TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc28714" 第一部分：基礎(chǔ)知識 PAGEREF _Tc28714 \h 1
\l "_Tc21931" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc21931 \h 3
\l "_Tc8583" 第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 PAGEREF _Tc8583 \h 3
\l "_Tc23304" 高頻考點(diǎn)一：充分條件與必要條件的判斷 PAGEREF _Tc23304 \h 3
\l "_Tc24762" 高頻考點(diǎn)二：充分條件與必要條件的應(yīng)用 PAGEREF _Tc24762 \h 4
\l "_Tc23731" 高頻考點(diǎn)三：充分條件與必要條件（“是”，“的”）結(jié)構(gòu)對比 PAGEREF _Tc23731 \h 5
\l "_Tc5768" 高頻考點(diǎn)四：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷 PAGEREF _Tc5768 \h 5
\l "_Tc8445" 高頻考點(diǎn)五：含有一個量詞的命題的否定 PAGEREF _Tc8445 \h 6
\l "_Tc22066" 高頻考點(diǎn)六：根據(jù)全稱（特稱）命題的真假求參數(shù) PAGEREF _Tc22066 \h 7
\l "_Tc904" 第四部分：典型易錯題型 PAGEREF _Tc904 \h 8
\l "_Tc29842" 注意：“的”字結(jié)構(gòu)倒裝 PAGEREF _Tc29842 \h 8
\l "_Tc22148" 注意：最高項系數(shù)含參數(shù)，容易忽略系數(shù)為0 PAGEREF _Tc22148 \h 8
\l "_Tc28908" 注意：給定的區(qū)間是非區(qū)間，不能用判別法 PAGEREF _Tc28908 \h 8
\l "_Tc687" 注意：給定的區(qū)間是區(qū)間，可用判別法 PAGEREF _Tc687 \h 8
\l "_Tc1383" 第五部分：新定義題（解答題） PAGEREF _Tc1383 \h 8
第一部分：基礎(chǔ)知識
1、充分條件、必要條件與充要條件的概念
（1）若，則是的充分條件，是的必要條件；
（2）若且，則是的充分不必要條件；
（3）若且，則是的必要不充分條件；
（4） 若，則是的充要條件；
（5）若且，則是的既不充分也不必要條件.
拓展延伸一：等價轉(zhuǎn)化法判斷充分條件、必要條件
（1）是的充分不必要條件是的充分不必要條件；
（2）是的必要不充分條件是的必要不充分條件；
（3）是的充要條件是的充要條件；
（4）是的既不充分也不必要條件是的既不充分也不必要條件.
拓展延伸二：集合判斷法判斷充分條件、必要條件
若以集合的形式出現(xiàn)，以集合的形式出現(xiàn)，即：，：，則
（1）若，則是的充分條件；
（2）若，則是的必要條件；
（3）若，則是的充分不必要條件；
（4）若，則是的必要不充分條件；
（5）若，則是的充要條件；
（6）若且，則是的既不充分也不必要條件.
拓展延伸三：充分性必要性高考高頻考點(diǎn)結(jié)構(gòu)
（1）是的充分不必要條件且（注意標(biāo)志性詞：“是”，此時與正常順序）
（2）的充分不必要條件是且（注意標(biāo)志性詞：“的”，此時與倒裝順序）
2、全稱量詞與存在量詞
（1）全稱量詞
短語“所有的”、“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“”表示.
（2）存在量詞
短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“”表示.
（3）全稱量詞命題及其否定（高頻考點(diǎn)）
①全稱量詞命題：對中的任意一個，有成立；數(shù)學(xué)語言：.
②全稱量詞命題的否定：.
（4）存在量詞命題及其否定（高頻考點(diǎn)）
①存在量詞命題：存在中的元素，有成立；數(shù)學(xué)語言：.
②存在量詞命題的否定：.
