熱點03 函數(shù)及其性質（7題型高分技法限時提升練）-2025年高考數(shù)學熱點重點難點專練（天津專用）-試卷下載-教習網(wǎng)

題型1 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
1．（24-25高一上·河南南陽·階段練習）已知函數(shù)，且時，都有恒成立，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識點】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值
【分析】構造函數(shù)，由其在上單調(diào)遞減.分類討論即可；
【詳解】時，都有恒成立.則不妨設，則.
設函數(shù)，則且，即，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減.
（1）當時，在上單調(diào)遞減，符合題意.
（2）當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不合題意舍去.
（3）當時，若使函數(shù)在上單調(diào)遞減，只需即.
綜上所述，.
故選：D
2．（24-25高一上·山東濟寧·期中）已知是定義在R上的函數(shù)，若對于任意，都有，則實數(shù)a的最大值是（）
A．B．C．D．1
【答案】C
【知識點】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、函數(shù)不等式恒成立問題
【分析】變形得到，從而得到在上單調(diào)遞增，分和兩種情況，結合二次函數(shù)對稱軸，數(shù)形結合得到不等式，求出答案.
【詳解】因為，所以，
即，
令，則，
故在上單調(diào)遞增，
當時，滿足在上單調(diào)遞增，
當時，為二次函數(shù)，
需滿足或，
解得或，
綜上，，實數(shù)a的最大值為.
故選：C.
3．（24-25高三上·河南·期中）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識點】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性
【分析】利用復合函數(shù)的單調(diào)性法則求解即可.
【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，
而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則有函數(shù) 在區(qū)間上恒為正數(shù)且單調(diào)遞增，
因此，
解得，
實數(shù)的取值范圍是 .
故選：C.
4．（24-25高一上·天津·階段練習）若在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則實數(shù)m的取值范圍為 .
【答案】
【知識點】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性、由對數(shù)（型）的單調(diào)性求參數(shù)
【分析】求出函數(shù)的定義域，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性求出的單調(diào)遞增區(qū)間，然后由集合的包含關系列不等式組即可求解.
【詳解】由可得，解得，
函數(shù)是由和復合而成，
又對稱軸為，開口向下，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因為為減函數(shù)，
所以的單調(diào)增區(qū)間為，
因為在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，
所以，解得，
所以實數(shù)m的取值范圍為，
故答案為：.
5．（24-25高一上·貴州遵義·階段練習）函數(shù)，若對于任意，當時，都有，則實數(shù)a的取值范圍是 .
【答案】
【知識點】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值
【分析】由，可得，構造新函數(shù)，易知在上單調(diào)增加，根據(jù)單調(diào)性即可得到實數(shù)a的取值范圍.
【詳解】不妨設，因為對于任意，
當時，都有，即，
所以在上恒成立.
令，則當時，恒有，
即在上單調(diào)遞增，
當，即時，顯然符合題意，
當時，由對勾函數(shù)性質可知，在上單調(diào)遞增，
由題意可得，解得或.
綜上，.
故答案為：.
題型2函數(shù)的周期性
1．（24-25高三上·江蘇揚州·開學考試）已知函數(shù)的定義域為，且滿足，的導函數(shù)為，函數(shù)為奇函數(shù)，則（）
A．1B．3C．D．
【答案】A
【知識點】函數(shù)奇偶性的應用、判斷證明抽象函數(shù)的周期性、簡單復合函數(shù)的導數(shù)、由函數(shù)的周期性求函數(shù)值
【分析】根據(jù)兩邊求導得，再根據(jù)為奇函數(shù)得，由對稱性得出是周期為2的周期函數(shù)，即可求解．
【詳解】由兩邊求導得，，即，
因為為奇函數(shù)，
所以，即，
所以關于中心對稱，
所以，變形得，且，
由，得，變形得，
所以，則，
所以是周期為2的周期函數(shù)，則，
故選：A．
2．（23-24高一上·天津·期末）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對任意的都有.當時，，則（）
A．1B．2C．D．
【答案】A
【知識點】函數(shù)奇偶性的應用、函數(shù)周期性的應用、對數(shù)的概念判斷與求值
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性求得正確答案.
【詳解】由于，所以是周期為的周期函數(shù)，
依題意，是定義在上的奇函數(shù)，，
所以.
