TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc29642" 第一部分：基礎(chǔ)知識 PAGEREF _Tc29642 \h 2
\l "_Tc27569" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc27569 \h 3
\l "_Tc9278" 第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 PAGEREF _Tc9278 \h 3
\l "_Tc20031" 高頻考點(diǎn)一：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參） PAGEREF _Tc20031 \h 3
\l "_Tc30704" 高頻考點(diǎn)二：已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào) PAGEREF _Tc30704 \h 4
\l "_Tc23471" 高頻考點(diǎn)三：已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間 PAGEREF _Tc23471 \h 5
\l "_Tc17969" 高頻考點(diǎn)四：已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào) PAGEREF _Tc17969 \h 5
\l "_Tc23772" 高頻考點(diǎn)五：函數(shù)單調(diào)性之導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖象的單調(diào)性 PAGEREF _Tc23772 \h 6
\l "_Tc4084" 高頻考點(diǎn)六：函數(shù)單調(diào)性之比較大小 PAGEREF _Tc4084 \h 8
\l "_Tc25683" 高頻考點(diǎn)七：函數(shù)單調(diào)性之構(gòu)造函數(shù)解不等式 PAGEREF _Tc25683 \h 9
\l "_Tc25966" 高頻考點(diǎn)八：含參問題討論單調(diào)性（一次型） PAGEREF _Tc25966 \h 9
\l "_Tc20966" 高頻考點(diǎn)九：含參問題討論單調(diào)性（可因式分解二次型） PAGEREF _Tc20966 \h 10
\l "_Tc15828" 高頻考點(diǎn)十：含參問題討論單調(diào)性（不可因式分解二次型） PAGEREF _Tc15828 \h 12
\l "_Tc9208" 第四部分：典型易錯題型 PAGEREF _Tc9208 \h 13
\l "_Tc31223" 備注：已知函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)，求解時容易忽視“等號”而存在單調(diào)區(qū)間卻容易誤加了“等號” PAGEREF _Tc31223 \h 13
\l "_Tc3109" 備注：解不等式時容易忽視定義域 PAGEREF _Tc3109 \h 13
第一部分：基礎(chǔ)知識
1、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系（導(dǎo)函數(shù)看正負(fù)，原函數(shù)看增減）
2、求已知函數(shù)（不含參）的單調(diào)區(qū)間
①求的定義域
②求
③令，解不等式，求單調(diào)增區(qū)間
④令，解不等式，求單調(diào)減區(qū)間
注：求單調(diào)區(qū)間時，令（或）不跟等號.
3、由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法
（1）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)
①已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，恒成立.
②已知在區(qū)間上單調(diào)遞減，恒成立.
注：已知單調(diào)性，等價條件中的不等式含等號.
（2）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間
①已知在區(qū)間上存在單調(diào)增區(qū)間令，解不等式，求單調(diào)增區(qū)間，則
②已知在區(qū)間上存在單調(diào)減區(qū)間令，解不等式，求單調(diào)減區(qū)間，則
（3）已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，使得
4、含參問題討論單調(diào)性
第一步：求的定義域
第二步：求（導(dǎo)函數(shù)中有分母通分）
第三步：確定導(dǎo)函數(shù)有效部分，記為
對于進(jìn)行求導(dǎo)得到，對初步處理（如通分），提出的恒正部分，將該部分省略，留下的部分則為的有效部分（如：，則記為的有效部分）.接下來就只需考慮導(dǎo)函數(shù)有效部分，只有該部分決定的正負(fù).
第四步：確定導(dǎo)函數(shù)有效部分的類型：
①為一次型（或可化為一次型）②為二次型（或可化為二次型）
第五步：通過分析導(dǎo)函數(shù)有效部分，討論的單調(diào)性
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·全國·新課標(biāo)Ⅱ卷）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（ ）．
A．B．eC．D．
2．（2023·全國·乙卷理）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是 .
3．（2023·全國·乙卷文）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程．
(2)若函數(shù)在單調(diào)遞增，求的取值范圍．
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過
高頻考點(diǎn)一：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）
典型例題
1．（23-24高二下·寧夏·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·遼寧·一模）已知.
