D．的最小值為9
10．（2024上·山東臨沂·高一山東省臨沂第一中學期末）下列命題中正確的是（ ）
A．若，則B．
C．若且，則D．
三、填空題
11．（2024上·湖北·高一校聯(lián)考期末）已知，則的最小值為
12．（2024上·山西運城·高一統(tǒng)考期末）已知正實數(shù)a，b滿足，且不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是 ．
四、解答題
13．（2024上·浙江溫州·高一統(tǒng)考期末）近年來，“無廢城市”、“雙碳”發(fā)展戰(zhàn)略與循環(huán)經濟的理念深入人心，垃圾分類政策的密集出臺對廚余垃圾處理市場需求釋放起到積極作用某企業(yè)響應政策號召，引進了一個把廚余垃圾加工處理為某化工產品的項目已知該企業(yè)日加工處理廚余垃圾成本單位：元與日加工處理廚余垃圾量單位：噸之間的函數(shù)關系可表示為：.
(1)政府為使該企業(yè)能可持續(xù)發(fā)展，決定給于每噸廚余垃圾以元的補助，當日處理廚余垃圾的量在什么范圍時企業(yè)不虧損
(2)當日加工處理廚余垃圾量為多少噸時，該企業(yè)日加工處理每噸廚余垃圾的平均成本最低
14．（2024上·四川成都·高一統(tǒng)考期末）如圖所示，一條筆直的河流（忽略河的寬度）兩側各有一個社區(qū)（忽略社區(qū)的大?。鐓^(qū)距離上最近的點的距離是社區(qū)距離上最近的點的距離是，且.點是線段上一點，設.
現(xiàn)規(guī)劃了如下三項工程：
工程1：在點處修建一座造價0.1億元的人行觀光天橋；
工程2：將直角三角形地塊全部修建為面積至少的文化主題公園，且每平方千米造價為億元；
工程3：將直角三角形地塊全部修建為面積至少的濕地公園，且每平方千米造價為1億元.
記這三項工程的總造價為億元.
(1)求實數(shù)的取值范圍；
(2)問點在何處時，最小，并求出該最小值.
B能力提升
1．（2024上·重慶·高一校聯(lián)考期末）當，且滿足時，有恒成立，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·全國·高一專題練習）設正實數(shù)，滿足，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為（ ）
A．B．C．8D．16
3．（2024·全國·高三專題練習）已知且，若恒成立，則實數(shù)的范圍是 ．
4．（2024上·江西上饒·高一?？计谀┮阎瘮?shù)，若對任意實數(shù)，關于x的不等式在區(qū)間上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為 .
C綜合素養(yǎng)
5．（2023上·山東德州·高一?？茧A段練習）某天數(shù)學課上，你突然驚醒，發(fā)現(xiàn)黑板上有如下內容：例：求函數(shù)的最小值.解：利用基本不等式，，可得，于是，當且僅當時，取得最小值.
提示：基本不等式，
(1)老師請你模仿例題，研究函數(shù)的最小值；
(2)求函數(shù)的最小值；
(3)當時，求函數(shù)的最小值.
6．（2024下·安徽·高三池州市第一中學校聯(lián)考開學考試）基本不等式可以推廣到一般的情形：對于個正數(shù)，它們的算術平均不小于它們的幾何平均，即，當且僅當時，等號成立．若無窮正項數(shù)列同時滿足下列兩個性質：①；②為單調數(shù)列，則稱數(shù)列具有性質．
(1)若，求數(shù)列的最小項；
(2)若，記，判斷數(shù)列是否具有性質，并說明理由；
(3)若，求證：數(shù)列具有性質．
第03講 基本不等式 (分層精練）
A夯實基礎B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
A夯實基礎
一、單選題
1．（2024上·山西長治·高一校聯(lián)考期末）當時，的最小值為（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，結合基本不等式，即可求解.
【詳解】由，可得，則，
當且僅當時，即時，等號成立，故的最小值為2．
故選：C．
2．（2024上·廣東潮州·高一統(tǒng)考期末）設，則函數(shù)的最小值為（ ）
A．6B．7C．10D．11
【答案】D
【分析】利用基本不等式求解可得答案.
【詳解】，，
當且僅當，即時，等號成立，
所以函數(shù)的最小值為，
故選：D.
3．（2024上·山東青島·高一統(tǒng)考期末）已知x，y為正實數(shù)，則的最小值為（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意利用基本不等式運算求解.
【詳解】因為x，y為正實數(shù)，則，
當且僅當，即時，等號成立，
所以的最小值為.
故選：D.
