高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修第二冊(cè)5.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用精品精練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、選擇題
1．已知函數(shù)f (x)＝xln x，則f (x)( )
A．在(0，＋∞)上遞增 B．在(0，＋∞)上遞減
C．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e)))上遞增D．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e)))上遞減
D [函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞)，求導(dǎo)函數(shù)，可得f ′(x)＝1＋ln x，
令f ′(x)＝1＋ln x＝0，可得x＝eq \f(1,e)，∴0＜x＜eq \f(1,e)時(shí)，f ′(x)＜0；x＞eq \f(1,e)時(shí)，f ′(x)＞0.
∴在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e)))上遞減，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，＋∞))上遞增．故選D.]
2．在R上可導(dǎo)的函數(shù)f (x)的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式x·f ′(x)＞0的解集為( )
A．(－∞，－1)∪(0，1)B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－2，－1)∪(1，2)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
B [當(dāng)x＞0時(shí)，x·f ′(x)＞0?f ′(x)＞0?函數(shù)單調(diào)遞增；根據(jù)圖形知，x＞1或x＜－1?x＞1；當(dāng)x＝0時(shí)，不成立；當(dāng)x＜0時(shí)，x·f ′(x)＞0?f ′(x)＜0?函數(shù)單調(diào)遞減；根據(jù)圖形知，－1＜x＜1?－1＜x＜0.綜上所述：x∈(－1，0)∪(1，＋∞)，故選B.]
3．已知函數(shù)f (x)＝2x－ln|x|，則f (x)的大致圖象為( )
A B C D
A [當(dāng)x＜0時(shí)，f (x)＝2x－ln(－x)，f ′(x)＝2－eq \f(1,－x)·(－1)＝2－eq \f(1,x)＞0，所以f (x)在(－∞，0)單調(diào)遞增，則B、D錯(cuò)誤；
當(dāng)x＞0時(shí)，f (x)＝2x－ln x，f ′(x)＝2－eq \f(1,x)＝eq \f(2x－1,x)，則f (x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))單調(diào)遞減，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))單調(diào)遞增，所以A正確，故選A.]
4．函數(shù)f (x)＝x3＋kx2－7x在區(qū)間[－1，1]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )
A．(－∞，－2]B．[－2，2]
C．[－2，＋∞)D．[2，＋∞)
B [∵f (x)＝x3＋kx2－7x，∴f ′(x)＝3x2＋2kx－7，由題意可知，不等式f ′(x)≤0對(duì)于任意的x∈[－1，1]恒成立，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f′?－1?＝－2k－4≤0，,f′?1?＝2k－4≤0，))解得－2≤k≤2.因此，實(shí)數(shù)k的取值范圍是[－2，2]．故選B.]
5．函數(shù)f (x)的定義域?yàn)镽，f (－1)＝2，對(duì)任意x∈R，f ′(x)＞2，則f (x)＞2x＋4的解集為( )
A．(－1，1)B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)
B [依題意可設(shè)g(x)＝f (x)－2x－4，所以g′(x)＝f ′(x)－2＞0.
所以函數(shù)y＝g(x)在R上單調(diào)遞增，又因?yàn)間(－1)＝f (－1)＋2－4＝0.
所以要使g(x)＝f (x)－2x－4＞0，即g(x)＞g(－1)，只需要x＞－1，故選B.]
二、填空題
6．函數(shù)f (x)＝2x3－9x2＋12x＋1的單調(diào)減區(qū)間是________．
(1，2) [f ′(x)＝6x2－18x＋12，令f ′(x)＜0，即6x2－18x＋12＜0，解得1＜x＜2.]
7．已知函數(shù)f (x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是單調(diào)遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
[－eq \r(3)，eq \r(3)] [f ′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒為0，Δ＝4a2－12≤0?－eq \r(3)≤a≤eq \r(3).即a的取值范圍是[－eq \r(3)，eq \r(3)]．]
8．若函數(shù)f (x)＝2x2－ln x在定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間(k－1，k＋1)上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))) [因?yàn)閒 (x)定義域?yàn)?0，＋∞)，又f ′(x)＝4x－eq \f(1,x)，由f ′(x)＝0，得x＝eq \f(1,2).當(dāng)x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))時(shí)，f ′(x)＜0；當(dāng)x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))時(shí)f ′(x)＞0.據(jù)題意，k－1＜eq \f(1,2)＜k＋1，k－1≥0，解得1≤k＜eq \f(3,2).]
