二．解題策略
類型一 轉(zhuǎn)化為函數(shù)（三角函數(shù)或二次函數(shù)）解決
【例1】在平面四邊形ABCD中，AB=1，AD=4，BC=CD=2，則四邊形ABCD面積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【來源】江蘇省蘇州市八校聯(lián)盟2020-2021學年高三上學期第二次適應性檢測數(shù)學試題
【例2】（2020·廣東高考模擬）如圖所示，在平面四邊形中，，，是以為頂點的等腰直角三角形，則面積的最大值為________．
【例3】．（2020·湖北黃岡中學高考模擬）已知中，所對的邊分別為a，b，c，且滿足，則面積的最大值為______.
【舉一反三】
1．（2020·安徽高考模擬）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且A是B和C的等差中項，
，，則周長的取值范圍是
A．B．
C．D．
2．若是垂心，且，則（ ）
A．B．C．D．
【來源】2020屆浙江省杭州學軍中學高三上學期期中數(shù)學模擬試題
3．（2020·山東高考模擬）在圓內(nèi)接四邊形中, ,,則的面積的最大值為__________．
類型二 結(jié)合不等式（基本不等式）求解問題
【例1】已知?分別為橢圓：的左?右頂點，為橢圓上一動點，，與直線交于，兩點，與的外接圓的周長分別為，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【例2】（2020·江西高考模擬）在銳角三角形中，角的對邊分別為，若，則的最小值是_______．
【例3】（2020湘贛十四校聯(lián)考）在中，角，，的對邊分別為，，，若，且恒成立，則的取值范圍是
【舉一反三】
1．在中，已知，，的面積為6，若為線段上的點（點不與點，點重合），且，則的最小值為（ ）.
A．9B．C．D．
【來源】福建省仙游第一中學2021屆高三上學期期中考試數(shù)學試題
2．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，，，點D在邊上，且，則線段長度的最小值為（ ）
A．B．C．3D．2
3．（2020·河南高考模擬）在中，角，，的對邊分別為，設的面積為，若，則的最大值為_____．
三．強化訓練
1.（2020安徽省蕪湖市高三）銳角三角形的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，，則周長的最大值為（ ）
A． B． C．3 D．4
2.（2020黑龍江省鶴崗市一模）中，角、、所對的邊分別為、、，且滿足，，則面積的最大值是 （ ）
A． B． C． D．
3．（2020·山東高考模擬）設銳角三角形的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
4．設銳角的三個內(nèi)角..的對邊分別為..，且，，則周長的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【來源】備戰(zhàn)2021年高考數(shù)學（文）全真模擬卷（新課標Ⅱ卷）
5．（2020·安徽省定遠中學高考模擬）已知在銳角中，角，，的對邊分別為，，，若，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
6、（2020山西省高考模擬） 的內(nèi)角 的對邊分別為 ，若的面積為，周長為6，則b的最小值是（ ）
A．2B．C．3D．
7、（2020陜西省漢中市質(zhì)檢）在中，角的對邊分別是，若角成等差數(shù)列，且直線平分圓的周長，則面積的最大值為（ ）
A． B． C．2 D．
8.（2020湖南省湘潭市模擬）分別為銳角內(nèi)角的對邊，函數(shù)有唯一零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
9．（2020·山東高考模擬）曲線的一條切線l與軸三條直線圍成的三角形記為，則外接圓面積的最小值為
A．B．C．D．
10．已知三棱錐中，平面，，，則三棱錐體積最大時，其外接球的體積為（ ）
A．B．C．D．
11．銳角的內(nèi)角，，的對邊分別為，，且，，若，變化時，存在最大值，則正數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
12．已知銳角三角形的內(nèi)角，，的對邊分別為，，.且， 則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
13．若面積為1的滿足，則邊的最小值為（ ）
A．1B．C．D．2
【來源】福建省寧德市2020屆高三畢業(yè)班6月質(zhì)量檢查理科數(shù)學試題
14．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，若的面積為，則的周長的最小值為（ ）
A．4B．C．6D．
15．如圖，在平面四邊形中，，，，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
16．已知的周長為9，若，則的內(nèi)切圓半徑的最大值為（ ）
A．B．1C．2D．
【來源】2020屆湖南省衡陽市高三下學期第二次模擬數(shù)學（理）試題
17．（2020·甘肅西北師大附中高考模擬）在銳角中，，則的取值范圍是
18．（2020·廣東高考模擬）在中，角所對的邊分別為，，的平分線交于點D，且，則的最小值為________．
19．（2020·湖南高考模擬）在中，角，，的對邊分別為，，，若，且恒成立，則的取值范圍是
20．（2020·湖北高考模擬）已知分別為的三個內(nèi)角的對邊，已知，，，若滿足條件的三角形有兩個，則的取值范圍是
21．（2020·河南高考模擬）在中，角所對的邊分別是，已知，且，則的取值范圍為
22．（2020·江蘇高考模擬）在中，設角的對邊分別是若成等差數(shù)列，則的最小值為________.
23．（2020·湖南高考模擬）在中，分別為角所對的邊，若，的面積為，則的最小值為__________．
第7講 與三角形相關(guān)的范圍問題
一．方法綜述
與三角形相關(guān)的范圍問題同樣是高考命題的熱點問題之一，要充分利用解三角形知識，正余弦定理的邊角轉(zhuǎn)化策略以及結(jié)合基本不等式、函數(shù)、方程與不等式思想，運用轉(zhuǎn)化與化歸思想求解．
二．解題策略
類型一 轉(zhuǎn)化為函數(shù)（三角函數(shù)或二次函數(shù)）解決
【例1】在平面四邊形ABCD中，AB=1，AD=4，BC=CD=2，則四邊形ABCD面積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【來源】江蘇省蘇州市八校聯(lián)盟2020-2021學年高三上學期第二次適應性檢測數(shù)學試題
【答案】A
【解析】由余弦定理知：在中，有
，
在中，有，
則，
由四邊形的面積=三角形ABD的面積+三角形BCD的面積，
故，
在三角形中，易知，，
，當且僅當時等號成立，此時，故，
故選：A.
【指點迷津】在處理解三角形問題時，要注意抓住題目所給的條件，將所有邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，有時需將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系；這類問題的通法思路是：全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，從而求出范圍或最值，從而得最值.
【例2】（2020·廣東高考模擬）如圖所示，在平面四邊形中，，，是以為頂點的等腰直角三角形，則面積的最大值為________．
【答案】
【解析】【分析】設，，，則的面積，在中，運用余弦定理，表示出，根據(jù)是以為頂點的等腰直角三角形，得到 ，代入面積公式，利用三角函數(shù)即可求面積的最大值．
【詳解】在中，設，，
在中，，，由余弦定理，可得，
由，當且僅當時取等號，即有，由于 則，
利用余弦定理可得：，化簡得：，
又因為是以為頂點的等腰直角三角形，則 ，
在中，由正弦定理可得：，即：，則，
由于
，即
所以的面積


