做一做: 在半透明紙上畫(huà)一條線段AB,折紙使A與B重合,得到的折痕L就是線段AB的垂直平分線。 想一想: 這樣折紙?jiān)趺淳褪谴怪逼椒志€呢?
(一)操作:畫(huà)線段垂直平分線 方法一:尺規(guī)畫(huà)法 ①分別以點(diǎn)A、B為圓心,大于?AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)E、F ②過(guò)點(diǎn)E、F作直線。 則直線EF就是線段AB的垂直平分線(如圖)方法二:利用三角板過(guò)中點(diǎn)畫(huà)垂線(二)想一想 1.作法中為什么要“大于?AB長(zhǎng)為半徑”呢? 2.為什么這樣作出的直線就是線段AB的垂直平分線呢?
分析: 要證EF是AB的垂直平分線即AO=BO,∠AOE=∠BOE=90° △AOE≌△BOE(SAS) AE=BE(已作) ∠1=∠2 OE=OE(公共邊) △AEF≌△BEF(sss) AE=BE(已作) AF=BF(已作) EF=EF(公共邊)你能說(shuō)出證明過(guò)程嗎?
為什么這樣作出的直線就是線段AB的垂直平分線呢?
線段垂直平分線除了具有“垂直、平分線段”的性質(zhì)外還有如下性質(zhì): 定理:線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等。
已知:直線MN經(jīng)過(guò)線段AB的中點(diǎn)O,且MN⊥AB,P為MN上任意一點(diǎn)。如圖,求證:PA=PB。
思考:你能寫(xiě)出上面定理的逆命題嗎?它是真命題嗎?如何證明呢? 定理:到線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。
已知:線段AB,PA=PB,如圖。求證:點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上。
方法一:過(guò)點(diǎn)P作已知線段AB的垂線PO,再證PO平分AB。
方法二:取AB的中點(diǎn)O,再證明PO⊥AB。
方法三:作APB的平分線PO,再證明。
線段垂直平分線的判定的證明
公路L同側(cè)的A、B兩村,共同出資在公路邊修建一個(gè)農(nóng)產(chǎn)品倉(cāng)庫(kù)C,使倉(cāng)庫(kù)到A,B兩村距離相等。你如何確定倉(cāng)庫(kù)C的位置?
泰安市政府為了方便居民的生活,計(jì)劃在三個(gè)住宅小區(qū)A、B、C之間修建一個(gè)購(gòu)物中心,試問(wèn),該購(gòu)物中心應(yīng)建于何處,才能使得它到三個(gè)小區(qū)的距離相等。
如圖,在ΔABC中,邊AB,BC的垂直平分線交于P。求證:PA=PB=PC。
證明:∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線MN上,∴PA=PB。同理PB=PC。∴PA=PB=PC。
你能依據(jù)例題得到什么結(jié)論?
結(jié)論:三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn),這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。
通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),你收獲了哪些知識(shí)?
逆定理:到線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。
線段垂直平分線定理:線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等。

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15.2 線段的垂直平分線

版本: 滬科版

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