二．解題策略
類型一 與三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和對(duì)稱性相關(guān)的最值問題
【例1】（2020·湖北高考模擬（理））已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為（ ）
A．B．1C．2D．4
2．（2020·山東高考模擬）若函數(shù)在上的值域?yàn)?，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·河南南陽(yáng)中學(xué)高考模擬）設(shè)>0,函數(shù)y=sin(x+)+2的圖象向右平移個(gè)單位后與原圖象重合，則的最小值是
A．B．C．D．3
【舉一反三】
1．已知函數(shù)在區(qū)間上恰有1個(gè)最大值點(diǎn)和1個(gè)最小值點(diǎn)，則ω的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【來(lái)源】安徽省示范高中皖北協(xié)作區(qū)2021屆高三下學(xué)期第23屆聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題
則使成立的的最小正值為（ ）
A．B．C．D．
3．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的最小值是（ ）
A．B．C．D．
類型二 轉(zhuǎn)化為型的最值問題
【例2】（2020·北京人大附中高考模擬）已知函數(shù)的一條對(duì)稱軸為，，且函數(shù)在上具有單調(diào)性，則的最小值為
A．B．C．D．
【舉一反三】
1、（2020·江西高考模擬）已知的最大值為，若存在實(shí)數(shù)、，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)總有成立，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·河北高考模擬）若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小值是( )
A．B．C．D．
3．已知銳角三角形的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.且， 則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
4.（2020·河北高考模擬）將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖像，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則正數(shù)的最大值為
A．B．1C．D．
類型三 轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)型的最值問題
【例3】函數(shù)的最大值為（ ）
A．B．C．D．3
【來(lái)源】安徽省淮北市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題
【舉一反三】
1．（2020·湖南高考模擬）已知，則的值域?yàn)椋? ）
A．B．C．D．
2．（2020·江西高考模擬（理））函數(shù)的值域?yàn)開________．
3、函數(shù)，關(guān)于的為等式對(duì)所有都成立，則實(shí)數(shù)的范圍為__________．
4、求函數(shù)的值域.
類型四 轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)函數(shù)型的最值問題
【例4】（2020·黑龍江高考模擬）已知，在這兩個(gè)實(shí)數(shù)之間插入三個(gè)實(shí)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，那么這個(gè)等差數(shù)列后三項(xiàng)和的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【舉一反三】設(shè)點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在直線上，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．2
【來(lái)源】浙江省寧波市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題
三．強(qiáng)化訓(xùn)練
1．（2020·四川高考模擬）若函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于軸對(duì)稱，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為
A．B．C．1D．
2．（2020·陜西高考模擬）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，在向上平移一個(gè)單位，得到g（x）的圖象．若g（x1）g（x2）＝4，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，則x1﹣2x2的最大值為（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·甘肅高考模擬）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位后，所得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
4．（2020·山東高考模擬）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象,若對(duì)任意的均有成立,則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
5．（2020·云南高考模擬）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)在區(qū)間上無(wú)極值點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
6．（2020·四川華鎣一中高考模擬）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，若在上為增函數(shù)，則的最大值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（2020·天津高考模擬）已知同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①；②是奇函數(shù)；③.若在上沒有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函數(shù)，的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【來(lái)源】江西省上饒市（天佑中學(xué)、余干中學(xué)等）六校2021屆高三下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題
9．（2020·廣東高考模擬）已知函數(shù).若函數(shù) 在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn) ， 則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
10．在中，，邊上的高為1，則面積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
11．已知實(shí)數(shù)，不等式對(duì)任意恒成立，則的最大值是（ ）
A．B．C．D．2
12．設(shè)函數(shù)的最大值為，其圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則下列判斷正確的是（ ）
A．函數(shù)在上單調(diào)遞增
B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為
D．要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象向右平移個(gè)單位
13．設(shè)函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ），，，若存在實(shí)數(shù)φ，使得集合A∩B中恰好有7個(gè)元素，則ω（ω＞0）的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
14．在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量，，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若存在正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A．B．2C．D．4
【來(lái)源】2021年全國(guó)高中名校名師原創(chuàng)預(yù)測(cè)卷 理科數(shù)學(xué) 全國(guó)卷Ⅰ（第三模擬）
15．水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，亦稱“水轉(zhuǎn)筒車”，是一種以水流作動(dòng)力，取水灌田的工具.據(jù)史料記載，水車發(fā)明于隨而盛于唐，距今已有1000多年的歷史是人類的一項(xiàng)古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖是一個(gè)半徑為的水車，一個(gè)水斗從點(diǎn)出發(fā)，沿圓周按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒.經(jīng)過秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其縱坐標(biāo)滿足，則下列敘述正確的是（ ）
A．
B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增
C．當(dāng)，的最大值為
D．當(dāng)時(shí)，
16．已知銳角中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若的面積，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
17．函數(shù)在上的最小值為（ ）
A．-1B．C．D．1
【來(lái)源】天一大聯(lián)考2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期高中畢業(yè)班階段性測(cè)試（三）理科數(shù)學(xué)
18．在中，，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
19．向量，，則的最大值為（ ）
A．3B．4C．5D．6
20．已知函數(shù)的最小正周期為，若在上的最大值為M，則M的最小值為________.