當時，取最大值1，所以的面積的最大值為
【例3】．（2020·湖北黃岡中學高考模擬）已知中，所對的邊分別為a，b，c，且滿足，則面積的最大值為______.
【答案】1
【解析】
【分析】先求出，再證明，再利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)求的最大值得解.
【詳解】由題得，
由基本不等式得
又因為，所以
所以,
所以，
所以，
.此時，故答案為1
【舉一反三】
1．（2020·安徽高考模擬）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且A是B和C的等差中項，
，，則周長的取值范圍是
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】∵是和的等差中項，∴，∴，
又，則，從而，∴，
∵，∴，
所以的周長為，
又，，，∴．故選B．
2．若是垂心，且，則（ ）
A．B．C．D．
【來源】2020屆浙江省杭州學軍中學高三上學期期中數(shù)學模擬試題
【答案】D
【解析】在中，，由，
得，
連接并延長交于，
因為是的垂心，所以，，
所以
同乘以得，
因為，所以
由正弦定理可得
又，所以有，
而，
所以，
所以得到，而，所以得到，
故選：D.
3．（2020·山東高考模擬）在圓內(nèi)接四邊形中, ,,則的面積的最大值為__________．
【答案】
【解析】分析：由,,可知為直角三角形，設設∠BAD=，則，，從而，求二次函數(shù)的最值即可.
詳解：
由,,可知為直角三角形，其中∠ACB=90°，
設∠BAD=，AB=2r，則，，
在中，，即，
∴，
∴
令t=，則
當，即時，的最大值為
類型二 結(jié)合不等式（基本不等式）求解問題
【例1】已知?分別為橢圓：的左?右頂點，為橢圓上一動點，，與直線交于，兩點，與的外接圓的周長分別為，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由已知得、，設橢圓上動點，則利用兩點連線的斜率公式可知，，
設直線方程為：，則直線方程為：，根據(jù)對稱性設，
令得，，即，，則
設與的外接圓的半徑分別為，，
由正弦定理得：，，
又，
，當且僅當，即時，等號成立，即的最小值為
故選：A
【例2】（2020·江西高考模擬）在銳角三角形中，角的對邊分別為，若，則的最小值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】由正弦定理化簡邊角關(guān)系式，可整理出；根據(jù)，結(jié)合兩角和差正切公式可得到；利用換元的方式可將問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼獾淖钚≈档膯栴}；根據(jù)銳角三角形特點可求出，從而利用基本不等式求解出最小值.
【詳解】由正弦定理可得：
得：
，即
又
令，得：
為銳角三角形
得：，即
當且僅當，即時取等號
【例3】（2020湘贛十四校聯(lián)考）在中，角，，的對邊分別為，，，若，且恒成立，則的取值范圍是
【答案】
【解析】
又