4．（2024上·湖北武漢·高三統(tǒng)考期末）已知正數(shù)，滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)基本不等式直接計算即可.
【詳解】由題意得，，則， ，即，
當且僅當，即時等號成立.
故選：C
5．（2024上·山東濱州·高三統(tǒng)考期末）若不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，分離參數(shù)再利用基本不等式求出最小值即得.
【詳解】不等式對任意恒成立，則，成立，
而，當且僅當，即時取等號，因此，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故選：B
6．（2024上·河北滄州·高一統(tǒng)考期末）已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值為（ ）
A．6B．C．D．
【答案】B
【分析】借助基本不等式計算即可得.
【詳解】，
當且僅當，即時，等號成立，因此的最小值為.
故選：B．
7．（2024上·廣西·高一校聯(lián)考期末）已知，則的最大值為（ ）
A．2B．4C．8D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式可得關于的一元二次不等式，解不等式即可.
【詳解】，則有，
可得，即4，當且僅當時，等號成立.
所以的最大值為4.
故選：B
8．（2024上·湖南·高一校聯(lián)考期末）已知，則的最小值為（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【分析】利用重要不等式列出不等式求解即可.
【詳解】由重要不等式得，當且僅當時取等，
解得，顯然A正確，
故選：A
二、多選題
9．（2024上·河南安陽·高一林州一中?？计谀┫铝姓f法正確的是（ ）
A．，則的最小值是2
B．，則的最小值是
C．，則的最小值是1
D．的最小值為9
【答案】BD
【分析】根據(jù)選項式子的特點，利用函數(shù)單調性或者基本不等式可得答案.
【詳解】對于A，當時，，A不正確；
對于B，，令，則，
由對勾函數(shù)的單調性可知，當時，為增函數(shù)，所以的最小值是，B正確；
對于C，令，由得，，
由對勾函數(shù)的單調性可知，當時，為增函數(shù)，所以的最小值是，C不正確；
對于D，由可得，，
當且僅當，即時，取到等號，D正確.
故選：BD.
10．（2024上·山東臨沂·高一山東省臨沂第一中學期末）下列命題中正確的是（ ）
A．若，則B．
C．若且，則D．
【答案】ACD
【分析】由已知條件，利用基本不等式驗證各選項的結論是否正確.
【詳解】時有，則，
當且僅當，即時等號成立，A選項正確；
，
等號成立的條件是，即，顯然不能成立，
故的等號取不到，B選項錯誤；
若且，則，
當且僅當，即或時等號成立，C選項正確；
，
當且僅當，即時等號成立，D選項正確；
故選：ACD
三、填空題
11．（2024上·湖北·高一校聯(lián)考期末）已知，則的最小值為
【答案】
【分析】利用基本不等式求得正確答案.
【詳解】由于，所以，
所以
，
當且僅當時等號成立，
所以的最小值為.
故答案為：
12．（2024上·山西運城·高一統(tǒng)考期末）已知正實數(shù)a，b滿足，且不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】分離參數(shù)得恒成立，即，然后結合基本不等式求解即可.
【詳解】因為正實數(shù)a，b滿足，，
所以，
因為，
當且僅當，即時取等號，
所以，
所以不等式恒成立，只需即可.
故答案為：
四、解答題
13．（2024上·浙江溫州·高一統(tǒng)考期末）近年來，“無廢城市”、“雙碳”發(fā)展戰(zhàn)略與循環(huán)經濟的理念深入人心，垃圾分類政策的密集出臺對廚余垃圾處理市場需求釋放起到積極作用某企業(yè)響應政策號召，引進了一個把廚余垃圾加工處理為某化工產品的項目已知該企業(yè)日加工處理廚余垃圾成本單位：元與日加工處理廚余垃圾量單位：噸之間的函數(shù)關系可表示為：.
(1)政府為使該企業(yè)能可持續(xù)發(fā)展，決定給于每噸廚余垃圾以元的補助，當日處理廚余垃圾的量在什么范圍時企業(yè)不虧損
(2)當日加工處理廚余垃圾量為多少噸時，該企業(yè)日加工處理每噸廚余垃圾的平均成本最低
【答案】(1)
(2)噸
【分析】（1）利用題中所給解析式，分兩段討論；
（2）當時，由函數(shù)單調性求得最值，當時，由基本不等式求得最值，得解．
【詳解】（1）法一：當時，，
，
當時，，
，
解得，
綜上：當時，該企業(yè)不虧損；
法二：由已知得，
由得，或，
綜上：當時，該企業(yè)不虧損；
（2）當時，，
當時，
“”當且僅當“”成立
綜上：當日加工處理廚余垃圾量為噸時，該企業(yè)日加工處理每噸廚余垃圾的平均成本最低．
14．（2024上·四川成都·高一統(tǒng)考期末）如圖所示，一條筆直的河流（忽略河的寬度）兩側各有一個社區(qū)（忽略社區(qū)的大?。鐓^(qū)距離上最近的點的距離是社區(qū)距離上最近的點的距離是，且.點是線段上一點，設.
