如果一個多面體的各個頂點都在同一個球面上，那么稱這個多面體是球的內(nèi)接多面體，這個球稱為多面體的外接球.有關(guān)多面體外接球的問題，是立體幾何的一個重點，也是高考考查的一個熱點. 考查學(xué)生的空間想象能力以及化歸能力.研究多面體的外接球問題，既要運用多面體的知識，又要運用球的知識，解決這類問題的關(guān)鍵是抓住內(nèi)接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑．并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起到至關(guān)重要的作用.當(dāng)三棱錐有三條棱垂直或棱長相等時，可構(gòu)造長方體或正方體.
與球的外切問題主要是指球外切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時首先要找準(zhǔn)切點，通過作截面來解決.如果外切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作.當(dāng)球與多面體的各個面相切時，注意球心到各面的距離相等即球的半徑，求球的半徑時，可用球心與多面體的各頂點連接，球的半徑為分成的小棱錐的高，用體積來求球的半徑.
二．解題策略
類型一 構(gòu)造法（補形法）
【例1】已知是球上的點， , ， ,則球的表面積等于________________．
【指點迷津】當(dāng)一三棱錐的三側(cè)棱兩兩垂直時，可將三棱錐補成一個長方體，將問題轉(zhuǎn)化為長方體（正方體）來解.長方體的外接球即為該三棱錐的外接球.
【例2】【遼寧省鞍山一中2019屆高三三?！縿⒒铡毒耪滤阈g(shù)?商功》中將底面為長方形，兩個三角面與底面垂直的四棱錐體叫做陽馬．如圖，是一個陽馬的三視圖，則其外接球的體積為（ ）
A．B．C．D．
【指點迷津】當(dāng)一四面體或三棱錐的棱長相等時，可以構(gòu)造正方體，在正方體中構(gòu)造三棱錐或四面體，利用三棱錐或四面體與正方體的外接球相同來解即可.
【舉一反三】
1、【山東省濟寧市2019屆高三一?！恳阎比庵牡酌鏋橹苯侨切?，且兩直角邊長分別為1和，此三棱柱的高為，則該三棱柱的外接球的體積為
A．B．C．D．
2、【遼寧省師范大學(xué)附屬中學(xué)2019屆高三上學(xué)期期中】在三棱錐中，，則三棱錐外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
3、【河南省天一大聯(lián)考2019屆高三階段性測試（五)】某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個直角邊為2的等腰直角三角形，側(cè)視圖是兩直角邊分別為2和1的直角三角形，俯視圖為一矩形，則該多面體的外接球的表面積為（ ）
A．B．
C．D．
類型二 正棱錐與球的外接
【例3】正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為 （ ）
A． B． C． D．
【指點迷津】求正棱錐外接球的表面積或體積，應(yīng)先求其半徑，在棱錐的高上取一點作為外接球的球心，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求半徑.
【舉一反三】
1、球O的球面上有四點S，A，B，C，其中O，A，B，C四點共面，△ABC是邊長為2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，則棱錐S-ABC的體積的最大值為( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \r(3) C．2eq \r(3) D．4
2. 【四川省德陽市2018屆高三二診】正四面體ABCD的體積為，則正四面體ABCD的外接球的體積為______．
3、【安徽省蚌埠市2019屆高三下學(xué)期第二次檢查】正三棱錐中，，點在棱上，且.正三棱錐的外接球為球，過點作球的截面，截球所得截面面積的最小值為__________．
類型三 直棱柱的外接球
【例4】直三棱柱的各頂點都在同一球面上，若,，
則此球的表面積等于 .
【指點迷津】直棱柱的外接球的球心在上、下底面的外接圓的圓心的連線上，確定球心，用球心、一底面的外接圓的圓心，一頂點構(gòu)成一個直角三角形，用勾股定理得關(guān)于外接球半徑的關(guān)系式，可球的半徑.