又，當且僅當時取等號


設，即當時，恒成立
設
則可知
可得：
【舉一反三】
1．在中，已知，，的面積為6，若為線段上的點（點不與點，點重合），且，則的最小值為（ ）.
A．9B．C．D．
【來源】福建省仙游第一中學2021屆高三上學期期中考試數(shù)學試題
【答案】C
【解析】因為，所以，
因為的面積為，所以，
所以，
所以，，，
由于，
所以，
所以，
所以由余弦定理得：，即.
所以，
因為為線段上的點（點不與點，點重合），
所以，根據(jù)題意得
所以
所以
，
當且僅當，即時等號成立，所以.
故選：C.
2．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，，，點D在邊上，且，則線段長度的最小值為（ ）
A．B．C．3D．2
【答案】A
【解析】由及正弦定理，得，即，
由余弦定理得，，∵，∴.
由于，∴，兩邊平方，得
，當且僅當時取等號，
即，∴線段長度的最小值為.
故選：A.
3．（2020·河南高考模擬）在中，角，，的對邊分別為，設的面積為，若，則的最大值為_____．
【答案】
【解析】由題得
由題得
所以,當且僅當時取等號.
所以的最大值為,故填
點睛:本題的難在解題思路,第一個難點就是把中的分母化簡成,第二個難點
三．強化訓練
1.（2020安徽省蕪湖市高三）銳角三角形的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，，則周長的最大值為（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】C
【解析】依題意，由正弦定理得，即，由于三角形為銳角三角形，故，由正弦定理得，故三角形的周長為 ，故當，即三角式為等邊三角形時，
取得最大值為，故選C.
2.（2020黑龍江省鶴崗市一模）中，角、、所對的邊分別為、、，且滿足，，則面積的最大值是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意可知，由正弦定理得，
又由在中，，即，即，
因為，所以，
在中，由余弦定理可知，且，
即，當且僅當時，等號成立，
即，所以的最大面積為，故選A.
3．（2020·山東高考模擬）設銳角三角形的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由銳角三角形的內(nèi)角所對的邊分別為，若，
，,
， ，
,由正弦定理得，即
，則b的取值范圍為,故選C.
4．設銳角的三個內(nèi)角..的對邊分別為..，且，，則周長的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【來源】備戰(zhàn)2021年高考數(shù)學（文）全真模擬卷（新課標Ⅱ卷）
【答案】C
【解析】∵為銳角三角形，且，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
由，
即，
∴，
令，則，
又∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)值域為，
故選：C
5．（2020·安徽省定遠中學高考模擬）已知在銳角中，角，，的對邊分別為，，，若，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵，∴，
∴.又，
∴，
∴.
又∵在銳角中, ,∴，當且僅當時取等號，∴，故選A.
6、（2020山西省高考模擬） 的內(nèi)角 的對邊分別為 ，若的面積為，周長為6，則b的最小值是（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】A
【解析】因為的面積為，所以
整理得，即， ，
因為 ，所以
又因為周長為6，所以 ，即