現(xiàn)規(guī)劃了如下三項工程：
工程1：在點處修建一座造價0.1億元的人行觀光天橋；
工程2：將直角三角形地塊全部修建為面積至少的文化主題公園，且每平方千米造價為億元；
工程3：將直角三角形地塊全部修建為面積至少的濕地公園，且每平方千米造價為1億元.
記這三項工程的總造價為億元.
(1)求實數(shù)的取值范圍；
(2)問點在何處時，最小，并求出該最小值.
【答案】(1)
(2)當點滿足時，最小，最小值為億元.
【分析】（1）由直角三角形地塊全部修建為面積至少和直角三角形地塊全部修建為面積至少的文化主題公園濕地公園，列不等式求解即可得出答案.
（2）由題意可得，由基本不等式求解即可.
【詳解】（1）因為直角三角形地塊全部修建為面積至少的濕地公園，
所以，解得：
直角三角形地塊全部修建為面積至少的文化主題公園，
所以，解得：,
故實數(shù)的取值范圍為.
（2）依題意可得：
，
當且僅當，即時取等.
所以當點滿足時，最小，最小值為億元.
B能力提升
1．（2024上·重慶·高一校聯(lián)考期末）當，且滿足時，有恒成立，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把恒成立問題轉化成求最值問題，利用基本不等式求出的最小值，然后解二次不等式即可.
【詳解】因為即且，
所以，
當且僅當，即時等號成立，
因為不等式恒成立，所以，
即，解得，故的取值范圍為.
故選：A
2．（2024上·全國·高一專題練習）設正實數(shù)，滿足，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為（ ）
A．B．C．8D．16
【答案】D
【分析】令，不等式變形為，求出的最小值，從而得到實數(shù)的最大值.
【詳解】變形為，
令，
則轉化為
，即，
其中
，
當且僅當，即時取等號，可知.
故選：D
3．（2024·全國·高三專題練習）已知且，若恒成立，則實數(shù)的范圍是 ．
【答案】
【分析】依題意得，利用基本不等式“1”的代換求出的最小值，即可得解.
【詳解】因為且，若恒成立，則，
又
，
當且僅當，即，時等號成立，
所以，即實數(shù)的取值范圍是．
故答案為：．
(3)
【分析】（1）根據(jù)新定義可得，求解即可；
（2）根據(jù)新定義可得，求解即可；
（3）根據(jù)新定義可得，求解即可．
【詳解】（1），，
知，當且僅當時，取到最小值 ；
（2）由，，
知，當且僅當時，取到最小值6 ；
（3）由，，
知；
當且僅當時，取到最小值.
6．（2024下·安徽·高三池州市第一中學校聯(lián)考開學考試）基本不等式可以推廣到一般的情形：對于個正數(shù)，它們的算術平均不小于它們的幾何平均，即，當且僅當時，等號成立．若無窮正項數(shù)列同時滿足下列兩個性質：①；②為單調數(shù)列，則稱數(shù)列具有性質．
(1)若，求數(shù)列的最小項；
(2)若，記，判斷數(shù)列是否具有性質，并說明理由；
(3)若，求證：數(shù)列具有性質．
【答案】(1)最小項為
(2)數(shù)列具有性質，理由見解析．
(3)證明見解析
【分析】（1）利用，結合三個數(shù)的算術平均不小于它們的幾何平均求解；
（2）變形，再利用等比數(shù)列求和證明性質①，利用證明②；
（3）結合二項式定理及n元基本不等式求解.
【詳解】（1），當且僅當，即時，等號成立，
數(shù)列的最小項為．
（2）數(shù)列具有性質．
，
，
數(shù)列滿足條件①．
為單調遞增數(shù)列，數(shù)列滿足條件②．
綜上，數(shù)列具有性質．
（3）先證數(shù)列滿足條件①：
．
當時，
則，
數(shù)列滿足條件①．
再證數(shù)列滿足條件②：
（，等號取不到）
為單調遞增數(shù)列，數(shù)列滿足條件②．
綜上，數(shù)列具有性質.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查等比數(shù)列求和及二項式定理，證明性質①均需要放縮為可求和數(shù)列.

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