(1)求在處的切線方程；
(2)求的單調(diào)遞減區(qū)間.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高二下·重慶黔江·階段練習(xí)）若函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A．，B．C．D．
2．（23-24高二下·江蘇·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 ．
高頻考點(diǎn)二：已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)
典型例題
1．（22-23高二下·北京·階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）若函數(shù)的圖象在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的最小值為 ．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高三上·安徽亳州·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是： .
2．（22-23高二下·內(nèi)蒙古興安盟·期中）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
高頻考點(diǎn)三：已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間
典型例題
1．（23-24高三上·福建泉州·階段練習(xí)）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二·安徽六安·期末）若函數(shù)存在增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A．B．
C．D．
3．（2023高二·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)存在增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）在區(qū)間上，函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
2．（多選）（23-24高二下·寧夏·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則可能的值為（ ）
A．0B．1C．2D．e
3．（23-24高三·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
高頻考點(diǎn)四：已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)
典型例題
1．（22-23高二下·湖北·階段練習(xí)）若函數(shù)在其定義域的一個子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高二上·河南許昌·期末）若函數(shù)在其定義域的一個子區(qū)間上，不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ．
高頻考點(diǎn)五：函數(shù)單調(diào)性之導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖象的單調(diào)性
典型例題
1．（22-23高二下·陜西咸陽·階段練習(xí)）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
2．（22-23高二下·甘肅平?jīng)觥るA段練習(xí)）已知上的可導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高二下·湖北黃岡·階段練習(xí)）如圖所示為函數(shù)的圖象，則不等式的解集為 ．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高二上·山西長治·期末）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，那么該函數(shù)的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
2．（多選）（23-24高三下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖，且在與處取得極值，給出下列判斷，其中正確的是（ ）
A．B．
C．D．函數(shù)在上單調(diào)遞減
3．（多選）（22-23高二下·廣西桂林·期末）設(shè)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若時，圖象如圖所示，則可以使成立的x的取值范圍是（ ）

A．B．C．D．
高頻考點(diǎn)六：函數(shù)單調(diào)性之比較大小
典型例題
1．（23-24高二下·江蘇·階段練習(xí)）下列不等關(guān)系中，正確的是（為自然對數(shù)的底數(shù)）（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二上·河北石家莊·期末）已知，則a，b，c大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·江西贛州·一模）已知，則（ ）
A．B．
C．D．
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·浙江溫州·二模）已知，則的大小關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·福建福州·期末）已知，則（ ）
A．B．
C．D．
高頻考點(diǎn)七：函數(shù)單調(diào)性之構(gòu)造函數(shù)解不等式
典型例題
1．（2024·湖南邵陽·二模）已知函數(shù)的定義域?yàn)闉榈膶?dǎo)函數(shù).若，且在上恒成立，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二下·福建莆田·開學(xué)考試）已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，有恒成立，則下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高二下·寧夏·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若不等式對任意的恒成立，則的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
透核心考點(diǎn)
1．（23-24高二上·江蘇泰州·期末）不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
高頻考點(diǎn)八：含參問題討論單調(diào)性（一次型）
典型例題
1．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
2．（2024·陜西咸陽·二模）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
練透核心考點(diǎn)
1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，討論函數(shù)的單調(diào)性.
2．（23-24高二下·四川遂寧·階段練習(xí)）討論函數(shù)的單調(diào)性
3．（2024高二·上?！ｎ}練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中.
(1)當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；
(2)討論的單調(diào)性；
高頻考點(diǎn)十：含參問題討論單調(diào)性（不可因式分解二次型）
典型例題
1．（2024·四川南充·二模）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，討論的單調(diào)性.
練透核心考點(diǎn)
1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)（），討論的單調(diào)性.