（5）常用的正面敘述詞語和它的否定詞語
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件
2．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）若，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過
高頻考點(diǎn)一：充分條件與必要條件的判斷
典型例題
例題1．（2024上·河北承德·高一統(tǒng)考期末）若，則“”是“”的（ ）
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
例題2．（2024下·云南昆明·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）若集合，集合，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
例題3．（2024上·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分又不必要條件
練透核心考點(diǎn)
1．（2024上·貴州畢節(jié)·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
2．（2024上·浙江寧波·高一余姚中學(xué)校聯(lián)考期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．（2024上·上?！じ咭簧虾Ｊ写笸袑W(xué)?？计谀┮阎獮榉橇銓?shí)數(shù)，則“”是“”成立的（ ）
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充分必要條件D．既非充分又非必要條件
高頻考點(diǎn)二：充分條件與必要條件的應(yīng)用
典型例題
例題1．（2024下·上?！じ咭婚_學(xué)考試）已知，，若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
例題2．（2024·全國·高一專題練習(xí)）給出如下三個條件：①充要②充分不必要③必要不充分.請從中選擇補(bǔ)充到下面橫線上.
已知集合，，存在實(shí)數(shù)使得“”是“”的 條件.
例題3．（2023上·山西晉中·高一統(tǒng)考期末）已知不等式的解集為.
(1)求不等式的解集；
(2)設(shè)非空集合，若是的充分不必要條件，求的取值范圍.
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知集合，若“”是“”的必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
2．（2023上·江蘇蘇州·高一校考階段練習(xí)）設(shè)命題：實(shí)數(shù)滿足，其中；命題：實(shí)數(shù)x滿足，若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ．
3．（2023上·河南鄭州·高一校考階段練習(xí)）已知命題，滿足，不等式恒成立，命題，則是的 條件.
高頻考點(diǎn)三：充分條件與必要條件（“是”，“的”）結(jié)構(gòu)對比
典型例題
例題1．（2024下·湖北·高一湖北省漢川市第一高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）下列選項中是“，”成立的一個必要不充分條件的是（ ）
A．B．C．D．
例題2．（2023上·貴州黔南·高一貴州省甕安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知條件，條件，則是的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
例題3．（2024上·安徽安慶·高一安慶一中?？计谀瓣P(guān)于的不等式對上恒成立”的一個必要不充分條件是（ ）
A．B．
C．D．
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·陜西西安·西安中學(xué)?？家荒＃┮阎?，則下列選項中是“”的充分不必要條件的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·山東濟(jì)寧·高一統(tǒng)考期末）“”是“”的（ ）
B．，都有
C．，使得
D．，都有
高頻考點(diǎn)五：含有一個量詞的命題的否定
典型例題
例題1．（2024上·山東濰坊·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，命題“存在，使有實(shí)根”的否定是（ ）
A．任意，使無實(shí)根B．任意，使有實(shí)根
C．存在，使無實(shí)根D．存在，使有實(shí)根
例題2．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知命題，，則命題的真假以及否定分別為（ ）
A．真，，B．假，，
C．真，，D．假，，
練透核心考點(diǎn)
1．（2024上·廣東佛山·高一統(tǒng)考期末）命題“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·全國·高一專題練習(xí)）若命題P：，則為（ ）
A．B．
C．D．
高頻考點(diǎn)六：根據(jù)全稱（特稱）命題的真假求參數(shù)
典型例題
例題1．（2024上·陜西渭南·高一?？计谀┮阎}：“，”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
例題2．（2024上·陜西寶雞·高一寶雞市石油中學(xué)校考階段練習(xí)），．若此命題是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值集合是 ．
練透核心考點(diǎn)
1．（2024上·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知命題“”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·安徽·高一校聯(lián)考期末）已知“，”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
第四部分：典型易錯題型
注意：“的”字結(jié)構(gòu)倒裝
1．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）線段在x軸下方的一個充分條件但不是必要條件是 .
注意：最高項系數(shù)含參數(shù)，容易忽略系數(shù)為0
2．（2023上·遼寧大連·高一大連八中?？茧A段練習(xí)）“”是“關(guān)于的不等式，對任意的恒成立”的 條件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）
注意：給定的區(qū)間是非區(qū)間，不能用判別法
3．（2023上·云南曲靖·高一校考期中）若“，”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .
