專題3.2 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（舉一反三）（新高考專用）（含答案） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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\l "_Tc7484" 【題型1 不含參函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間】 PAGEREF _Tc7484 \h 2
\l "_Tc13678" 【題型2 含參函數(shù)的單調(diào)性】 PAGEREF _Tc13678 \h 4
\l "_Tc7590" 【題型3 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】 PAGEREF _Tc7590 \h 7
\l "_Tc25473" 【題型4 函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系】 PAGEREF _Tc25473 \h 9
\l "_Tc9117" 【題型5 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用——比較大小】 PAGEREF _Tc9117 \h 12
\l "_Tc18102" 【題型6 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用——解不等式】 PAGEREF _Tc18102 \h 14
\l "_Tc10705" 【題型7 導(dǎo)數(shù)關(guān)系構(gòu)造函數(shù)解不等式】 PAGEREF _Tc10705 \h 16
1、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性
【知識點1 導(dǎo)數(shù)中函數(shù)單調(diào)性問題的解題策略】
1.確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟；
(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；
(2)求f'(x)；
(3)解不等式f'(x)>0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；
(4)解不等式f'(x)0，構(gòu)造函數(shù)F(x)= f(x)+g(x).
(2)對于不等式f'(x)-g'(x)>0，構(gòu)造函數(shù)F(x)= f(x)-g(x).
特別地，對于不等式f'(x)> k，構(gòu)造函數(shù)F(x)= f(x)-kx.
(3)對于不等式f'(x)g(x)+ f(x) g'(x)>0，構(gòu)造函數(shù)F(x)= f(x)·g(x).
(4)對于不等式f'(x)g(x)-f(x) g'(x)>0，構(gòu)造函數(shù)F(x)=.
(5)對于不等式xf'(x)+nf(x)>0，構(gòu)造函數(shù)F(x)=.
(6)對于不等式f'(x)+f(x)>0，構(gòu)造函數(shù)F(x)=.
(7)對于不等式f'(x)+kf(x)>0，構(gòu)造函數(shù)F(x)=.
【題型1 不含參函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間】
【例1】（2024·浙江·模擬預(yù)測）函數(shù)fx=ln2x?1?x2+x的單調(diào)遞增區(qū)間是（）
A．0,1B．12,1
C．1?22,1+22D．12,1+22
【解題思路】求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再令f′x>0，解得即可.
【解答過程】函數(shù)fx=ln2x?1?x2+x的定義域為12,+∞，
且f′x=22x?1?2x+1=2?2x?122x?1=2?2x?12+2x?12x?1，
令f′x>0，解得12g?2x?2，
即1?x20，故x3
故選：A .
【題型7 導(dǎo)數(shù)關(guān)系構(gòu)造函數(shù)解不等式】
【例7】（2024·山東濰坊·三模）已知函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)為f′x，且f1=e，當(dāng)x>0時，f′x1的解集為（）
A．0,1B．0,+∞C．1,+∞D(zhuǎn)．0,1∪1,+∞
【解題思路】由不等式化簡構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得新函數(shù)的單調(diào)性，即可求解原不等式.
【解答過程】不等式fx?lnxex>1等價于f(x)>ex+lnx，即f(x)?ex+lnx>0，
構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)?ex+lnx,x>0，所以g′(x)=f′(x)?ex?1x，
因為x>0時，f′xg(1)，所以0fa2+1，則實數(shù)a的取值范圍是（）
A．?∞,?1∪3,+∞B．?∞,?3∪1,+∞
C．?3,1D．?1,3
【解題思路】先令g(x)=f′(x)+(x+1)2，判斷g(x)的單調(diào)性及奇偶性，由已知結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性即可求解不等式．
【解答過程】因為y=f(x)為偶函數(shù)，
所以f(?x)=f(x)，所以?f′(?x)=f′(x)，
令g(x)=f′(x)+(x+1)2，
因為f′x+x+12為偶函數(shù)，
則g(?x)=g(x)，即f′(?x)+(?x+1)2=f′(x)+(x+1)2，
即?f′(x)+(?x+1)2=f′(x)+(x+1)2，
所以f′(x)=?2x，
當(dāng)x>0時，f′(x)=?2xf(a2+1)，即f2a+4>fa2+1，
所以2a+40可轉(zhuǎn)化為fexex?lnex>1，
又gex=fexex?lnex，且g1=f11?ln1=1，
即gex>g1，所以ex>1，解得x>0，
即不等式fex?x+1ex>0的解集為0,+∞．
故選：A．
一、單選題
1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）函數(shù)y=12x2?lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為（）
A．?1,1B．?1,1C．1,+∞D(zhuǎn)．0,1
【解題思路】先得出函數(shù)的定義域，再令f′xcB．b>c>aC．c>b>aD．c>a>b
【解題思路】利用切線放縮公式：ln1+x≤x比較a,c，再由三角函數(shù)y=csx的單調(diào)性，比較c,b.