故選：A
3．（24-25高一上·天津·期中）已知在R上是周期為3的奇函數(shù)，當時，，則 .
【答案】?2
【知識點】函數(shù)奇偶性的應用、由函數(shù)的周期性求函數(shù)值
【分析】根據(jù)周期可得，根據(jù)奇函數(shù)得，代入已知條件即可求解.
【詳解】因為的周期為3，且為奇函數(shù)，
所以.
故答案為：?2
4．（24-25高一上·湖北·階段練習）已知定義在上的函數(shù)滿足，且為奇函數(shù)，則的值為 .
【答案】0
【知識點】求函數(shù)值、函數(shù)奇偶性的應用、函數(shù)周期性的應用、由函數(shù)的周期性求函數(shù)值
【分析】根據(jù)題意，求得，得到3是的一個周期，進而求得的值，結合周期性，即可求解.
【詳解】因為定義在上的函數(shù)滿足，
可得，所以，所以3是的一個周期.
因為為奇函數(shù)，所以，
用替換，可得：，即.
又因，故得，即，
所以函數(shù)的圖象關于軸對稱.
又，
則，
即得，
故.
故答案為：0.
5．（2024高三·全國·專題練習）已知定義域為R的函數(shù)滿足，的圖象關于直線對稱，，則．
【答案】
【知識點】函數(shù)對稱性的應用、由函數(shù)的周期性求函數(shù)值
【分析】方法一：根據(jù)已知抽象函數(shù)關系式可推導得到是周期為的周期函數(shù)，結合對稱性可得為偶函數(shù)，從而賦值可求得，結合周期性可求得結果；
方法二：根據(jù)已知抽象函數(shù)關系式可推導得到是周期為的周期函數(shù)，采用賦值法，結合對稱軸可求得，利用周期性可求得結果.
【詳解】方法一：，，
，，
是周期為的周期函數(shù)；
的圖象關于對稱，，
，為偶函數(shù)，
，，解得：，
，，，
.
方法二：令，則由得：，
，即，
是周期為的周期函數(shù)；
圖象關于直線對稱，，
又，；
令，則，又，，
．
故答案為：.
【點睛】結論點睛：（1）若函數(shù)的圖象關于直線對稱（當時，為偶函數(shù)），則①；②；③；
（2）若函數(shù)的圖象關于點對稱（當時，為奇函數(shù)），則①；②；③；
（3）若函數(shù)的圖象關于點對稱，則①；②；③．
題型3 函數(shù)的奇偶性
1．（24-25高三上·天津南開·期末）若函數(shù)為奇函數(shù)，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識點】由奇偶性求參數(shù)
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求解.
【詳解】，
則，
則，
故，得，
當時，定義域為關于原點對稱，且，滿足題意，
故，
故選：B
2．（22-23高一上·山東濟南·期末）若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當時，，則（）
A．B．C．5D．7
【答案】C
【知識點】函數(shù)奇偶性的應用
【分析】求出，再根據(jù)奇函數(shù)得到即可.
【詳解】因為時，，所以，
因為是定義在R上的奇函數(shù)，所以.
故選：C.
3．（2024·浙江臺州·一模）已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則（）
A．3B．2C．2D．3
【答案】B
【知識點】函數(shù)奇偶性的應用、對數(shù)的運算
【分析】利用函數(shù)的奇偶性求解.
【詳解】根據(jù)題意，是定義在上的奇函數(shù)，
當時，，
則.
故選：B
4．（24-25高一上·天津·期中）若函數(shù)為奇函數(shù)，則實數(shù)（）
A．B．1C．0D．
【答案】B
【知識點】由奇偶性求參數(shù)
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性列列方程，由此求得的值.
【詳解】是奇函數(shù)，，
，
由于上式恒成立，所以.
此時，
，是奇函數(shù)，符合題意.
所以.
故選：B
5．（23-24高二下·天津河東·期末）若為偶函數(shù)，則（）
A．B．0C．D．1
【答案】B
【知識點】對數(shù)的運算性質的應用、求對數(shù)型復合函數(shù)的定義域、由奇偶性求參數(shù)
【分析】根據(jù)給定條件，利用偶函數(shù)定義求解即得。
【詳解】函數(shù)中，，解得或，
由為偶函數(shù)，得，
即，
整理得，即，而不恒為0，
所以.
