二．解題策略
類型一 數(shù)列求和中的新定義問(wèn)題
【例1】（2020銀川一中模擬）對(duì)于數(shù)列{an}，定義數(shù)列{an＋1－an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”，若a1＝2，數(shù)列{an}的“差數(shù)列”的通項(xiàng)為an＝2n，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝( )
A．2 B．2n C．2n＋1－2 D．2n－1－2
【舉一反三】
1.（2020湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三）對(duì)于數(shù)列，定義為的“優(yōu)值”，現(xiàn)已知某數(shù)列的“優(yōu)值”，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A．2022 B．1011 C．2020 D．1010
2.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，定義為數(shù)列前項(xiàng)的疊加和，若2016項(xiàng)數(shù)列的疊加和為2017，則2017項(xiàng)數(shù)列的疊加和為( )
A. 2017 B. 2018 C. D.
類型二 子數(shù)列中的求和問(wèn)題
【例2】（2020貴陽(yáng)模擬）已知有窮數(shù)列中， ，且，從數(shù)列中依次取出構(gòu)成新數(shù)列，容易發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以-3為首項(xiàng)，-3為公比的等比數(shù)列，記數(shù)列的所有項(xiàng)的和為，數(shù)列的所有項(xiàng)的和為，則（ ）
A. B. C. D. 與的大小關(guān)系不確定
【舉一反三】
1．（2020·四川高考模擬）定義在上的函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.記函數(shù)的極大值點(diǎn)從小到大依次記為并記相應(yīng)的極大值為則的值為（ ）
A．B．C．D．
2.已知，集合，集合的所有非空子集的最小元素之和為，則使得的最小正整數(shù)的值為（ ）
A. B. C. D.
類型三 奇偶性在數(shù)列求和中的應(yīng)用
【例3】（2020·河北衡水中學(xué)高考模擬）已知數(shù)列，，且，，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【舉一反三】
1.（2020福建省高三模擬）記函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，則數(shù)列的前20項(xiàng)的和是（ ）
A．430B．840C．1250D．1660
2．（2020·山東高考模擬（文））設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且，記，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為_(kāi)_____．
類型四 周期性在數(shù)列求和中的應(yīng)用
【例4】（2020·江蘇高考模擬）對(duì)于實(shí)數(shù)，定義：，已知數(shù)列滿足，，，設(shè)表示數(shù)列的前和，若，則的值為_(kāi)_________.
【舉一反三】
1.數(shù)列滿足，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為_(kāi)_________．
2.已知數(shù)列2008，2009，1，，若這個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和，則這個(gè)數(shù)列的前2019項(xiàng)之和______．
類型五 數(shù)列求和的綜合問(wèn)題
【例5】（2020·河南高考模擬（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為
，若對(duì)于任意，當(dāng)時(shí)，不等式
恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________ .
【舉一反三】
1.已知數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，且，，（），若對(duì)任意的，恒成立，則的最小值為_(kāi)____.
