2024-2025學年高考數(shù)學一輪復(fù)習講義(新高考)第03講函數(shù)的奇偶性、對稱性與周期性(知識+真題+10類高頻考點)(精講)(學生版+解析)-試卷下載-教習網(wǎng)

TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc13553" 第一部分：基礎(chǔ)知識 PAGEREF _Tc13553 \h 1
\l "_Tc16273" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc16273 \h 3
\l "_Tc2971" 第三部分：高頻考點一遍過 PAGEREF _Tc2971 \h 4
\l "_Tc29745" 高頻考點一：函數(shù)奇偶性 PAGEREF _Tc29745 \h 4
\l "_Tc25346" 角度1：判斷函數(shù)奇偶性 PAGEREF _Tc25346 \h 4
\l "_Tc12481" 角度2：根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式 PAGEREF _Tc12481 \h 4
\l "_Tc32027" 角度3：函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 PAGEREF _Tc32027 \h 5
\l "_Tc10940" 角度4：由函數(shù)奇偶性求參數(shù) PAGEREF _Tc10940 \h 5
\l "_Tc3968" 角度5：奇偶性+單調(diào)性解不等式 PAGEREF _Tc3968 \h 5
\l "_Tc26414" 高頻考點二：函數(shù)周期性及其應(yīng)用 PAGEREF _Tc26414 \h 6
\l "_Tc8547" 角度1：由函數(shù)周期性求函數(shù)值 PAGEREF _Tc8547 \h 6
\l "_Tc30073" 角度2：由函數(shù)周期性求解析式 PAGEREF _Tc30073 \h 7
\l "_Tc24012" 高頻考點三：函數(shù)的對稱性 PAGEREF _Tc24012 \h 8
\l "_Tc28930" 角度1：由函數(shù)對稱性求解析式 PAGEREF _Tc28930 \h 8
\l "_Tc9474" 角度2：由函數(shù)對稱性求函數(shù)值或參數(shù) PAGEREF _Tc9474 \h 8
\l "_Tc2439" 角度3：對稱性+奇偶性+周期性的綜合應(yīng)用 PAGEREF _Tc2439 \h 8
\l "_Tc15897" 第四部分：新定義題（解答題） PAGEREF _Tc15897 \h 9
第一部分：基礎(chǔ)知識
1、函數(shù)的奇偶性
（1）函數(shù)奇偶性定義
注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個前提條件是：對于定義域內(nèi)的任意一個x，也在定義域內(nèi)（即定義域關(guān)于原點對稱）．
（2）常用結(jié)論與技巧：
①對數(shù)型復(fù)合函數(shù)判斷奇偶性常用或來判斷奇偶性.
②，在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論：
③若是定義在區(qū)間上奇函數(shù)，且，則（注意：反之不成立）
2、函數(shù)對稱性（異號對稱）
（1）軸對稱：若函數(shù)關(guān)于直線對稱，則
①；
②；
③
（2）點對稱：若函數(shù)關(guān)于直線對稱，則
①
②
③
（2）點對稱：若函數(shù)關(guān)于直線對稱，則
①
②
③
3、函數(shù)周期性（同號周期）
（1）周期函數(shù)定義
對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)，使得當取定義域內(nèi)的任何值時，都有，那么就稱函數(shù)為周期函數(shù)，稱為這個函數(shù)的周期，則（）也是這個函數(shù)的周期.
（2）最小正周期
如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小的正數(shù)就叫做的最小正周期（若不特別說明，一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函數(shù)都有最小正周期.
（3）函數(shù)周期性的常用結(jié)論與技巧
設(shè)函數(shù)，.
