二．解題策略
類型一 數(shù)列與不等式
1.1 數(shù)列與基本不等式
【例1】某企業(yè)投入100萬元購入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的運轉(zhuǎn)費用是0.5萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護費都比上一年增加2萬元．為使該設(shè)備年平均費用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為________．
（2020·廣東高三）已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項和，若，則的最小值為（ ）
A．9B．12C．16D．18
【舉一反三】
1.（2020山東省濟寧市模擬）已知正項等比數(shù)列滿足：，若存在兩項使得，則的最小值為
2．（2020·江蘇揚州中學(xué)）已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比數(shù)列，若a1=1，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則的最小值為
1.2 數(shù)列中的恒成立問題
【例2】（2020·四川雙流中學(xué)）已知定義域為的函數(shù)滿足，當時，，設(shè)在上的最大值為，且的前n項和為，若對任意的正整數(shù)n均成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【舉一反三】
1.（2020安徽省毛坦廠中學(xué)）已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，若對于任意的，，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
2.（2020·江蘇高三模擬）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若不等式對任意正整數(shù)n都成立，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
1.3 數(shù)列中的最值問題
【例3】（2020·浙江高三期末）已知數(shù)列中，，若，設(shè)，若，則正整數(shù)的最大值為（ ）
A．1009B．1010C．2019D．2020
【舉一反三】
1．（2020·湖南高三月考）數(shù)列滿足,且．記數(shù)列的前n項和為,則當取最大值時n為（ ）
A．11B．12C．11或13D．12或13
2.（2020浙江省湖州三校）已知數(shù)列滿足，，則使的正整數(shù)的最小值是（ ）
A．2018B．2019C．2020D．2021
類型二 數(shù)列與函數(shù)的綜合問題
【例4】（2020·上海中學(xué)高三）已知函數(shù)為定義域上的奇函數(shù)，且在上是單調(diào)遞增函數(shù)，函數(shù)，數(shù)列為等差數(shù)列，且公差不為0，若，則（ ）
A．18B．9C．27D．81
【舉一反三】
1.（2020·湖南模擬）已知函數(shù)y＝f(x)的定義域為R，當x1，且對任意的實數(shù)x，y，等式f(x)f(y)＝f(x＋y)恒成立．若數(shù)列滿足＝f(0)，且f()＝()，則的值為( )
A．2209B．3029C．4033D．2249
2．已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)滿足，則的最大值為
A．B．C．D．
類型三 數(shù)列與其他知識綜合問題
【例5】（2020·湖南衡陽市八中高三）已知函數(shù)，，若函數(shù)的所有零點依次記為，且，則
【舉一反三】
1．（2020·上海高三）已知等差數(shù)列（公差不為零）和等差數(shù)列，如果關(guān)于的實系數(shù)方程有實數(shù)解，那么以下九個方程（）中，無實數(shù)解的方程最多有（ ）
A．3個B．4個C．5個D．6個
2.將向量組成的系列稱為向量列，并定義向量列的前項和．若，則下列說法中一定正確的是（ ）
A. B. 不存在，使得
C. 對，且，都有 D. 以上說法都不對
三．強化訓(xùn)練
1．（2020·江蘇海安高級中學(xué)）數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，且，設(shè)（），則數(shù)列的最大項為（ ）
A．B．C．D．不確定
2.（2020許昌市模擬）已知數(shù)列，的前項和分別為，，且，，，若恒成立，則的最小值為（ ）
A．B．C．49D．
3．（2020·上海市實驗學(xué)校高三）已知函數(shù)的定義域為，當時，，對任意的，成立，若數(shù)列滿足，且，則的值為（ ）
A．B．C．D．
4.（2020四川省成都市外國語學(xué)校一診）在正項等比數(shù)列中，，．則滿足的最大正整數(shù)的值為（ ）
A．10B．11C．12D．13
5.若數(shù)列的通項公式分別為，且，對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是( )
A．B．C．D．
6.（2020·遼寧實驗中學(xué)高三）已知各項都為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，且滿足．若，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則( )
A．B．C．D．
7．（2020貴陽模擬）設(shè)，點，，，，設(shè)對一切都有不等式 成立，則正整數(shù)的最小值為（ ）
A．B．C．D．
8．（2020·浙江高三）已知數(shù)列滿足：，．則下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2020·重慶高三）已知在點處的切線方程為， ，的前項和為，則下列選項正確的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2020·寧夏高考模擬）已知數(shù)列滿足，，且，記為數(shù)列的前項和，數(shù)列是首項和公比都是2的等比數(shù)列，則使不等式成立的最小整數(shù)n為（ ）
A．7B．6C．5D．4
11.將正整數(shù)12分解成兩個正整數(shù)的乘積有， ， 三種，其中是這三種分解中兩數(shù)差的絕對值最小的，我們稱為12的最佳分解.當（且）是正整數(shù)的最佳分解時，我們定義函數(shù)，例如.數(shù)列的前100項和為__________．
12.（2020河北省衡水中學(xué)）已知數(shù)列的前項和.若是中的最大值，則實數(shù)的取值范圍是_____．
13.已知數(shù)列中， ，點列在內(nèi)部，且與的面積比為，若對都存在數(shù)列滿足，則的值為______.
