動態(tài)立體幾何題在變化過程中總蘊含著某些不變的因素，因此要認真分析其變化特點，尋找不變的靜態(tài)因素，從靜態(tài)因素中，找到解決問題的突破口.求解動態(tài)范圍的選擇、填空題，有時應把這類動態(tài)的變化過程充分地展現(xiàn)出來，通過動態(tài)思維，觀察它的變化規(guī)律，找到兩個極端位置，即用特殊法求解范圍.對于探究存在問題或動態(tài)范圍（最值）問題，用定性分析比較難或繁時，可以引進參數(shù)，把動態(tài)問題劃歸為靜態(tài)問題.具體地，可通過構建方程、函數(shù)或不等式等進行定量計算，以算促證.
二．解題策略
類型一 立體幾何中動態(tài)問題中的角度問題
例1. 已知平行四邊形中，，，，沿對角線將折起到的位置，使得平面平面，如圖，若，均是線段的三等分點，點是線段上（包含端點）的動點，則二面角的正弦值的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【來源】2021年浙江省新高考測評卷數(shù)學（第五模擬）
【舉一反三】
1．（2020·黑龍江牡丹江一中高三（理））如圖，在正方體中，是中點，點在線段上，若直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（ ）．
A．B．C．D．
2．（2020·廣東高考模擬）在正方體中，E是側面內的動點，且平面，則直線與直線AB所成角的正弦值的最小值是
A． B． C． D．
3.（2020·浙江臺州中學高三）如圖，已知正方體的上底面中心為，點為上的動點，為的三等分點（靠近點），為的中點，分別記二面角，，的平面角為，則（ ）
A．B．C．D．
類型二 立體幾何中動態(tài)問題中的距離問題
【例2】（2020·山西高三）設點M是棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AD的中點，點P在面BCC1B1所在的平面內，若平面D1PM分別與平面ABCD和平面BCC1B1所成的銳二面角相等，則點P到點C1的最短距離是（ ）
A．B．C．1D．
【舉一反三】
1．（2020·四川高三（理））已知三棱錐中，，且、、兩兩垂直，是三棱錐外接球面上一動點，則到平面的距離的最大值是（ ）
A．B．C．D．
2．已知四邊形是邊長為5的菱形，對角線（如圖1），現(xiàn)以為折痕將菱形折起，使點B達到點P的位置.棱，的中點分別為E，F(xiàn)，且四面體的外接球球心落在四面體內部（不含邊界，如圖2），則線段長度的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【來源】江西省鷹潭市2021屆高三高考二模數(shù)學（文）試題
3（2020廣西柳州市模考）如圖，在正方體中，棱長為1，點為線段上的動點（包含線段端點），則下列結論錯誤的是（ ）
A．當時，平面
B．當為中點時，四棱錐的外接球表面為
C．的最小值為
D．當時，平面
類型三 立體幾何中動態(tài)問題中的面積、體積問題
【例3】（2020·河南高三（理））在棱長為3的正方體中，E是的中點，P是底面所在平面內一動點，設，與底面所成的角分別為（均不為0），若，則三棱錐體積的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【舉一反三】
1.（2020·四川高三期末）長方體中，，，，為該正方體側面內（含邊界）的動點，且滿足.則四棱錐體積的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．如圖，長方形中，，，點在線段（端點除外）上，現(xiàn)將沿折起為．設，二面角的大小為，若，則四棱錐體積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·重慶市松樹橋中學校高三）如圖，在單位正方體中，點P在線段上運動，給出以下四個命題：
異面直線與間的距離為定值；
三棱錐的體積為定值；
異面直線與直線所成的角為定值；
二面角的大小為定值．
其中真命題有( )
A．1個B．2個C．3個D．4個
類型四 立體幾何中動態(tài)問題中的軌跡問題
【例4】（2020南充高考一模）如圖，直二面角，，，，且，，，，，，則點在平面內的軌跡是（ ）
A.圓的一部分B.橢圓的一部分C.一條直線D.兩條直線
【舉一反三】
1．已知正方體的棱長為，M，N為體對角線的三等分點，動點P在三角形內，且三角形的面積，則點P的軌跡長度為（ ）
A．B．C．D．
2、（2020貴陽高考模擬）在正方體中，已知點為平面中的一個動點，且點滿足：直線與平面所成的角的大小等于平面與平面所成銳二面角的大小，則點的軌跡為（ ）
A．直線 B．橢圓 C．圓 D．拋物線
3．幾何中常用表示的測度，當為曲線、平面圖形和空間幾何體時，分別對應其長度、面積和體積．在中，，，，為內部一動點（含邊界），在空間中，到點的距離為的點的軌跡為，則等于（ ）
A．B．C．D．
【來源】安徽省合肥市2021屆高三下學期第三次教學質量檢測理科數(shù)學試題
三．強化訓練
1．（2020·內蒙古高三期末）如圖，棱長為1的正方體中，是線段上的動點，則下列結論正確的是（ ）．
①異面直線與所成的角為
②
③三棱錐的體積為定值
④的最小值為2．
A．①②③B．①②④C．③④D．②③④