①若，則函數(shù)的周期；
②若，則函數(shù)的周期；
③若，則函數(shù)的周期；
④若，則函數(shù)的周期；
⑤，則函數(shù)的周期
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·全國·（乙卷理））已知是偶函數(shù)，則（）
A．B．C．1D．2
2．（多選）（2023·全國·（新課標Ⅰ卷））已知函數(shù)的定義域為，，則（）．
A．B．
C．是偶函數(shù)D．為的極小值點
3．（2023·全國·（甲卷理））若為偶函數(shù)，則．
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：函數(shù)奇偶性
角度1：判斷函數(shù)奇偶性
典型例題
例題1．（2024上·廣東·高一校聯(lián)考期末）下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（）
A．B．
C．D．
例題2．（2024上·云南昆明·高一期末）下列四個函數(shù)中在定義域內(nèi)為非奇非偶函數(shù)的個數(shù)是（）
（1）
（2）
（3）
（4）
A．1個B．2個C．3個D．0個
例題3．（2024上·廣東·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）
A．B．C．D．
角度2：根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式
典型例題
例題1．（2024上·福建漳州·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)是偶函數(shù)，且當時，，則當時， .
例題2．（2024上·廣東清遠·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則的解析式為 .
角度3：函數(shù)奇偶性的應(yīng)用
典型例題
例題1．（2024上·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知且，則的值是（）
A．B．C．1D．3
例題2．（2024上·云南昆明·高一昆明一中?？计谀┮阎瘮?shù)，若，則 .
例題3．（2024上·江西上饒·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則的值為 .
角度4：由函數(shù)奇偶性求參數(shù)
典型例題
例題1．（2024上·山西長治·高一校聯(lián)考期末）若為奇函數(shù)，則的值為（）
A．B．0C．1D．2
例題2．（2024·浙江·校聯(lián)考一模）若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則．
例題3．（2024下·浙江·高三校聯(lián)考開學考試）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則 .
角度5：奇偶性+單調(diào)性解不等式
典型例題
例題1．（2024上·貴州黔東南·高一統(tǒng)考期末）已知是定義在上的偶函數(shù)，且對任意的，恒成立.若，則不等式的解集是（）
A．B．
C．D．
例題2．（2024上·山東威?！じ咭唤y(tǒng)考期末）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為 .
例題3．（2024上·黑龍江齊齊哈爾·高三齊齊哈爾市第八中學校校考期末）在上滿足，且在上是遞減函數(shù)，若，則的取值范圍是 .
練透核心考點
1．（2024上·湖南婁底·高一?？计谀┮阎瘮?shù)是定義在的奇函數(shù)，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
2．（2024·廣西南寧·南寧三中校聯(lián)考一模）已知為奇函數(shù)，則（）
A．3B．C．0D．
3．（2024·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）已知為奇函數(shù)，則（）
A．B．2C．1D．
4．（2024下·西藏·高一開學考試）若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則（）
A．B．C．D．2
5．（2024上·陜西西安·高三統(tǒng)考期末）已知是奇函數(shù)，則（）
A．－1B．1C．－2D．2
6．（2024下·四川·高三四川省西充中學校聯(lián)考期末）已知，則滿足的實數(shù)的取值范圍是．
練透核心考點
1．（2023·湖南岳陽·?？寄M預(yù)測）設(shè)函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且，則．
2．（2022·全國·高三專題練習）已知定義在上的偶函數(shù)滿足，，則 .
3．（2023上·江蘇·高一專題練習）設(shè)是周期為2的奇函數(shù)，當時，，則時，＝．
4．（2022上·全國·高一專題練習）已知是定義在上周期為的函數(shù)，當時，，那么當時， .
高頻考點三：函數(shù)的對稱性
角度1：由函數(shù)對稱性求解析式
典型例題
例題1．（2021下·江西九江·高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，則（）
A．B．C．D．
例題2．（2022上·安徽合肥·高一統(tǒng)考期末）已知是定義在R上的函數(shù)的對稱軸，當時，，則的解析式是．
角度2：由函數(shù)對稱性求函數(shù)值或參數(shù)
典型例題
例題1．（2023·陜西咸陽·咸陽市實驗中學校考一模）函數(shù)為偶函數(shù)，且圖象關(guān)于直線對稱，，則．
例題2．（2023下·河北石家莊·高三校聯(lián)考期中）已知是上的奇函數(shù)，當時，，則．
角度3：對稱性+奇偶性+周期性的綜合應(yīng)用
典型例題
例題1．（多選）（2024下·河南·高一信陽高中校聯(lián)考開學考試）已知函數(shù)的定義域均為是偶函數(shù)，且，若，則（）
A．
B．的圖象關(guān)于點中心對稱
C．
D．
例題2．（多選）（2024下·海南省直轄縣級單位·高三嘉積中學校考開學考試）已知定義域為的函數(shù)對任意實數(shù)都有，且，則下列說法正確的是（）
A．
B．
C．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱
D．
練透核心考點
1．（2023上·湖北荊州·高一荊州中學?？计谥校┮阎瘮?shù)，若，則的值為（）
A．B．C．D．
2．（2024上·重慶·高一重慶一中?？计谀┮阎x在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，且當時，（其中為待定常數(shù)），則 .