2．（2024·山東青島·一模）已知函數(shù)．
(1)若，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為1，求該切線的方程；
(2)討論的單調(diào)性．
第四部分：典型易錯題型
備注：已知函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)，求解時容易忽視“等號”而存在單調(diào)區(qū)間卻容易誤加了“等號”
1．（23-24高三上·福建泉州·階段練習(xí)）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·福建南平·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二上·山西長治·期末）若函數(shù)（且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
備注：解不等式時容易忽視定義域
1．（2024·陜西西安·二模）已知函數(shù).若，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·貴州貴陽·一模）已知是定義在上的偶函數(shù)，且也是偶函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．條件
恒有
結(jié)論
函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)
在內(nèi)單調(diào)遞增
在內(nèi)單調(diào)遞減
在內(nèi)是常數(shù)函數(shù)
第02講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性
目錄
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc29642" 第一部分：基礎(chǔ)知識 PAGEREF _Tc29642 \h 1
\l "_Tc27569" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc27569 \h 2
\l "_Tc9278" 第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 PAGEREF _Tc9278 \h 5
\l "_Tc20031" 高頻考點(diǎn)一：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參） PAGEREF _Tc20031 \h 5
\l "_Tc30704" 高頻考點(diǎn)二：已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào) PAGEREF _Tc30704 \h 7
\l "_Tc23471" 高頻考點(diǎn)三：已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間 PAGEREF _Tc23471 \h 9
\l "_Tc17969" 高頻考點(diǎn)四：已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào) PAGEREF _Tc17969 \h 12
\l "_Tc23772" 高頻考點(diǎn)五：函數(shù)單調(diào)性之導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖象的單調(diào)性 PAGEREF _Tc23772 \h 14
\l "_Tc4084" 高頻考點(diǎn)六：函數(shù)單調(diào)性之比較大小 PAGEREF _Tc4084 \h 17
\l "_Tc25683" 高頻考點(diǎn)七：函數(shù)單調(diào)性之構(gòu)造函數(shù)解不等式 PAGEREF _Tc25683 \h 20
\l "_Tc25966" 高頻考點(diǎn)八：含參問題討論單調(diào)性（一次型） PAGEREF _Tc25966 \h 23
\l "_Tc20966" 高頻考點(diǎn)九：含參問題討論單調(diào)性（可因式分解二次型） PAGEREF _Tc20966 \h 24
\l "_Tc15828" 高頻考點(diǎn)十：含參問題討論單調(diào)性（不可因式分解二次型） PAGEREF _Tc15828 \h 29
\l "_Tc9208" 第四部分：典型易錯題型 PAGEREF _Tc9208 \h 32
\l "_Tc31223" 備注：已知函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)，求解時容易忽視“等號”而存在單調(diào)區(qū)間卻容易誤加了“等號” PAGEREF _Tc31223 \h 32
\l "_Tc3109" 備注：解不等式時容易忽視定義域 PAGEREF _Tc3109 \h 34
第一部分：基礎(chǔ)知識
1、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系（導(dǎo)函數(shù)看正負(fù)，原函數(shù)看增減）
2、求已知函數(shù)（不含參）的單調(diào)區(qū)間
①求的定義域
②求
③令，解不等式，求單調(diào)增區(qū)間
④令，解不等式，求單調(diào)減區(qū)間
注：求單調(diào)區(qū)間時，令（或）不跟等號.
3、由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法
（1）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)
①已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，恒成立.
②已知在區(qū)間上單調(diào)遞減，恒成立.
注：已知單調(diào)性，等價條件中的不等式含等號.
（2）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間
①已知在區(qū)間上存在單調(diào)增區(qū)間令，解不等式，求單調(diào)增區(qū)間，則
②已知在區(qū)間上存在單調(diào)減區(qū)間令，解不等式，求單調(diào)減區(qū)間，則
（3）已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，使得
4、含參問題討論單調(diào)性
第一步：求的定義域
第二步：求（導(dǎo)函數(shù)中有分母通分）
第三步：確定導(dǎo)函數(shù)有效部分，記為
對于進(jìn)行求導(dǎo)得到，對初步處理（如通分），提出的恒正部分，將該部分省略，留下的部分則為的有效部分（如：，則記為的有效部分）.接下來就只需考慮導(dǎo)函數(shù)有效部分，只有該部分決定的正負(fù).
第四步：確定導(dǎo)函數(shù)有效部分的類型：
①為一次型（或可化為一次型）②為二次型（或可化為二次型）
第五步：通過分析導(dǎo)函數(shù)有效部分，討論的單調(diào)性
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·全國·新課標(biāo)Ⅱ卷）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（ ）．
A．B．eC．D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)在上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出．
【詳解】
依題可知，在上恒成立，顯然，所以，
設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，
，故，即，即a的最小值為．
故選：C．
2．（2023·全國·乙卷理）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是 .