故選：B
題型4 函數(shù)的對稱性
1．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習）若定義在上的函數(shù)滿足是奇函數(shù)，，則（）
A．0B．1C．2024D．2025
【答案】A
【知識點】函數(shù)周期性的應用、函數(shù)對稱性的應用、由函數(shù)的周期性求函數(shù)值
【分析】根據(jù)已知fx+2+fx=0得函數(shù)的周期為4，再結合函數(shù)是奇函數(shù)得出，進而計算一個周期函數(shù)值和為0，最后計算求值.
【詳解】由fx+2+fx=0得，函數(shù)的周期為4，
又是奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關于對稱，即，
因為，令x=2可得
令得：，所以，
故.
故選：A.
2．（2024高三·全國·專題練習）定義域為的函數(shù)滿足，的導函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，函數(shù)的圖象關于點中心對稱，則（）
A．3B．C．1D．
【答案】A
【知識點】函數(shù)周期性的應用、函數(shù)對稱性的應用、簡單復合函數(shù)的導數(shù)
【分析】利用函數(shù)的圖象關于對稱、關于點中心對稱可得的周期，根據(jù)周期可得答案．
【詳解】因為，則函數(shù)的圖象關于點中心對稱，
且．由，，得，
所以函數(shù)的圖象關于直線對稱．根據(jù)圖象變換規(guī)律，
由的圖象關于點2,1中心對稱，得的圖象關于點中心對稱，
又函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，所以．
由于的圖象既關于直線對稱，又關于點對稱，則是周期函數(shù)，周期為
所以，故．
故選：A
3．（2024高三·全國·專題練習）已知是定義域為的奇函數(shù)，滿足，若，則（）
A．2023B．C．3D．
【答案】C
【知識點】函數(shù)奇偶性的應用、函數(shù)對稱性的應用、由函數(shù)的周期性求函數(shù)值
【分析】根據(jù)已知求出的周期、可得答案.
【詳解】因為是定義域為的奇函數(shù)，所以f?x=?fx，，
因為，所以，
可得，所以的周期為4，
故，，又，所以，
，所以f1+f2+f3+f4=0，
則.
故選：C.
4．（2024高三·全國·專題練習）已知的定義域為，滿足，且當時，為單調(diào)遞增函數(shù)，則滿足的的取值范圍為．
【答案】
【知識點】函數(shù)對稱性的應用、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、解含參數(shù)的一元一次不等式
【分析】由確定函數(shù)的對稱軸為，由對稱性得出函數(shù)的單調(diào)性，從而得出結論：對而言，自變量離對稱軸越遠，函數(shù)值越大，由此化簡不等式求解．
【詳解】根據(jù)確定函數(shù)的對稱軸為，
又當時，為單調(diào)遞增函數(shù)，所以當時，為單調(diào)遞減函數(shù)．
對而言，自變量離對稱軸越遠，函數(shù)值越大，
所以，解得．
故答案為：．
5．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，的定義域均為R，且，，
①函數(shù)的圖像關于點1,0對稱
②函數(shù)的圖像關于點對稱
③函數(shù)的圖像關于直線對稱
④函數(shù)的圖像關于直線對稱
其中所有正確結論的序號是 .
【答案】①③
【知識點】函數(shù)奇偶性的應用、判斷或證明函數(shù)的對稱性、函數(shù)對稱性的應用
【分析】根據(jù)對稱中心定義判斷①，②；應用對稱軸定義判斷③④.
【詳解】因為，，
設，則，所以?x的圖象關于點1,0對稱，即①正確；
設，則，所以φx的圖象關于點對稱，即②錯誤；
設，由①可知，，又，所以，
所以，所以Fx的圖象關于直線對稱，即③正確；
設，由②可知，，又，所以，
所以推不出，所以的圖象不一定關于直線對稱，即④錯誤；
故答案為：①③.
題型5 利用函數(shù)的性質比較大小
1．（2024·天津·一模）已知函數(shù)，若，，則的大小關系為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識點】比較指數(shù)冪的大小、用導數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、比較對數(shù)式的大小、比較函數(shù)值的大小關系
【分析】先判斷函數(shù)自變量大小可得，再根據(jù)函數(shù)在0,+∞上的單調(diào)性判斷即可.