3．（多選）（2024下·重慶·高三重慶一中?？奸_學考試）已知定義在上的函數(shù)，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，當，，，，則下列說法中正確的有（）
A．函數(shù)的最小正周期為
B．函數(shù)關(guān)于點對稱
C．
D．函數(shù)有8個不同零點
4．（2024·陜西西安·西安中學?？家荒＃┖瘮?shù)是定義在上的函數(shù)，且為偶函數(shù)，是奇函數(shù)，當時，，則 .
第四部分：新定義題（解答題）
1．（2024上·山東聊城·高一統(tǒng)考期末）若存在實數(shù)、使得，則稱函數(shù)為函數(shù)，的“函數(shù)”．
(1)若函數(shù)為函數(shù)、的“函數(shù)”，其中為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，求函數(shù)、的解析式；
(2)設(shè)函數(shù)，，是否存在實數(shù)、使得函數(shù)為函數(shù)、的“函數(shù)”，且同時滿足：①是偶函數(shù)；②的值域為．若存在，求出、的值；若不存在，請說明理由．
注：為自然對數(shù)的底數(shù)．
奇偶性
定義
圖象特點
偶函數(shù)
如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)是偶函數(shù)
圖象關(guān)于軸對稱
奇函數(shù)
如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)是奇函數(shù)
圖象關(guān)于原點對稱
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
不能確定
不能確定
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
偶函數(shù)
不能確定
不能確定
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
第03講函數(shù)的奇偶性、對稱性與周期性
目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc2070" 第一部分：基礎(chǔ)知識 PAGEREF _Tc2070 \h 1
\l "_Tc23782" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc23782 \h 3
\l "_Tc27247" 第三部分：高頻考點一遍過 PAGEREF _Tc27247 \h 5
\l "_Tc16859" 高頻考點一：函數(shù)奇偶性 PAGEREF _Tc16859 \h 5
\l "_Tc4015" 角度1：判斷函數(shù)奇偶性 PAGEREF _Tc4015 \h 5
\l "_Tc27989" 角度2：根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式 PAGEREF _Tc27989 \h 7
\l "_Tc29872" 角度3：函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 PAGEREF _Tc29872 \h 8
\l "_Tc23725" 角度4：由函數(shù)奇偶性求參數(shù) PAGEREF _Tc23725 \h 9
\l "_Tc19896" 角度5：奇偶性+單調(diào)性解不等式 PAGEREF _Tc19896 \h 10
\l "_Tc22015" 高頻考點二：函數(shù)周期性及其應(yīng)用 PAGEREF _Tc22015 \h 14
\l "_Tc26533" 角度1：由函數(shù)周期性求函數(shù)值 PAGEREF _Tc26533 \h 14
\l "_Tc15669" 角度2：由函數(shù)周期性求解析式 PAGEREF _Tc15669 \h 15
\l "_Tc16173" 高頻考點三：函數(shù)的對稱性 PAGEREF _Tc16173 \h 18
\l "_Tc2750" 角度1：由函數(shù)對稱性求解析式 PAGEREF _Tc2750 \h 18
\l "_Tc26446" 角度2：由函數(shù)對稱性求函數(shù)值或參數(shù) PAGEREF _Tc26446 \h 19
\l "_Tc14530" 角度3：對稱性+奇偶性+周期性的綜合應(yīng)用 PAGEREF _Tc14530 \h 20
\l "_Tc24622" 第四部分：新定義題（解答題） PAGEREF _Tc24622 \h 23
第一部分：基礎(chǔ)知識
1、函數(shù)的奇偶性
（1）函數(shù)奇偶性定義
注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個前提條件是：對于定義域內(nèi)的任意一個x，也在定義域內(nèi)（即定義域關(guān)于原點對稱）．
（2）常用結(jié)論與技巧：
①對數(shù)型復(fù)合函數(shù)判斷奇偶性常用或來判斷奇偶性.
