絕密★啟用前5.2導(dǎo)數(shù)的運算同步練習(xí)人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊注意：本試卷包含Ⅰ、Ⅱ兩卷。第Ⅰ卷為選擇題，所有答案必須用2B鉛筆涂在答題卡中相應(yīng)的位置。第Ⅱ卷為非選擇題，所有答案必須填在答題卷的相應(yīng)位置。答案寫在試卷上均無效，不予記分。 一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）下列各式正確的是A.  B.
C.   D. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為A.  B.
C.  D. 設(shè)，則的導(dǎo)數(shù)是A.  B.  C.  D. 下列求導(dǎo)運算正確的是A.
B.
C.
D. 函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是    A.  B.
C.  D. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是   A.  B.  C.  D. 若函數(shù)，則  A.  B.  C.  D. 函數(shù)為上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且，在中，，則的形狀為      A. 等腰銳角三角形 B. 直角三角形
C. 等邊三角形 D. 等腰鈍角三角形下列導(dǎo)數(shù)運算正確的是A.  B.
C.  D. 函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為    A.  B.  C.  D. 已知的導(dǎo)函數(shù)為，若且，則    A.  B.  C.  D. 下列求導(dǎo)運算正確的是A.  B.
C.  D. 二、多空題（本大題共6小題，共30.0分）定義方程的實數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點”．
設(shè)，則在上的“新駐點”為      ．
如果函數(shù)與的“新駐點”分別為、，那么和的大小關(guān)系是      ．記分別為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)若存在，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個“點”．以下函數(shù)與存在“點”的是          函數(shù)與；函數(shù)與；函數(shù)與．已知：，若函數(shù)與存在“點”，則實數(shù)的取值范圍為          ．已知函數(shù)，，若直線與函數(shù)，的圖象均相切，則的值為          ；若總存在直線與函數(shù)，圖象均相切，則的取值范圍是          ．設(shè)函數(shù)有兩個不同極值點，，則的取值范圍是          ，若，則的取值范圍是          ．若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在導(dǎo)數(shù)，記的導(dǎo)數(shù)為如果對任意，都有成立，則有如下性質(zhì)：
其中，，，，若，則      ；根據(jù)上述性質(zhì)推斷：當(dāng)且，，時，根據(jù)上述性質(zhì)推斷：的最大值為      ．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)，記的導(dǎo)數(shù)為如果對，都有，則有如下性質(zhì)：，其中，，，，若，則          ；在銳角中，根據(jù)上述性質(zhì)推斷：的最大值為          ．三、解答題（本大題共7小題，共84.0分）已知二次函數(shù)，其圖象過點，且．
求，的值；
設(shè)函數(shù)，求曲線在處的切線方程．






 已知函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)性；若在上恒成立，求整數(shù)的最大值．






 設(shè)函數(shù)，，，其中是的導(dǎo)函數(shù)，令，，，Ⅰ求，，，并猜想；Ⅱ證明：猜想的表達(dá)式成立．






 已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)．求函數(shù)的最大值和最小正周期；若，求的值．






 已知．
作出函數(shù)的圖象；
求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指出單調(diào)性；
求集合使方程有四個不相等的實根．