2.（2020上海市青浦區(qū)模擬）等差數(shù)列,滿足，則（ ）
A．的最大值為50B．的最小值為50
C．的最大值為51D．的最小值為51
三．強(qiáng)化訓(xùn)練
1．（2020·湖南師大附中高考模擬（理））設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且 ，則數(shù)列的前10項(xiàng)的和是（ ）
A．290B．C．D．
2．（2020·北京人大附中高考模擬）已知數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，且，,，若對(duì)任意的 ,恒成立，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·四川高考模擬（理））我們把叫“費(fèi)馬數(shù)”（費(fèi)馬是十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家）.設(shè)，，，，表示數(shù)列的前項(xiàng)之和，則使不等式成立的最小正整數(shù)的值是（ ）
A．B．C．D．
4．（2020·吉林高考模擬）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則（ ）
A．B．C．D．
5．（2020·沭陽(yáng)縣修遠(yuǎn)中學(xué)高考模擬）已知數(shù)列滿足，且，其前n項(xiàng)之和為，則滿足不等式的最小整數(shù)n是（ ）
A．5B．6C．7D．8
6．（2020·江西師大附中高考模擬）數(shù)列中的項(xiàng)按順序可以排成如圖的形式，第一行項(xiàng)，排；第二行項(xiàng)，從左到右分別排，；第三行項(xiàng)，……依此類推，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則滿足的最小正整數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
7．（2020·貴州高考模擬）設(shè)，點(diǎn)，，，，設(shè)對(duì)一切都有不等式 成立，則正整數(shù)的最小值為（ ）
A．B．C．D．
8．（2020·山東高考模擬）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，符號(hào)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如.已知數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，若是滿足的最小整數(shù)，則的值為（ ）
A．305B．306C．315D．316
9．（2020·廣東高考模擬）已知數(shù)列滿足…，設(shè)數(shù)列滿足：,數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
10．（2019·湖南長(zhǎng)沙一中高考模擬）已知是函數(shù)的極值點(diǎn)，數(shù)列滿足，，記，若表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則（ ）
A．2017B．2018C．2019D．2020
11.我們把叫“費(fèi)馬數(shù)”（費(fèi)馬是十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家）.設(shè)，，，，表示數(shù)列的前項(xiàng)之和，則使不等式成立的最小正整數(shù)的值是
12.（2020安徽省合肥市模擬）“垛積術(shù)”（隙積術(shù)）是由北宋科學(xué)家沈括在《夢(mèng)溪筆談》中首創(chuàng)，南宋數(shù)學(xué)家楊輝、元代數(shù)學(xué)家朱世杰豐富和發(fā)展的一類數(shù)列求和方法，有茭草垛、方垛、芻童垛、三角垛等等.某倉(cāng)庫(kù)中部分貨物堆放成如圖所示的“菱草垛”：自上而下，第一層1件，以后每一層比上一層多1件，最后一層是件.已知第一層貨物單價(jià)1萬(wàn)元，從第二層起，貨物的單價(jià)是上一層單價(jià)的.若這堆貨物總價(jià)是萬(wàn)元，則的值為
13.已知數(shù)列滿足，，且，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則__________（用表示）.
14.（2020湖北省宜昌市模擬）已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，點(diǎn)、均在函數(shù)的圖象上，的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，直線的斜率為.若，，則數(shù)列的前項(xiàng)和__________．
15．（2020·湖南長(zhǎng)沙一中高考模擬）已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一項(xiàng)是，接下來(lái)的兩項(xiàng)是，，再接下來(lái)的三項(xiàng)是，，，依此類推那么該數(shù)列的前50項(xiàng)和為
16．（2020·福建高考模擬）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，直線與圓交于，兩點(diǎn)，且.若對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
17．（2020廣東省汕尾市模擬）已知數(shù)列的首項(xiàng)為數(shù)列的前項(xiàng)和若恒成立，則的最小值為_(kāi)_____．
18．（2020上海交通大學(xué)附屬中學(xué)）對(duì)任意，函數(shù)滿足：，，數(shù)列的前15項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，若數(shù)列的前項(xiàng)和的極限存在，則________．
第10講 復(fù)雜數(shù)列的求和問(wèn)題
一．方法綜述
數(shù)列的求和問(wèn)題是數(shù)列高考中的熱點(diǎn)問(wèn)題， 數(shù)列的求和問(wèn)題會(huì)滲透多種數(shù)學(xué)思想，會(huì)跟其他知識(shí)進(jìn)行結(jié)合進(jìn)行考查.因此求解過(guò)程往往方法多、靈活性大、技巧性強(qiáng)，但萬(wàn)變不離其宗，只要熟練掌握各個(gè)類型的特點(diǎn)即可.在考試中時(shí)常會(huì)考查一些壓軸小題，如數(shù)列求和中的新定義問(wèn)題、子數(shù)列中的求和問(wèn)題、奇偶性在數(shù)列求和中的應(yīng)用、周期性在數(shù)列求和中的應(yīng)用、數(shù)列求和的綜合問(wèn)題中都有所涉及，本講就這類問(wèn)題進(jìn)行分析.