2.（2020河南省焦作市高三）在棱長為4的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點E、F分別在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，則|AF|的最大值為（ ）
A．B．1C．D．2
3．（2020·重慶巴蜀中學高三（理））棱長為2的正方體中，為的中點，在底面內運動，與平面所成角為，與平面所成角為，若，則的最小值為（ ）
A．2B．C．4D．1
4．已知三棱錐的所有棱長均為2，為的中點，空間中的動點滿足，，則動點的軌跡長度為（ ）
A．B．C．D．
【來源】浙江省五校2021屆高三下學期5月聯(lián)考數(shù)學試題
5.（2020鄭州一中高三期末）在三棱錐中，平面，M是線段上一動點，線段長度最小值為，則三棱錐的外接球的表面積是（ ）
A．B．C．D．
6．（2020九江高三一模）在長方體中，，，分別是棱的中點，是底面內一動點，若直線與平面沒有公共點，則三角形面積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
7．（2020·浙江高三期末）在三棱錐中，，點為
所在平面內的動點，若與所成角為定值，，則動點的軌跡是
A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線
8．（2020·上海格致中學高三月考）在正方體中,若點(異于點)是棱上一點,則滿足與所成的角為的點的個數(shù)為（ ）
A．0B．3C．4D．6
9.（2020上海交通大學附屬中學高三）如圖，已知三棱錐，平面，是棱上的動點，記與平面所成的角為，與直線所成的角為，則與的大小關系為（ ）
A．B．
C．D．不能確定
10．（2020·湖南長郡中學高三（理））在三棱錐中，平面，，，，是邊上的一動點，且直線與平面所成角的最大值為，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
11．在直三棱柱中，底面是以B為直角的等腰三角形，且，.若點D為棱的中點，點M為面的一動點，則的最小值為（ ）
A．B．6C．D．
【來源】江西省贛州市2021屆高三二模數(shù)學（理）試題
12．在棱長為的正四面體中，點為所在平面內一動點，且滿足，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【來源】河南省鶴壁市2021屆高三一模數(shù)學（文）試題
13．在棱長為的正方體中，是線段上的點，過的平面與直線垂直，當在線段上運動時，平面截正方體所得的截面面積的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【來源】北京市朝陽區(qū)2021屆高三一模數(shù)學試題
14．如圖，斜線段與平面所成的角為，為斜足．平面上的動點滿足，則點的軌跡為（ ）
A．圓B．橢圓
C．雙曲線的一部分D．拋物線的一部分
15．已知正方體的棱長為1，點，分別為線段，上的動點，點在平面內，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
16．如圖，是等腰直角三角形，，點D是上靠近A的三等分點，點E是上靠近C的三等分點，沿直線將翻折成，所成二面角的平面角為，則（ ）
A． B．
C．D．
17．如圖，棱長為的長方體中，為線段上動點(包括端點).則以下結論正確的為（ ）
A．三棱錐中，點到面的距離為定值
B．過點平行于面的平面被正方體截得的多邊形的面積為
C．直線與面所成角的正弦值的范圍為
D．當點和重合時，三棱錐的外接球體積為
【來源】廣東省普寧市2020-2021學年高三上學期期末數(shù)學試題
18．如圖，在棱長為的正方體中，點是平面內一個動點，且滿足，則直線與直線所成角的取值范圍為（ ）(參考數(shù)據：)
A．B．C．D．
【來源】江西省景德鎮(zhèn)一中2020-2021學年高三上學期期末考試數(shù)學（理）試題
19．如圖，在三棱錐中，．且，則四面體的體積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【來源】浙江省衢州市五校聯(lián)盟2020-2021學年高三上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題
20．如圖，三棱錐的底面在平面內，所有棱均相等，是棱的中點，若三棱錐繞棱旋轉，設直線與平面所成的角為，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【來源】浙江省寧波市慈溪市2020-2021學年高三上學期期末數(shù)學試題
21．（2020·浙江高三期末）在正四面體中，點是棱的中點，點是線段上一動點，且，設異面直線與所成角為，當時，則的取值范圍是__________．
22．（2020·江蘇高三（理））如圖所示的正方體是一個三階魔方(由27個全等的棱長為1的小正方體構成），正方形是上底面正中間一個正方形，正方形是下底面最大的正方形，已知點是線段上的動點，點是線段上的動點，則線段長度的最小值為_______．
23.如圖所示，正方體的棱長為2，E，F(xiàn)為，AB的中點，M點是正方形內的動點，若平面，則M點的軌跡長度為______．
24．（2020·上海復旦附中高三期中）如圖，已知直四棱柱的所有棱長等于1，，和分別是上下底面對角線的交點，在線段上，，點在線段上移動，則三棱錐的體積最小值為______.