 已知函數(shù)，求．






 已知函數(shù)有兩個零點，且，求的取值范圍；證明：．







答案和解析1.【答案】
 【解析】【分析】本題考查導(dǎo)數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)題意，逐項計算即可．【解答】解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式有， A錯誤；
，B錯誤；
，C正確；
，D錯誤；
故選C．  2.【答案】
 【解析】【分析】本題考查導(dǎo)數(shù)的運算公式，以及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，屬基礎(chǔ)題目．
運用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則運算即可．【解答】解：對函數(shù)求導(dǎo)，
即令，，求導(dǎo)得
．
故選A．  3.【答案】
 【解析】【分析】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算法則，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
利用導(dǎo)數(shù)的運算法則即可得出．【解答】解：，
．
故選：．  4.【答案】
 【解析】【分析】對每個選項的函數(shù)求導(dǎo)即可．
本題考查了基本初等函數(shù)、積的導(dǎo)數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，本題考查了計算能力，屬于中檔題．【解答】解：，A錯誤；
，B錯誤；
，C正確；
，D錯誤．
故選：．  5.【答案】
 【解析】【分析】本題主要考查了函數(shù)的求導(dǎo)，直接由求導(dǎo)法則計算即可，屬于中檔題．【解答】解：函數(shù)，
．
故選D．  6.【答案】
 【解析】【分析】本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法，考查計算能力．
直接利用求導(dǎo)法則，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可．【解答】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是：．
故選B．
   7.【答案】
 【解析】【分析】本題考查導(dǎo)數(shù)的計算，關(guān)鍵是掌握導(dǎo)數(shù)的計算公式，屬于容易題．
根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令計算即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù) ，則，
則；
故選：．  8.【答案】
 【解析】【分析】本題主要考查三角形形狀的判斷，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則求出函數(shù)和的解析式是解決本題的關(guān)鍵，屬于拔高題．
求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，先求出，然后利用輔助角公式進(jìn)行化簡，求出，的大小即可判斷三角形的形狀．【解答】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，
則，
則，則，
則，
，
，
，即，
則，得，
，即，
則，則，
則，
則，
即是等腰鈍角三角形，
故選：．  9.【答案】
 【解析】【分析】考查基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式．
判斷每個選項函數(shù)的求導(dǎo)是否正確即可．【解答】解：，；
選項B正確．
故選：．  10.【答案】
 【解析】【分析】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計算，屬于基礎(chǔ)題．
直接利用導(dǎo)數(shù)的運算法則計算即可．【解答】解：由題意得，，
故選B．  11.【答案】
 【解析】【分析】本題考查復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，屬于基礎(chǔ)題．利用導(dǎo)數(shù)的公式，求得，代入即可求解．【解答】解：由，可得，又由，可得．故選：．  12.【答案】
 【解析】【分析】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本運算，要求熟練掌握常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，屬基礎(chǔ)題．
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算公式和運算法則進(jìn)行判斷即可． 【解答】解：．，A錯誤．
B.，B錯誤．
C.，C錯誤．
D.，D正確．
故選D．  13.【答案】
 【解析】解：根據(jù)題意，，其導(dǎo)數(shù)，
若，即，則有，
又由，則，
即在上的“新駐點”為，
函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)，
若，即，
函數(shù)的“新駐點”為，則有，
，則，
若，即，
的“新駐點”為，則有，
令，則為單調(diào)增函數(shù)，且，
所以函數(shù)存在唯一零點，且，
即，解得，
則有；
故答案為：，．
根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由“新駐點”的定義可得，變形可得，結(jié)合的范圍分析可的值，即得答案；
根據(jù)題意，求出與的導(dǎo)數(shù)，由“新駐點”的定義可得的值以及，分析范圍，比較即可得答案．
本題考查導(dǎo)數(shù)的計算，是新定義的題型，關(guān)鍵是理解“新駐點”的定義．
 14.【答案】   
 【解析】【分析】
本題考查新定義，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，屬于中檔題．
對于，緊扣定義“滿足且，則稱為函數(shù)與的一個“點””即可得到答案；對于，根據(jù)定義，問題轉(zhuǎn)化為有解，設(shè)，利用研究的單調(diào)性和極值，即可得到答案．
【解答】
解：對于，由且，得
，，兩方程為公共解，故錯誤；
對于，由且，得
，，解得，
所以為函數(shù)與的一個“點”，故正確；
對于，由且，得
，，
所以，無解，故錯誤；
由且，得
，且，
消去得，，
設(shè)，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以，
所以當(dāng)時，與有交點，此時方程有解，滿足題意，
故．  15.【答案】
 【解析】【分析】
本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)中的存在問題、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，屬于中檔題．
空一：設(shè)切點為，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可求出在點處的切線，即直線，代入，即可求解；空二：利用切線方程為：，代入，可得，令，對其求導(dǎo)，可得其單調(diào)性，從而可求出最值，即可求解．
【解答】
解：，，設(shè)切點為，則，
，切點為，，，
把直線代入得，
即，，．
由上面可知切線方程為：，代入，
得，，
，
令，
則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以，在時，取得最小值，
因此，．
即實數(shù)的取值范圍是  16.【答案】
 【解析】【分析】
本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值，屬于難題．
求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合已知條件的得到在區(qū)間上有兩個不等實數(shù)根，求出的范圍；
結(jié)合可得，利益導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解．
【解答】
解：，
由題意得有兩個不同的正根，即方程有兩個不同的正根，
即有兩個不同的正根，
所以
可得的取值范圍為
于是有：，由得，
代入得，
令，，則，，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
，即．
故的取值范圍是
故答案為  17.【答案】
 【解析】解：設(shè)，，則，則，，
有如下性質(zhì)：．
則，
的最大值為，
故答案為：，
構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)，則，由正弦函數(shù)的圖象可知成立，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求得的最大值．
本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
 18.【答案】
 【解析】【分析】
本題考查導(dǎo)數(shù)的運算和新定義，屬于中檔題．
構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)，則，由正弦函數(shù)的圖象可知成立，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求得的最大值．
【解答】
解：設(shè)，，則，則，，
由正弦函數(shù)的圖象可知成立，
有如下性質(zhì)：．
則，
的最大值為，
故答案為；．  19.【答案】解：由題意可得，即為，
又，可得，
解得；
函數(shù)，
導(dǎo)數(shù)，
即曲線在處的切線斜率為，
切點為，
則曲線在處的切線方程為，即．
 【解析】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程．
由題意可得，代入的解析式，求出的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合，解方程可得；
寫出的解析式，求得導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，再由點斜式方程可得切線的方程．
 20.【答案】解：函數(shù)的定義域為．
因為，所以 
當(dāng)時，對恒成立； 
當(dāng)時，由得，得 
綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增； 
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
由得，所以， 
即對恒成立． 
令，則， 
令 ，則，
因為，所以，  所以在上單調(diào)遞增，
因為，， 
所以存在滿足 ，
當(dāng)時，，， 
當(dāng)時，，， 
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 
所以， 
所以，因為，， 
所以的最大值為．
 【解析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，最值，考查了不等式恒成立問題，屬于難題．
Ⅰ求出，對分類討論，令和，求出的取值范圍可得的單調(diào)性．
Ⅱ利用不等式恒成立問題等價轉(zhuǎn)化為對恒成立，
構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及求出最大值，得到整數(shù)的最大值．
 21.【答案】解：Ⅰ因為，所以，則，
所以，，，可猜想．Ⅱ下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，，結(jié)論成立．假設(shè)時結(jié)論成立，即那么，當(dāng)時，，即結(jié)論成立．由可知，結(jié)論對成立．
 【解析】本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生的計算能力，考查猜想與證明，正確理解數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟是關(guān)鍵．Ⅰ利用導(dǎo)數(shù)的運算法則可得，可得，，， 猜想出；
Ⅱ利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟進(jìn)行證明． 
 22.【答案】解：已知函數(shù)，
則，
代入，
可得，
當(dāng)，
即時，，
則的最小正周期．
由，
得，
易知，解得．
故
．
 【解析】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，三角函數(shù)的化簡求值和函數(shù)的圖象與性質(zhì)．
求函數(shù)的最大值和最小正周期，必須先求的導(dǎo)數(shù)，再進(jìn)行化簡，再決定如何求最值和周期． 
根據(jù)，易得，得到，再求的值，可以采用“齊次化切法”．
 23.【答案】解：作的圖象如下，

