線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等.
到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.
點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上
到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上
線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等
判斷線段垂直平分線的兩種方法：
——用判定定理判定一條直線是線段的垂直平分線時(shí)，必須要證明直線上有兩點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.
三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)：
三角形三邊的垂直平分線
這點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.
提醒：見(jiàn)垂直平分線，得線段相等
作用：判斷一個(gè)點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上.
底邊上的中線所在的直線是它的對(duì)稱(chēng)軸.
畫(huà)一個(gè)等腰三角形ABC，如下圖，
把邊 AB 疊合到邊 AC 上，
這時(shí)點(diǎn) B 與點(diǎn) C 重合，
圖中哪些線段或角相等？
△ADB 與 △ADC 有什么關(guān)系？
等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，
等腰三角形具有對(duì)稱(chēng)性：
猜想 1：等腰三角形的兩底角相等
猜想 2： 等腰三角形的
猜想 2：等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊.
已知：如圖，在△ABC 中，AB=AC.求證：∠B=∠C.
過(guò)點(diǎn) A 作 AD⊥BC，交 BC 于點(diǎn) D
則 ∠ADB ＝∠ADC＝90°
在 Rt△ABD 與 Rt△ACD 中
∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD
(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)
已知：如圖，在△ABC 中，AB=AC.求證：∠B=∠C .
取 BC 的中點(diǎn)，連接AD
在△ABD與△ACD中
∴ △ABD≌△ACD
作頂角 ∠BAC 的平分線 AD，交 BC 于點(diǎn) D
則 ∠BAD=∠CAD
等腰三角形的兩個(gè)底角相等.
∵ 在 △ABC 中，AB=AC
必須在同一個(gè)三角形中.
是證明角相等的常用方法，應(yīng)用它證角即可省去三角形全等的證明，因而更簡(jiǎn)便.
已知：如圖，在△ABC 中，AB=AC，∠BAD=∠CAD.
∠BDA=∠CDA=90°，
在 △ABD 與 △ACD 中
又∵ ∠BDA+∠CDA=180°
∴ ∠BDA=∠CDA=90°
等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊
① ∵ 在△ABC中，AB＝AC，
② ∵ 在△ABC中，AB＝AC，
∴ ∠BAD=∠CAD ，
③ ∵ 在△ABC中，AB＝AC，
思考： 在等腰三角形中，若出現(xiàn)“三線”中的“一線”，我們應(yīng)該想到什么？
(1) 必須是等腰三角形
(2) 必須是頂角的平分線、底邊上的中線 和底邊上的高才互相重合.
是證明線段相等、角相等、線段垂直等關(guān)系的重要方法.
畫(huà)出任意一個(gè)等腰三角形的底角平分線、這個(gè)底角所對(duì)的腰上的中線和高，看看它們是否重合？
“三線合一”必須是等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線和底邊上的高互相重合
問(wèn)題 1：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角之間有什么關(guān)系？
∠A=∠B=∠C=60°
猜想 3：等邊三角形三個(gè)內(nèi)角相等，每一個(gè)內(nèi)角都等于60°.
已知：AB=AC=BC. 求證：∠A= ∠ B=∠C= 60°.
∵ ∠A+∠B+∠C=180°
∴ ∠A=∠B=∠C=60°
(三角形的內(nèi)角和等于180°)
等邊三角形三個(gè)內(nèi)角相等，每一個(gè)內(nèi)角都等于60°.
∵ △ABC 是等邊三角形
∴ ∠A=∠B=∠C=60° AB=AC=BC
問(wèn)題 2 等邊三角形有“三線合一”的性質(zhì)嗎？等邊三角形有幾條對(duì)稱(chēng)軸？
頂角的平分線、底邊上的高底邊上的中線三線合一
① 等邊三角形各邊上的高、中線和所對(duì)角的平分線都“三線合一”.
② 等邊三角形是特殊的等腰三角形，具備等腰三角形的所有性質(zhì).
1、若等腰三角形的底角是40°，則其頂角為_(kāi)______.
3、若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是100°，則另外兩個(gè)角 分別為_(kāi)_________________.
2、如果等腰三角形有一個(gè)內(nèi)角等于80°，那么這個(gè)三角形的最小內(nèi)角等于 .
4、已知：如圖，在 △ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120o，點(diǎn) D ，E 是底邊上兩點(diǎn)，且 BD＝AD，CE＝AE，求 ∠DAE 的度數(shù).
又∵ ∠BAC＝120o
= ×(180°-120°)
∵ BD＝AD，CE＝AE
∴ ∠BAD＝∠B=30°
∠CAE＝∠C=30°
＝120°-30°-30°
∵ ∠BAC＝120°
∴ ∠B+∠C=180°-∠BAC=60°
∴ ∠BAD+∠CAE=60°
-(∠BAD+∠CAE)
變式：已知：如圖，在 △ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120o，點(diǎn) D ，E 是底邊上兩點(diǎn)，且 BD＝AD，CE＝AE，求 ∠DAE 的度數(shù).