25．（2020·湖北高考模擬（理））如圖，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，，點E是線段CD上異于點C，D的動點，EF⊥AD于點F，將△DEF沿EF折起到△PEF的位置，并使PF⊥AF，則五棱錐P-ABCEF的體積的取值范圍為______．
第13講 立體幾何的動態(tài)問題
一．方法綜述
立體幾何的動態(tài)問題是高考的熱點，問題中的“不確定性”與“動感性”元素往往成為學生思考與求解問題的思維障礙，使考題的破解更具策略性、挑戰(zhàn)性與創(chuàng)新性.一般立體動態(tài)問題形成的原因有動點變化、平面圖形的翻折、幾何體的平移和旋轉以及投影與截面問題，由此引發(fā)的常見題型為動點軌跡、角度與距離的計算、面積與體積的計算、探索性問題以及有關幾何量的最值求解等.
動態(tài)立體幾何題在變化過程中總蘊含著某些不變的因素，因此要認真分析其變化特點，尋找不變的靜態(tài)因素，從靜態(tài)因素中，找到解決問題的突破口.求解動態(tài)范圍的選擇、填空題，有時應把這類動態(tài)的變化過程充分地展現(xiàn)出來，通過動態(tài)思維，觀察它的變化規(guī)律，找到兩個極端位置，即用特殊法求解范圍.對于探究存在問題或動態(tài)范圍（最值）問題，用定性分析比較難或繁時，可以引進參數(shù)，把動態(tài)問題劃歸為靜態(tài)問題.具體地，可通過構建方程、函數(shù)或不等式等進行定量計算，以算促證.
二．解題策略
類型一 立體幾何中動態(tài)問題中的角度問題
例1. 已知平行四邊形中，，，，沿對角線將折起到的位置，使得平面平面，如圖，若，均是線段的三等分點，點是線段上（包含端點）的動點，則二面角的正弦值的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【來源】2021年浙江省新高考測評卷數(shù)學（第五模擬）
【答案】B
【解析】在中，，，，所以由余弦定理得，所以，所以，由翻折的性質可知，．又平面平面，平面平面，所以平面，過點作，交于點，則平面，所以，過作，垂足為，連接，則平面，
所以為二面角的平面角．
設（），則，，，，
所以，
所以．
由二次函數(shù)的單調性知，在上的值域為，
所以，即二面角的正弦的取值范圍為．
故選：B.
【舉一反三】
1．（2020·黑龍江牡丹江一中高三（理））如圖，在正方體中，是中點，點在線段上，若直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如圖，設正方體棱長為1，．
以為原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系．
則，，所以．
在正方體中，可證平面，
所以是平面的一個法向量．
所以．
所以當時，取得最大值，當或1時，取得最小值．
所以.故選A．
2．（2020·廣東高考模擬）在正方體中，E是側面內的動點，且平面，則直線與直線AB所成角的正弦值的最小值是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系，
設正方體中棱長為1，
設0，，，，
1，，1，，
0，，1，，
，1，，1，，
設平面的法向量y，，
則，取，得，
平面，，解得，
，，
設直線與直線AB所成角為，
1，，
，，，
．
直線與直線AB所成角的正弦值的最小值是．
3.（2020·浙江臺州中學高三）如圖，已知正方體的上底面中心為，點為上的動點，為的三等分點（靠近點），為的中點，分別記二面角，，的平面角為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】分析：建立空間直角坐標系，對動點O選取一個特殊位置，然后求出三個側面的法向量，根據向量夾角的余弦值求得三個二面角的余弦值，比較后可得二面角的大小．
詳解：建立如圖所示的空間直角坐標系．考慮點與點A重合時的情況．
設正方體的棱長為1，則．
設平面的一個法向量為，
由，得，
令，得．
同理可得平面和平面的法向量分別為．
結合圖形可得：
，
，
∴，又，∴．故選D．
類型二 立體幾何中動態(tài)問題中的距離問題
【例2】（2020·山西高三）設點M是棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AD的中點，點P在面BCC1B1所在的平面內，若平面D1PM分別與平面ABCD和平面BCC1B1所成的銳二面角相等，則點P到點C1的最短距離是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【解析】如圖，過點作的平行線交于點、交于點，連接，
則是平面與平面的交線，是平面與平面的交線．
與平行，交于點，過點作垂直于點，則有，與平面垂直，
所以，與垂直，即角是平面與平面的夾角的平面角，且，
與平行交于點，過點作垂直于點，
同上有：，且有，又因為，故，
而，故，
而四邊形一定是平行四邊形，故它還是菱形，即點一定是的中點，
點到點的最短距離是點到直線的距離，
以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，
，， ，
， ，
點到點的最短距離：．故選：．
【指點迷津】求兩點間的距離或其最值.一種方法，可建立坐標系，設點的坐標，用兩點間距離公式寫出距離，轉化為求函數(shù)的最值問題；另一種方法，幾何法，根據幾何圖形的特點，尋找那兩點間的距離最大（?。?，求其值.