【答案】
【分析】原問題等價于恒成立，據(jù)此將所得的不等式進(jìn)行恒等變形，可得，由右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可得實(shí)數(shù)的二次不等式，求解二次不等式后可確定實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，
則，即在區(qū)間上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
結(jié)合題意可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
3．（2023·全國·乙卷文）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程．
(2)若函數(shù)在單調(diào)遞增，求的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，最后求解切線方程即可；
（2）原問題即在區(qū)間上恒成立，整理變形可得在區(qū)間上恒成立，然后分類討論三種情況即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時，，
則，
據(jù)此可得，
所以函數(shù)在處的切線方程為，即.
（2）由函數(shù)的解析式可得，
滿足題意時在區(qū)間上恒成立.
令，則，
令，原問題等價于在區(qū)間上恒成立，
則，
當(dāng)時，由于，故，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
此時，不合題意;
令，則，
當(dāng)，時，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
即在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，滿足題意.
當(dāng)時，由可得，
當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，
注意到，故當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
由于，故當(dāng)時，，不合題意.
綜上可知：實(shí)數(shù)得取值范圍是.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
（1）求切線方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)，合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時要進(jìn)行換元.
（2）由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法
①函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，實(shí)際上就是在該區(qū)間上(或)恒成立．
②函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，實(shí)際上就是(或)在該區(qū)間上存在解集．
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過
高頻考點(diǎn)一：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）
典型例題
1．（23-24高二下·寧夏·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
【詳解】函數(shù)，定義域?yàn)椋?br>，，解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
故選：B
2．（2024·遼寧·一模）已知.
(1)求在處的切線方程；
(2)求的單調(diào)遞減區(qū)間.
【答案】(1)
(2)單調(diào)遞減區(qū)間為，
【分析】
（1）先求原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求出處的導(dǎo)數(shù)值即切線的斜率，寫出切線方程即可；
（2）求的單調(diào)遞減區(qū)間，只需求出其導(dǎo)函數(shù)滿足不等式的解集即可.
【詳解】（1）
由于，
其導(dǎo)函數(shù)為：，
得：，，
所以在處的切線方程為：，即；
（2）
由于，
得：，
若，則，即，
由于，則，
只需即可，解得，，
故的單調(diào)遞減區(qū)間為：，.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高二下·重慶黔江·階段練習(xí)）若函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A．，B．C．D．
【答案】C
【分析】
求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)小于零并結(jié)合定義域即可得解.
【詳解】
因?yàn)?，定義域?yàn)椋?br>所以，
令，解得，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.
故選：C.
2．（23-24高二下·江蘇·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 ．
【答案】（或）
【分析】
求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式即可.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>又，
令，解得，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（或）.
故答案為：（或）
高頻考點(diǎn)二：已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)
典型例題
1．（22-23高二下·北京·階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】原函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上恒大于或等于0，可求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】由，則，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以恒成立，
即恒成立，則，解得.
故選：B
2．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）若函數(shù)的圖象在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的最小值為 ．
【答案】
【分析】
利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，
構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最小值即可求得即.
【詳解】
因?yàn)?，所以?br>由的圖象在區(qū)間上單調(diào)遞增，
可知不等式即在區(qū)間上恒成立．
令，則，
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，
故要使在上恒成立，只需．
由，解得，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為，則a的最小值為．
故答案為：
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高三上·安徽亳州·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是： .
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得在上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求解.
【詳解】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，
設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，
，故，即，即a的最小值為.
故a的取值范圍是.
故答案為：
2．（22-23高二下·內(nèi)蒙古興安盟·期中）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】
根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，得到函數(shù)在上成立，再由題意即可得出的取值范圍.
【詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以在區(qū)間上函數(shù)，所以
設(shè)，，
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以只需即可.
故答案為：.
高頻考點(diǎn)三：已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間
典型例題
1．（23-24高三上·福建泉州·階段練習(xí)）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)條件得出存在，使成立，即存在，使成立，構(gòu)造函數(shù)，，求出的最值即可解決問題.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，
所以存在，使成立，即存在，使成立，
令，， 變形得，因?yàn)?，所以?br>所以當(dāng)，即時，，所以，
故選：D．
2．（23-24高二·安徽六安·期末）若函數(shù)存在增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先假設(shè)函數(shù)不存在增區(qū)間，則單調(diào)遞減，利用的導(dǎo)數(shù)恒小于零列不等式，將不等式分離常數(shù)后，利用配方法求得常數(shù)的取值范圍，再取這個取值范圍的補(bǔ)集，求得題目所求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】若函數(shù)不存在增區(qū)間，則函數(shù)單調(diào)遞減，
此時在區(qū)間恒成立，
可得，則，可得，
故函數(shù)存在增區(qū)間時實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選C.