②，在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論：
③若是定義在區(qū)間上奇函數(shù)，且，則（注意：反之不成立）
2、函數(shù)對稱性（異號對稱）
（1）軸對稱：若函數(shù)關(guān)于直線對稱，則
①；
②；
③
（2）點對稱：若函數(shù)關(guān)于直線對稱，則
①
②
③
（2）點對稱：若函數(shù)關(guān)于直線對稱，則
①
②
③
3、函數(shù)周期性（同號周期）
（1）周期函數(shù)定義
對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)，使得當取定義域內(nèi)的任何值時，都有，那么就稱函數(shù)為周期函數(shù)，稱為這個函數(shù)的周期，則（）也是這個函數(shù)的周期.
（2）最小正周期
如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小的正數(shù)就叫做的最小正周期（若不特別說明，一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函數(shù)都有最小正周期.
（3）函數(shù)周期性的常用結(jié)論與技巧
設(shè)函數(shù)，.
①若，則函數(shù)的周期；
②若，則函數(shù)的周期；
③若，則函數(shù)的周期；
④若，則函數(shù)的周期；
⑤，則函數(shù)的周期
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·全國·（乙卷理））已知是偶函數(shù)，則（）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運算求解.
【詳解】因為為偶函數(shù)，則，
又因為不恒為0，可得，即，
則，即，解得.
故選：D.
2．（多選）（2023·全國·（新課標Ⅰ卷））已知函數(shù)的定義域為，，則（）．
A．B．
C．是偶函數(shù)D．為的極小值點
【答案】ABC
【分析】方法一：利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇偶性的判斷方法可判斷選項ABC，舉反例即可排除選項D.
方法二：選項ABC的判斷與方法一同，對于D，可構(gòu)造特殊函數(shù)進行判斷即可.
【詳解】方法一：
因為，
對于A，令，，故正確.
對于B，令，，則，故B正確.
對于C，令，，則，
令，
又函數(shù)的定義域為，所以為偶函數(shù)，故正確，
對于D，不妨令，顯然符合題設(shè)條件，此時無極值，故錯誤.
方法二：
因為，
對于A，令，，故正確.
對于B，令，，則，故B正確.
對于C，令，，則，
令，
又函數(shù)的定義域為，所以為偶函數(shù)，故正確，
對于D，當時，對兩邊同時除以，得到，
故可以設(shè)，則，
當肘，，則，
令，得；令，得；
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因為為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

顯然，此時是的極大值，故D錯誤.
故選：.
3．（2023·全國·（甲卷理））若為偶函數(shù)，則．
【答案】2
【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到，從而求得，再檢驗即可得解.
【詳解】因為為偶函數(shù)，定義域為，
所以，即，
則，故，
此時，
所以，
又定義域為，故為偶函數(shù)，
所以.
故答案為：2.
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：函數(shù)奇偶性
角度1：判斷函數(shù)奇偶性
典型例題
例題1．（2024上·廣東·高一校聯(lián)考期末）下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷即可.
【詳解】對于A，因為的定義域為，且，所以為偶函數(shù)；
對于B，因為的定義域為，且，所以不是奇函數(shù)；
對于C，因為的定義域為，且，所以為奇函數(shù)；
對于D，因為的定義域為，且，所以為偶函數(shù)；
故選：.
例題2．（2024上·云南昆明·高一期末）下列四個函數(shù)中在定義域內(nèi)為非奇非偶函數(shù)的個數(shù)是（）
（1）
（2）
（3）
（4）
A．1個B．2個C．3個D．0個
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，依次分析4個函數(shù)，求出定義域，根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義作出判斷.
【詳解】（1）的定義域為，且，
故是偶函數(shù)，錯誤；
（2）的定義域為R，，且，
故是非奇非偶函數(shù)，正確；
（3）定義域為，故為非奇非偶函數(shù)，正確；
（4）的定義域為R，且，且，
故為非奇非偶函數(shù)，正確.