二．解題策略
類型一 數(shù)列求和中的新定義問(wèn)題
【例1】（2020銀川一中模擬）對(duì)于數(shù)列{an}，定義數(shù)列{an＋1－an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”，若a1＝2，數(shù)列{an}的“差數(shù)列”的通項(xiàng)為an＝2n，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝( )
A．2 B．2n C．2n＋1－2 D．2n－1－2
【答案】C
【解析】因?yàn)閍n＋1－an＝2n，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝eq \f(2－2n,1－2)＋2＝2n－2＋2＝2n，所以Sn＝eq \f(2－2n＋1,1－2)＝2n＋1－2.
【指點(diǎn)迷津】1.“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.對(duì)于此題中的新概念，對(duì)閱讀理解能力有一定的要求.但是，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說(shuō)“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬(wàn)變才是制勝法寶.
2.解決此類問(wèn)題的一些技巧：
（1）抓住“新信息”的特點(diǎn)，找到突破口；
（2）盡管此類題目與傳統(tǒng)的數(shù)列“求通項(xiàng)，求和”的風(fēng)格不同，但其根基也是我們所學(xué)的一些基礎(chǔ)知識(shí)與方法.所以在考慮問(wèn)題時(shí)也要向一些基本知識(shí)點(diǎn)靠攏，弄清本問(wèn)所考察的與哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)有關(guān)，以便找到一些線索.
（3）在分類討論時(shí)要遵循“先易后難”的原則，以相對(duì)簡(jiǎn)單的情況入手，可能在解決的過(guò)程中會(huì)發(fā)現(xiàn)復(fù)雜情況與該情況的聯(lián)系，或者發(fā)現(xiàn)一些通用的做法與思路，使得復(fù)雜情況也有章可循.
【舉一反三】
1.（2020湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三）對(duì)于數(shù)列，定義為的“優(yōu)值”，現(xiàn)已知某數(shù)列的“優(yōu)值”，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A．2022 B．1011 C．2020 D．1010
【答案】B
【解析】由，
得， ①
， ②
①-②得，即，，
所以.故選B.
2.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，定義為數(shù)列前項(xiàng)的疊加和，若2016項(xiàng)數(shù)列的疊加和為2017，則2017項(xiàng)數(shù)列的疊加和為( )
A. 2017 B. 2018 C. D.
【答案】A
類型二 子數(shù)列中的求和問(wèn)題
【例2】（2020貴陽(yáng)模擬）已知有窮數(shù)列中， ，且，從數(shù)列中依次取出構(gòu)成新數(shù)列，容易發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以-3為首項(xiàng)，-3為公比的等比數(shù)列，記數(shù)列的所有項(xiàng)的和為，數(shù)列的所有項(xiàng)的和為，則（ ）
A. B. C. D. 與的大小關(guān)系不確定
【答案】A
【解析】因?yàn)椋?，所以，當(dāng)時(shí)， 是中第365項(xiàng)，符合題意，所以,所以，選A. 學(xué)科*網(wǎng)
【指點(diǎn)迷津】一個(gè)數(shù)列中某些項(xiàng)的求和問(wèn)題，關(guān)鍵在于弄清楚新的數(shù)列的形式，了解其求和方法.