注意：給定的區(qū)間是區(qū)間，可用判別法
4．（2023上·陜西渭南·高一統(tǒng)考期中）已知命題：“，”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
第五部分：新定義題（解答題）
1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且區(qū)間，對任意且，記，.若，則稱在上具有性質(zhì)；若，則稱在上具有性質(zhì)；若，則稱在上具有性質(zhì)；若，則稱在上具有性質(zhì).
(1)記：①充分而不必要條件；
②必要而不充分條件；
③充要條件；
④既不充分也不必要條件
則在上具有性質(zhì)是在上單調(diào)遞增的_____（填正確選項的序號）；
在上具有性質(zhì)是在上單調(diào)遞增的_____（填正確選項的序號）；
在上具有性質(zhì)是在上單調(diào)遞增的_____（填正確選項的序號）；
(2)若在滿足性質(zhì)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若函數(shù)在區(qū)間上恰滿足性質(zhì)?性質(zhì)?性質(zhì)?性質(zhì)中的一個，直接寫出實(shí)數(shù)的最小值.
2．（2024·全國·高一假期作業(yè)）對于有限個自然數(shù)組成的集合，定義集合，記集合的元素個數(shù)為.定義變換，變換將集合變換為集合.
（1）若，求；
（2）若集合，證明：的充要條件是.正面詞語
等于（）
大于（）
小于（）
是
否定詞語
不等于（）
不大于（）
不小于（）
不是
正面詞語
都是
任意的
所有的
至多一個
至少一個
否定詞語
不都是
某個
某些
至少兩個
一個也沒有
第02講 常用邏輯用語
目錄
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc18160" 第一部分：基礎(chǔ)知識 PAGEREF _Tc18160 \h 1
\l "_Tc5555" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc5555 \h 3
\l "_Tc26470" 第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 PAGEREF _Tc26470 \h 4
\l "_Tc32393" 高頻考點(diǎn)一：充分條件與必要條件的判斷 PAGEREF _Tc32393 \h 4
\l "_Tc475" 高頻考點(diǎn)二：充分條件與必要條件的應(yīng)用 PAGEREF _Tc475 \h 7
\l "_Tc5478" 高頻考點(diǎn)三：充分條件與必要條件（“是”，“的”）結(jié)構(gòu)對比 PAGEREF _Tc5478 \h 9
\l "_Tc23344" 高頻考點(diǎn)四：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷 PAGEREF _Tc23344 \h 12
\l "_Tc15807" 高頻考點(diǎn)五：含有一個量詞的命題的否定 PAGEREF _Tc15807 \h 15
\l "_Tc6841" 高頻考點(diǎn)六：根據(jù)全稱（特稱）命題的真假求參數(shù) PAGEREF _Tc6841 \h 16
\l "_Tc21636" 第四部分：典型易錯題型 PAGEREF _Tc21636 \h 17
\l "_Tc22764" 注意：“的”字結(jié)構(gòu)倒裝 PAGEREF _Tc22764 \h 17
\l "_Tc2701" 注意：最高項系數(shù)含參數(shù)，容易忽略系數(shù)為0 PAGEREF _Tc2701 \h 18
\l "_Tc31884" 注意：給定的區(qū)間是非區(qū)間，不能用判別法 PAGEREF _Tc31884 \h 18
\l "_Tc1947" 注意：給定的區(qū)間是區(qū)間，可用判別法 PAGEREF _Tc1947 \h 19
\l "_Tc8763" 第五部分：新定義題（解答題） PAGEREF _Tc8763 \h 19
第一部分：基礎(chǔ)知識
1、充分條件、必要條件與充要條件的概念
（1）若，則是的充分條件，是的必要條件；
（2）若且，則是的充分不必要條件；
（3）若且，則是的必要不充分條件；
（4） 若，則是的充要條件；
（5）若且，則是的既不充分也不必要條件.
