題型26   有關(guān)三角形中的范圍問(wèn)題【方法點(diǎn)撥】1.正弦平方差公式sin2?－sin2?＝sin(?－?? sin(?＋???2.化邊、化角、作高三個(gè)方向如何選擇是難點(diǎn)，但一般來(lái)說(shuō)，涉及兩內(nèi)角正切間的等量關(guān)系時(shí)作高更簡(jiǎn)單些. 【典型題示例】例1   在銳角中，，則的取值范圍為______________.【答案】【解析】∵，利用正弦定理可得：，由正弦平方差公式得，即，易知，故又為銳角三角形，∴，即，∴，∴，∵又，∴，令，則，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)知，在上單調(diào)遞增，又，，∴.例2   若的內(nèi)角滿(mǎn)足，則的最小值是            ．【答案】【分析】將已知和所求都“化邊”，然后使用基本不等式即可.所求的最值可想到余弦定理用邊進(jìn)行表示，，考慮角化邊得到：，進(jìn)而消去計(jì)算表達(dá)式的最值即可.（公眾號(hào)：鉆研數(shù)學(xué)）【解析】　∵sin A＋sin B＝2sin C.由正弦定理可得a＋b＝2c，即c＝，cos C＝＝＝≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)3a2＝2b2即＝時(shí)等號(hào)成立.∴cos C的最小值為.例3  在銳角三角形 ABC 中，已知 2sin2 A+ sin2B = 2sin2C，則的最小值為　　　　．【答案】【解析一】（作高線，化斜為直，角化邊）由正弦定理，得：，如圖，作BD⊥AC于D，設(shè)AD＝x，CD＝y，BD＝h，因?yàn)?/span>，所以，，化簡(jiǎn)，得：，解得：x＝3y，，，＝＝＝＝.【解析二】（邊化角）由正弦定理，得：，即，由余弦定理得：，即，由正弦定理，得：，即，化簡(jiǎn)得，以主元，化簡(jiǎn)得.例4  在中，角所對(duì)的邊分別為，若，則的面積的最大值為              ．【答案】【解析一】（余弦定理+二次函數(shù)）看到式子的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想余弦定理得：所以當(dāng)時(shí)，，的面積的最大值為．【解析二】（三角形中線長(zhǎng)定理+基本不等式）設(shè)BC邊上的中線為AM，則∵    ∴代人得：，即根據(jù)基本不等式得：又因?yàn)槿切我贿吷系闹芯€不小于該邊上的高所以所以，，當(dāng)且僅當(dāng)中線等于高，即中線垂直于底邊時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)的面積的最大值為．【解法三】（隱圓）以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)A，B，C(x，y)，則由a2＋b2＋2c2＝8，得2＋y2＋2＋y2＋2c2＝8，即x2＋y2＝4－c2，所以點(diǎn)C在以原點(diǎn)(0,0)為圓心，為半徑的圓上，所以S≤＝≤.
【鞏固訓(xùn)練】1. （多選題）在中，角的對(duì)邊分別為，若，則角可為（    ）A． B． C． D．2.在△ABC中，若，則cosB的最小值是       .3. 已知中， ，則的最大值是  (    )A．       B．      C．       D．4.若的內(nèi)角滿(mǎn)足，則角的最大值是      .5.已知在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則的取值范圍是（   ）A.  B.  C.    D.6.在銳角中，角的對(duì)邊分別是，，當(dāng)則變化時(shí)，存在最大值，則正數(shù)的取值范圍為______________.A.                                     B.                C.                                  D. 7. 在中，設(shè)角的對(duì)邊分別是若成等差數(shù)列，則的最小值為________．
【答案與提示】1. 【答案】BC【解析】∵，利用正弦定理可得：，由正弦平方差公式得，即，易知，故∴，即∵，   ∴，∴，故選：BC.2.【答案】【提示】已知可化為，弦化切得∴∴，，∴.3. 【答案】A【提示】化邊、化角、作高三個(gè)方向均可解決.4.【答案】【解析】由可得：， ∵在遞減，∴5. 【答案】C【解析】由得：，即即，而，所以又為銳角三角形，∴，即，∴，∴6. 【答案】A【解析】由，得：根據(jù)正弦定理得：，即又為銳角三角形，∴，即，∴，∴ ，（）∵∴欲使存在最大值，必有∴，故，即.7.【答案】【解析】由題得，所以，所以因?yàn)?/span>所以 故答案為：． 

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