【舉一反三】
1．（2020·四川高考模擬）定義在上的函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.記函數(shù)的極大值點(diǎn)從小到大依次記為并記相應(yīng)的極大值為則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】確定函數(shù)極大值點(diǎn)及極大值求得.，再求和即可
【詳解】由題當(dāng)當(dāng)時(shí)，極大值點(diǎn)為1，極大值為1
當(dāng)時(shí)，.則極大值點(diǎn)形成首項(xiàng)為1公差為2 的等差數(shù)列，極大值形成首項(xiàng)為1公比為3 的等比數(shù)列
故.,故
設(shè)S=
3S=
兩式相減得-2S=1+2()-
∴S=，故選A
2.已知，集合，集合的所有非空子集的最小元素之和為，則使得的最小正整數(shù)的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
類型三 奇偶性在數(shù)列求和中的應(yīng)用
【例3】（2020·河北衡水中學(xué)高考模擬）已知數(shù)列，，且，，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由遞推公式可得：
當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)， ，數(shù)列 是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，
當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)， ，數(shù)列 是首項(xiàng)為2，公差為0的等差數(shù)列，

【指點(diǎn)迷津】數(shù)列求和中遇到，，都會(huì)用到奇偶性，進(jìn)行分類討論.再采用分組轉(zhuǎn)化法求和或者并項(xiàng)求和的方法，即通過(guò)兩個(gè)一組進(jìn)行重新組合，將原數(shù)列轉(zhuǎn)化為一個(gè)等差數(shù)列. 分組轉(zhuǎn)化法求和的常見(jiàn)類型還有分段型（如 ）及符號(hào)型（如 ）
【舉一反三】
1.（2020福建省高三模擬）記函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，則數(shù)列的前20項(xiàng)的和是（ ）
A．430B．840C．1250D．1660
【答案】A
【解析】令，得①或②
由①得，令，得，故①共有n個(gè)解，
由②得，
令，得③，
令，得④
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，③有個(gè)解，④有個(gè)解，故②有n個(gè)解，故
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，③有個(gè)解，④有個(gè)解，故②有n+1個(gè)解，故
令
故故選：A
2．（2020·山東高考模擬（文））設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且，記，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為_(kāi)_____．
【答案】200
【解析】
【分析】由已知求，利用遞推公式可得數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列，公比均為2，從而可求，即可求和.
【詳解】∵，且，
∴，
∵，∴時(shí)，，
兩式相減可得，，（）
即時(shí)，即，
∵，∴數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列，公比均為2，
，
∴，
則數(shù)列，則的前10項(xiàng)和為 故答案為200
類型四 周期性在數(shù)列求和中的應(yīng)用
【例4】（2020·江蘇高考模擬）對(duì)于實(shí)數(shù)，定義：，已知數(shù)列滿足，，，設(shè)表示數(shù)列的前和，若，則的值為_(kāi)_________.
【答案】118
【解析】
【分析】對(duì)a分類討論，利用遞推關(guān)系可得周期性，進(jìn)而得出所求結(jié)果.
【詳解】①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，可得?
，同理可得： 故可知，數(shù)列是周期為5的周期數(shù)列，所以，解得或，不合題意舍去.
②當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，可得：，同理可得?故可知，數(shù)列是周期為5的周期數(shù)列，所以，解得或（舍去）
所以，, ,所以，故填118.
【指點(diǎn)迷津】本題主要考查數(shù)列的周期性，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而轉(zhuǎn)化為熟悉的等差數(shù)列求和問(wèn)題.解決此類問(wèn)題要求具有觀察、猜想、歸納能力，將抽象數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列問(wèn)題. [來(lái)源:學(xué)+科+網(wǎng)]
【舉一反三】
1.數(shù)列滿足，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為_(kāi)_________．
【答案】5100
2.已知數(shù)列2008，2009，1，，若這個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和，則這個(gè)數(shù)列的前2019項(xiàng)之和______．
【答案】4018
【解析】
數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和，
可得2008，2009，1，，，，2008，2009，1，，
即有數(shù)列的最小正周期為6，可得一個(gè)周期的和為0，
由，可得．
故答案為：4018．
類型五 數(shù)列求和的綜合問(wèn)題
【例5】（2020·河南高考模擬（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為
，若對(duì)于任意，當(dāng)時(shí)，不等式
恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________ .