【舉一反三】
1．（2020·四川高三（理））已知三棱錐中，，且、、兩兩垂直，是三棱錐外接球面上一動點，則到平面的距離的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】是棱長為1的正方體上具有公共頂點的三條棱,以為原點,分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系,三棱錐外接球就是正方體的外接球，由正方體及球的幾何性質可得點與重合時，點到平面的距離最大，求出平面的法向量，由點到直線的距離公式即可得結果.
【詳解】
三棱錐，滿足兩兩垂直，且，
如圖是棱長為1的正方體上具有公共頂點的三條棱,
以為原點,分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系,
則，
，
設平面的法向量，
則，取，得，
三棱錐外接球就是棱長為1的正方體的外接球，
是三棱錐外接球上一動點，
由正方體與球的幾何性質可得，點點與重合時，
點到平面的距離最大，
點到平面的距離的最大值為.故選C.
2．已知四邊形是邊長為5的菱形，對角線（如圖1），現(xiàn)以為折痕將菱形折起，使點B達到點P的位置.棱，的中點分別為E，F(xiàn)，且四面體的外接球球心落在四面體內部（不含邊界，如圖2），則線段長度的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【來源】江西省鷹潭市2021屆高三高考二模數(shù)學（文）試題
【答案】A
【解析】
由題意可知△的外心在中線上，
設過點的直線⊥平面,可知平面,
同理△的外心在中線上,
設過點的直線⊥平面，則平面,
由對稱性知直線的交點在直線上.
根據外接球的性質,點為四面體的外接球的球心.
由題意得,
而
所以.
令,顯然,
所以.
因為，
所以，
又，所以，即.
綜上可知.
故選：A.
3（2020廣西柳州市模考）如圖，在正方體中，棱長為1，點為線段上的動點（包含線段端點），則下列結論錯誤的是（ ）
A．當時，平面
B．當為中點時，四棱錐的外接球表面為
C．的最小值為
D．當時，平面
【答案】C
【解析】對于，連結，，，
則，，，
設到平面的距離為，則，解得，
∴.∴當時，為與平面的交點．
∵平面∥平面，
∵平面，∴∥平面，故A正確．
又由以上分析可得，當時，即為三棱錐的高，
∴平面，所以D正確．
對于B，當為中點時，四棱錐為正四棱錐，
設平面的中心為，四棱錐的外接球為，
所以，解得，
故四棱錐的外接球表面積為，所以B正確．
對于C，連結，，則，
∴，
由等面積法得的最小值為，
∴的最小值為．所以C不正確．故選：C.
類型三 立體幾何中動態(tài)問題中的面積、體積問題
【例3】（2020·河南高三（理））在棱長為3的正方體中，E是的中點，P是底面所在平面內一動點，設，與底面所成的角分別為（均不為0），若，則三棱錐體積的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】建系如圖，正方體的邊長為3，則，0，，，0，，
設，，，，則，，，，，，
，，0，，
，即，
代入數(shù)據，得：，
整理得：，變形，得：，
即動點的軌跡為圓的一部分，
過點作，交于點，則為三棱錐的高
點到直線的距離的最大值是2．則．
，故選：．
【指點迷津】求幾何體體積的最值，先觀察幾何圖形三棱錐，其底面的面積為不變的幾何量，求點P到平面BCD的距離的最大值，選擇公式，可求最值.
【舉一反三】
1.（2020·四川高三期末）長方體中，，，，為該正方體側面內（含邊界）的動點，且滿足.則四棱錐體積的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如圖所示：
在中，，在中，，
因為，所以.
因為，所以點的軌跡是以為焦點 的橢圓.
如下圖所示：
，，，橢圓的標準方程為：.
聯(lián)立，解得：.所以，.
當點運動到位置時，此時四棱錐的高最長，
所以.
當點運動到或位置時，此時四棱錐的高最短，
所以.
綜上所述：.
2．如圖，長方形中，，，點在線段（端點除外）上，現(xiàn)將沿折起為．設，二面角的大小為，若，則四棱錐體積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設過與垂直的線段長為，則，，，，則四棱錐的高，
則
，，
∴四棱錐體積的最大值為.
故選：A.
3．（2020·重慶市松樹橋中學校高三）如圖，在單位正方體中，點P在線段上運動，給出以下四個命題：
異面直線與間的距離為定值；
三棱錐的體積為定值；
異面直線與直線所成的角為定值；
二面角的大小為定值．
其中真命題有( )
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】D
【解析】對于①，異面直線與間的距離即為兩平行平面和平面間的距離，即為正方體的棱長，為定值．故①正確．
對于②，由于，而為定值，又P∈AD1，AD1∥平面BDC1，所以點P到該平面的距離即為正方體的棱長，所以三棱錐的體積為定值．故②正確．
對于③，由題意得在正方體中，B1C⊥平面ABC1D1，而C1P?平面ABC1D1，所以B1C⊥C1P，故這兩條異面直線所成的角為．故③正確；
對于④，因為二面角P?BC1?D的大小，即為平面ABC1D1與平面BDC1所成的二面角的大小，而這兩個平面位置固定不變，故二面角的大小為定值．故④正確．
綜上①②③④正確．選D．
類型四 立體幾何中動態(tài)問題中的軌跡問題
【例4】（2020南充高考一模）如圖，直二面角，，，，且，，，，，，則點在平面內的軌跡是（ ）
A.圓的一部分B.橢圓的一部分C.一條直線D.兩條直線
【答案】A
【解析】以所在直線為軸，的中垂線為軸，建立平面直角坐標系，設點，，，，，則，，，，，，， ，即，整理得：，故點的軌跡是圓的一部分，故選.