所以 ， ，所以的最小值是2，故選A
7、（2020陜西省漢中市質(zhì)檢）在中，角的對邊分別是，若角成等差數(shù)列，且直線平分圓的周長，則面積的最大值為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】因為角成等差數(shù)列,所以，又直線平分圓的周長，所以直線過圓心，即，三角形面積，根據(jù)均值不等式，當且僅當時等號成立，可知面積的最大值為，故選D.
8.（2020湖南省湘潭市模擬）分別為銳角內(nèi)角的對邊，函數(shù)有唯一零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意，函數(shù)為偶函數(shù)且有唯一零點，則，所以.
由余弦定理，得，整理得，
即，所以，
由正弦定理，得，即，
所以，所以，
所以或（舍），故，
結(jié)合銳角，，則，，所以，
由，又因為，所以，
即的取值范圍是，故選D.
9．（2020·山東高考模擬）曲線的一條切線l與軸三條直線圍成的三角形記為，則外接圓面積的最小值為
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】設直線l與曲線的切點坐標為（），求出函數(shù)的導數(shù)，可得切線的斜率和方程，聯(lián)立直線y＝x求得A的坐標，與y軸的交點B的坐標，運用兩點距離公式和基本不等式可得AB的最小值，再由正弦定理可得外接圓的半徑，進而得到所求面積的最小值．
【詳解】設直線l與曲線的切點坐標為（），
函數(shù)的導數(shù)為．
則直線l方程為，即，
可求直線l與y＝x的交點為A（），與y軸的交點為，
在△OAB中，，
當且僅當2＝2時取等號．
由正弦定理可得△OAB得外接圓半徑為，
則△OAB外接圓面積，故選：C．
10．已知三棱錐中，平面，，，則三棱錐體積最大時，其外接球的體積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如圖所示：
因為平面，，
所以當?shù)拿娣e最大時，此時三棱錐的體積最大.
設，則，
，
所以.
所以，
當，即時，最大.
當時，，則.
將三棱錐放入直三棱柱中，
，分別為上下底面外接圓圓心，設外接圓半徑為，
則的中點為直三棱柱外接球球心，設外接球半徑為，
如圖所示：
根據(jù)正弦定理，解得，所以.故外接球體積.
故選：D
11．銳角的內(nèi)角，，的對邊分別為，，且，，若，變化時，存在最大值，則正數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因為，，所以，
可得：，即，
因為為銳角三角形，則有，即，解得：.
= ，
當時，原式有最大值，此時，
則，，，即，所以.
故選：A.
12．已知銳角三角形的內(nèi)角，，的對邊分別為，，.且， 則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依題意，由正弦定理得，所以，
由于三角形是銳角三角形，所以.
由.
所以
，由于，所以，所以.
故選：C
13．若面積為1的滿足，則邊的最小值為（ ）
A．1B．C．D．2
【來源】福建省寧德市2020屆高三畢業(yè)班6月質(zhì)量檢查理科數(shù)學試題
【答案】C
【解析】的面積，且，
，
，
根據(jù)余弦定理得：
，即，
可得，
，則，解得：，
即邊的最小值為.
故選：C.
14．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，若的面積為，則的周長的最小值為（ ）
A．4B．C．6D．
【答案】C
【解析】解法一：因為，所以由正弦定理得，
得，由余弦定理知，因為，所以，
由，得，
由得，則，
所以，
因為，所以，則，當且僅當時等號成立，
的周長為，
易知是關(guān)于的增函數(shù)，
所以當時，的周長最小，為；
解法二：因為，所以由正弦定理得，
得，由余弦定理知，因為，所以，
建立如圖所示的平面直角坐標系，因為，所以可設，則，即，所以的周長為，當且僅當時等號成立，所以的周長的最小值為6．
故選：C
15．如圖，在平面四邊形中，，，，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設，在中，由正弦定理得，即
整理得，
由余弦定理得，
因為，所以，在中，由余弦定理得，
所以當時，．
故選：C
16．已知的周長為9，若，則的內(nèi)切圓半徑的最大值為（ ）
A．B．1C．2D．
【來源】2020屆湖南省衡陽市高三下學期第二次模擬數(shù)學（理）試題
【答案】C
【解析】法一：角靠攏，形助興
，整理得：
，，
如圖有：
由，可得，
代入，整理可得：，．
法二：，
得：．
法三：
，，，得，由正弦定理，得，．
，如圖可得：，，，．
17．（2020·甘肅西北師大附中高考模擬）在銳角中，，則的取值范圍是
【答案】
【解析】在銳角中，，由正弦定理可得，
===
在銳角中有，
，可求得
結(jié)合余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得．
18．（2020·廣東高考模擬）在中，角所對的邊分別為，，的平分線交于點D，且，則的最小值為________．
【答案】9
【解析】分析：先根據(jù)三角形面積公式得條件、再利用基本不等式求最值.
詳解：由題意可知，,由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，化簡得，因此
當且僅當時取等號，則的最小值為.
19．（2020·湖南高考模擬）在中，角，，的對邊分別為，，，若，且恒成立，則的取值范圍是
【答案】
【解析】
【分析】由邊角關(guān)系式可得，再結(jié)合余弦定理得到，代入可得，利用基本不等式可得；將恒成立的不等式轉(zhuǎn)化為與有關(guān)的不等式，利用二次函數(shù)圖像特點，求解出的范圍.
【詳解】
又
又，當且僅當時取等號