拓展延伸一：等價轉(zhuǎn)化法判斷充分條件、必要條件
（1）是的充分不必要條件是的充分不必要條件；
（2）是的必要不充分條件是的必要不充分條件；
（3）是的充要條件是的充要條件；
（4）是的既不充分也不必要條件是的既不充分也不必要條件.
拓展延伸二：集合判斷法判斷充分條件、必要條件
若以集合的形式出現(xiàn)，以集合的形式出現(xiàn)，即：，：，則
（1）若，則是的充分條件；
（2）若，則是的必要條件；
（3）若，則是的充分不必要條件；
（4）若，則是的必要不充分條件；
（5）若，則是的充要條件；
（6）若且，則是的既不充分也不必要條件.
拓展延伸三：充分性必要性高考高頻考點(diǎn)結(jié)構(gòu)
（1）是的充分不必要條件且（注意標(biāo)志性詞：“是”，此時與正常順序）
（2）的充分不必要條件是且（注意標(biāo)志性詞：“的”，此時與倒裝順序）
2、全稱量詞與存在量詞
（1）全稱量詞
短語“所有的”、“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“”表示.
（2）存在量詞
短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“”表示.
（3）全稱量詞命題及其否定（高頻考點(diǎn)）
①全稱量詞命題：對中的任意一個，有成立；數(shù)學(xué)語言：.
②全稱量詞命題的否定：.
（4）存在量詞命題及其否定（高頻考點(diǎn)）
①存在量詞命題：存在中的元素，有成立；數(shù)學(xué)語言：.
②存在量詞命題的否定：.
（5）常用的正面敘述詞語和它的否定詞語
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)充分、必要性定義判斷條件的推出關(guān)系，即可得答案.
【詳解】由，則，當(dāng)時不成立，充分性不成立；
由，則，即，顯然成立，必要性成立；
所以是的必要不充分條件.
故選：B
2．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）若，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】解法一：由化簡得到即可判斷；解法二：證明充分性可由得到，代入化簡即可，證明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：證明充分性可由通分后用配湊法得到完全平方公式，再把代入即可，證明必要性可由通分后用配湊法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.
【詳解】解法一：
因?yàn)椋遥?br>所以，即，即，所以.
所以“”是“”的充要條件.
解法二：
充分性：因?yàn)椋?，所以?br>所以，
所以充分性成立；
必要性：因?yàn)?，且?br>所以，即，即，所以.
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要條件.
解法三：
充分性：因?yàn)?，且?br>所以，
所以充分性成立；
必要性：因?yàn)?，且?br>所以，
所以，所以，所以，
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要條件.
故選：C
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過
高頻考點(diǎn)一：充分條件與必要條件的判斷
典型例題
例題1．（2024上·河北承德·高一統(tǒng)考期末）若，則“”是“”的（ ）
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，判斷“”和“”之間的邏輯推理關(guān)系，即可得答案.
【詳解】當(dāng)時，，
即成立；
又因?yàn)椋?br>所以或，
結(jié)合，解得或或，
即成立，推不出，
故“”是“”的充分不必要條件.
故選：B
例題2．（2024下·云南昆明·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）若集合，集合，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)指數(shù)、對數(shù)不等式的解法分別解出集合、，結(jié)合集合的包含關(guān)系判斷即可．
【詳解】集合，
集合，
則B是A的真子集，
所以“”是“”的必要不充分條件，
故選：B．
例題3．（2024上·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分又不必要條件
【答案】D
【分析】舉出反例，得到充分性和必要性均不成立，得到答案.
【詳解】設(shè)，此時滿足，但不滿足，充分性不成立，
設(shè)，此時滿足，但不滿足，必要性不成立，
故是的既不充分也不必要條件.
故選：D
練透核心考點(diǎn)
1．（2024上·貴州畢節(jié)·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得不等式的解集，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.
【詳解】由不等式，可得，解得，
又由不等式，即，可得，解得，
因?yàn)榧鲜羌系恼孀蛹?br>所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：B.
2．（2024上·浙江寧波·高一余姚中學(xué)校聯(lián)考期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】利用不等式的基本性質(zhì)、特殊值法結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.