【指點迷津】空間軌跡問題的求解策略：1.利用側面展開或展到一個平面上尋求軌跡；2.利用圓錐曲線定義求軌跡；3.這輾轉過程中動點的軌跡；4.利用函數(shù)觀點探求軌跡
【舉一反三】
1．已知正方體的棱長為，M，N為體對角線的三等分點，動點P在三角形內，且三角形的面積，則點P的軌跡長度為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如圖所示：
連接，因為四邊形是正方形，所以，
因為平面，平面，所以，
又平面，平面，
所以平面，所以，
同理可知：，
又因為平面，平面，，
所以平面，
根據題意可知：，所以為正三角形，所以，
所以，設到平面的距離為，
因為，所以，所以，
所以，所以，所以，
所以即為與平面的交點，由題意可知：平面，所以，所以，再如下圖所示：
在正三角形中，高，
所以內切圓的半徑，且，
取的兩個三等分點，連接，所以，
所以是以長度為邊長的正三角形，所以的軌跡是以為圓心，半徑等于的圓，圓的周長為，在內部的軌跡是三段圓弧，每一段圓弧的圓心角為，所以對應的軌跡長度是圓周長的一半為，故選：B.
2、（2020貴陽高考模擬）在正方體中，已知點為平面中的一個動點，且點滿足：直線與平面所成的角的大小等于平面與平面所成銳二面角的大小，則點的軌跡為（ ）
A．直線 B．橢圓 C．圓 D．拋物線
【答案】D
3．幾何中常用表示的測度，當為曲線、平面圖形和空間幾何體時，分別對應其長度、面積和體積．在中，，，，為內部一動點（含邊界），在空間中，到點的距離為的點的軌跡為，則等于（ ）
A．B．C．D．
【來源】安徽省合肥市2021屆高三下學期第三次教學質量檢測理科數(shù)學試題
【答案】D
【解析】空間中，到點的距離為的點的軌跡所構成的空間幾何體在垂直于平面的角度看，如下圖所示：
其中：，和區(qū)域內的幾何體為底面半徑為的半圓柱；，，區(qū)域內的幾何體為被兩平面所截得的部分球體，球心分別為；區(qū)域內的幾何體是高為的直三棱柱.
四邊形和為矩形，，
，
同理可得：，，
，
，，區(qū)域內的幾何體合成一個完整的，半徑為的球，
則，，區(qū)域內的幾何體的體積之和；
又，和區(qū)域內的幾何體的體積之和；區(qū)域內的直三棱柱體積，
.
故選：D.
三．強化訓練
1．（2020·內蒙古高三期末）如圖，棱長為1的正方體中，是線段上的動點，則下列結論正確的是（ ）．
①異面直線與所成的角為
②
③三棱錐的體積為定值
④的最小值為2．
A．①②③B．①②④C．③④D．②③④
【答案】A
【解析】①∵∥BC，
∴異面直線與所成的角即為BC與所成的角，
可得夾角為，故①正確；
②連接，∵平面A1BCD1，平面A1BCD1，
∴，故②正確；
③∵∥平面DCC1D1，∴線段A1B上的點M到平面DCC1D1的距離都為1,
又△DCC1的面積為定值,
因此三棱錐M?DCC1的體積為定值,故③正確；
④將面AA1B與面A1BCD1沿A1B展成平面圖形,線段AD1即為AP+PD1的最小值，
在△D1A1A中,∠D1A1A=135°,
利用余弦定理解三角形得，
故④不正確.
因此只有①②③正確.故選：A.
2.（2020河南省焦作市高三）在棱長為4的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點E、F分別在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，則|AF|的最大值為（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【解析】以AB，AD，AA1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系如圖所示，則C1（4，4，4），設E（0，0，z），z∈[0，4]，F(xiàn)（x，0，0），x∈[0，4]，則|AF|＝x．＝（4，4，4﹣z），＝（x，0，﹣z）．因為C1E⊥EF，所以 ，即：z2+4x﹣4z＝0，x＝z﹣．
當z＝2時，x取得最大值為1．|AF|的最大值為1．故選：B．
3．（2020·重慶巴蜀中學高三（理））棱長為2的正方體中，為的中點，在底面內運動，與平面所成角為，與平面所成角為，若，則的最小值為（ ）
A．2B．C．4D．1
【答案】A
【解析】分析：先證明PD=2PC，再在底面ABCD內建立如圖所示的直角坐標系，求出，再利用三角函數(shù)的圖象和性質求出|AP|的最小值.