【解答過程】由ln1+x≤x，當(dāng)x=0時等號成立，知a0且α?1>0，則α>1.
又由fx=f′x可得x=α>1，即f(x)=xα與f′x=αxα?1的圖象交點橫坐標(biāo)應(yīng)大于1，顯然C項不符合，B, D項均符合.
故選：C.
5．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測）若函數(shù)fx=12sin2x?acsx在0,π上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）
A．?∞,?1B．?1,+∞C．?∞,1D．1,+∞
【解題思路】先求出函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)，利用換元法將題目條件轉(zhuǎn)化為a≥2t?1t在0,1上恒成立；再構(gòu)造函數(shù)y=2t?1t，判斷其函數(shù)的單調(diào)性，求出最大值即可解答.
【解答過程】因為函數(shù)fx=12sin2x?acsx在0,π上單調(diào)遞增，
所以f′x=cs2x+asinx≥0在0,π上恒成立，即1?2sin2x+asinx≥0在0,π上恒成立.
令t=sinx,x∈0,π，
則t∈0,1，
所以a≥2t?1t在0,1上恒成立.
又因為y=2t?1t在0,1上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)t=1時ymax=1，
故a≥1.
故選：D.
6．（2024·江西南昌·三模）已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f2=?1，對任意x∈R，f(x)+xf′(x)?2的解集是（）
A．?∞,1B．?∞,2C．1,+∞D(zhuǎn)．2,+∞
【解題思路】設(shè)gx=xfx，由g′(x)=f(x)+xf′(x)?2可得g(x+1)>g(2)，由單調(diào)性解不等式即可.
【解答過程】設(shè)gx=xfx，則g2=2f(2)=?2 ，
∵對任意x∈R，f(x)+xf′(x)g(2)，∴x+10，而ln44=1n22，
所以fln33>fln22>fln55，
∴f?ln550，且f(2)=2，則不等式(x+1)3f(x+1)>16的解集為（）
A．(1,+∞)B．(?∞,?2)∪(2,+∞)
C．(?∞,1)D．(?∞,?3)∪(1,+∞)
【解題思路】根據(jù)(x+1)3fx+1>16構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)發(fā)現(xiàn)利用已知條件可知恒為正數(shù)，所以可知gx=x3fx在x>0時是單調(diào)遞增函數(shù)，再結(jié)合已知條件又可知gx=x3fx是偶函數(shù)，利用單調(diào)性和奇偶性解不等式即可.
【解答過程】令gx=x3fx，則g′x=3x2fx+x3f′x=x23fx+xf′x，
因為當(dāng)x>0時，3fx+xf′x>0，所以gx在0,+∞上單調(diào)遞增，
又fx為奇函數(shù)，且圖象連續(xù)不斷，所以gx為偶函數(shù)，
由x+13fx+1>23f2，得x+1>2，解得x1.
故選：D.
二、多選題
9．（2024·廣東茂名·一模）若fx=?13x3+12x2+2x+1是區(qū)間m?1,m+4上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)m的值可以是（）
A．?4B．?3C．3D．4
【解題思路】求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到原函數(shù)的單調(diào)性，再由已知建立關(guān)于m的不等式組，解出即可．
【解答過程】由題意，f′x=?x2+x+2=?x?2x+1，
令f′x>0，解得?10，
則函數(shù)?x=fxx+1在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，
所以?4>?3，即f45>f34，4f4>5f3；
?3>?2，即f34>f23，3f3>4f2；而A無法確定；故BD正確，AC錯誤.
故選：BD.
11．（2024·浙江臺州·一模）已知gx是定義域為R的函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)，f0=1，f1=0，gx+g2?x=0，fx+gxx?1>0，則下列說法正確的是（）
A．f2=1
B．f3>1e（e為自然對數(shù)的底數(shù)，e≈2.71828???）
C．存在x0∈R，fx00，故x>1時，fx+gx>0，
所以fx+f′x>0，設(shè)?x=exfx，
故x>1時，?′x=exfx+f′x>0，故?x在1,+∞上為增函數(shù)，
同理?x在?∞,1上為減函數(shù)，
對于A，因為fx=f2?x，故f0=1=f2，故A正確；
對于B，?3=e3f3>?(2)=e2f2=e2，故f3>1e，故B正確；
對于C，當(dāng)x>1時，?x>?1=ef1=0；
當(dāng)x?1=0，而x=1時，?1=0，
故?x≥0恒成立，故C錯誤；
對于D，當(dāng)0