【來(lái)源】湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期月考（七）數(shù)學(xué)試題
21．已知函數(shù)，若對(duì)于任意，均有，則的最大值是___________.
22．在中，角的對(duì)邊分別為，，，若有最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
23．若函數(shù)的定義域存在，使成立，則稱該函數(shù)為“互補(bǔ)函數(shù)”.若函數(shù)在上為“互補(bǔ)函數(shù)”，則的取值范圍為___________.
【來(lái)源】重組卷01-沖刺2021年高考數(shù)學(xué)（理）之精選真題 模擬重組卷（新課標(biāo)卷）
24．（2020·陜西高考模擬）若向量,,則的最大值為 .
24．（2020·浙江高考模擬）定義式子運(yùn)算為將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為
25．（2020·安徽高考模擬）已知函數(shù)，其中，，為的零點(diǎn)：且恒成立，在區(qū)間上有最小值無(wú)最大值，則的最大值是
26．（2020·浙江高考模擬）已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小正值為
27．（2020·橫峰中學(xué)高考模擬）已知的三邊分別為，，，所對(duì)的角分別為，，，且滿足，且的外接圓的面積為，則的最大值的取值范圍為__________．
28．（2020·江蘇揚(yáng)州中學(xué)高考模擬）已知的面積為,且滿足，則邊的最小值為_______.
29．（2020·安徽高考模擬）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊長(zhǎng)成等比數(shù)列，，延長(zhǎng)至，若，則面積的最大值為__________.
第6講 與三角函數(shù)相關(guān)的最值問題
一．方法綜述
三角函數(shù)相關(guān)的最值問題歷來(lái)是高考的熱點(diǎn)之一，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)取值或范圍是往往是解決問題的關(guān)鍵，這類問題一般涉及到值域、單調(diào)性及周期性等性質(zhì)，熟悉三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)和掌握轉(zhuǎn)化思想是解題關(guān)鍵．
二．解題策略
類型一 與三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和對(duì)稱性相關(guān)的最值問題
【例1】（2020·湖北高考模擬（理））已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】C
【解析】當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
正弦函數(shù)在上遞增，
所以可得，解得，即的最大值為2，故選C．
2．（2020·山東高考模擬）若函數(shù)在上的值域?yàn)椋瑒t的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
而值域?yàn)?，發(fā)現(xiàn)
，整理得，則最小值為，選A項(xiàng).
3．（2020·河南南陽(yáng)中學(xué)高考模擬）設(shè)>0,函數(shù)y=sin(x+)+2的圖象向右平移個(gè)單位后與原圖象重合，則的最小值是
A．B．C．D．3
【答案】C
【解析】函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后 所以有 ，故選C
【舉一反三】
1．已知函數(shù)在區(qū)間上恰有1個(gè)最大值點(diǎn)和1個(gè)最小值點(diǎn)，則ω的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【來(lái)源】安徽省示范高中皖北協(xié)作區(qū)2021屆高三下學(xué)期第23屆聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題
【答案】B
【解析】，
，，
在上恰有1個(gè)最大值點(diǎn)和1個(gè)最小值點(diǎn)，
，解得.
故選：B.
