TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16284" 【題型1 百分位數(shù)的求解】 PAGEREF _Tc16284 \h 3
\l "_Tc12433" 【題型2 樣本的數(shù)字特征的估計】 PAGEREF _Tc12433 \h 4
\l "_Tc11493" 【題型3 總體集中趨勢的估計】 PAGEREF _Tc11493 \h 5
\l "_Tc32129" 【題型4 總體離散程度的估計】 PAGEREF _Tc32129 \h 7
\l "_Tc24919" 【題型5 分層方差問題】 PAGEREF _Tc24919 \h 8
\l "_Tc389" 【題型6 其他統(tǒng)計圖表中反映的集中趨勢與離散程度】 PAGEREF _Tc389 \h 9
1、用樣本估計總體
【知識點1 用樣本估計總體】
1．總體百分位數(shù)的估計
(1)概念
一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個
值，且至少有(100-p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.
(2)求解步驟
可以通過下面的步驟計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)：
第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).
第2步，計算i=n×p%.
第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p
百分位數(shù)為第i項與第(i+1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).
2．頻率分布直方圖的數(shù)字特征
(1)眾數(shù)：眾數(shù)一般用頻率分布表中頻率最高的一組的組中值來表示，即在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖
中，最高小長方形的底邊中點的橫坐標；
(2)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該相等；
(3)平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布表中等于組中值與對應頻率之積的和.
3．總體集中趨勢的估計
在初中的學習中我們已經(jīng)了解到，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等都是刻畫“中心位置”的量，它們從不同角度
刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.具體概念回顧如下：
4．總體離散程度的估計
(1)方差和標準差
假設一組數(shù)據(jù)是，，，，用表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則我們稱為這組數(shù)據(jù)的
方差.有時為了計算方差的方便，我們還把方差寫成的形式.
我們對方差開平方，取它的算數(shù)平方根，稱為這組數(shù)據(jù)的標準差.
(2)總體（樣本）方差和總體標準差
①一般式：如果總體中所有個體的變量值分別為，，，，總體平均數(shù)為，則總體方差=
.
②加權式：如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(kN)個，不妨記為，，，，其中出
現(xiàn)的頻數(shù)為(i=1，2，，k)，則總體方差為=.
總體標準差：S=.
(3)標準差與方差的統(tǒng)計意義
①標準差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度，標準差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標準差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.
②在刻畫數(shù)據(jù)的分散程度上，方差與標準差是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標準差.
③標準差(方差)的取值范圍為[0,+).若樣本數(shù)據(jù)都相等，表明數(shù)據(jù)沒有波動幅度，數(shù)據(jù)沒有離散性，則
標準差為0.反之，標準差為0的樣本，其中的數(shù)據(jù)都相等.
5．頻率分布直方圖中的統(tǒng)計參數(shù)
(1)頻率分布直方圖中的“眾數(shù)”
根據(jù)眾數(shù)的意義可知，在頻率分布直方圖中最高矩形中的某個(些)點的橫坐標為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).一般用
中點近似代替.
(2)頻率分布直方圖中的“中位數(shù)”
根據(jù)中位數(shù)的意義，在樣本中，有50%的個體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個體大于或等于中位數(shù).
因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該相等，由此可估計中位數(shù)的值.
(3)頻率分布直方圖中的“平均數(shù)”
平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”.因為平均數(shù)可以表示為數(shù)據(jù)與它的頻率的乘積之和，所以在頻率分
布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形的面積的乘積之和近似代替.
【方法技巧與總結(jié)】
1．若x1,x2,…,xn的平均數(shù)為，那么的平均數(shù)為.
2．數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn與數(shù)據(jù)的方差相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過平移后方差不變.
3．若x1,x2,…,xn的方差為s2，那么的方差為a2s2.
【題型1 百分位數(shù)的求解】
【例1】（2024·安徽六安·模擬預測）樣本數(shù)據(jù)16，20，24，21，22，18，14，28的75%分位數(shù)為（ ）
A．16B．17C．23D．24
【變式1-1】（2024·河南鄭州·模擬預測）已知某學校參加學科節(jié)數(shù)學競賽決賽的8人的成績（單位：分）為：72，78，80，81，83，86，88，90，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（ ）
A．86B．87C．88D．90
【變式1-2】（2024·黑龍江大慶·三模）小明希望自己的高考數(shù)學成績能超過120分，為了激勵自己，他記錄了近8次數(shù)學考試成績，并繪制成折線統(tǒng)計圖，如圖，這8次成績的第80百分位數(shù)是（ ）
A．100B．105C．110D．120
【變式1-3】（2024·福建泉州·一模）海上絲綢之路的起點城市一泉州，有著豐厚的文化底蘊，作為國家級非遺的蟳埔女簪花圍習俗，是福建博大精深的海洋文化“百花園”中的一朵香花．某機構隨機調(diào)查了18位“簪花圍”體驗者對這一活動的滿意度評分情況，得到如下數(shù)據(jù)：a，60，70，70，71，73，74，74，75，76，77，79，80，83，85，87，93，100．若a恰好是這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)，則a的值不可能為（ ）
A．71B．72C．73D．74
【題型2 樣本的數(shù)字特征的估計】
【例2】（2024·浙江紹興·三模）已知實數(shù)1

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