【舉一反三】
1、【云南省2019年高三第二次統(tǒng)一檢測】已知直三棱柱的頂點都在球的球面上，，，若球的表面積為，則這個直三棱柱的體積是（ ）
A．16B．15
C．D．
2、已知三棱柱的6個頂點都在球的球面上,若,,,則球的半徑為（ ）
A．B．C．D．
3、 正四棱柱的各頂點都在半徑為的球面上，則正四棱柱的側(cè)面積有最 值，為 .
三．強化訓(xùn)練
一、選擇題
1、《九章算木》中將底面為長方形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”，現(xiàn)有一陽馬，其正視圖和側(cè)視圖是如圖所示的直角三角形，該“陽馬”的體積為，若該陽馬的頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
2．【河南省鄭州市第一中學(xué)2019屆高三上期中】在三棱錐中，平面，M是線段上一動點，線段長度最小值為，則三棱錐的外接球的表面積是（ ）
A．B．C．D．
3．【廣東省深圳市2019屆高三第一次（2月)調(diào)研】已知A，B，C為球O的球面上的三個定點，，，P為球O的球面上的動點，記三棱錐p一ABC的體積為，三棱銋O一ABC的體積為，若的最大值為3，則球O的表面積為
A．B．C．D．
4．【江西省南昌市南昌外國語學(xué)校2019屆高三高考適應(yīng)】在三棱錐S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，則該球的表面積是（ ）
A．B．C．D．
5．【四川省瀘州市瀘縣第一中學(xué)2019屆高三三診】點，，，在同一個球面上，，，若球的表面積為，則四面體體積的最大值為
A．B．C．D．
6．三棱錐P—ABC中，底面ABC滿足BA=BC， ，點P在底面ABC的射影為AC的中點，且該三棱錐的體積為，當(dāng)其外接球的表面積最小時，P到底面ABC的距離為（ ）
A．3B．C．D．
7．【四川省成都外國語學(xué)校2019屆高三上學(xué)期第一次月考】已知正方形ABCD的邊長為4，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，沿AE，EF，AF折成一個三棱錐P-AEF（使B，C，D重合于P），三棱錐P-AEF的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
8．【2019屆高三第二次全國大聯(lián)考】中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學(xué)成就，書中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．如圖為一個陽馬與一個鱉臑的組合體，已知平面，四邊形為正方形，，，若鱉臑的外接球的體積為，則陽馬的外接球的表面積等于
A．B．C．D．
二、填空題
9．【江西省吉安一中、九江一中、新余一中等八所重點中學(xué)2019屆高三4月聯(lián)考】已知在三棱錐中， ，則三棱錐外接球的表面積為__________．
10．【四川省瀘州市2019屆高三上學(xué)期一診】已知三棱錐的所有頂點都在同一球面上，底面是正三角形且和球心O在同一平面內(nèi)，若此三棱錐的最大體積為，則球O的表面積等于_____．
11．【湖南省2019屆高三六校(長沙一中、常德一中等)聯(lián)考】已知四棱錐的三視圖如圖所示，若該四棱錐的各個頂點都在球的球面上，則球的表面積等于_________.
12．【陜西省榆林市2019屆三?！咳鐖D，是邊長為2的正方形，其對角線與交于點，將正方形沿對角線折疊，使點所對應(yīng)點為，.設(shè)三棱錐的外接球的體積為，三棱錐的體積為，則__________．
13．【云南省2019屆高三第一次檢測】已知，，，，是球的球面上的五個點，四邊形為梯形，，，，，,平面平面，則球的表面積為_____.
14．【陜西省漢中市2019屆高三第二次檢測】三棱錐中，側(cè)棱與底面垂直，，，且，則三棱錐的外接球的表面積等于__________．
15．【山西省呂梁市2019年4月模擬】在四棱錐中，是等邊三角形，底面是矩形，平面平面，若，則四棱錐的外接球的表面積是_____．
16．【廣西桂林市2019屆高三4月綜合能力檢測（一模)】已知是球表面上四點，點為的中點，且，，，，則球的表面積是__________．
17.【寧夏六盤山高級中學(xué)2019屆高三下學(xué)期一模】在三棱錐中，是等邊三角形，底面， ，，則該三棱錐的外接球的表面積為______．

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