設，即當時，恒成立
設
則可知 ，可得：
20．（2020·湖北高考模擬）已知分別為的三個內(nèi)角的對邊，已知，，，若滿足條件的三角形有兩個，則的取值范圍是
【答案】
【解析】在中，由，，，則，
要使得三角形有兩個，則滿足，即，
解得，即實數(shù)的取值范圍是.
21．（2020·河南高考模擬）在中，角所對的邊分別是，已知，且，則的取值范圍為
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)已知得到，再由余弦定理得，再利用函數(shù)在上單調(diào)遞增求出的取值范圍.
【詳解】因為，，所以，
即，所以，從而，
則，
因為，
所以當時，；當時，，
又在上單調(diào)遞增，故的取值范圍為.
22．（2020·江蘇高考模擬）在中，設角的對邊分別是若成等差數(shù)列，則的最小值為________.
【答案】
【解析】【分析】先根據(jù)，，成等差數(shù)列求出再求出再得到，最后利用基本不等式求其最小值.
【詳解】由題得,
所以,
所以
因為
所以
故答案為
23．（2020·湖南高考模擬）在中，分別為角所對的邊，若，的面積為，則的最小值為__________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用正弦定理、余弦定理和三角形面積的應用和三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和導數(shù)的應用求出結(jié)果．
【詳解】設，則：
由于，所以：．則：，
設，所以：，
因為當時，，當時，，
所以當時，的最小值為，故的最小值為。

相關(guān)試卷

(通用版)高考數(shù)學選填考點壓軸題型26《有關(guān)三角形中的范圍問題》(含答案詳解)：

這是一份(通用版)高考數(shù)學選填考點壓軸題型26《有關(guān)三角形中的范圍問題》(含答案詳解)，共8頁。

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