【詳解】當(dāng)時，不妨取，，則，所以，“”“”，
另一方面，當(dāng)時，由不等式的基本性質(zhì)可得，
所以，“”“”，
因此，“”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
3．（2024上·上?！じ咭簧虾Ｊ写笸袑W(xué)校考期末）已知為非零實(shí)數(shù)，則“”是“”成立的（ ）
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充分必要條件D．既非充分又非必要條件
【答案】D
【分析】舉反例結(jié)合充分必要條件的定義分析即可.
【詳解】顯然時不能推出，反之時也不能推出，
則“”是“”成立的既非充分又非必要條件.
故選：D
高頻考點(diǎn)二：充分條件與必要條件的應(yīng)用
典型例題
例題1．（2024下·上海·高一開學(xué)考試）已知，，若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】問題轉(zhuǎn)化為：的解集是的解集的真子集，可解決此題．
【詳解】由解得，
由解得，
根據(jù)題意得：是的真子集，
（等號不同時成立），解得：．
故答案為：．
例題2．（2024·全國·高一專題練習(xí)）給出如下三個條件：①充要②充分不必要③必要不充分.請從中選擇補(bǔ)充到下面橫線上.
已知集合，，存在實(shí)數(shù)使得“”是“”的 條件.
【答案】②，③
【分析】分別根據(jù)充要條件及充分不必要條件，必要不充分條件計算求解即可.
【詳解】①“”是“”的充要條件，則，，此方程無解，故不存在實(shí)數(shù)，則不符合題意；
②“”是“”的充分不必要條件時，，，；解得，符合題意；
③“”是“”的必要不充分條件時，當(dāng)，，得；
當(dāng)，需滿足，，，解集為；
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍.
故答案為：②，③.
例題3．（2023上·山西晉中·高一統(tǒng)考期末）已知不等式的解集為.
(1)求不等式的解集；
(2)設(shè)非空集合，若是的充分不必要條件，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根據(jù)不等式的解集求出，再根據(jù)一元二次不等式的解法即可得解；
（2）由是的充分不必要條件，可得是的真子集，列不等式組求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋?br>所以方程的解為，
所以，，得，，
則不等式即，
解得，故解集；
（2）由（1）知，，而是的充分不必要條件，
則是的真子集，
所以，解得，
綜上所述，的取值范圍是.
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知集合，若“”是“”的必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】或
【分析】根據(jù)不等式求得集合，再利用“”是“”的必要條件，得，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】解：，，即，解得或
或
“”是“”的必要條件，，且恒成立
則或，解得或．
故答案為：或
2．（2023上·江蘇蘇州·高一校考階段練習(xí)）設(shè)命題：實(shí)數(shù)滿足，其中；命題：實(shí)數(shù)x滿足，若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】先解不等式，根據(jù)充分、必要條件的知識列不等式，再求出的取值范圍.
【詳解】對于命題，，
因?yàn)?，所?
對于命題，，由，解得.
因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，
所以是的必要不充分條件，所以?，
所以，解得，
所以的取值范圍是.
故答案為：
3．（2023上·河南鄭州·高一?？茧A段練習(xí)）已知命題，滿足，不等式恒成立，命題，則是的 條件.
【答案】充分不必要
【分析】將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，然后利用基本不等式求最值即可.
【詳解】不等式恒成立，即，
且滿足，
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立.
所以，解得，
故命題，命題，
所以是的充分不必要條件.
故答案為：充分不必要
高頻考點(diǎn)三：充分條件與必要條件（“是”，“的”）結(jié)構(gòu)對比
典型例題
例題1．（2024下·湖北·高一湖北省漢川市第一高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）下列選項中是“，”成立的一個必要不充分條件的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】變形得到，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到，故，由于是的真子集，故A正確，其他選項不合要求.
【詳解】，，
即，，
∴，其中在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，
其中時，，當(dāng)時，，
故，即，
由于是的真子集，故“”的必要不充分條件為“”，
其他選項均不合要求.