【答案】
【解析】試題分析：，，兩式相減得又，因此為以2首項(xiàng)，3 為公比的等比數(shù)列，即，疊加法得，從而，因此對(duì)恒成立，即解得
考點(diǎn)：和項(xiàng)求通項(xiàng)，等比數(shù)列定義，不等式恒成立
【舉一反三】
1.已知數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，且，，（），若對(duì)任意的，恒成立，則的最小值為_(kāi)____.
【答案】
【解析】
，，可得，解得，
當(dāng)時(shí)， ，
化為 ，由，可得，
即有，
，
即有 ，
對(duì)任意的，恒成立，可得，即的最小值為.
故答案為：.
2.（2020上海市青浦區(qū)模擬）等差數(shù)列,滿足，則（ ）
A．的最大值為50B．的最小值為50
C．的最大值為51D．的最小值為51
【答案】A
【解析】時(shí)，滿足條件，所以滿足條件，即最小值為2，舍去B,D.
要使得取最大值，則項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，
設(shè)，等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，不妨設(shè)，
則，且，由可得，
所以
,
因?yàn)?，所以，所以，而?br>所以，故.
故選A
【指點(diǎn)迷津】先根據(jù)題意可知中的項(xiàng)有正有負(fù)，不妨設(shè)，根據(jù)題意可求得，根據(jù)，去絕對(duì)值求和，即可求出結(jié)果.
三．強(qiáng)化訓(xùn)練
1．（2020·湖南師大附中高考模擬（理））設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且 ，則數(shù)列的前10項(xiàng)的和是（ ）
A．290B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】由得為等差數(shù)列，求得，得利用裂項(xiàng)相消求解即可
【詳解】由得，
當(dāng)時(shí)，，整理得，
所以是公差為4的等差數(shù)列，又，
所以，從而，
所以，
數(shù)列的前10項(xiàng)的和.故選.
2．（2020·北京人大附中高考模擬）已知數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，且，,，若對(duì)任意的 ,恒成立，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)?，所以?br>相減得，
因?yàn)?，所以?br>又，所以, 因?yàn)?，所?
因此，,
從而,即的最小值為，選B.
3．（2020·四川高考模擬（理））我們把叫“費(fèi)馬數(shù)”（費(fèi)馬是十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家）.設(shè)，，，，表示數(shù)列的前項(xiàng)之和，則使不等式成立的最小正整數(shù)的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵
∴，
∴，
而
∴，
，
即，
當(dāng)n=8時(shí)，左邊=，右邊=，顯然不適合；
當(dāng)n=9時(shí)，左邊=，右邊=，顯然適合，
故最小正整數(shù)的值9
4．（2020·吉林高考模擬）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得， ，可得，所以，.
，所以.故選A.
5．（2020·沭陽(yáng)縣修遠(yuǎn)中學(xué)高考模擬）已知數(shù)列滿足，且，其前n項(xiàng)之和為，則滿足不等式的最小整數(shù)n是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【解析】】對(duì)3an+1+an=4 變形得：3（an+1﹣1）=﹣（an﹣1）即：
故可以分析得到數(shù)列bn=an﹣1為首項(xiàng)為8公比為的等比數(shù)列．
所以bn=an﹣1=8× ，an=8×+1
所以
|Sn﹣n﹣6|= 解得最小的正整數(shù)n=7
6．（2020·江西師大附中高考模擬）數(shù)列中的項(xiàng)按順序可以排成如圖的形式，第一行項(xiàng)，排；第二行項(xiàng)，從左到右分別排，；第三行項(xiàng)，……依此類推，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則滿足的最小正整數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)規(guī)律可總結(jié)出第行的和為，利用分組求和的方法可求得前行和，經(jīng)驗(yàn)證，從而可得結(jié)論.
【詳解】第一行為，其和為，可以變形為：；
第二行為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，共項(xiàng)，其和為：；
第三行為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，共項(xiàng)，其和為；
依此類推：第行的和：；
則前行共：個(gè)數(shù)
前行和為：
滿足
而第六行的第個(gè)數(shù)為：，則
滿足的最小正整數(shù)的值為：本題正確選項(xiàng)：
7．（2020·貴州高考模擬）設(shè)，點(diǎn)，，，，設(shè)對(duì)一切都有不等式 成立，則正整數(shù)的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】先求得，再求得左邊的范圍，只需，利用單調(diào)性解得t的范圍.