故選：C．
例題3．（2024上·廣東·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先求出定義域，判斷定義域是否關(guān)于原點對稱，再判斷對定義域內(nèi)任意的是否都有即可.
【詳解】對于A，定義域為，與不恒等，故A錯誤；
對于B，定義域為，與不恒等，故B錯誤；
對于C，定義域為，與不恒等，故C錯誤；
對于D，，解得或，定義域關(guān)于原點對稱，
，是偶函數(shù)，故D正確.
故選：D.
角度2：根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式
典型例題
例題1．（2024上·福建漳州·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)是偶函數(shù)，且當時，，則當時， .
【答案】
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】解：因為數(shù)是偶函數(shù)，且當時，，
所以當時，，
所以，
即，
所以當時，.
故答案為：
例題2．（2024上·廣東清遠·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則的解析式為 .
【答案】
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到，求出時的函數(shù)解析式，求出答案.
【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以.
當時，，
所以當時，.
綜上，
故答案為：
角度3：函數(shù)奇偶性的應(yīng)用
典型例題
例題1．（2024上·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知且，則的值是（）
A．B．C．1D．3
【答案】C
【分析】令，利用奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】令，
因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，
由，得，所以，
所以.
故選：C.
例題2．（2024上·云南昆明·高一昆明一中?？计谀┮阎瘮?shù)，若，則 .
【答案】
【分析】從函數(shù)解析式不難看出前兩項構(gòu)成的函數(shù)為奇函數(shù)，故可將其設(shè)成，證明其奇偶性，再利用奇函數(shù)特征代入計算即得.
【詳解】令，，由,可得函數(shù)為奇函數(shù)，
則由得，故.
故答案為：.
例題3．（2024上·江西上饒·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則的值為 .
【答案】
【分析】由題意先得，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)得，檢驗后相加即可求解.
【詳解】由題意首先，解得，
即函數(shù)是上的偶函數(shù)，
由，解得，此時，經(jīng)檢驗符合題意，
所以.
故答案為：.
角度4：由函數(shù)奇偶性求參數(shù)
典型例題
例題1．（2024上·山西長治·高一校聯(lián)考期末）若為奇函數(shù)，則的值為（）
A．B．0C．1D．2
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合，列出方程，即可求得的值.
【詳解】由函數(shù)為奇函數(shù)，可得，
可得，解得，
經(jīng)檢驗，當時，，
滿足，符合題意，所以.
故選：D.
例題2．（2024·浙江·校聯(lián)考一模）若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則．
【答案】1
【分析】根據(jù)函數(shù)是上的偶函數(shù)，利用特殊值可得答案.
【詳解】若函數(shù)是上的偶函數(shù)，
則有，即，解得，
當時，此時，，
當時，，，
當時，，，
所以函數(shù)是上的偶函數(shù)，符合題意，
則.
故答案為：1.
例題3．（2024下·浙江·高三校聯(lián)考開學考試）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則 .
【答案】/0.5
【分析】根據(jù)為奇函數(shù)，故，變形后得到，求出答案.
【詳解】為奇函數(shù)，
故，即，
即，
故，解得.
故答案為：
角度5：奇偶性+單調(diào)性解不等式
典型例題
例題1．（2024上·貴州黔東南·高一統(tǒng)考期末）已知是定義在上的偶函數(shù)，且對任意的，恒成立.若，則不等式的解集是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用函數(shù)單調(diào)性的定義及利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性綜合解出該抽象函數(shù)不等式即可.
【詳解】因為是定義在上的偶函數(shù)，
且對任意的，恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
易得，
所以由得;由得，
故不等式的解集是.
故選:D.
例題2．（2024上·山東威?！じ咭唤y(tǒng)考期末）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為 .
【答案】
【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)計算即可.
【詳解】由題意可知，
又在上單調(diào)遞增，則時，，
則，
根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知.
故答案為：
例題3．（2024上·黑龍江齊齊哈爾·高三齊齊哈爾市第八中學校?？计谀┰谏蠞M足，且在上是遞減函數(shù)，若，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性化簡不等式，結(jié)合函數(shù)的定義域求得的取值范圍.
【詳解】∵，∴.
∵，∴.