【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式恒成立問題的求解策略，屬于中檔題.
3．（2023高二·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)存在增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】由題意知，存在使得，利用參變量分離法得出，利用基本不等式在時的最小值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】，定義域?yàn)?，?br>由題意可知，存在使得，即.
當(dāng)時，，
所以，，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）在區(qū)間上，函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性建立不等式，再構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)最大值即得.
【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，
依題意，不等式在上有解，即在上有解，
令，，求導(dǎo)得，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，因此，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：C
2．（多選）（23-24高二下·寧夏·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則可能的值為（ ）
A．0B．1C．2D．e
【答案】CD
【分析】求得，根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為即在有解，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，可得，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，
即在有解，即在有解，
設(shè)，可得，
所以函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，
結(jié)合選項(xiàng)，可得選項(xiàng)C、D符合題意.
故選：CD.
3．（23-24高三·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】先求導(dǎo)函數(shù)，遞減小于0，再解含參數(shù)的不等式分類討論即可.
【詳解】，
由題意知，在上有實(shí)數(shù)解，
即有實(shí)數(shù)解，
當(dāng)時，顯然滿足，
當(dāng)時，只需
綜上所述
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，及含參數(shù)的不等式有解求參數(shù)的取值范圍問題.
高頻考點(diǎn)四：已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)
典型例題
1．（22-23高二下·湖北·階段練習(xí)）若函數(shù)在其定義域的一個子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出函數(shù)的定義域，則有，對函數(shù)求導(dǎo)后，令求出極值點(diǎn)，使極值點(diǎn)在內(nèi)，從而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?br>所以，即，
，
令，得或（舍去），
因?yàn)樵诙x域的一個子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，
所以，得，
綜上，，
故選：A
2．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有零點(diǎn)，用分離參數(shù)法得到，規(guī)定函數(shù)，求出值域即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，
所以在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解．
令，則．
當(dāng)時，；當(dāng)時，．
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又因?yàn)椋?br>且當(dāng)時，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得.
故選：A
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高二上·河南許昌·期末）若函數(shù)在其定義域的一個子區(qū)間上，不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】
由題意求導(dǎo)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，列出不等式組即可求解.
【詳解】由題意單調(diào)遞增，且，
所以若函數(shù)在其定義域的一個子區(qū)間上，不是單調(diào)函數(shù)，
則，解得.
故答案為：.
高頻考點(diǎn)五：函數(shù)單調(diào)性之導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖象的單調(diào)性
典型例題
1．（22-23高二下·陜西咸陽·階段練習(xí)）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
利用函數(shù)奇偶性，特殊點(diǎn)的函數(shù)值排除求解即可.
【詳解】易得，而，故，故是奇函數(shù)，排除A,D，而，排除B，故C正確.
故選：C
2．（22-23高二下·甘肅平?jīng)觥るA段練習(xí)）已知上的可導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
由函數(shù)圖象得出和的解，然后用分類討論思想求得結(jié)論．
【詳解】由圖象知的解集為，的解集為，
或，
所以或，解集即為．
故選：D．
3．（23-24高二下·湖北黃岡·階段練習(xí)）如圖所示為函數(shù)的圖象，則不等式的解集為 ．
【答案】
【分析】
由函數(shù)圖象的單調(diào)性可得其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可解出該不等式.
【詳解】由的圖象可得在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，，當(dāng)x∈時，，
因?yàn)?，所以或?br>即或或，解得或，
所以原不等式的解集為．
故答案為：.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高二上·山西長治·期末）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，那么該函數(shù)的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖像利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)知識從而得到的圖像，從而求解.
【詳解】由題意知與軸有三個交點(diǎn)，不妨設(shè)為，
當(dāng)，，當(dāng)，,
當(dāng)，，當(dāng)，，
所以在區(qū)間，單調(diào)遞減，故A、C錯誤；
在區(qū)間,單調(diào)遞增，故B錯誤，故D正確.
故選：D.