故選：A
例題2．（2023上·貴州黔南·高一貴州省甕安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知條件，條件，則是的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】解一元二次不等式結(jié)合充分不必要條件的定義即可得解.
【詳解】由題意條件，條件或，所以是的充分不必要條件.
故選：A.
例題3．（2024上·安徽安慶·高一安慶一中?？计谀瓣P(guān)于的不等式對上恒成立”的一個必要不充分條件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分、兩種情況討論，在時，直接驗(yàn)證即可；在時，根據(jù)題意可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍，再根據(jù)必要不充分條件求解.
【詳解】當(dāng)時，則有，解得，不合題意；
當(dāng)時，則，解得.
綜上所述，關(guān)于的不等式對上恒成立”的充要條件為，
所以一個必要不充分條件是.
故選：A.
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·陜西西安·西安中學(xué)?？家荒＃┮阎瑒t下列選項中是“”的充分不必要條件的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合充分條件，必要條件的定義逐項判斷即可.
【詳解】對于A，當(dāng)，滿足，但不成立，
當(dāng)時，滿足，但不成立，故A錯誤；
對于B，當(dāng)時，，但，故B正確；
對于C，時，，但不成立，
時，，但不成立，故C錯誤；
對于D，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，故D錯誤.
故選：B
2．（2024上·山東濟(jì)寧·高一統(tǒng)考期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)結(jié)合充分、必要條件分析判斷.
【詳解】若，可得，即，即充分性成立；
若，例如，則，不成立，即必要性不成立；
綜上所述：“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
3．（2023上·廣東·高一校聯(lián)考期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】解不等式，然后根據(jù)充分條件必要條件的概念得到答案.
【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?
故“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
高頻考點(diǎn)四：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷
典型例題
例題1．（多選）（2023上·湖北孝感·高一湖北省孝感市第一高級中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)表示不超過x的最大整數(shù)，如：，，又稱為取整函數(shù)，以下關(guān)于“取整函數(shù)”的描述，正確的是（ ）
A．是奇函數(shù)
B．，，若，則
C．，
D．不等式的解集為
【答案】BCD
【分析】由“取整函數(shù)”的定義逐個選項分析即可.
【詳解】A．取和0.5，函數(shù)值分別為和0，故A不正確；
B．設(shè)，則，，，，
則，因此，故B正確；
C．設(shè)（，），
當(dāng)時，，，
此時，
當(dāng)時，，，
此時，
綜合可得，C正確；
D．不等式，可得：，或，
∴，或，因此不等式的解集為，故D正確．
故選：BCD．
例題2．（多選）（2023上·江西九江·高一九江一中?？计谥校┫铝忻}中，真命題的是（ ）
A．，都有
B．，使得
C．任意非零實(shí)數(shù)、，都有
D．若正實(shí)數(shù)、滿足，則
【答案】BD
【分析】取可判斷A選項；解方程，可判斷B選項；取，，可判斷C選項；利用基本不等式可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，當(dāng)時，，A錯；
對于B選項，由可得，解得，B對；
對于C選項，不妨取，，則，C錯；
對于D選項，若正實(shí)數(shù)、滿足，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，故，D對.
故選：BD.
練透核心考點(diǎn)
1．（多選）（2023上·浙江杭州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）下列命題是真命題的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)基本不等式，求得的取值范圍，可判定A不正確；根據(jù)當(dāng)時，得到，可判定B正確；結(jié)合配方法，可判定C正確；結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可判定D不正確.
【詳解】對于A中，當(dāng)時，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；
當(dāng)時，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以的取值范圍為，所以A不正確；
對于B中，當(dāng)時，可得，所以命題為真命題，所以B正確；
對于C中，由，所以命題為真命題，所以C正確；
對于D中，當(dāng)時，，所以命題為假命題，所以D不正確.
故選：BC.
2．（多選）（2023上·廣東廣州·高一廣州市第二中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，則下列命題正確的是（ ）
A．，使得
B．，都有
C．，使得
D．，都有
【答案】BCD
【分析】利用代入法，結(jié)合一元二次方程根的判別式、比較法逐一判斷即可.