∴，解得，
∴的取值范圍是.
故答案為：.
練透核心考點
1．（2024上·湖南婁底·高一?？计谀┮阎瘮?shù)是定義在的奇函數(shù)，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由函數(shù)為奇函數(shù)求出的值，由函數(shù)有意義的條件求出的取值范圍，即可求的取值范圍.
【詳解】函數(shù)是定義在的奇函數(shù)，
則有，解得，
即，有意義，，解得，
所以有，
此時，滿足在上為奇函數(shù)，
由，所以.
故選：C.
2．（2024·廣西南寧·南寧三中校聯(lián)考一模）已知為奇函數(shù)，則（）
A．3B．C．0D．
【答案】B
【分析】確定函數(shù)的定義域，根據(jù)奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，可求得a的值，驗證后即可確定答案.
【詳解】由題意可得，
即，且，且，
由于為奇函數(shù)，故其定義域關(guān)于原點對稱，
故，
此時，定義域關(guān)于原點對稱，滿足，
即為奇函數(shù)，符合題意，故，
故選：B
3．（2024·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）已知為奇函數(shù)，則（）
A．B．2C．1D．
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求函數(shù)在區(qū)間上的解析式，對比系數(shù)求得.
【詳解】當時，，所以，
通過對比系數(shù)得.
故選：A
4．（2024下·西藏·高一開學考試）若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則（）
A．B．C．D．2
【答案】D
【分析】利用偶函數(shù)的定義可計算的值，再根據(jù)解析式計算函數(shù)值即可.
【詳解】因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，
所以且，則，
所以，則.
故選：D．
5．（2024上·陜西西安·高三統(tǒng)考期末）已知是奇函數(shù)，則（）
A．－1B．1C．－2D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，利用，求得的值，進而求得的值，得到答案.
【詳解】由函數(shù)，
因為是奇函數(shù)，所以，
即，
整理得，解得，
所以．
故選：B.
6．（2024下·四川·高三四川省西充中學校聯(lián)考期末）已知，則滿足的實數(shù)的取值范圍是．
【答案】
【分析】分析函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，將所求不等式變形為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，解之即可.
【詳解】因為，該函數(shù)的定義域為，
，故函數(shù)為奇函數(shù)，
因為對任意的恒成立，
所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，
由可得，
所以，，解得，即實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
7．（2024上·陜西商洛·高一統(tǒng)考期末）已知偶函數(shù)，則不等式的解集是．
【答案】
【分析】由時，，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是有，即，求解即可.
【詳解】當時，單調(diào)遞增，因為為偶函數(shù)，
所以不等式轉(zhuǎn)化為，
則，解得．
故答案為：
高頻考點二：函數(shù)周期性及其應(yīng)用
角度1：由函數(shù)周期性求函數(shù)值
典型例題
例題1．（2023上·安徽·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)對于任意實數(shù)x滿足，若，則（）
A．-5B．-3C．3D．5
【答案】C
【分析】首先判斷函數(shù)的周期，利用周期求函數(shù)值.
【詳解】由，，可知，函數(shù)的周期，
.
故選：C
例題2．（2024上·河北滄州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足，當時，，則．
【答案】1
【分析】依題意可得，從而得到是以為周期的周期函數(shù)，再根據(jù)所給函數(shù)解析式及函數(shù)的周期性、奇偶性計算可得.
【詳解】，，是的一個周期，
又當時，，
．
故答案為：
例題3．（2024·全國·高三專題練習）設(shè)函數(shù)的定義域為，且，，則．
【答案】512．
【分析】根據(jù)得，由可依次遞推得到.
【詳解】，，
，，
，
，，
，，
．
故答案為：512．
角度2：由函數(shù)周期性求解析式
典型例題
例題1．（2022上·河北·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足，當時，，則當時，（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出時的解析式，再求出函數(shù)的周期為4，故得到時，
【詳解】由題意知，則，
所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，又當時，，且是定義在上的奇函數(shù)，
所以時，，，
所以當時，，.
故選：B.
例題2．（2023·全國·高三對口高考）函數(shù)的周期為，且當時，，則，的解析式為．
【答案】/
【分析】由求出的取值范圍，再結(jié)合函數(shù)的周期性可求得在上的解析式.