三、解答題
9．已知函數(shù)f (x)＝aln x－bx2，a，b∈R，函數(shù)f (x)在x＝1處與直線y＝－eq \f(1,2)相切．
(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；
(2)判斷函數(shù)f (x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，e))上的單調(diào)性．
[解] (1)f ′(x)＝eq \f(a,x)－2bx，由題意eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f′?1?＝a－2b＝0,f?1?＝－b＝－\f(1,2)))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝\f(1,2).))
(2)由(1)知f (x)＝ln x－eq \f(1,2)x2，f ′(x)＝eq \f(1,x)－x＝－eq \f(?x－1??x＋1?,x)，
∴當(dāng)x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))時(shí)，f ′(x)≥0，f (x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f ′(x)≤0，f (x)單調(diào)遞減，
∴函數(shù)f (x)的增區(qū)間是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))，減區(qū)間是[1，e]．
10．已知二次函數(shù)h(x)＝ax2＋bx＋2，其導(dǎo)函數(shù)y＝h′(x)的圖象如圖所示，f (x)＝6ln x＋h(x)．
(1)求函數(shù)f (x)的解析式；
(2)若函數(shù)f (x)在區(qū)間(1，m＋eq \f(1,2))上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
[解] (1)由已知，h′(x)＝2ax＋b，
其圖象為直線，且過(guò)(0，－8)，(4，0)兩點(diǎn)，把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入h′(x)＝2ax＋b，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(8a＋b＝0，,b＝－8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－8，))∴h(x)＝x2－8x＋2，h′(x)＝2x－8，
∴f (x)＝6ln x＋x2－8x＋2.
(2)∵f ′(x)＝eq \f(6,x)＋2x－8＝eq \f(2(x－1)(x－3),x)(x＞0)．
∴當(dāng)x變化時(shí)，f ′(x)，f (x)的變化情況如下表：
∴f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)和(3，＋∞)，f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1，3)．
要使函數(shù)f (x)在區(qū)間eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，m＋\f(1,2)))上是單調(diào)函數(shù)，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＜m＋\f(1,2)，,m＋\f(1,2)≤3，))解得eq \f(1,2)＜m≤eq \f(5,2).
即實(shí)數(shù)m的取值范圍為eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(5,2))).
11．(多選題)若函數(shù)y＝exf (x)(e＝2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在f (x)的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)f (x)具有M性質(zhì)，下列函數(shù)中所具有M性質(zhì)的函數(shù)的選項(xiàng)為( )
A．f (x)＝2－xB．f (x)＝3－x
C．f (x)＝x3D．f (x)＝x2＋2
AD [A中，exf (x)＝ex·2－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(e,2)))eq \s\up10(x)在R上單調(diào)遞增，故f (x)＝2－x具有M性質(zhì)；
B中，exf (x)＝ex·3－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(e,3)))eq \s\up10(x)在R上單調(diào)遞減，故f (x)＝3－x不具有M性質(zhì)；
C中，exf (x)＝ex·x3，令g(x)＝ex·x3，則g′(x)＝ex·x3＋ex·3x2＝x2ex(x＋3)，∴當(dāng)x＞－3時(shí)，g′(x)＞0，當(dāng)x＜－3時(shí)，g′(x)＜0，∴exf (x)＝ex·x3在(－∞，－3)上單調(diào)遞減，在(－3，＋∞)上單調(diào)遞增，故f (x)＝x3不具有M性質(zhì)；
D中，exf (x)＝ex(x2＋2)，令g(x)＝ex(x2＋2)，則
g′(x)＝ex(x2＋2)＋ex·2x＝ex[(x＋1)2＋1]＞0，∴exf (x)＝ex(x2＋2)在R上單調(diào)遞增，故f (x)＝x2＋2具有M性質(zhì)．]
12．(多選題)下列命題為真命題的是( )
A．eq \f(2ln 3,3)＞ln 2 B．eq \f(5,4)ln 2＜lneq \f(5,2)
C．ln 2＜eq \f(2,e)D．2eq \r(5)＞5
ABC [構(gòu)造函數(shù)f (x)＝eq \f(ln x,x)，導(dǎo)數(shù)為f ′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)，
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f ′(x)＞0，f (x)遞增；當(dāng)x＞e時(shí)，f ′(x)＜0，f (x)遞減．
因?yàn)?2＞23，因?yàn)閥＝ln x在定義域上單調(diào)遞增，所以ln 32＞ln 23，所以2ln 3＞3ln 2，所以eq \f(2ln 3,3)＞ln 2，故A正確；∵e＞eq \f(5,2)＞2，∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))＞f (2)，∴eq \f(ln\f(5,2),\f(5,2))＞eq \f(ln 2,2)，lneq \f(5,2)＞eq \f(5,4)ln 2，故B正確；
∵f (2)＜f (e)＝eq \f(1,e)，∴eq \f(ln 2,2)＜eq \f(1,e)，即ln 2＜eq \f(2,e)，故C正確；
∵e＞eq \r(5)＞2，∴f (eq \r(5))＞f (2)，∴eq \f(ln\r(5),\r(5))＞eq \f(ln 2,2)，∴2lneq \r(5)＞eq \r(5)ln 2，
∴l(xiāng)n(eq \r(5))2＞ln(2)eq \r(5)，∴5＞2eq \r(5)，故D錯(cuò)誤．
故選ABC.]
