9．（23-24高二下·四川涼山·期末）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，則下列選項(xiàng)正確的有（ ）
A．B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列
C．當(dāng)n＝15時(shí)，取得最大值為225D．的最小值為1
10．（23-24高二下·全國·期末）已知數(shù)列的首項(xiàng)為4，且滿足，則（ ）
A．為等差數(shù)列
B．為遞增數(shù)列
C．的前項(xiàng)和
D．的前項(xiàng)和
三、填空題
11．（2025·寧夏·模擬預(yù)測）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則使的的最大值為 .
12．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，則的公差的取值范圍為 .
四、解答題
13．（23-24高二上·廣西南寧·期中）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求，并求的最大值.
B能力提升
1．（24-25高三上·山東煙臺·開學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知等差數(shù)列滿足，，且數(shù)列的前n項(xiàng)和有最大值，那么取最小正值時(shí)，n等于（ ）
A．4045B．4046C．4035D．4034
3．（23-24高一下·天津）在數(shù)列中，，則數(shù)列的通項(xiàng)
4．（23-24高三上·河北唐山）已知是等差數(shù)列，是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，.
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)在數(shù)列中，去掉中的項(xiàng)，剩下的項(xiàng)按原來順序構(gòu)成數(shù)列，求的前40項(xiàng)和.
C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
1．（2025·江蘇·模擬預(yù)測）設(shè)n為正整數(shù)，數(shù)列為正整數(shù)數(shù)列，且滿足數(shù)列和均為等差數(shù)列，則稱數(shù)列為“五彩的”
(1)判斷下列兩個(gè)數(shù)列是否為“五彩的”，并說明理由；①有窮數(shù)列數(shù)列W：1，5，2，4，3，2；②無窮數(shù)列，通項(xiàng)公式為
(2)若數(shù)列為“五彩的”且嚴(yán)格單調(diào)遞增.
（i）證明：數(shù)列和公差相等；
（ii）證明：數(shù)列一定為等差數(shù)列.
第02講 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和(分層精練）
A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．（22-23高二上·河北保定·期末）若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則等于（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】D
【知識點(diǎn)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得正確答案.
【詳解】依題意，.
故選：D
2．（24-25高三上·江西九江·開學(xué)考試）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．48B．42C．24D．21
【答案】B
【知識點(diǎn)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和
【分析】利用等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)求出的值，再由等差數(shù)列的求和公式即可求得.
【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列，故，
則.
故選：B.
3．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）我國古代數(shù)學(xué)家楊輝、朱世杰等研究過高階等差數(shù)列的求和問題，如數(shù)列就是二階等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識點(diǎn)】求等差數(shù)列前n項(xiàng)和
【分析】根據(jù)數(shù)列前項(xiàng)和的概念直接可得解.
【詳解】設(shè)，則，，，
因此前項(xiàng)和，
故選：B.
4．（23-24高二上·湖南常德·階段練習(xí)）已知公差為?2的等差數(shù)列是其前項(xiàng)和，且.若對任意都有，則的值為（ ）
A．6B．7C．6或7D．8
【答案】C
【知識點(diǎn)】等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值
【分析】利用求出，進(jìn)而求得an的，然后求出的最大值，以及對應(yīng)的下標(biāo)的值即可得解.
【詳解】令等差數(shù)列an的公差，則，
所以，解得，
所以，
又，所以當(dāng)或時(shí)，，
即或，，故對任意都有，的值為6或7.
故選：C
5．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)列中，，，則數(shù)列的前9項(xiàng)和等于（ ）
A．27B．C．45D．
【答案】A
【知識點(diǎn)】求等差數(shù)列前n項(xiàng)和
【分析】根據(jù)題意可知是等差數(shù)列，首項(xiàng)和公差知道，進(jìn)而可以求前項(xiàng)和.
【詳解】由題可得（常數(shù)）,
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列,
所以
所以
故選：A.
6．（24-25高二·上海·隨堂練習(xí)）已知數(shù)列an滿足，，則的值為（ ）
A．1000B．1013C．1011D．1012
【答案】D
【知識點(diǎn)】由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等差數(shù)列
【分析】由遞推式變形知是等差數(shù)列，然后根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.
【詳解】由，
得，
所以是等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差，
所以，
所以.
故選：D.
7．（23-24高二下·四川綿陽·期末）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則（ ）
A．32B．64
C．84D．108
【答案】C
【知識點(diǎn)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和
【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)求出，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式及下標(biāo)和性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋?br>又，即，解得，
所以.
故選：C
8．（23-24高三下·西藏拉薩·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為.若成等差數(shù)列，且，則（ ）
A．12B．21C．32D．56
【答案】C
【知識點(diǎn)】等差中項(xiàng)的應(yīng)用、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算
【分析】設(shè)公差，利用等差中項(xiàng)概念得方程，解方程求出，繼而利用等差數(shù)列求和公式計(jì)算即得.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列an的公差為則，
因成等差數(shù)列，則有，
即，兩邊取平方整理得，
再兩邊取平方整理得，，
解得或（因，故舍去）.
故當(dāng)時(shí)，.
故選：C.