2．（多選）（23-24高三下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖，且在與處取得極值，給出下列判斷，其中正確的是（ ）
A．B．
C．D．函數(shù)在上單調(diào)遞減
【答案】AC
【分析】
根據(jù)圖象確定極值點(diǎn)的范圍，進(jìn)而得到導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)的二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】
，
由圖知時，單調(diào)遞增，可知，所以，故B錯誤；
又，
，故A正確；
，故C正確；
，其圖象開口向上，對稱軸小于，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故D錯誤．
故選：AC.
3．（多選）（22-23高二下·廣西桂林·期末）設(shè)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若時，圖象如圖所示，則可以使成立的x的取值范圍是（ ）

A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及時的圖象，判斷函數(shù)的函數(shù)值的正負(fù)情況，繼而可判斷其單調(diào)性，從而判斷的正負(fù)，即可求得答案.
【詳解】由題意可知當(dāng)時，；當(dāng)時，；
由于是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，故當(dāng)時，；當(dāng)時，；
又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
結(jié)合是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故當(dāng)時，；當(dāng)時，；
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
故可以使成立的x的取值范圍是，，，
故選：ABD
高頻考點(diǎn)六：函數(shù)單調(diào)性之比較大小
典型例題
1．（23-24高二下·江蘇·階段練習(xí)）下列不等關(guān)系中，正確的是（為自然對數(shù)的底數(shù)）（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
構(gòu)造函數(shù)利用其單調(diào)性可對選項(xiàng)一一判斷即得.
【詳解】設(shè)則當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
對于A項(xiàng)，由，
因在上單調(diào)遞減，故，故A項(xiàng)錯誤；
對于B項(xiàng)，由，
因在上單調(diào)遞減，故，故B項(xiàng)錯誤；
對于C項(xiàng)，由，
因在上單調(diào)遞減，故，故C項(xiàng)錯誤；
對于D項(xiàng)，由，
因在上單調(diào)遞減，故，故D項(xiàng)正確.
故選：D.
2．（23-24高二上·河北石家莊·期末）已知，則a，b，c大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性，進(jìn)而得到a，b，c的大小關(guān)系.
【詳解】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，則，
令，則，令，得，
因此在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
而，，，
因?yàn)椋裕?
故選：D
3．（2024·江西贛州·一模）已知，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】構(gòu)造函數(shù)，對求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞減，可得，即，再由作差法比較的大小，即可得出答案.
【詳解】令,,
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，所以，即?br>所以可得，故，
因?yàn)椋?br>所以，
故.
故選：D.
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·浙江溫州·二模）已知，則的大小關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求最值得，從而有，再利用函數(shù)單調(diào)遞減得，利用函數(shù)單調(diào)遞增得，即可比較大小.
【詳解】對，因?yàn)?，則，即函數(shù)在單調(diào)遞減，
且時，，則，即，所以，
因?yàn)榍?，所以?br>又，所以.
故選：B
2．（23-24高二上·福建福州·期末）已知，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
先判斷，構(gòu)造，比較的大小.
【詳解】因?yàn)椋?，所以b最大，
構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)椋?br>當(dāng)時，當(dāng)時，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
又因?yàn)?，所以，即?br>故.
故選：B．
高頻考點(diǎn)七：函數(shù)單調(diào)性之構(gòu)造函數(shù)解不等式
典型例題
1．（2024·湖南邵陽·二模）已知函數(shù)的定義域?yàn)闉榈膶?dǎo)函數(shù).若，且在上恒成立，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得在上單調(diào)遞減，把不等式轉(zhuǎn)化為，即可求解.
【詳解】
設(shè)函數(shù)，可得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
由，可得，即，
可得，所以，即不等式的解集為.
故選：D.
2．（23-24高二下·福建莆田·開學(xué)考試）已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，有恒成立，則下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，
所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，
對于AB選項(xiàng)，，即，可得，A錯B對；
對于CD選項(xiàng)，，即，D對，C無法判斷.
故選：BD.
3．（23-24高二下·寧夏·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若不等式對任意的恒成立，則的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】求得，得到函數(shù)的單調(diào)性，把轉(zhuǎn)化為在上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和不等式的解法，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，可得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
因?yàn)?，且，則且，
所以不等式，
即為在上恒成立，
即在上恒成立，
設(shè)，當(dāng)時，可得，
所以，解得，即，
結(jié)合選項(xiàng)，可得選項(xiàng)C、D符合題意.