【詳解】由題意知sin，∴，
∴，隨n的增大而增大，∴,
∴，即，又f(t)=在t上單增，f(2)= -10，
∴正整數(shù)的最小值為3.
8．（2020·山東高考模擬）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，符號(hào)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如.已知數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，若是滿足的最小整數(shù)，則的值為（ ）
A．305B．306C．315D．316
【答案】D
【解析】
【分析】由題意，求解得圖象，即可求解前項(xiàng)和，即可求解滿足的最小整數(shù)的值．
【詳解】由題意，，當(dāng)時(shí)，可得，（1項(xiàng)）
當(dāng)時(shí)，可得，（2項(xiàng)）
當(dāng)時(shí)，可得，（4項(xiàng)）
當(dāng)時(shí)，可得，（8項(xiàng)）
當(dāng)時(shí)，可得，（16項(xiàng)）

當(dāng)時(shí)，可得，（項(xiàng)）
則前項(xiàng)和為
，
兩式相減得 ，
所以，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)為，即，故選D．
9．（2020·廣東高考模擬）已知數(shù)列滿足…，設(shè)數(shù)列滿足：,數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】先求出的通項(xiàng)，再求出的通項(xiàng)，從而可求，利用參變分離可求的取值范圍.
【詳解】因?yàn)椤?br>所以…，
故即，其中.
而令，則，故，.
，
故
，
故恒成立等價(jià)于即恒成立，
化簡(jiǎn)得到，因?yàn)椋?故選D.
10．（2019·湖南長(zhǎng)沙一中高考模擬）已知是函數(shù)的極值點(diǎn)，數(shù)列滿足，，記，若表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則（ ）
A．2017B．2018C．2019D．2020
【答案】A
【解析】由題意可得，
∵是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴，
即．
∴，
∴，，，，，
以上各式累加可得．
∴．
∴=
===．
∴．選A．
11.我們把叫“費(fèi)馬數(shù)”（費(fèi)馬是十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家）.設(shè)，，，，表示數(shù)列的前項(xiàng)之和，則使不等式成立的最小正整數(shù)的值是
【答案】9
【解析】∵
∴，
∴，
而
∴，
，
即，
當(dāng)n=8時(shí)，左邊=，右邊=，顯然不適合；
當(dāng)n=9時(shí)，左邊=，右邊=，顯然適合，
故最小正整數(shù)的值9
12.（2020安徽省合肥市模擬）“垛積術(shù)”（隙積術(shù)）是由北宋科學(xué)家沈括在《夢(mèng)溪筆談》中首創(chuàng)，南宋數(shù)學(xué)家楊輝、元代數(shù)學(xué)家朱世杰豐富和發(fā)展的一類數(shù)列求和方法，有茭草垛、方垛、芻童垛、三角垛等等.某倉(cāng)庫(kù)中部分貨物堆放成如圖所示的“菱草垛”：自上而下，第一層1件，以后每一層比上一層多1件，最后一層是件.已知第一層貨物單價(jià)1萬(wàn)元，從第二層起，貨物的單價(jià)是上一層單價(jià)的.若這堆貨物總價(jià)是萬(wàn)元，則的值為
【答案】10
【解析】由題意，第一層貨物總價(jià)為1萬(wàn)元，第二層貨物總價(jià)為萬(wàn)元，第三層貨物總價(jià)為萬(wàn)元，…，第層貨物總價(jià)為萬(wàn)元，設(shè)這堆貨物總價(jià)為萬(wàn)元,則，
，
兩式相減得
，
則,
解得，
13.已知數(shù)列滿足，，且，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則__________（用表示）.