由圖象可知，
在，上單調(diào)遞減，
在，上單調(diào)遞增；
作與的圖象如下，
，
可知直線與曲線相切，
當(dāng)時，，
，
故，
即，
故直線的斜率，
故集合使方程有四個不相等的實根
 【解析】本題考查了學(xué)生的作圖與應(yīng)用圖象的能力，同時考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于較易題．
借助對稱性作的圖象即可，
由圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
作與的圖象，求導(dǎo)確定當(dāng)時，相切時直線的斜率，從而求集合．
 24.【答案】解：，
．
 【解析】可以求出導(dǎo)函數(shù)，然后即可求出和的值，從而得出答案．
本題考查了基本初等函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，分段函數(shù)的求導(dǎo)方法，已知函數(shù)求值的方法，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
 25.【答案】解：令，，令， ，當(dāng)與相切時，如圖所示：設(shè)切點為，則，
 ，，即切點坐標(biāo)是，把代，解得：，若有兩個零點，即，有個交點，
只需即可，即，的范圍是；由題意知：，，即，，，即，
要證成立，即證成立，即證，由知：即證，即證，
又由知：即證，即證，即證，
令，則，即證，
設(shè)，，
，在上單調(diào)遞減，
，即成立，
故得證．
 【解析】本題考查在研究函數(shù)的零點，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于較難題．
令，，求導(dǎo)后，做出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，結(jié)合切點坐標(biāo)即可求解；
由題意及得，由得，用換元法利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性證明即可求證。
 

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5.2 導(dǎo)數(shù)的運算

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第二冊

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