14.已知函數(shù)，點O為坐標原點，點，向量，θn是向量與的夾角，則使得 恒成立的實數(shù)t的取值范圍為 ___________．
15．（2020·河北高三期末（理））數(shù)列是首項，公差為的等差數(shù)列，其前和為，存在非零實數(shù)，對任意有恒成立，則的值為__________．
16．（2020·海南中學(xué)）對于三次函數(shù)，定義：設(shè)是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱為函數(shù)的拐點.某同學(xué)經(jīng)過探索發(fā)現(xiàn)任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.設(shè)函數(shù)，則______；______.
17．（2020·上海高三（理））定義函數(shù)如下：對于實數(shù)，如果存在整數(shù)，使得，則，已知等比數(shù)列的首項，且，則公比的取值范圍是_______.
18．（2020·上海市南洋模范中學(xué)高三）設(shè)，圓（）與軸正半軸的交點為，與曲線的交點為，直線與軸的交點為，若數(shù)列滿足：，，要使數(shù)列成等比數(shù)列，則常數(shù)________
第11講 數(shù)列與函數(shù)、不等式相結(jié)合問題
一．方法綜述
數(shù)列與函數(shù)、不等式相結(jié)合是數(shù)列高考中的熱點問題，難度較大，求數(shù)列與函數(shù)、不等式相結(jié)合問題時會滲透多種數(shù)學(xué)思想.因此求解過程往往方法多、靈活性大、技巧性強，但萬變不離其宗，只要熟練掌握各個類型的特點即可.在考試中時常會考查一些壓軸小題，如數(shù)列中的恒成立問題、數(shù)列中的最值問題、數(shù)列性質(zhì)的綜合問題、數(shù)列與函數(shù)的綜合問題、數(shù)列與其他知識綜合問題中都有所涉及，本講就這類問題進行分析.
二．解題策略
類型一 數(shù)列與不等式
1.1 數(shù)列與基本不等式
【例1】某企業(yè)投入100萬元購入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的運轉(zhuǎn)費用是0.5萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護費都比上一年增加2萬元．為使該設(shè)備年平均費用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為________．
【答案】10
【解析】由題意可知：每年的維護費構(gòu)成一個以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，
故第n年的維護費為：an=2+2（n﹣1）=2n，總的維護費為：=n（n+1）
故年平均費用為：y=，即y=n++1.5，（n為正整數(shù)）；
由基本不等式得：y=n++1.5≥2+1.5=21.5（萬元）
當且僅當n=，即n=10時取到等號，即該企業(yè)10年后需要更新設(shè)備．
故答案為：10．
（2020·廣東高三）已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項和，若，則的最小值為（ ）
A．9B．12C．16D．18
【答案】D
【解析】由得，所以.所以.當且僅當時取得最小值.故選：D
【指點迷津】本題考查了等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)以及基本不等式的相關(guān)性質(zhì)，等比數(shù)列的通項公式是，等比中項，基本不等式有，考查公式的使用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.
【舉一反三】
1.（2020山東省濟寧市模擬）已知正項等比數(shù)列滿足：，若存在兩項使得，則的最小值為
【答案】
【解析】因為數(shù)列是正項等比數(shù)列，，，
所以，，，
所以，，，，，
因為，所以，，
，當且僅當時“=”成立，
所以的最小值為.
2．（2020·江蘇揚州中學(xué)）已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比數(shù)列，若a1=1，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則的最小值為
【答案】4
【解析】∵a1，a3，a13成等比數(shù)列，a1=1，∴a32=a1a13，
∴（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d=2．
∴an=1+2（n-1）=2n-1．Sn=n+×2=n2．
∴===n+1+-2≥2-2=4，
當且僅當n+1=時取等號，此時n=2，且取到最小值4，
1.2 數(shù)列中的恒成立問題
【例2】（2020·四川雙流中學(xué)）已知定義域為的函數(shù)滿足，當時，，設(shè)在上的最大值為，且的前n項和為，若對任意的正整數(shù)n均成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】運用二次函數(shù)的最值和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得x∈[0，2）時f（x）的最大值，由遞推式可得{an}是首項為，公比為的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的求和公式和不等式恒成立思想可得k的范圍．
【詳解】當x∈[0，2）時，，
所以函數(shù)f(x)在[0，）上單調(diào)遞增，在（，1）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得當0≤x＜1時，f（x）的最大值為f（）＝；
1≤x

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