【答案】
【解析】當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，，，所以，，，…，，…是首項(xiàng)為1，公差為6的等差數(shù)列，因此；當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，，，所以，，，…，，…是首項(xiàng)為4，公比為3的等比數(shù)列，因此.綜上，，所以，即 .
14.（2020湖北省宜昌市模擬）已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，點(diǎn)、均在函數(shù)的圖象上，的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，直線的斜率為.若，，則數(shù)列的前項(xiàng)和__________．
【答案】
【解析】由題意可知：，，
，，
∴，解得，
∴
∴
∴①
②
①﹣②得，
所以，
整理得．
故答案為：
15．（2020·湖南長(zhǎng)沙一中高考模擬）已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一項(xiàng)是，接下來(lái)的兩項(xiàng)是，，再接下來(lái)的三項(xiàng)是，，，依此類推那么該數(shù)列的前50項(xiàng)和為
【答案】1044
【解析】
【分析】
將已知數(shù)列分組，使每組第一項(xiàng)均為1，第一組：，第二組：，，第三組：，，，第k組：，，，，，根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，能求出該數(shù)列的前50項(xiàng)和．
【詳解】
將已知數(shù)列分組，使每組第一項(xiàng)均為1，
即：第一組：，
第二組：，，
第三組：，，，
第k組：，，，，，
根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，
求得每項(xiàng)和分別為：，，，，，
每項(xiàng)含有的項(xiàng)數(shù)為：1，2，3，，k，
總共的項(xiàng)數(shù)為，
當(dāng)時(shí)，，
故該數(shù)列的前50項(xiàng)和為
16．（2020·福建高考模擬）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，直線與圓交于，兩點(diǎn)，且.若對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
【答案】
【解析】
【分析】由已知得到關(guān)于數(shù)列{an}的遞推式，進(jìn)一步得到{Sn+2}是以+2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．求出數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，進(jìn)一步求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)，然后利用錯(cuò)位相減法求得，代入＜λan2+2，分離參數(shù)λ，求出的最大值得答案．
【詳解】圓心O（0，0）到直線y＝x﹣2，即x﹣y﹣20的距離d2，
由d2r2，且，
得22+Sn＝2an+2，∴4+Sn＝2（Sn﹣Sn﹣1）+2，
即Sn+2＝2（Sn﹣1+2）且n≥2；
∴{Sn+2}是以+2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
由22+Sn＝2an+2，取n＝1，解得＝2，
∴Sn+2＝（+2）?2n﹣1，則Sn＝2n+1﹣2；
∴（n≥2）．
＝2適合上式，∴．
設(shè) ，，
所以 .
所以，若對(duì)任意恒成立，
即對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立.
設(shè)，因?yàn)?，所以，故的最大值?br>因?yàn)?，所?
17．（2020廣東省汕尾市模擬）已知數(shù)列的首項(xiàng)為數(shù)列的前項(xiàng)和若恒成立，則的最小值為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】數(shù)列的首項(xiàng)，
則：常數(shù)
故數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列．
則：首項(xiàng)符合通項(xiàng)．
故：，
，
，
由于數(shù)列的前n項(xiàng)和恒成立，
故：，則：t的最小值為，故答案為：．
18．（2020上海交通大學(xué)附屬中學(xué)）對(duì)任意，函數(shù)滿足：，，數(shù)列的前15項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，若數(shù)列的前項(xiàng)和的極限存在，則________．
【答案】
【解析】∵，，
∴，
展開(kāi)為，，
即0≤f（n）≤1，．
即，
∴，
化為＝．
∴數(shù)列{}是周期為2的數(shù)列．
∵數(shù)列{}的前15項(xiàng)和為，
∴＝7（）+．
又，
解得，．
∴＝，＝．
由0，f（k+1），解得f（2k﹣1）．
0，f（n+1），解得f（2k），
又，
令數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，取極限得；
則當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，取極限得；
若數(shù)列的前項(xiàng)和的極限存在，則，，
故答案為.

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