專題2.4 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（舉一反三）（新高考專用）（含答案） 2025年高考數(shù)學一輪復習專練（新高考專用）-試卷下載-教習網(wǎng)

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\l "_Tc18943" 【題型1 指數(shù)冪的運算】 PAGEREF _Tc18943 \h 2
\l "_Tc2197" 【題型2 指數(shù)方程與指數(shù)不等式】 PAGEREF _Tc2197 \h 3
\l "_Tc29843" 【題型3 指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)】 PAGEREF _Tc29843 \h 4
\l "_Tc6020" 【題型4 利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小】 PAGEREF _Tc6020 \h 6
\l "_Tc8035" 【題型5 利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式】 PAGEREF _Tc8035 \h 7
\l "_Tc1380" 【題型6 指數(shù)函數(shù)的綜合問題】 PAGEREF _Tc1380 \h 9
1、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
【知識點1 指數(shù)運算的解題策略】
1．指數(shù)冪運算的一般原則
(1)指數(shù)冪的運算首先將根式、分數(shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分數(shù)指數(shù)冪，以便利用法則計算，還應(yīng)注意：①必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加.②運算的先后順序.
(2)當?shù)讛?shù)是負數(shù)時，先確定符號，再把底數(shù)化為正數(shù).
(3)運算結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負指數(shù).
【知識點2 指數(shù)函數(shù)的常見問題及解題思路】
1．比較指數(shù)式的大小
比較指數(shù)式的大小的方法是：(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性比較大??；
(2)不能化成同底數(shù)的，一般引入“0或1”等中間量比較大小.
2．指數(shù)方程(不等式)的求解思路
指數(shù)方程(不等式)的求解主要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行轉(zhuǎn)化.
3．指數(shù)型函數(shù)的解題策略
涉及指數(shù)型函數(shù)的綜合問題，首先要掌握指數(shù)函數(shù)相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.
【題型1 指數(shù)冪的運算】
【例1】（23-24高一上·陜西咸陽·期末）化簡3(?5)232的結(jié)果為（）
A．5B．5C．?5D．?5
【解題思路】根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)進行求解即可.
【解答過程】3(?5)232=35232=52332=523×32=5，
故選：A.
【變式1-1】（23-24高一上·陜西漢中·期末）下列各式正確的是（）
A．12?34=4?3B．3x+y4=x+y34
C．3?8=?2D．nm2=n2m12
【解題思路】根據(jù)指數(shù)冪的計算公式及根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化計算即可.
【解答過程】對于A，12?34=33，故A錯誤；
對于B，3x+y4=x+y43，故B錯誤；
對于C，3?8=?2，故C正確；
對于D，nm2=n2m?2，故D錯誤.
故選：C.
【變式1-2】（23-24高一下·遼寧撫順·開學考試）已知a+1a=2，則a12+a?12等于（）
A．2B．4C．±2D．±4
【解題思路】
給a12+a?12平方后再開方求解即可.
【解答過程】(a12+a?12)2=a+1a+2=2+2=4，所以a12+a?12=2.
故選：A.
【變式1-3】（23-24高一上·湖南長沙·階段練習）計算(?64)13+[(?3)4]14?(2?1)0+3338=（）
A．?132B．?112C．?12D．12
【解題思路】利用指數(shù)運算及根式運算計算即得.
【解答過程】(?64)13+[(?3)4]14?(2?1)0+3338=(?43)13+(34)14?1+[(32)3]13=?4+3?1+32=?12.
故選：C.
【題型2 指數(shù)方程與指數(shù)不等式】
【例2】（23-24高一上·北京順義·期中）關(guān)于x的方程4x?2x=2的解為 x=1 ．
【解題思路】由4x?2x=2可得出2x+12x?2=0，結(jié)合2x>0可求得x的值.
【解答過程】由4x?2x=2可得2x2?2x?2=0，即2x+12x?2=0，
因為2x>0，可得2x=2，故x=1.
所以，方程關(guān)于x的方程4x?2x=2的解為x=1.
故答案為：x=1.
【變式2-1】（2024高一·江蘇·專題練習）不等式123x?1≤2的解集為 x|x≥0 ．
【解題思路】利用指數(shù)冪的運算法則，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將原不等式化為3x?1≥?1求解即可.
【解答過程】原不等式可化為123x?1≤12?1
因為函數(shù)y=12x單調(diào)遞減，
∴3x?1≥?1，解得x≥0．
∴不等式123x?1≤2的解集是x|x≥0．
故答案為：x|x≥0.
【變式2-2】（2024高一·江蘇·專題練習）不等式2x>12x?x2的解集是 0,2 ．
【解題思路】利用指數(shù)冪的運算法則，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將原不等式化為x>x2?x求解即可.
【解答過程】由2x>12x?x2，得2x>2x2?x，
因為函數(shù)y=2x單調(diào)遞增，
∴x>x2?x，即x2?2x1，所以0bC．a(chǎn)>b>cD．a(chǎn)>c>b
【解題思路】根據(jù)中間數(shù)2比較a與c，根據(jù)中間數(shù)1比較b與c.
【解答過程】因為a=2π?2>21=2，c=213c，因為b=6?1=1620=1，
所以c>b，所以a>c>b.
故選：D.
【變式4-1】（2024·四川·模擬預測）設(shè)a=0.50.4，b=0.41.1，c=1.10.5，則（）
A．a(chǎn)b，則a2b>0時，a2>b2，故C中不等式不一定成立；
對于D，由a>b，由于y=2x在R上單調(diào)遞增，則2a>2b成立，
故選：C.
【變式4-3】（2024·全國·二模）設(shè)實數(shù)a，b滿足1001a+1010b=2023a，1014a+1016b=2024b，則a，b的大小關(guān)系為（）
A．a(chǎn)>bB．a(chǎn)=bC．a(chǎn)0=fx+f4?x，
所以f8?3x>f4?x，所以8?3x>4?x，解得x0的x的取值范圍為?∞,2．
故選：B.
【變式5-1】（2024·全國·模擬預測）已知fx=2x?a+1，且fx0?fmx2?1>?f2?mx
?fmx2?1>fmx?2
?mx2?1>mx?2?mx2?mx+1>0．
（1）當m=0時，不等式為1>0恒成立，符合題意；
（2）當m>0時，有Δ=m2?4m0，即k>1k2?6k+1>0解得k>3+22．
故實數(shù)k的取值范圍為3+22,+∞．
考點要求
真題統(tǒng)計
考情分析
(1)了解根式的概念及性質(zhì)，了解分數(shù)指數(shù)冪的含義，掌握指數(shù)冪的運算性質(zhì)
(2)熟練掌握指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
2022年全國甲卷（文數(shù)）：第12題，5分
2023年新課標I卷：第4題，5分
2024年天津卷：第2題，5分、第5題，5分
指數(shù)函數(shù)是常見的重要函數(shù)，指數(shù)與指數(shù)函數(shù)是高考?？嫉臒狳c內(nèi)容，從近幾年的高考形勢來看，指數(shù)函數(shù)的考查，主要以基本函數(shù)的性質(zhì)為依托，結(jié)合指、對數(shù)運算性質(zhì)，運用冪函數(shù)與指、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決具體的問題，包括比較指對冪的大小、解不等式等題型.