2.（2020·河南高考模擬）已知函數(shù)，的部分圖象如圖所示，則使成立的的最小正值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】結(jié)合圖象可知，A＝2，f（x）＝2sin（ωx+φ），
∵f（0）＝2sinφ＝1，∴sinφ，∵|φ|，∴φ，f（x）＝2sin（ωx），
結(jié)合圖象及五點(diǎn)作圖法可知，ω2π，
∴ω＝2，f（x）＝2sin（2x），其對(duì)稱軸x，k∈Z，
∵f（a+x）﹣f（a﹣x）＝0成立，
∴f（a+x）＝f（a﹣x）即f（x）的圖象關(guān)于x＝a對(duì)稱，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，滿足條件的最小值a
3．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由在上單調(diào)遞減，
得，
即，
令，則，
當(dāng)時(shí)， ，則，
所以，即，
所以在是單調(diào)遞減函數(shù)，，
得，的最小值為.
故選：D.
類型二 轉(zhuǎn)化為型的最值問題
【例2】（2020·北京人大附中高考模擬）已知函數(shù)的一條對(duì)稱軸為，，且函數(shù)在上具有單調(diào)性，則的最小值為
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題，=，為輔助角，
因?yàn)閷?duì)稱軸為，所以
即 解得 ，所以
又因?yàn)樵谏暇哂袉握{(diào)性，且，
所以兩點(diǎn)必須關(guān)于正弦函數(shù)的對(duì)稱中心對(duì)稱，
即
所以 ，當(dāng)時(shí)，取最小為，故選A
【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)綜合知識(shí)，包含圖像與性質(zhì)，輔助角公式化簡(jiǎn)等，熟悉性質(zhì)圖像是解題的關(guān)鍵.
【舉一反三】
1、（2020·江西高考模擬）已知的最大值為，若存在實(shí)數(shù)、，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)總有成立，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依題意
，
，，，
的最小值為，故選C．
2．（2020·河北高考模擬）若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小值是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵ ，
函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位可得 ，所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性，可得此函數(shù)在y軸處取得函數(shù)的最值，即，
解得=，，
所以，，且，令 時(shí)，的最小值為 .故選D．
3．已知銳角三角形的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.且， 則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依題意，由正弦定理得，所以，，由于三角形是銳角三角形，所以.
由.所以
，由于，所以，
所以.
故選：C
4.（2020·河北高考模擬）將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖像，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則正數(shù)的最大值為
A．B．1C．D．
【答案】A
【解析】依題意，，向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到.故，下面求函數(shù)的減區(qū)間：由，由于故上式可化為，由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，解得，所以當(dāng)時(shí)，為正數(shù)的最大值.故選A.
類型三 轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)型的最值問題
【例3】函數(shù)的最大值為（ ）
A．B．C．D．3
【來(lái)源】安徽省淮北市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?br>令，則
則
令，得或
當(dāng)時(shí)，；時(shí)
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，所以
故選：B
【舉一反三】
1．（2020·湖南高考模擬）已知，則的值域?yàn)椋? ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)?，所以，由，?，所以.故選：B
2．（2020·江西高考模擬（理））函數(shù)的值域?yàn)開________．
【答案】
【解析】由題意，可得，
令，，即，
則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，
又，，，故函數(shù)的值域?yàn)椋海?br>3、函數(shù)，關(guān)于的為等式對(duì)所有都成立，則實(shí)數(shù)的范圍為__________．
【答案】
4、求函數(shù)的值域.
【解析】
[令sinx+csx=t,則,其中
所以 ,故值域?yàn)?
類型四 轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)函數(shù)型的最值問題
【例4】（2020·黑龍江高考模擬）已知，在這兩個(gè)實(shí)數(shù)之間插入三個(gè)實(shí)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，那么這個(gè)等差數(shù)列后三項(xiàng)和的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)中間三項(xiàng)為，則，所以， ，
所以后三項(xiàng)的和為，又因?yàn)?，所以可令，所以，故選
【舉一反三】設(shè)點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在直線上，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．2
【來(lái)源】浙江省寧波市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題
【答案】D
【解析】設(shè)，，
則有
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最小值，即，此時(shí)，，
的最小值是，故選：D.