5、如圖所示，在 △ABC 中，AB，AC 的垂直平分線分別交BC 于 D，E，垂足分別是 M，N．(1) 若 △ADE 的周長(zhǎng)為 6，求 BC 的長(zhǎng)；(2)若 ∠BAC=100°，求 ∠DAE 的度數(shù)．
6、如圖所示，已知點(diǎn) D，E 在 △ABC 的邊 BC 上，AB＝AC，AD＝AE. 求證：BD＝CE.
過(guò) A 點(diǎn)作 AF⊥BC，
∴ BF－DF＝CF－EF
作等腰三角形的頂角平分線、
等腰三角形中常見(jiàn)的添輔助線的方法是什么？
等腰三角形中常見(jiàn)的添輔助線的方法是：
7、如圖，△ABC是等邊三角形，E是AC上一點(diǎn)，D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度數(shù)．
方法總結(jié)：等邊三角形是特殊的三角形，它的三個(gè)內(nèi)角都是60°，這個(gè)性質(zhì)常應(yīng)用在求三角形角度的問(wèn)題上，一般需結(jié)合”等邊對(duì)等角”、三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì).
∵ △ABC是等邊三角形
∴ ∠ABC＝∠ACB＝60°
∴ ∠EBC＝∠ABC－∠ABE
∴ ∠D＝∠EBC＝20°
又∵ ∠ACB是△CED的外角
然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)
及三角形的外角和內(nèi)角之間的關(guān)系，
8、 如圖，在 △ABC 中 ，AB=AC，點(diǎn) D 在 AC 上，且BD=BC=AD，求 △ABC 各角的度數(shù).
一般采用方程思想來(lái)解決，
一般設(shè)較小的角的度數(shù)為 x .
用含未知數(shù)的代數(shù)式表示出一個(gè)三角形的內(nèi)角的度數(shù)，
再利用三角形的內(nèi)角和等于180°列出方程，
(三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和)
8、 如圖，在 △ABC 中 ，AB=AC，點(diǎn) D 在 AC 上，且BD=BC=AD，求 △ABC 各角的度數(shù).
∴ x+2x+2x=180°
∠A+∠ABC+∠ACB=180°
使點(diǎn)A與點(diǎn)A′、點(diǎn)C與點(diǎn)C′重合，
9、求證：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等。
已知：如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
求證：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.
點(diǎn)B和點(diǎn)B'在AC的兩側(cè).
在平面內(nèi)移動(dòng)Rt△ABC和Rt△A'B'C',
∴ ∠BCB'=90°+90°=180°
∵ ∠ACB＝∠A'C′B'＝90o
∴ B，C，B'三點(diǎn)在一條直線上
∵ 在△ABB'中，AB=A'B'
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中
∠ACB＝∠A'C′B'
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'
∠C＝∠C′＝90o，
AB＝A′B′，AC＝A′C′.
10、已知：如圖，∠AOB=15°，并且OA=AB=BC=CD. 求證：∠1的度數(shù).
∴ ∠ABO=∠AOB
∴ ∠ACB=∠BAC
∴ ∠BDC=∠CBD
=15°＋45°=60°
11、△ABC 為正三角形，點(diǎn) M 是 BC 邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn) N 是CA 邊上任意一點(diǎn)，且 BM＝CN，BN 與 AM 相交于 Q 點(diǎn)，∠BQM 等于多少度？
∵ △ABC為正三角形
∴ ∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，
在 △ABM 和 △BCN 中
∴ △AMB≌△BCN
∴ ∠BAM＝∠CBN
又∵ ∠BQM是△ABQ的外角
12、如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E分別在AC，AB邊上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度數(shù).
∴ ∠BDE=∠EBD
∴ 2x+3x+3x=180°
∠A+∠ABC+∠C=180°
13、如圖：△ABC中，AB=AC，D 為 BC 邊的中點(diǎn)，DE⊥AB. (1) 求證：∠BAC=2∠EDB； (2) 若AC=6，DE=2，求△ABC的面積．
14、A、B是4×4網(wǎng)格中的格點(diǎn)，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，請(qǐng)?jiān)趫D中清晰標(biāo)出使以 A、B、C 為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形的所有格點(diǎn)C的位置．
分別以 A、B、C 為頂角頂點(diǎn)來(lái)分類(lèi)討論！
① 等邊三角形三個(gè)內(nèi)角相等，每一個(gè)內(nèi)角都等于60°.
② 等邊三角形各邊上的高、中線和所對(duì)角的平分線都“三線合一”
③ 等邊三角形是特殊的等腰三角形，具備等腰三角形的所有性質(zhì).
等腰三角形中常見(jiàn)的添輔助線的方法是： 作等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高.

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