【詳解】因為，，
所以，
當時，，
因為，所以在0,+∞上單調(diào)遞增，
所以，
故選：C.
2．（2023·天津河西·模擬預測）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，對任意，，且都有成立．若，，，則，，的大小關系是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識點】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)的運算性質的應用、比較對數(shù)式的大小、比較函數(shù)值的大小關系
【分析】利用奇偶性和對稱性判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，再比較大小，結合的單調(diào)性即可得出答案．
【詳解】解：因為函數(shù)是R上的偶函數(shù)，
所以函數(shù)的對稱軸為，
又因為對任意，，且都有成立．
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
而，，，
所以，
所以，
因為函數(shù)的對稱軸為，
所以，
而，
因為，
所以，
所以，
所以．
故選：A．
3．（23-24高二下·天津·期中）已知函數(shù)，且、、，則、、的大小關系（）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識點】比較函數(shù)值的大小關系、用導數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性
【分析】根據(jù)題意，求導得，即可得到在上單調(diào)遞增，從而可比較函數(shù)值的大小關系.
【詳解】由可得，
當時，，
所以在上單調(diào)遞增，
又，所以，
即，則，
所以.
故選：D
4．（24-25高三上·天津·階段練習）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，對任意，且都有成立．若，，，則的大小關系是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識點】函數(shù)奇偶性的應用、對數(shù)的運算、運用換底公式化簡計算、比較函數(shù)值的大小關系
【分析】根據(jù)題意，由偶函數(shù)的性質可得的圖象關于直線對稱，結合函數(shù)的單調(diào)性分析可得在上為增函數(shù)，據(jù)此分析可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)是上的偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關于直線對稱，
又由對任意，且，都有成立，則函數(shù)在上為增函數(shù)，
又，，，
又，所以，由函數(shù)的圖象關于直線對稱，知，
又，所以，故，
故選：A．
5．（23-24高二下·天津紅橋·期末）已知定義在上的偶函數(shù)，若，，，則（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知識點】由奇偶性求參數(shù)、奇偶函數(shù)對稱性的應用、比較對數(shù)式的大小、比較函數(shù)值的大小關系
【分析】先由函數(shù)為偶函數(shù)，求出，由此得在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞減，再由對稱性將轉化為，由利用單調(diào)性可得大小.
【詳解】由函數(shù)為偶函數(shù)，
所以，即，解得，
當時，為偶函數(shù)，滿足題意.
函數(shù)的圖像關于軸對稱，且在0,+∞上單調(diào)遞減．
又，，，
由，所以.
故.
故選：C.
題型6根據(jù)函數(shù)的性質解不等式
1．（24-25高三上·天津·開學考試）設是定義在上的奇函數(shù)，且當時，，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識點】由函數(shù)奇偶性解不等式、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式
【分析】利用二次函數(shù)的單調(diào)性與的奇偶性分析得的單調(diào)性，結合函數(shù)的解析式，將原不等式轉化為，從而得到關于的不等式，解之即可得解.
【詳解】因為當時，，所以在上為增函數(shù)，
又是定義在上的奇函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，
因為，所以，，
所以，即，
所以不等式可化為，即，
所以，解得或，
所以不等式的解集為，
故選：C.
2．（2024·海南?？凇つM預測）已知定義在上的函數(shù)，若，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知識點】用導數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由函數(shù)奇偶性解不等式
【分析】根據(jù)的奇偶性以及單調(diào)性，即可將問題轉化為，即可求解.
【詳解】記，則，
故為的奇函數(shù)，
又，
因此為上的單調(diào)遞增函數(shù)，
因為，
由可得，進而，
故，解得，
故選：D
3．（2024·廣西貴港·模擬預測）已知函數(shù)，若成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識點】用導數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由函數(shù)奇偶性解不等式、由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式
【分析】判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的性質，把函數(shù)不等式轉化為代數(shù)不等式，再求解即可.
【詳解】，所以，即為偶函數(shù)，
對函數(shù)，，則，
因為，所以，，所以，故在上恒成立.
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.