三．強(qiáng)化訓(xùn)練
1．（2020·四川高考模擬）若函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于軸對(duì)稱，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為
A．B．C．1D．
【答案】A
【解析】函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，
圖象所對(duì)應(yīng)解析式為：，
由關(guān)于軸對(duì)稱，則，
可得，，又，所以，
即，
當(dāng)時(shí)，所以，，故選A．
2．（2020·陜西高考模擬）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，在向上平移一個(gè)單位，得到g（x）的圖象．若g（x1）g（x2）＝4，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，則x1﹣2x2的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】將函數(shù)的圖象向右平移 個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位，
得到g（x）＝sin（2x﹣+）+1＝﹣cs2x+1 的圖象，
故g（x）的最大值為2，最小值為0，
若g（）g（）＝4，則g（）＝g（）＝2，或g（）＝g（）＝﹣2（舍去）．
故有 g（）＝g（）＝2，即 cs2＝cs2＝﹣1，
又，x2∈[﹣2π，2π]，∴2，2∈[﹣4π，4π]，要使﹣2取得最大值，
則應(yīng)有 2＝3π，2＝﹣3π，
故 ﹣2取得最大值為+3π＝． 故選A．
3．（2020·甘肅高考模擬）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位后，所得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【詳解】由題意得，，令，可得函數(shù)的圖象對(duì)稱軸方程為，取是軸右側(cè)且距離軸最近的對(duì)稱軸，因?yàn)閷⒑瘮?shù)的圖象向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位后得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，的最小值為，故選B．
4．（2020·山東高考模擬）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象,若對(duì)任意的均有成立,則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,所以得到函數(shù)，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象,所以，對(duì)任意的均有成立，
所以在時(shí)，取得最大值，所以有
而，所以的最小值為.
5．（2020·云南高考模擬）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)在區(qū)間上無(wú)極值點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，
可得函數(shù)，
令，解得
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
令，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
又由函數(shù)在區(qū)間上無(wú)極值點(diǎn)，則的最大值為，故選A.
6．（2020·四川華鎣一中高考模擬）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，若在上為增函數(shù)，則的最大值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】由三角函數(shù)的性質(zhì)可得：
，
其圖象向左平移個(gè)單位所得函數(shù)的解析式為：，
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足：，
即，
令可得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為：，
在上為增函數(shù)，則：，據(jù)此可得：，
則的最大值為2.本題選擇B選項(xiàng).
7．（2020·天津高考模擬）已知同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①；②是奇函數(shù)；③.若在上沒有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，可得
因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以是奇函數(shù)，即
又因?yàn)?，?
所以是奇數(shù)，取k=1，此時(shí)
所以函數(shù)
因?yàn)樵谏蠜]有最小值，此時(shí)
所以此時(shí) ，解得.故選D.
8．已知函數(shù)，的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【來(lái)源】江西省上饒市（天佑中學(xué)、余干中學(xué)等）六校2021屆高三下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題
【答案】C
【解析】且，由題意可知，對(duì)任意的，，即，即，
，則，，，可得.
當(dāng)時(shí)，成立；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，此時(shí).
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：C.
9．（2020·廣東高考模擬）已知函數(shù).若函數(shù) 在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn) ， 則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】 ，
,
函數(shù) 在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)
(1) ，則 ，
則 ，取 ， ；
（2），則 ，
解得： ，取 ， ；
綜上可知： 的取值范圍是，選.
10．在中，，邊上的高為1，則面積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)BC邊上的高為AD，則AD=1，，如圖所示：
所以,
所以，
所以，
設(shè)，因?yàn)?，則，
所以
=
=，
因?yàn)?，所以?br>所以，則，
所以，
所以面積的最小值為.
故選：B
11．已知實(shí)數(shù)，不等式對(duì)任意恒成立，則的最大值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【解析】令，原不等式整理得：
，
即，
∴，即，
兩邊除以得：，
所以
，
因?yàn)椋?，故為增函?shù).
又，因此在上遞減，上遞增，
又，，且，
故.
則.
故選：B.
12．設(shè)函數(shù)的最大值為，其圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則下列判斷正確的是（ ）
A．函數(shù)在上單調(diào)遞增
B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為
D．要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象向右平移個(gè)單位
【答案】D
【解析】由題意可得，函數(shù)的最小正周期為，，所以，，
由于函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，
可得，，，，所以.
對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)，，
所以，函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，，
所以，要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象向右平移個(gè)單位，D選項(xiàng)正確.
故選：D.