二、多選題
9．（23-24高二下·四川涼山·期末）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，則下列選項(xiàng)正確的有（ ）
A．B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列
C．當(dāng)n＝15時(shí)，取得最大值為225D．的最小值為1
【答案】ACD
【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和
【分析】利用已知可求得，進(jìn)而可得通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式，再結(jié)合選項(xiàng)逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】因?yàn)?，，所以，解得，，?br>對于A．令n＝9，解得，故A正確；
對于B．d＝－2＜0，數(shù)列是遞減數(shù)列，因此數(shù)列不是遞增數(shù)列，故B錯(cuò)誤；
對于C．，當(dāng)n＝15時(shí)，取得最大值為225．故C正確；
對于D．，
令，，∴f（n）在時(shí)單調(diào)遞增，∴f（n）的最小值為f（1）＝1，故D正確.
故選：ACD.
10．（23-24高二下·全國·期末）已知數(shù)列的首項(xiàng)為4，且滿足，則（ ）
A．為等差數(shù)列
B．為遞增數(shù)列
C．的前項(xiàng)和
D．的前項(xiàng)和
【答案】BCD
【知識點(diǎn)】由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、由定義判定等比數(shù)列、錯(cuò)位相減法求和
【分析】由得，所以可知數(shù)列是以首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，從而可求出，可得數(shù)列為遞增數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法可求得的前項(xiàng)和，由于，從而利用等差數(shù)列的求和公式可求出數(shù)列的前項(xiàng)和．
【詳解】由，得，
所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?br>所以，顯然遞增，故B正確；
因?yàn)椋?br>，
所以，
故，故C正確；
因?yàn)椋?br>所以的前項(xiàng)和，故D正確．
故選：BCD．
三、填空題
11．（2025·寧夏·模擬預(yù)測）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則使的的最大值為 .
【答案】21
【知識點(diǎn)】利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和
【分析】由題意可得，再由，可得，求解即可得答案.
【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由，得，
得，由于，得，
由，
得，
即，
整理，得，
得，
解得，且，
則的最大值為21.
故答案為：21
12．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，則的公差的取值范圍為 .
【答案】
【知識點(diǎn)】求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值、根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值求參數(shù)
【分析】由題意可得，列出不等式組，即可求解．
【詳解】由題意可得，，，即，解得，
故的取值范圍為．
故答案為：．
四、解答題
13．（23-24高二上·廣西南寧·期中）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求，并求的最大值.
【答案】(1)；
(2)，最大值為16
【知識點(diǎn)】利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值
【分析】（1）設(shè)出公差，得到方程組，求出首項(xiàng)和公差，得到通項(xiàng)公式；
（2）利用等差數(shù)列求和公式得到，配方求出最大值.
【詳解】（1）設(shè)公差為，則，
解得，
故an的通項(xiàng)公式為；
（2），
由于，
故當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為.
B能力提升
1．（24-25高三上·山東煙臺·開學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知識點(diǎn)】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、等差中項(xiàng)的應(yīng)用
【分析】由實(shí)數(shù)構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得的最小值為，得，即可得到的取值范圍.
【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，
所以，
所以，
構(gòu)造函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，
則，可得；
若且，則，
當(dāng)時(shí)，，
時(shí)上式成立，于是，上式對和同樣成立，
故答案為：，．
4．（23-24高三上·河北唐山）已知是等差數(shù)列，是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，.
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)在數(shù)列中，去掉中的項(xiàng)，剩下的項(xiàng)按原來順序構(gòu)成數(shù)列，求的前40項(xiàng)和.
【答案】(1)，
(2)2756
【知識點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、分組（并項(xiàng)）法求和
【分析】（1）設(shè)an的公差為，bn的公比為，，可求，由已知可求得，可求得，可求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；
（2）易求得去掉an的項(xiàng)，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可求.
【詳解】（1）設(shè)an的公差為，正項(xiàng)數(shù)列bn的公比為，
由，可得，
即，解得或（舍），所以，
由可得，即，解得，所以.
（2），，，.
記為an的前項(xiàng)和，則的前40項(xiàng)和
.
C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
1．（2025·江蘇·模擬預(yù)測）設(shè)n為正整數(shù)，數(shù)列為正整數(shù)數(shù)列，且滿足數(shù)列和均為等差數(shù)列，則稱數(shù)列為“五彩的”
(1)判斷下列兩個(gè)數(shù)列是否為“五彩的”，并說明理由；①有窮數(shù)列數(shù)列W：1，5，2，4，3，2；②無窮數(shù)列，通項(xiàng)公式為
(2)若數(shù)列為“五彩的”且嚴(yán)格單調(diào)遞增.
（i）證明：數(shù)列和公差相等；
（ii）證明：數(shù)列一定為等差數(shù)列.
【答案】(1)①不是，②是，理由見解析
(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析
【知識點(diǎn)】判斷等差數(shù)列、由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等差數(shù)列、數(shù)列新定義
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列定義判斷證明即可；
（2）分別應(yīng)用定義結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性證明即可
【詳解】（1）①不是
中不是等差數(shù)列，①不是 “五彩的”；
②是
，
，
符合定義②是 “五彩的”.
（2）（i）對正整數(shù)n，設(shè)，，
其中d，為正整數(shù)，整數(shù)b，c滿足，，
由于數(shù)列單調(diào)遞增，則對于任意正整數(shù)n，，
即，
即，
同除以n并令n趨近正無窮得，即證.
（ii）對于正整數(shù)n，設(shè)，
由數(shù)列單調(diào)遞增，知，
又因?yàn)椋?br>故數(shù)列必然存在最大項(xiàng)A，最小項(xiàng)B，
下證即可，設(shè)正整數(shù)t使得，
一方面，由于數(shù)列以d為公差，
，
另一方面，，
從而，
又，
，
同理可得，即，即證.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)數(shù)列的定義設(shè)通項(xiàng)及公差，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性及累加法證明.

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