所以，
所以，解得或．
故選：B
4．（24-25高三上·天津·階段練習）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，若實數(shù)滿足，則實數(shù)的取值范圍是．
【答案】
【知識點】由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由函數(shù)奇偶性解不等式、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、函數(shù)基本性質的綜合應用
【分析】分析可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，由已知條件可得出，結合函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性可得出關于實數(shù)的不等式，解之即可.
【詳解】因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
因為，由，
可得，即，
即，所以，，即，解得.
因此，實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
5．（2024·陜西咸陽·模擬預測）已知，則的解集為．
【答案】或x>1
【知識點】由函數(shù)奇偶性解不等式、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、解不含參數(shù)的一元二次不等式
【分析】利用奇偶函數(shù)的判斷方法及基本函數(shù)的單調(diào)性，可得為奇函數(shù)，且在定義上單調(diào)遞減，從而得到，即可求解.
【詳解】易知的定義域為，又，
所以為奇函數(shù)，又易知在定義上單調(diào)遞減，
故由，可得到，
所以，即，解得或，
所以的解集為或x>1，
故答案為：或x>1.
題型7 分段函數(shù)的單調(diào)性
1．（2024·山東·模擬預測）“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（）
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【知識點】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)、一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題、用導數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性可知在上單增、在上單增，且，結合導數(shù)的應用和二次函數(shù)的圖象與性質計算即可求解.
【詳解】當時，，得.
因為，要使在上單調(diào)遞增，
則恒成立.即恒成立，得；
當時，，圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為.
要使在上單調(diào)遞增，則，解得；
同時，在處，需要滿足，即，解得.
綜上，，解得.
所以“”是“” 的必要不充分條件，
即是函數(shù)在上單調(diào)遞增的必要不充分條件.
故選：C.
2．（2024·湖南郴州·模擬預測）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知識點】對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)、由指數(shù)（型）的單調(diào)性求參數(shù)、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性
【分析】分段函數(shù)單調(diào)遞減，需滿足每一段函數(shù)均單調(diào)遞減，且分段處左端點函數(shù)值大于等于右端點函數(shù)值，從而得到不等式，求出答案.
【詳解】顯然在上單調(diào)遞減，
要想在R上單調(diào)遞減，
則，解得.
故選：D
3．（2024·江蘇南通·一模）若函數(shù)，在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知識點】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)、對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質判斷上的單調(diào)性和值域，結合其區(qū)間單調(diào)性及分式型函數(shù)的性質，討論參數(shù)確定參數(shù)范圍.
【詳解】當時，單調(diào)遞增且值域為，而在上單調(diào)遞增，
則在上單調(diào)遞增，且，
當時，在上單調(diào)遞增，滿足題設；
當時，在上單調(diào)遞增，此時只需，即；
綜上，.
故選：A
4．（2024·四川德陽·一模）已知函數(shù)，若對任意，都有，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識點】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、用導數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
【分析】構造，由已知條件得到Fx在R上單調(diào)遞增，根據(jù)時，，解得，由分段處左端點值小于等于右端點值得到或，從而，再驗證出此時Fx，在上單調(diào)遞增，從而得到答案.
【詳解】對任意，都有，
令，則Fx在R上單調(diào)遞增，
其中，
當時，，解得，
且，解得或，
故，
當時，，
因為，所以，
故Fx在1,+∞上單調(diào)遞增，滿足要求，
綜上，實數(shù)的取值范圍是.
故選：A
5．（2024·江蘇無錫·二模）已知函數(shù)滿足對任意的，都有成立，則實數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【知識點】由指數(shù)（型）的單調(diào)性求參數(shù)、根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值
【分析】運用分段函數(shù)單調(diào)性知識，結合一次函數(shù)和指數(shù)型函數(shù)單調(diào)性知識可解.
【詳解】由題意，為定義在上的減函數(shù)，則各段為減函數(shù)，還要區(qū)間端點附近遞減，
所以，解得，則.
故答案為：.
（建議用時：60分鐘）
一、單選題
1．（2024·天津河北·一模）設，則“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【知識點】判斷命題的充分不必要條件、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值
【分析】根據(jù)題意，由二次函數(shù)的對稱軸和函數(shù)的單調(diào)性的關系以及充分性與必要性的應用，即可得到結果.
【詳解】函數(shù)的對稱軸為，
由函數(shù)在上單調(diào)遞增可得，即，
所以“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.