13．(一題兩空)已知函數(shù)f (x)＝eq \f(2,x)＋aln x＋x，且曲線y＝f (x)在點(diǎn)P(1，f (1))處的切線與直線y＝－2x＋2平行，則a＝________，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是________．
－1 (2，＋∞) [∵f (x)＝eq \f(2,x)＋aln x＋x，定義域?yàn)?0，＋∞)，
f ′(x)＝－eq \f(2,x2)＋eq \f(a,x)＋1＝eq \f(x2＋ax－2,x2)，由題知f ′(1)＝a－1＝－2，解得a＝－1，
這時(shí)f ′(x)＝eq \f(x2－x－2,x2)，則f ′(x)＝0，得x1＝2或x2＝－1(舍)，
令f ′(x)＞0，即x2－x－2＞0且x＞0，得x＞2，
所以函數(shù)y＝f (x)的遞增區(qū)間為(2，＋∞)．]
14．若函數(shù)y＝－eq \f(4,3)x3＋bx有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則b的取值范圍是__________．
(0，＋∞) [若函數(shù)y＝－eq \f(4,3)x3＋bx有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則y′＝－4x2＋b＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以b>0.]
15．已知函數(shù)f (x)＝eq \f(1,2)ax2＋2x－ln x(a∈R)．
(1)當(dāng)a＝3時(shí)，求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)f (x)存在單調(diào)增區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
[解] (1)當(dāng)a＝3時(shí)，f (x)＝eq \f(3,2)x2＋2x－ln x，其定義域?yàn)?0，＋∞)．
∴f ′(x)＝3x＋2－eq \f(1,x)＝eq \f(?3x－1??x＋1?,x).令f ′(x)＜0，得0＜x＜eq \f(1,3)，令f ′(x)＞0，得x＞eq \f(1,3)，
∴函數(shù)f (x)的減區(qū)間為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))，增區(qū)間為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞)).
(2)∵f (x)＝eq \f(1,2)ax2＋2x－ln x(a∈R)的定義域?yàn)?0，＋∞)，
∴f ′(x)＝ax＋2－eq \f(1,x)＝eq \f(ax2＋2x－1,x)(a∈R)．
若函數(shù)f (x)存在單調(diào)增區(qū)間，則f ′(x)＞0在區(qū)間(0，＋∞)上有解，即ax2＋2x－1＞0在區(qū)間(0，＋∞)上有解．
分離參數(shù)得a＞eq \f(1－2x,x2)，令g(x)＝eq \f(1－2x,x2)，則依題意，只需a＞g(x)min即可．
∵g(x)＝eq \f(1－2x,x2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－1))eq \s\up10(2)－1，∴g(x)min＝－1，∴a＞－1，
即所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－1，＋∞)．
函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)
(建議用時(shí)：40分鐘)
一、選擇題
1．設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)镽，x0(x0≠0)是f (x)的極大值點(diǎn)，以下結(jié)論一定正確的是( )
A．－x0是－f (－x)的極小值點(diǎn)
B．對(duì)任意x∈R，f (x)≤f (x0)
C．－x0是f (－x)的極小值點(diǎn)
D．x0是－f (x)的極大值點(diǎn)
A [對(duì)于A，函數(shù)－f (－x)與函數(shù)f (x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此－x0是－f (－x)的極小值點(diǎn)；對(duì)于B，極值是一個(gè)局部性概念，因此不能確定在整個(gè)定義域上f (x0)是否最大；對(duì)于C，函數(shù)f (－x)與函數(shù)f (x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，因此－x0是f (－x)的極大值點(diǎn)；對(duì)于D，函數(shù)f (x)與函數(shù)－f (x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，因此x0是－f (x)的極小值點(diǎn)，故D錯(cuò)誤．]
2．已知函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)f ′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f (x)在x＝a處取到極大值，則a的取值范圍是( )
A．(－∞，－1) B．(0，＋∞)
C．(0，1)D．(－1，0)
D [∵f ′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若a

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