【詳解】
設，所以，，所以PD=2PC.
在底面ABCD內建立如圖所示的直角坐標系，
設點P(x,y),則，
整理得，
所以，
即,所以|AP|的最小值為2.故選：A
4．已知三棱錐的所有棱長均為2，為的中點，空間中的動點滿足，，則動點的軌跡長度為（ ）
A．B．C．D．
【來源】浙江省五校2021屆高三下學期5月聯(lián)考數(shù)學試題
【答案】C
【解析】正四面體放入正方體，則正方體的棱長為，建立空間直角坐標系如圖所示，
，設，
，.
由于，，所以，
即，
即，
即，
表示球心為，半徑為的球.
表示垂直于平面的一個平面.
所以的軌跡是上述平面截球面所得圓.
球心到平面的距離為，
所以截得的圓的半徑，
所以截得的圓，也即點的軌跡的長度為.
故選：C
5.（2020鄭州一中高三期末）在三棱錐中，平面，M是線段上一動點，線段長度最小值為，則三棱錐的外接球的表面積是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如圖所示：
三棱錐中，平面，
M是線段上一動點，線段長度最小值為，
則：當時，線段達到最小值，
由于：平面，
所以：，解得：，
所以：，則：，
由于：，所以：
則：為等腰三角形．所以：，
在中，設外接圓的直徑為，則：，
所以：外接球的半徑，則：，故選：C．
6．（2020九江高三一模）在長方體中，，，分別是棱的中點，是底面內一動點，若直線與平面沒有公共點，則三角形面積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】補全截面EFG為截面EFGHQR如圖，
其中H、Q、R分別為、的中點，易證平面ACD1∥平面EFGHQR，
∵直線D1P與平面EFG不存在公共點，
∴D1P∥面ACD1，∴D1P面ACD1，
∴P∈AC，∴過P作AC的垂線，垂足為K，則BK=,此時BP最短，
△PBB1的面積最小，
∴三角形面積的最小值為，故選：C．
7．（2020·浙江高三期末）在三棱錐中，，點為
所在平面內的動點，若與所成角為定值，，則動點的軌跡是
A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線
【答案】B
【解析】建立空間直角坐標系，根據題意，求出軌跡方程，可得其軌跡.
由題，三棱錐為正三棱錐，頂點在底面的射影是底面三角形的中心，則以為坐標原點，以為軸，以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，根據題意可得，設為平面內任 一點，則 ，由題與所成角為定值，，則
則 ，化簡得 ， 故動點的軌跡是橢圓.選B
8．（2020·上海格致中學高三月考）在正方體中,若點(異于點)是棱上一點,則滿足與所成的角為的點的個數(shù)為（ ）
A．0B．3C．4D．6
【答案】B
【解析】
【分析】建立空間直角坐標系，通過分類討論利用異面直線的方向向量所成的夾角即可找出所有滿足條件的點的個數(shù)．
【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，
不妨設棱長，，0，，，1，．
①在△中，，因此．
同理，與所成的角都為．
故當點位于（分別與上述棱平行或重合）棱，，上時，與所成的角都為，不滿足條件；
②當點位于棱上時，設，，，，則，，，，1，．
若滿足與所成的角為，則，
化為，無正數(shù)解，舍去；
同理，當點位于棱上時，也不符合條件；
③當點位于棱上時，設，，，，
則，，，，1，．
若滿足與所成的角為，則，
化為，
，解得，滿足條件，此時點．
④同理可求得棱上一點，棱上一點．
而其它棱上沒有滿足條件的點．
綜上可知：滿足條件的點有且只有3個．故選：
9.（2020上海交通大學附屬中學高三）如圖，已知三棱錐，平面，是棱上的動點，記與平面所成的角為，與直線所成的角為，則與的大小關系為（ ）
A．B．
C．D．不能確定
【答案】C
【解析】如圖所示：∵PA⊥平面ABC，∴PD與平面ABC所成的角=∠PDA,
過點A作AE⊥BC，垂足為E，連接PE，
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAE，∴BC⊥PE,
在Rt△AED，Rt△PAD，Rt△PED中：cs，cs，cs，
∴cs cs cs< cs,又均為銳角， ∴，故選C.
10．（2020·湖南長郡中學高三（理））在三棱錐中，平面，，，，是邊上的一動點，且直線與平面所成角的最大值為，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】分析：根據題意畫出圖形，結合圖形找出的外接圓圓心與三棱錐 外接球的球心，求出外接球的半徑，再計算它的表面積．
詳解：三棱錐 設直線 與平面所成角為 ，如圖所示；則 由題意且的最大值是，∴，解得
即的最小值為∴的最小值是，即點到的距離為，
取的外接圓圓心為，作 ，
解得 ；為的中點，
由勾股定理得
∴三棱錐的外接球的表面積是
故選B.