【詳解】因為函數(shù)的周期為，當時，，
且，當時，則，
故當時，.
故答案為：.
例題3．（2023下·甘肅白銀·高二?？计谀┤舳x在上的奇函數(shù)滿足，當時，．
(1)求的值；
(2)當時，求函數(shù)的表達式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題可得，再結(jié)合條件可求；
（2）由題可求當時，，再結(jié)合函數(shù)的周期性即求.
【詳解】（1）∵定義在上的奇函數(shù)滿足，
∴，，
∴，即函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，
又時，
∴，
（2）∵當時，
∴當時，，
∴，
∴當時，，
∴.
練透核心考點
1．（2023·湖南岳陽·校考模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且，則．
【答案】0
【分析】由函數(shù)為奇函數(shù)可得，再根據(jù)函數(shù)的周期性即可得解.
【詳解】因為函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，
所以，
因為，
所以函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，
所以.
故答案為：.
2．（2022·全國·高三專題練習）已知定義在上的偶函數(shù)滿足，，則 .
【答案】
【分析】利用條件與函數(shù)的奇偶性，推得函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，進而可得的值．
【詳解】由題意，函數(shù)滿足，即，
又由函數(shù)是上的偶函數(shù)，所以，即，
所以函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，又，
則.
故答案為：.
3．（2023上·江蘇·高一專題練習）設(shè)是周期為2的奇函數(shù)，當時，，則時，＝．
【答案】
【分析】利用函數(shù)的周期性和奇偶性，可得，結(jié)合的范圍以及已知條件，即可求得答案.
【詳解】當時，，則，
因為當時，，所以．
因為是周期為2的奇函數(shù)，
所以，
故答案為：
4．（2022上·全國·高一專題練習）已知是定義在上周期為的函數(shù)，當時，，那么當時， .
【答案】
【分析】根據(jù)周期性求函數(shù)解析式即可.
【詳解】解：因為當時，,是定義在上周期為的函數(shù)
所以，，
故答案為：
高頻考點三：函數(shù)的對稱性
角度1：由函數(shù)對稱性求解析式
典型例題
例題1．（2021下·江西九江·高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先設(shè)出函數(shù)圖像上任意點的坐標，再求出關(guān)于直線對稱的點，代入函數(shù)的解析式即可求解．
【詳解】解：設(shè)函數(shù)圖像上的點為，關(guān)于直線對稱的點為，
將點代入函數(shù)的解析式可得：，
故，
故選：D．
例題2．（2022上·安徽合肥·高一統(tǒng)考期末）已知是定義在R上的函數(shù)的對稱軸，當時，，則的解析式是．
【答案】
【分析】依題意得到，再代入化簡，進而即可得到的解析式．
【詳解】由是定義在R上的函數(shù)的對稱軸，則，
又當時，，
則當時，即，則，
所以的解析式是．
故答案為：．
角度2：由函數(shù)對稱性求函數(shù)值或參數(shù)
典型例題
例題1．（2023·陜西咸陽·咸陽市實驗中學校考一模）函數(shù)為偶函數(shù)，且圖象關(guān)于直線對稱，，則．
【答案】4
【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性求出，利用奇偶性求得，再利用函數(shù)的奇偶性以及對稱性即可求得的值，即得答案.
【詳解】由于函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，，
故，又為偶函數(shù)，故，
則，
故答案為：4
例題2．（2023下·河北石家莊·高三校聯(lián)考期中）已知是上的奇函數(shù)，當時，，則．
【答案】
【分析】由題目條件得到關(guān)于點成中心對稱，從而得到，求出，得到.
【詳解】因為是上的奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于點成中心對稱，
所以，即．
故答案為：
角度3：對稱性+奇偶性+周期性的綜合應(yīng)用
典型例題
例題1．（多選）（2024下·河南·高一信陽高中校聯(lián)考開學考試）已知函數(shù)的定義域均為是偶函數(shù)，且，若，則（）
A．
B．的圖象關(guān)于點中心對稱
C．
D．
【答案】ABC
【分析】利用抽象函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性一一判定選項即可.
【詳解】因為是偶函數(shù)，則，
所以，
所以.