13．設(shè)函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ），，，若存在實(shí)數(shù)φ，使得集合A∩B中恰好有7個(gè)元素，則ω（ω＞0）的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵f′（x0）＝0，∴f（x0）是f（x）的最大值或最小值，又f（x）＝sin（ωx+φ）的最大值或最小值在直線y＝±1上，
∴y＝±1代入得，，解得﹣4≤x≤4，
又存在實(shí)數(shù)φ，使得集合A∩B中恰好有7個(gè)元素，∴ ，且ω＞0，
解得 ，∴ω的取值范圍是．
故選：B．
14．在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量，，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若存在正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A．B．2C．D．4
【來(lái)源】2021年全國(guó)高中名校名師原創(chuàng)預(yù)測(cè)卷 理科數(shù)學(xué) 全國(guó)卷Ⅰ（第三模擬）
【答案】A
【解析】解法一 設(shè)，又，所以，且，．
由，得，即，
得．即
由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，又為正實(shí)數(shù)，
解得，所以的最小值為．
解法二 設(shè)點(diǎn)，又點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由，得，
，即．
因?yàn)?，所以，又為正?shí)數(shù)，解得，所以的最小值為．
15．水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，亦稱“水轉(zhuǎn)筒車”，是一種以水流作動(dòng)力，取水灌田的工具.據(jù)史料記載，水車發(fā)明于隨而盛于唐，距今已有1000多年的歷史是人類的一項(xiàng)古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖是一個(gè)半徑為的水車，一個(gè)水斗從點(diǎn)出發(fā)，沿圓周按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒.經(jīng)過秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其縱坐標(biāo)滿足，則下列敘述正確的是（ ）
A．
B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增
C．當(dāng)，的最大值為
D．當(dāng)時(shí)，
【答案】D
【解析】由題意，，，所以；
又點(diǎn)代入可得，解得；
又，所以．故不正確；
所以，當(dāng)，時(shí)，，，所以函數(shù)先增后減，錯(cuò)誤；
，時(shí)，點(diǎn)到軸的距離的最大值為6，錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，的縱坐標(biāo)為，橫坐標(biāo)為，所以，正確．
故選：．
16．已知銳角中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若的面積，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】利用正弦定理可知
，又為銳角三角形，
由銳角可知，
，，
利用正弦函數(shù)性質(zhì)知，即的取值范圍是
故選：B
17．函數(shù)在上的最小值為（ ）
A．-1B．C．D．1
【來(lái)源】天一大聯(lián)考2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期高中畢業(yè)班階段性測(cè)試（三）理科數(shù)學(xué)
【答案】C
【解析】
,
因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，取得最小值.
故選：C
18．在中，，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】有正弦定理得，所以，所以
.
其中，
由于，所以，
故當(dāng)時(shí)，的最大值為.
故選：B
19．向量，，則的最大值為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】由向量的坐標(biāo)運(yùn)算得，所以，
由三角函數(shù)的性質(zhì)得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
所以.故選：B.
20．已知函數(shù)的最小正周期為，若在上的最大值為M，則M的最小值為________.
【來(lái)源】湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期月考（七）數(shù)學(xué)試題
【答案】
【解析】由于函數(shù)的最小正周期為，則，.
不妨取，則.
若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則，
若函數(shù)在區(qū)間上先增后減，則；
若函數(shù)在區(qū)間上先減后增，同理可知的最小值為.
，綜上可知，的最小值為.
21．已知函數(shù)，若對(duì)于任意，均有，則的最大值是___________.
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
令，則
∴當(dāng)時(shí)，有；有；
由有，有，故；
當(dāng)時(shí)，有；有；
由有，有，故，即；
當(dāng)時(shí)，，
∴：在上遞減，上遞減，上遞增；
：在上遞減，上遞增；
：在上遞減，上遞增，上遞增；
∴綜上，在上先減后增，則，可得
∴恒成立，即的最大值是-1.
故答案為：.
22．在中，角的對(duì)邊分別為，，，若有最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
【答案】
【解析】由于，所以，
由正弦定理得，
所以，，
所以
.
當(dāng)，即時(shí)，，沒有最大值，所以，
則，其中，
要使有最大值，則要能取，由于，
所以，所以，即，解得.
所以的取值范圍是.
故答案為：
23．若函數(shù)的定義域存在，使成立，則稱該函數(shù)為“互補(bǔ)函數(shù)”.若函數(shù)在上為“互補(bǔ)函數(shù)”，則的取值范圍為___________.
