質(zhì)可知，，
所以，，
則、、三點(diǎn)共線，則，即，
當(dāng)點(diǎn)在線段上從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過(guò)程中，在逐漸增大，
同理可知，，
當(dāng)點(diǎn)在線段上由點(diǎn)到的過(guò)程中，在逐漸增大，
所以，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)在折線段上運(yùn)動(dòng)，
以線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，
線段的垂直平分線所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則、、、、、
、，設(shè)點(diǎn)，
（1）當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，
直線的方程為，即，
所以，線段的方程為，
則；
（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，，則，
所以，；
（3）當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，
直線的方程為，即，
所以，線段的方程為，
所以，，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
故.
綜上所述，的最大值為，故，
故的取值范圍是.
故選：B.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：
（1）利用定義：
（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；
（3）利用數(shù)量積的幾何意義．
具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來(lái)選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用．
4．（23-24高一下·福建莆田·期中）設(shè)平面向量，其中為單位向量，且滿足，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】利用向量的模公式及向量的數(shù)量積的性質(zhì)，再利用向量的夾角公式和向量數(shù)量積的運(yùn)算律可將表示為關(guān)于的函數(shù)的形式，令，換元后可得，結(jié)合的范圍即可求解.
【詳解】，為單位向量，
，即，
又
所以
設(shè)，，則
，
設(shè)，，則
，
因?yàn)椋?，所以?br>所以的最大值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵是能夠利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律將所求量轉(zhuǎn)化為以為自變量的函數(shù)的形式，從而利用函數(shù)求最值的方法求得最大值.
練透核心考點(diǎn)
1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知A，B，C，D是半徑為2的圓O上的四個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的最大值為（ ）
A．6B．12C．24D．32
【答案】C
【分析】利用極化恒等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化可求最大值.
【詳解】如圖：
分別取AB，CD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE，CE，EF．
又，所以由極化恒等式得
，，
所以
．
連接OE，OF，OA，OB，OC，OD，
由，，得，
所以E，F(xiàn)在以O(shè)為圓心，為半徑的圓上．所以EF的最大值為，
所以的最大值為24．
故選：
【點(diǎn)睛】知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)睛：極化恒等式：在中，若為中點(diǎn)，則.
2．（23-24高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知，，，，，則的最大值為（ ）
A．B．4C．D．
【答案】A
【分析】由題意首先得出為兩外切的圓和橢圓上的兩點(diǎn)間的距離，再由三角形三邊關(guān)系將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為橢圓上點(diǎn)到另一個(gè)圓的圓心的最大值即可.
【詳解】如圖所示：
不妨設(shè)，
滿足，，，
又，即，
由橢圓的定義可知點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上運(yùn)動(dòng)，
，
所以該橢圓方程為，
而，即，即，
這表明了點(diǎn)在圓上面運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)為圓心，為半徑，
又，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，
故只需求的最大值即可，
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上面運(yùn)動(dòng)，所以不妨設(shè)，
所以，
所以當(dāng)且三點(diǎn)共線時(shí)，
有最大值.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是將向量問(wèn)題轉(zhuǎn)換為圓錐曲線中的最值問(wèn)題來(lái)做，通過(guò)數(shù)學(xué)結(jié)合的方法巧妙的將幾何問(wèn)題融入代數(shù)方法，從而順利得解.
3．（23-24高一下·河南周口·階段練習(xí)）已知平面向量滿足，則的最大值為 .
【答案】30
【分析】設(shè)，則由題意可得點(diǎn)在以為圓心3為半徑的圓周上，點(diǎn)在以為圓心2為半徑的圓周上，然后結(jié)合圖形可求出的最大值.
【詳解】設(shè)，則，
因?yàn)椋?br>所以點(diǎn)在以為圓心3為半徑的圓周上，點(diǎn)在以為圓心2為半徑的圓周上，如圖所示，
，由圖可知，當(dāng)A，B，C三點(diǎn)共線，在如圖所示的位畳時(shí)，
有最大值有最大值5，此時(shí)取最大值1，
所以的最大值為30.
故答案為：30
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查向量的數(shù)量積，考查向量的加法法則的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形求解，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.
即可得的取值范圍.
【詳解】因?yàn)榕c的夾角為銳角，
所以，且與不同向，
所以，
因?yàn)椋瑸榛ハ啻怪钡膯挝幌蛄浚?br>所以，，，
所以，可得，
當(dāng)與同向時(shí)，，即，
可得，可得，此時(shí)不滿足與的夾角為銳角，
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為且.
故答案為：且.
2．（23-24高一下·河北滄州·階段練習(xí)）已知是夾角為的兩個(gè)單位向量．若，其中，若的夾角為銳角，則的取值范圍 ．
【答案】
【分析】
根據(jù)題意利用建立不等式，解出后，排除同向共線的情況即可.
【詳解】因?yàn)槭菉A角為的兩個(gè)單位向量，
則，
又，
則
，
由題意知，解得，
又當(dāng)共線時(shí)，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，
即，
所以，解得，
此時(shí)同向，夾角為，不符合題意，
故的取值范圍為，
故答案為：.
3．（23-24高三上·北京懷柔·階段練習(xí)）已知平面向量，滿足，與的夾角為，若與的夾角為鈍角，則一個(gè)滿足條件的的值可以為 ．
【答案】（答案不唯一，只要滿足即可）
【分析】由題意可得且這兩個(gè)向量不共線，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律及平面向量共線定理即可得解.
【詳解】因?yàn)?，與的夾角為，
所以，
因?yàn)榕c的夾角為鈍角，
所以且這兩個(gè)向量不共線，
，解得，
當(dāng)時(shí)，
存在唯一實(shí)數(shù)，使得，
所以，所以，
又不共線，所以，
綜上所述，，
所以滿足條件的的值可以為.
故答案為：.（答案不唯一，只要滿足即可）
第五部分：新定義題
1．（23-24高一下·山西大同·階段練習(xí)）元向量（）也叫維向量，是平面向量的推廣，設(shè)為正整數(shù)，數(shù)集中的個(gè)元素構(gòu)成的有序組稱為上的元向量，其中為該向量的第個(gè)分量．元向量通常用希臘字母等表示，如上全體元向量構(gòu)成的集合記為．對(duì)于，記，定義如下運(yùn)算：加法法則，模公式，內(nèi)積，設(shè)的夾角為，則．
(1)設(shè)，解決下面問(wèn)題：
①求；
②設(shè)與的夾角為，求；
(2)對(duì)于一個(gè)元向量，若，稱為維信號(hào)向量．規(guī)定，已知個(gè)兩兩垂直的120維信號(hào)向量滿足它們的前個(gè)分量都相同，證明：．
【答案】(1)①；②
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)條件得到，再利用題設(shè)定義的運(yùn)算，即可求出結(jié)果；
（2）任取，，得到，設(shè)的第個(gè)分量之和為，結(jié)合，即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，
①，
②因?yàn)椋?，所?
（2）任取，，計(jì)算內(nèi)積，設(shè)這些內(nèi)積之和為，
則，設(shè)的第個(gè)分量之和為，
又因?yàn)?，故，所?br>又，
所以，即，所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于第（2）問(wèn)，任取，，根據(jù)條件得到，再利用來(lái)解決問(wèn)題.

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