1.設(shè)拋物線y=112x2上一點(diǎn)P到x軸的距離是1,則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是( )
A.3 B.4 C.7 D.13
2.下列四個(gè)拋物線中,開口朝下且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5的是( )
A.y2=-10x B.x2=-10y
C.y2=-5x D.x2=-5y
3.拋物線W:y2=4x的焦點(diǎn)為F,對于W上一點(diǎn)P,若P到直線x=5的距離是P到點(diǎn)F距離的2倍,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.拋物線x2=4y上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的最短距離為( )
A.4 B.2 C.1 D.12
5.若拋物線y2=4x的準(zhǔn)線為l,P是拋物線上任意一點(diǎn),則P到準(zhǔn)線l的距離與P到直線3x+4y+7=0的距離之和的最小值是( )
A.2 B.135 C.145 D.3
6.已知點(diǎn)A(1,5)在拋物線C:y2=2px上,則A到C的準(zhǔn)線的距離為 .
7.如圖是拋物線形拱橋,當(dāng)水面為l時(shí),拱頂離水面2 m,水面寬4米,則水位下降1 m后,水面寬 m.
8.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),垂直于拋物線C:y2=2px(p>0)的軸的直線與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),OA→·OB→=0,則|AB|=4,則p= .
9.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,A是拋物線上橫坐標(biāo)為4,且位于x軸上方的點(diǎn),A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5,過A作AB垂直于y軸,垂足為B,OB的中點(diǎn)為M.
(1)求拋物線的方程;
(2)若過M作MN⊥FA,垂足為N,求點(diǎn)N的坐標(biāo).
INCLUDEPICTURE "B組.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B級 能力提升】
10.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F作直線,交拋物線于A,B兩點(diǎn),
若|FA|=3|FB|,則直線的傾斜角等于( )
A.30°或150° B.45°或135°
C.60°或120° D.與p值有關(guān)
11.已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,過F且被C截得的弦長為4的直線有且僅有兩條,寫出一個(gè)滿足條件的拋物線C的方程: ,此時(shí)該弦的中點(diǎn)到x軸的距離為 .
12.已知拋物線C:y2=2px(p>0)經(jīng)過點(diǎn)P(6,y0),F為拋物線的焦點(diǎn),
且|PF|=10.
(1)求y0的值;
(2)點(diǎn)Q為拋物線C上一動點(diǎn),點(diǎn)M為線段FQ的中點(diǎn),試求點(diǎn)M的軌跡方程.
13.已知拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn)為F,斜率為32的直線l與C的交點(diǎn)為A,B,與x軸的交點(diǎn)為P.
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;
(2)若AP→=3PB→,求|AB|.
INCLUDEPICTURE "B組.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF" \* MERGEFORMATINET 【C級 應(yīng)用創(chuàng)新練】
14.如圖,一個(gè)酒杯的內(nèi)壁的軸截面是拋物線的一部分,杯口寬42 cm,
杯深8 cm,稱為拋物線酒杯.
(1)在杯口放一個(gè)表面積為36π cm2的玻璃球,則球面上的點(diǎn)到杯底的最小距離為 cm;
(2)在杯內(nèi)放入一個(gè)小的玻璃球,要使球觸及酒杯底部,則玻璃球的半徑的取值范圍為 (單位:cm).
參考答案
【A級 基礎(chǔ)鞏固】
1.解析:因?yàn)閤2=12y,則準(zhǔn)線方程為y=-3,依題意,點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到其準(zhǔn)線y=-3的距離,即3+1=4.故選B.
2.解析:四個(gè)拋物線中,只有拋物線x2=-10y與x2=-5y的開口朝下,又p=5,所以x2=-10y符合題意.故選B.
3.解析:由題意,得F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a,a≥0,
由拋物線的定義可知|PF|=|a-(-1)|=|a+1|,則|a-5|=2|a+1|,解得a=1或-7(舍去),從而點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1.故選A.
4.解析:由已知焦點(diǎn)為(0,1),故拋物線上的點(diǎn)(x,y)到焦點(diǎn)的距離d=x2+(y-1)2=y2+2y+1=(y+1)2=y+1≥1.故選C.
5.解析:由拋物線定義可知點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離,聯(lián)立拋物線y2=4x及直線方程3x+4y+7=0,可得3y2+16y+28=0,Δ0),則點(diǎn)(2,-2)在拋物線上,代入可得p=1,
所以x2=-2y.當(dāng)y=-3時(shí),x2=6,
所以水面寬為26 m.
答案:26
8.解析:因?yàn)镺A→·OB→=0,
所以|OA→|·|OB→|cs∠AOB=0,
所以∠AOB=90°,
因?yàn)閨AB|=4,且AB⊥x軸,所以由拋物線的對稱性知△AOB為等腰直角三角形,
設(shè)AB與x軸的交點(diǎn)為D,
所以AD=BD=OD=2,若點(diǎn)A在第一象限,
則A(2,2),
所以將A(2,2)代入y2=2px得4=4p,解得p=1.
答案:1
9.解:(1)拋物線y2=2px的準(zhǔn)線為x=-p2,
由題意可得4+p2=5,所以p=2.
所以拋物線方程為y2=4x.
(2)由(1)知點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4,4),
由題意得B(0,4),M(0,2).又因?yàn)镕(1,0),
所以kFA=43,且FA的方程為y=43(x-1),①
因?yàn)镸N⊥FA,所以kMN=-34,且MN的方程為y-2=-34x,②
聯(lián)立①②,解得x=85,y=45,
所以N的坐標(biāo)為(85,45).
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10.解析:設(shè)點(diǎn)A位于第一象限,如圖,l是拋物線的準(zhǔn)線,作AM⊥l,BN⊥l,M,N為垂足,設(shè)|FB|=m,則|FA|=3m,由拋物線定義知|AM|=3m,|BN|=m,過B作BC⊥AM,垂足為C,則易得|CM|=|BN|=m,所以|AC|=2m.在Rt△ABC中,cs∠CAB=|AC||AB|=2m4m=12,∠CAB=60°,此時(shí)直線AB的傾斜角為60°,由對稱性,直線AB的傾斜角也可為120°.故選C.
11.解析:易知過焦點(diǎn)的弦中,通徑最短,所以2p

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