【詳解】A：，該方程的判別式，
所以該方程無實(shí)數(shù)根，因此本選項命題不正確；
B：二次函數(shù)的對稱軸為，
所以有，因此本選項命題正確；
C：，顯然當(dāng)時，不等式成立，所以本選項命題正確；
D：，所以本選項正確，
故選：BCD
高頻考點(diǎn)五：含有一個量詞的命題的否定
典型例題
例題1．（2024上·山東濰坊·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，命題“存在，使有實(shí)根”的否定是（ ）
A．任意，使無實(shí)根B．任意，使有實(shí)根
C．存在，使無實(shí)根D．存在，使有實(shí)根
【答案】A
【分析】根據(jù)含有一個量詞的命題的否定，即可得答案.
【詳解】由題意知命題“存在，使有實(shí)根”為存在量詞命題，
其否定為：任意，使無實(shí)根，
故選：A
例題2．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知命題，，則命題的真假以及否定分別為（ ）
A．真，，B．假，，
C．真，，D．假，，
【答案】C
【分析】利用基本不等式可推理得到命題為真，再否定量詞和結(jié)論，即得命題的否定.
【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故命題為真．
又，.
故選:C．
練透核心考點(diǎn)
1．（2024上·廣東佛山·高一統(tǒng)考期末）命題“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)含有一個量詞的命題的否定，即可得答案.
【詳解】命題“”為全稱量詞命題，
它的否定是，
故選：C
2．（2024·全國·高一專題練習(xí)）若命題P：，則為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由特陳命題的否定是全稱命題即可得出答案.
【詳解】特稱命題“，”的否定.
故選：D.
高頻考點(diǎn)六：根據(jù)全稱（特稱）命題的真假求參數(shù)
典型例題
例題1．（2024上·陜西渭南·高一?？计谀┮阎}：“，”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)命題是假命題列不等式，由此求得的取值范圍.
【詳解】由于命題：“，”為假命題，
所以，
解得.
故選：D
例題2．（2024上·陜西寶雞·高一寶雞市石油中學(xué)?？茧A段練習(xí)），．若此命題是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值集合是 ．
【答案】
【分析】先得到，為真命題，分和兩種情況，結(jié)合根的判別式得到不等式，求出答案.
【詳解】由題意得，為真命題，
當(dāng)時，恒成立，滿足要求，
當(dāng)時，，解得，
綜上，實(shí)數(shù)a的取值集合為.
故答案為：
練透核心考點(diǎn)
1．（2024上·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知命題“”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由題意可得，即可得解.
【詳解】因?yàn)槊}“”是真命題，
所以，解得，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故選：D.
2．（2024上·安徽·高一校聯(lián)考期末）已知“，”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，分離參數(shù)，借助二次函數(shù)求出最小值即得.
【詳解】“，”為真命題，則“，”為真命題，
而，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
故選：A
第四部分：典型易錯題型
注意：“的”字結(jié)構(gòu)倒裝
1．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）線段在x軸下方的一個充分條件但不是必要條件是 .
【答案】(答案不唯一)
【分析】結(jié)合一次函數(shù)性質(zhì)知,再結(jié)合充分不必要條件定義解題即可.
【詳解】結(jié)合一次函數(shù)圖象知，要使線段在x軸下方，需,．
就是一個使命題成立的充分條件但不是必要條件．
故答案為: .
注意：最高項系數(shù)含參數(shù)，容易忽略系數(shù)為0
2．（2023上·遼寧大連·高一大連八中校考階段練習(xí)）“”是“關(guān)于的不等式，對任意的恒成立”的 條件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）
【答案】充分不必要.
【分析】根據(jù)不等式對任意的恒成立，求得實(shí)數(shù)的取值范圍，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.
【詳解】由不等式對任意的恒成立，
當(dāng)時，不等式可化為，顯然恒成立；
當(dāng)時，則滿足，解得，
綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為，
第五部分：新定義題（解答題）
1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且區(qū)間，對任意且，記，.若，則稱在上具有性質(zhì)；若，則稱在上具有性質(zhì)；若，則稱在上具有性質(zhì)；若，則稱在上具有性質(zhì).