【來(lái)源】重組卷01-沖刺2021年高考數(shù)學(xué)（理）之精選真題 模擬重組卷（新課標(biāo)卷）
【答案】
【解析】，
由“互補(bǔ)函數(shù)”的定義得：存在，，
所以令，則函數(shù)在區(qū)間上存在至少兩個(gè)極大值點(diǎn)，
則，得.
當(dāng)時(shí)，即，顯然符合題意；
當(dāng)時(shí)，分以下兩種情況討論，
當(dāng)，即時(shí)，，即，所以；
當(dāng)，即時(shí)，，即，所以.
綜上，的取值范圍為.
24．（2020·陜西高考模擬）若向量,,則的最大值為 .
【答案】3
【解析】根據(jù)題意，由于向量,,則可知=，那么化為單一函數(shù)可知，可知最大值為3，故填寫3.
24．（2020·浙江高考模擬）定義式子運(yùn)算為將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為
【答案】
【解析】由題意可知f（x）=csx-sinx=2cs（x+）
將函數(shù)f（x）的圖象向左平移n（n＞0）個(gè)單位后得到y(tǒng)=2cs（x+n+）為偶函數(shù)
∴2cs（-x+n+）=2cs（x+n+）
∴csxcs（n+）+sinxsin（n+）=csxcs（n+）-sinxsin（n+）
∴sinxsin（n+）=-sinxsin（n+）
∴sinxsin（n+）=0∴sin（n+）=0∴n+=kπ
∴n=-+kπ，n大于0的最小值等于
25．（2020·安徽高考模擬）已知函數(shù)，其中，，為的零點(diǎn)：且恒成立，在區(qū)間上有最小值無(wú)最大值，則的最大值是
【答案】15
【解析】由題意知函數(shù) 為y＝f（x）圖象的對(duì)稱軸，為f（x）的零點(diǎn)，∴?，n∈Z，∴ω＝2n+1．
f（x）在區(qū)間上有最小值無(wú)最大值，∴周期T≥（），即，∴ω≤16．
∴要求的最大值，結(jié)合選項(xiàng)，先檢驗(yàn)ω＝15，
當(dāng)ω＝15時(shí)，由題意可得15+φ＝kπ，φ，函數(shù)為y＝f（x）＝sin（15x），
在區(qū)間上，15x∈（，），此時(shí)f（x）在時(shí)取得最小值，∴ω=15滿足題意．則ω的最大值為15，
26．（2020·浙江高考模擬）已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小正值為
【答案】
【解析】由，則，所以f(x)的最小正周期T=
因?yàn)?，則，這f(x)的最小正周期T=,所以=，所以實(shí)數(shù)a的最小正值是
27．（2020·橫峰中學(xué)高考模擬）已知的三邊分別為，，，所對(duì)的角分別為，，，且滿足，且的外接圓的面積為，則的最大值的取值范圍為__________．
【答案】
【解析】由的三邊分別為，，可得：
，，
可知：，
，，，
，
，，，可知
，可知當(dāng)時(shí)，，
則的最大值的取值范圍為
28．（2020·江蘇揚(yáng)州中學(xué)高考模擬）已知的面積為,且滿足，則邊的最小值為_______.
【答案】
【解析】∵，∴，∴4csAsinB+3csBsinA＝sinAsinB，
∴3csAsinB+3csBsinA＝sinAsinB﹣csAsinB，
即3sin（A+B）＝sinB（sinA﹣csA），即3sinC＝sinB（sinA﹣csA），
∴3c＝b（sinA﹣csA），即c，∵△ABC的面積S＝bcsinA＝
＝（sin2A﹣csAsinA）＝（1﹣sin2A﹣cs2A）＝，
∴b2＝，∵3c＝b（sinA﹣csA）＞0，且0＜A＜π，
∴，∴當(dāng)即A＝時(shí)，b2取得最小值＝12，
∴b的最小值為，即AC最小值為．
29．（2020·安徽高考模擬）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊長(zhǎng)成等比數(shù)列，，延長(zhǎng)至，若，則面積的最大值為__________.
【答案】
【解析】 ，
，① 又成等比數(shù)列，，
由正弦定理可得，②
①-②得，
，解得，
由，得，
，為正三角形，
設(shè)正三角形邊長(zhǎng)為，則，
，時(shí)等號(hào)成立．
即面積的最大值為，故答案為.

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