故選：CD.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高二上·江蘇泰州·期末）不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
不等式等價于，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，確定單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式即可.
【詳解】由得，
設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，
故由得，
所以，解得.
故選：B.
2．（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】
首先判斷函數(shù)的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)奇偶性與單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且?br>所以為奇函數(shù)，
又，所以在上單調(diào)遞增，
不等式，即，
等價于，解得或，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：
高頻考點(diǎn)八：含參問題討論單調(diào)性（一次型）
典型例題
1．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
【答案】(1)答案見解析
【分析】
（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再分、、三種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>又，
當(dāng)時，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，
令，解得，所以在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增
當(dāng)時，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，
令，解得，所以在上單調(diào)遞減，
綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
2．（2024·陜西咸陽·二模）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
【答案】(1)答案見解析
【分析】
（1）求出定義域，求導(dǎo)，分與兩種情況，結(jié)合不等式，求出單調(diào)性；
【詳解】（1）
因?yàn)?，定義域?yàn)椋裕?br>當(dāng)時，由于，則，故恒成立，
所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，令，解得，
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，
綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·廣西來賓·一模）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
【答案】(1)答案見解析；
【分析】（1）求導(dǎo)，分和討論正負(fù)，得解；
【詳解】（1）
因?yàn)?，所以?
當(dāng)時，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，由，得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
由，得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.
綜上，當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.
高頻考點(diǎn)九：含參問題討論單調(diào)性（可因式分解二次型）
典型例題
1．（23-24高二下·江蘇·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求的單調(diào)增區(qū)間；
(2)求的單調(diào)區(qū)間；
【答案】(1)增區(qū)間為
(2)答案見解析
【分析】
（1）將函數(shù)求導(dǎo)，使導(dǎo)函數(shù)大于0求得，即得函數(shù)單調(diào)增區(qū)間；
（2）將函數(shù)求導(dǎo)分解因式，根據(jù)參數(shù)進(jìn)行分類討論，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
【詳解】（1）當(dāng)時，，
因，由可得，則的單調(diào)增區(qū)間為.
（2）由求導(dǎo)得，
由可得或.
①當(dāng)時，由可得，由可得；
②當(dāng)時，在上恒成立；
③當(dāng)時，由可得，由可得.
故當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；
當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，無遞減區(qū)間；
當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.
2．（23-24高三下·北京順義·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若，討論函數(shù)的單調(diào)性；
【答案】(1)
(2)答案見解析.
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求出導(dǎo)數(shù)即為斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線方程；
（2）由題意得，討論根據(jù)判定其單調(diào)區(qū)間；
【詳解】（1）當(dāng)時，
，
， ，
所以切線方程為：；
（2）由題，可得
由于，的解為，
①當(dāng)，即時，，則在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)，即時，
在區(qū)間上，，在區(qū)間上，，
所以的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為；
③當(dāng)，即時，
在區(qū)間上，，在區(qū)間上，，
所以的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為；
3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性.
【答案】答案見解析
【分析】求導(dǎo)得，分、、、討論可得答案.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>求導(dǎo)得，
①當(dāng)，即時，由，得，由，得，
因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
②當(dāng)，即時，由，得或，由，得，
因此在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
③當(dāng)，即時，恒成立，因此在上單調(diào)遞增；
④當(dāng)，即時，由，得或，由，
得，
因此在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
練透核心考點(diǎn)
1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，討論函數(shù)的單調(diào)性.
【答案】答案見解析
【分析】
求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對分類討論，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【詳解】由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>
①當(dāng)時，因?yàn)椋?，所?
所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.
②當(dāng)時，由，解得；由，解得或.
所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.
③當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號）恒成立，所以在上單調(diào)遞增.
④當(dāng)時，由，解得；由，解得或.
所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.
綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.
2．（23-24高二下·四川遂寧·階段練習(xí)）討論函數(shù)的單調(diào)性
【答案】見解析.
【分析】
對求導(dǎo)后按照兩根的大小及函數(shù)定義域分類討論，由此即可得解.
【詳解】
，
令得，
當(dāng)即時，當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)，即時，
當(dāng)時，；當(dāng)或時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)即時，在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)，即時，
當(dāng)時，；當(dāng)或時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
3．（2024高二·上?！ｎ}練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中.