(1)記：①充分而不必要條件；
②必要而不充分條件；
③充要條件；
④既不充分也不必要條件
則在上具有性質(zhì)是在上單調(diào)遞增的_____（填正確選項的序號）；
在上具有性質(zhì)是在上單調(diào)遞增的_____（填正確選項的序號）；
在上具有性質(zhì)是在上單調(diào)遞增的_____（填正確選項的序號）；
(2)若在滿足性質(zhì)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若函數(shù)在區(qū)間上恰滿足性質(zhì)?性質(zhì)?性質(zhì)?性質(zhì)中的一個，直接寫出實(shí)數(shù)的最小值.
【答案】(1)②；①；③
(2)
(3)1
【分析】（1）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、充分、必要條件的知識確定正確答案.
（2）根據(jù)性質(zhì)，利用分離常數(shù)法，結(jié)合不等式的性質(zhì)求得的取值范圍.
（3）將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，對的范圍進(jìn)行分類討論，由此求得的最小值.
【詳解】（1）由于，所以.
對于性質(zhì)，當(dāng)時，無法判斷的符號，故無法判斷單調(diào)性；
當(dāng)在上單調(diào)遞增時，，
所以在上具有性質(zhì)是在上單調(diào)遞增的必要而不充分條件.
對于性質(zhì)，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)在上單調(diào)遞增時，，的符號無法判斷，
所以在上具有性質(zhì)是在上單調(diào)遞增的充分而不必要條件.
對于性質(zhì)，若，則，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)在上單調(diào)遞增時，，，
所以在上具有性質(zhì)是在上單調(diào)遞增的充要條件.
（2）對于任意的，且，
有，
由于在滿足性質(zhì)，即，
所以，所以，
因?yàn)椋?，所以?br>由于任意的，且，所以，
所以，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（3）實(shí)數(shù)的最小值為1.
理由如下：
因?yàn)樵谏锨M足性質(zhì)?性質(zhì)?性質(zhì)?性質(zhì)中的一個，
所以對任意且，若滿足性質(zhì)A，，
若滿足性質(zhì)，則，若滿足性質(zhì)C、D，則，
性質(zhì)B、C、D同時滿足，所以僅滿足性質(zhì)A，此時，
有恒成立.
因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所?
當(dāng)時，，
所以，從而，不合題意；
當(dāng)時，，
所以，從而，
要使恒成立，只需使，即恒成立，
若，則，使，這與矛盾，
當(dāng)時，，恒成立，
所以的最小值為1.
【點(diǎn)睛】對于新定義問題的求解，關(guān)鍵點(diǎn)在于“轉(zhuǎn)化”，將新定義的問題，不熟悉的問題，轉(zhuǎn)化為學(xué)過的知識、熟悉的問題來進(jìn)行求解.求解函數(shù)問題，首先要研究函數(shù)的定義域，這個步驟必不可少.
2．（2024·全國·高一假期作業(yè)）對于有限個自然數(shù)組成的集合，定義集合，記集合的元素個數(shù)為.定義變換，變換將集合變換為集合.
（1）若，求；
（2）若集合，證明：的充要條件是.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)題干中對集合和的定義，可以求出兩個集合
（2）證明充要條件要從兩方面證明，一是證明充分性，而是證明必要性，都成立則說明是充要條件
【詳解】解：（1）若集合, 則根據(jù)定義可得：.
（2）由.
充分性：設(shè)是公差為的等差數(shù)列,
則
且, 所以共有個不同的值, 即.
必要性：若,
因?yàn)?
所以中有個不同的元素：,
任意的值都與上述某一項相等.
又, 且.
所以, 所以是等差數(shù)列，且公差不為.
正面詞語
等于（）
大于（）
小于（）
是
否定詞語
不等于（）
不大于（）
不小于（）
不是
正面詞語
都是
任意的
所有的
至多一個
至少一個
否定詞語
不都是
某個
某些
至少兩個
一個也沒有

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