11．在直三棱柱中，底面是以B為直角的等腰三角形，且，.若點D為棱的中點，點M為面的一動點，則的最小值為（ ）
A．B．6C．D．
【來源】江西省贛州市2021屆高三二模數(shù)學（理）試題
【答案】C
【解析】由題意知，，為直三棱柱，即面面，面面，面，
∴面，又面，
∴面面.
∴易得關于平面對稱點E落在的延長線上，且，即，如下圖所示，的最小時，、、三點共線.

∴.
故選：C
12．在棱長為的正四面體中，點為所在平面內一動點，且滿足，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【來源】河南省鶴壁市2021屆高三一模數(shù)學（文）試題
【答案】B
【解析】如圖所示，在平面內，，
所以點在平面內的軌跡為橢圓，取的中點為點，連接，以直線為軸，直線為建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則橢圓的半焦距，長半軸，該橢圓的短半軸為，
所以，橢圓方程為.
點在底面的投影設為點，則點為的中心，，
故點正好為橢圓短軸的一個端點，
，則，
因為，故只需計算的最大值.
設，則，
則，
當時，取最大值，
即，
因此可得，故的最大值為.
故選：B.
13．在棱長為的正方體中，是線段上的點，過的平面與直線垂直，當在線段上運動時，平面截正方體所得的截面面積的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【來源】北京市朝陽區(qū)2021屆高三一模數(shù)學試題
【答案】C
【解析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則、、、、、、、，
設點，其中.
①當時，點與點重合，，，，
所以，，，則，，
，平面，此時平面即為平面，
截面面積為；
②當時，同①可知截面面積為；
③當時，，，
，，則，
設平面交棱于點，，
，可得，不合乎題意.
設平面交棱于點，，
，可得，合乎題意，即，
同理可知，平面交棱于點，
，且與不重合，故四邊形為平行四邊形，
，，，
則，
所以，截面面積為.
綜上所述，截面面積的最小值為.
故選：C.
14．如圖，斜線段與平面所成的角為，為斜足．平面上的動點滿足，則點的軌跡為（ ）
A．圓B．橢圓
C．雙曲線的一部分D．拋物線的一部分
【答案】B
【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系，設
所以點的軌跡是橢圓．
故選：B.
15．已知正方體的棱長為1，點，分別為線段，上的動點，點在平面內，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】點關于的對稱點為，關于的對稱點為，
記為直線與之間的距離，則，
由，為到平面的距離，
因為，
而，故，
故選：B.
16．如圖，是等腰直角三角形，，點D是上靠近A的三等分點，點E是上靠近C的三等分點，沿直線將翻折成，所成二面角的平面角為，則（ ）
A． B．
C．D．
【答案】B
【詳解】如圖，在等腰直角三角形中，
過作直線，作交直線于點，過作直線的垂線，垂足為，交直線與，過作的垂線，垂足為，且交于，
不妨設，則，
在直角三角形中，，
因為，故，故，同理，
所以，，同理，.
在幾何體中連接，如圖，
因為故為二面角的平面角，
故，而，故平面，
所以平面，而平面，故.
，
故，故，
同理，
，故，同理，
，故，
因為，故，
故選B.
17．如圖，棱長為的長方體中，為線段上動點(包括端點).則以下結論正確的為（ ）
A．三棱錐中，點到面的距離為定值
B．過點平行于面的平面被正方體截得的多邊形的面積為
C．直線與面所成角的正弦值的范圍為
D．當點和重合時，三棱錐的外接球體積為
【來源】廣東省普寧市2020-2021學年高三上學期期末數(shù)學試題
【答案】C
【解析】對于A中，由，為等邊三角形，面積為,設點到面的距離為，由，求得，所以A不正確；
對于B中，過點P平行于平面的平面被正方體截得的多邊形平面，
此時三角形為邊長為的等邊三角形，其面積為，所以B不正確；
對于C中，由正方體的結構特征和性質，可得點P到平面的距離為，
當點P在線段上運動時，（P為端點時），，
設直線與平面所成角為，則，所以C正確；
對于D中，當點P與重合時，此時三棱錐為，
設的中點為，因為，可得
所以三棱錐的外接球的球心為的中點，其半徑為，
所以三棱錐的外接球的體積為，所以D不正確.
故選：C.
18．如圖，在棱長為的正方體中，點是平面內一個動點，且滿足，則直線與直線所成角的取值范圍為（ ）(參考數(shù)據：)
A．B．C．D．
【來源】江西省景德鎮(zhèn)一中2020-2021學年高三上學期期末考試數(shù)學（理）試題
【答案】B
【解析】如圖，建立空間直接坐標系，連結，交平面于點，
，，，，，
，，，
，，，
平面，
根據等體積轉化可知，
即，解得：，
，,
，異面直線與所成的角，轉化為與所成的角，
如圖，將部分幾何體分類出來，再建立一個空間直角坐標系，取的中點，過點作，則以點為原點，為軸的正方向，建立空間直角坐標系
，，，，，
，,
，
即，，
即
，即，
，
因為異面直線所成的角是銳角，并設為，則，
，，
故選：B
19．如圖，在三棱錐中，．且，則四面體的體積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【來源】浙江省衢州市五校聯(lián)盟2020-2021學年高三上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題
【答案】B
【解析】作BEAD于E，連接CE，如圖，
因為再平面BEC內相交，所以AD平面BEC，
因為CE平面BEC，所以CEAD，
因為，
所以B與C都是在以A、D為焦點的橢球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，
AB＋BD= AC+CD =2，顯然，所以BE=CE.