(1)當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；
(2)討論的單調(diào)性；
【答案】(1)
(2)函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率，寫出方程即可.
（2）含參討論函數(shù)單調(diào)性即可.
【詳解】（1）
當(dāng)時，，故，
此時函數(shù)在處的切線方程為：.
（2）
由題意，的定義域?yàn)椋?br>，
則當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減.
故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
高頻考點(diǎn)十：含參問題討論單調(diào)性（不可因式分解二次型）
典型例題
1．（2024·四川南充·二模）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
【答案】(1)答案見解析
（1）求出導(dǎo)函數(shù)，按照的正負(fù)分類討論，由的正負(fù)可得單調(diào)性；
【詳解】（1）由題意知的定義域?yàn)椋?
，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，令，
，
故方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根，
分別為，，且，，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增.
綜上可知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，討論的單調(diào)性.
【答案】當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)或時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
【分析】
通過求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對其導(dǎo)數(shù)進(jìn)行正負(fù)判斷，進(jìn)而求出單調(diào)區(qū)間.
【詳解】
由題得，令得，
①若，即當(dāng)時，恒成立，在R上單調(diào)遞增；
②若，即當(dāng)或時，可得的兩根分別為，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
綜上，當(dāng)時，在R上單增；
當(dāng)或時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
練透核心考點(diǎn)
1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)（），討論的單調(diào)性.
【答案】答案見解析
【分析】
分類討論的不同取值，利用導(dǎo)函數(shù)的符號判斷單調(diào)性即可.
【詳解】
由題意可得的定義域?yàn)椋?br>設(shè)，令，，
①當(dāng)時，，此時恒成立，在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時，，設(shè)的兩根為，
由，可知的兩根都小于0，
所以在上大于0，所以在上單調(diào)遞增；
③當(dāng)時，，由，解得，，
由，可知的兩根都大于0，
所以當(dāng)時，，，在，上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，，在上單調(diào)遞減.
綜述所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
2．（2024·山東青島·一模）已知函數(shù)．
(1)若，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為1，求該切線的方程；
(2)討論的單調(diào)性．
【答案】(1)
(2)答案見解析
第四部分：典型易錯題型
備注：已知函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)，求解時容易忽視“等號”而存在單調(diào)區(qū)間卻容易誤加了“等號”
1．（23-24高三上·福建泉州·階段練習(xí)）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)條件得出存在，使成立，即存在，使成立，構(gòu)造函數(shù)，，求出的最值即可解決問題.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，
所以存在，使成立，即存在，使成立，
令，， 變形得，因?yàn)椋裕?br>所以當(dāng)，即時，，所以，
故選：D．
2．（23-24高二上·福建南平·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，從而得解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，即，則在上恒成立，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，故.
故選：A.
3．（23-24高二上·山西長治·期末）若函數(shù)（且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】函數(shù)求導(dǎo)后，在區(qū)間上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，然后利用函數(shù)單調(diào)性求最值即得.
【詳解】由函數(shù)（且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，
得在區(qū)間上恒成立，
又在區(qū)間上恒正，只需滿足在區(qū)間上恒成立即可，
令，
若，則，則一次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，不可能恒正；
若，則，則一次函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，
所以只需，即，解得，
故答案為：.
備注：解不等式時容易忽視定義域
1．（2024·陜西西安·二模）已知函數(shù).若，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，根據(jù)已知轉(zhuǎn)化出，再解出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，
所以是上的增函數(shù)，所以若
則，解得.
故選：D
2．（2024·貴州貴陽·一模）已知是定義在上的偶函數(shù)，且也是偶函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
首先根據(jù)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，，再由函數(shù)也是偶函數(shù)，變形求得函數(shù)的解析式，并求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求解不等式.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，，所以，則，
又因?yàn)楹瘮?shù)也是偶函數(shù)，所以，得，
因?yàn)闉闇p函數(shù)，為增函數(shù)，所以為減函數(shù)，
令，得，
所以時，，在上單調(diào)遞減，
根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，即，即，得或，
所以不等式的解集為.
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)，得到，從而求得函數(shù)的解析式.條件
恒有
結(jié)論
函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)
在內(nèi)單調(diào)遞增
在內(nèi)單調(diào)遞減
在內(nèi)是常數(shù)函數(shù)

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