當時，，
又，所以，所以1，所以，故A正確；
由，得，
兩式相減得，所以，
又，所以，即，
所以的圖象關(guān)于點中心對稱，故B正確；
，所以是以6為周期的周期函數(shù)，
所以，故C正確；
，D不正確.
故選:ABC
例題2．（多選）（2024下·海南省直轄縣級單位·高三嘉積中學校考開學考試）已知定義域為的函數(shù)對任意實數(shù)都有，且，則下列說法正確的是（）
A．
B．
C．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱
D．
【答案】BD
【分析】根據(jù)給定條件，賦值計算判斷ABC；推理確定函數(shù)的周期，再利用周期性求值判斷D.
【詳解】定義域為的函數(shù)對任意實數(shù)都有，
令，則，而，因此，A錯誤；
，令，則，則，B正確；
顯然，則函數(shù)的圖象關(guān)于點不對稱，C錯誤；
D．函數(shù)有8個不同零點
【答案】ACD
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性、零點等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】是奇函數(shù)，圖象關(guān)于對稱，所以關(guān)于對稱；
是偶函數(shù)，圖象關(guān)于直線對稱，所以關(guān)于直線對稱；
關(guān)于直線的對稱點為原點，
則關(guān)于原點對稱，所以是奇函數(shù)，
直線關(guān)于原點的對稱直線為，所以關(guān)于直線對稱，則B選項錯誤.
所以，
所以是周期為的周期函數(shù)，A選項正確.
，C選項正確.
當，，，
，
，解得，
所以，，
令得，，
畫出和的圖象如下圖所示，
由圖可知，兩個函數(shù)圖象有個交點，所以有個零點，所以D選項正確.
故選：ACD

4．（2024·陜西西安·西安中學校考一模）函數(shù)是定義在上的函數(shù)，且為偶函數(shù)，是奇函數(shù)，當時，，則 .
【答案】
【分析】先由函數(shù)的奇偶性確定函數(shù)的周期為，再由奇偶性得到，計算出結(jié)果即可.
【詳解】因為為偶函數(shù)，則有，故的圖像關(guān)于對稱，則有①，
是奇函數(shù)，則②，
聯(lián)立①②可得：，變形為，所以，則是周期為的周期函數(shù)，
所以，
又當時，，所以.
故答案為：.
第四部分：新定義題（解答題）
1．（2024上·山東聊城·高一統(tǒng)考期末）若存在實數(shù)、使得，則稱函數(shù)為函數(shù)，的“函數(shù)”．
(1)若函數(shù)為函數(shù)、的“函數(shù)”，其中為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，求函數(shù)、的解析式；
(2)設(shè)函數(shù)，，是否存在實數(shù)、使得函數(shù)為函數(shù)、的“函數(shù)”，且同時滿足：①是偶函數(shù)；②的值域為．若存在，求出、的值；若不存在，請說明理由．
注：為自然對數(shù)的底數(shù)．
【答案】(1)，
(2)存在，，
【分析】（1）根據(jù)題意以及函數(shù)的奇偶性可得出關(guān)于、的等式組，即可解得函數(shù)、的解析式；
（2）假設(shè)存在實數(shù)、滿足題設(shè)要求，根據(jù)偶函數(shù)的定義結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)可得出，再由函數(shù)的值域結(jié)合基本不等式可求出的值，進而可得出的值，即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）解：因為為、的“函數(shù)”，
所以①，所以．
因為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以，，
所以②，
聯(lián)立①②得，，．
（2）解：假設(shè)存在實數(shù)、使得函數(shù)為函數(shù)、的“函數(shù)”．
則．
①因為是偶函數(shù)﹐所以．
即，
則，
整理得．
因為對恒成立，所以．
②．
因為，當且僅當取等號，
所以，
由于的值域為，所以，則，
又，所以．
綜上，存在，滿足要求．
【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.
奇偶性
定義
圖象特點
偶函數(shù)
如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)是偶函數(shù)
圖象關(guān)于軸對稱
奇函數(shù)
如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)是奇函數(shù)
圖象關(guān)于原點對稱
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
不能確定
不能確定
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
偶函數(shù)
不能確定
不能確定
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)

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