取BC中點F，
要求四面體ABCD的體積的最大值，
因為AD是定值，只需三角形EBC的面積最大，
因為BC是定值,所以只需EF最大即可，
當△ABD是等腰直角三角形時幾何體的體積最大，
因為AB＋BD= AC+CD =2，
，
，
所以幾何體的體積為
故選：B
20．如圖，三棱錐的底面在平面內，所有棱均相等，是棱的中點，若三棱錐繞棱旋轉，設直線與平面所成的角為，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【來源】浙江省寧波市慈溪市2020-2021學年高三上學期期末數(shù)學試題
【答案】A
【解析】取的中點，連接、，如下圖所示：

、分別為、的中點，所以，，
設正四面體的棱長為，則，，
由余弦定理可得.
當三棱錐繞棱旋轉時，直線與平面所成的角為，
讓正四面體相對靜止，讓平面繞著直線轉動，則平面的垂線也繞著旋轉，
設過直線的平面滿足，
，問題也等價于平面繞著直線旋轉，
當時，取得最小值，此時，取得最大值；
當時，設點到平面的距離為，可得，
當取最大值時，取最大值，此時，平面平面，
由于，取的中點，連接，可得，
平面平面，平面，平面，，
此時，，所以，的最小值為.
綜上所述，的取值范圍是.
故選：A.
21．（2020·浙江高三期末）在正四面體中，點是棱的中點，點是線段上一動點，且，設異面直線與所成角為，當時，則的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】
設P到平面ABC的射影為點O,取BC中點D,
以O為原點，在平面ABC中，以過O作DB的平行線為x軸，
以OD為y軸，以OP為z軸，建立空間直角坐標系，如圖，
設正四面體P?ABC的棱長為，
則，
由,得，
∴，
∵異面直線NM與AC所成角為α,，
∴，設，則
∴，
∵，∴.
∴csα的取值范圍是.
22．（2020·江蘇高三（理））如圖所示的正方體是一個三階魔方(由27個全等的棱長為1的小正方體構成），正方形是上底面正中間一個正方形，正方形是下底面最大的正方形，已知點是線段上的動點，點是線段上的動點，則線段長度的最小值為_______．
【答案】
【解析】以為坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標系，
則 ,
設,,.
,.
,
當且時，取到最小值，所以線段長度的最小值為.
23.如圖所示，正方體的棱長為2，E，F(xiàn)為，AB的中點，M點是正方形內的動點，若平面，則M點的軌跡長度為______．
【答案】
【解析】
如圖所示，取的中點，的中點，連接，，，．
可得：四邊形是平行四邊形，.
同理可得：．
．
平面平面，
點是正方形內的動點，若平面.
點在線段上．
點的軌跡長度．故答案為．
24．（2020·上海復旦附中高三期中）如圖，已知直四棱柱的所有棱長等于1，，和分別是上下底面對角線的交點，在線段上，，點在線段上移動，則三棱錐的體積最小值為______.
【答案】
【解析】因為直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面是菱形,∠ABC=60°，邊長為1，
∴O1C1⊥平面BB1D1D,且O1C1=,O1B1=，
∴C1到平面BB1D1D的距離為O1C1=，
∵OH=3HB1，點M是線段BD上的動點，
∴當△O1MH的面積取得最小值時，三棱錐的體積有最小值。
將平面BB1D1D單獨畫圖可得，
當B點到O1H的距離最小時，△O1MH的面積有最小值。
過點B做BF//O1H，可得直線BF上方的點到O1H的距離比直線BF上的點到O1H的距離小，而線段BD上除B點外的所有點都在直線BF下方，到O1H的距離比B點到O1H的距離大。
即當M點在B點時，△O1MH的面積取得最小值，且三棱錐的體積有最小值。
連接O1B, 則O1B=OB1==，
∴B1到O1B的距離d===，
∵OH=3HB1，∴H到直線O1B的距離為d=。
∴===，
∴===。故答案為：。
25．（2020·湖北高考模擬（理））如圖，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，，點E是線段CD上異于點C，D的動點，EF⊥AD于點F，將△DEF沿EF折起到△PEF的位置，并使PF⊥AF，則五棱錐P-ABCEF的體積的取值范圍為______．
【答案】（0，）
【解析】因為PF⊥AF，PF⊥EF，且AF交EF與點F，所以PF⊥平面ABCEF
設,則

所以五棱錐的體積為
或（舍）
當遞增，
故

所以的取值范圍是（0，）
故答案為（0，）

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