故選：A
2．（2020·天津·一模）已知函數(shù)，對任意的，，總有成立，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識點】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值
【分析】由已知可得在為增函數(shù)，分段函數(shù)兩段均為單調(diào)遞增，而且右段的最低點不低于左段的最高點，即可求解.
【詳解】∵對任意的，，總有成立，
不妨設，
∴函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，
∴，解得，
故選：C.
【點睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性，要注意分段函數(shù)各段單調(diào)性相同的區(qū)間合并的條件，屬于基礎題.
3．（2023·天津濱海新·三模）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，若，，則，，大小關系為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知識點】比較對數(shù)式的大小、函數(shù)奇偶性的應用、比較函數(shù)值的大小關系
【分析】根據(jù)指數(shù)冪，對數(shù)的運算法則進行比較大小，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性進行轉化求解即可.
【詳解】，
因為是定義在上的偶函數(shù)，
所以，
因為，，，
且在上單調(diào)遞減，
所以，
即.
故選：A.
4．（2023·天津紅橋·二模）已知是定義在上的偶函數(shù)且在上為減函數(shù)，若，，，則（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知識點】比較指數(shù)冪的大小、比較函數(shù)值的大小關系、函數(shù)奇偶性的定義與判斷、比較對數(shù)式的大小
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義及對數(shù)的運算，利用指數(shù)對數(shù)函數(shù)的性質及函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】因為是偶函數(shù)，
所以，
由，
由指數(shù)函數(shù)的性質知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，
所以，
所以，
因為在上為減函數(shù)，
所以，即.
故選：A.
5．（2024·河南·模擬預測）函數(shù)圖象的對稱中心是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識點】求對數(shù)型復合函數(shù)的定義域、函數(shù)對稱性的應用
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式以及對數(shù)運算法則可得函數(shù)滿足，即可得對稱中心為.
【詳解】易知的定義域為，
所以可得，
因此
，
即函數(shù)滿足，因此的對稱中心為.
故選：B
6．（2024·天津河西·模擬預測）已知定義在上的奇函數(shù)，當時，，給出下列命題：
①當時，； ②函數(shù)有2個零點；
③的解集為； ④，都有．
其中正確的命題個數(shù)為（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【知識點】用導數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、由奇偶性求函數(shù)解析式、由導數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、函數(shù)奇偶性的應用
【分析】利用奇函數(shù)的定義與性質可判定①②，通過導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值可判定③④.
【詳解】不妨令，則
因為為奇函數(shù)，所以，即①錯誤；
由上可知，
令可得或0，有三個零點，即②錯誤；
對于，
顯然時，此時單調(diào)遞減，
時，此時單調(diào)遞增，
不難發(fā)現(xiàn)時，，時，
所以，時，，
所以時，，
由奇函數(shù)的性質可知的解集為；
且時，，故時有，
則，都有，
所以恒成立，即③④正確；
故選：B
【點睛】思路點睛：根據(jù)奇函數(shù)的對稱性性質結合導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值計算即可，另外多積累常用的幾類函數(shù)會幫助比較大，形如等.
7．（2022·天津河西·二模）已知定義在R上的函數(shù)滿足：①；②；③在上的解析式為，則函數(shù)與函數(shù)的圖象在區(qū)間上的交點個數(shù)為( )
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【知識點】指數(shù)函數(shù)圖像應用、余弦函數(shù)圖象的應用、函數(shù)對稱性的應用、畫出具體函數(shù)圖象
【分析】由函數(shù)的性質作出其圖象，再觀察交點個數(shù)即可得解．
【詳解】由知的圖象關于對稱，
由知的圖象關于對稱，
作出與在,上的圖象：

由圖可知函數(shù)與函數(shù)的圖象在區(qū)間上的交點個數(shù)為4．
故選：B．
8．（2021·天津河西·三模）已知f(x)為定義在上的偶函數(shù)，當時，有，且時；，給出下列命題：①；②函數(shù)f(x)在定義域上是周期為2的周期函數(shù)；③直線與函數(shù)的圖象有1個交點；④函數(shù)f(x)的值域為，其中正確命題有（）
A．0個B．1個C．2個D．3個
【答案】D
【知識點】對數(shù)函數(shù)圖象的應用、由周期性求函數(shù)的解析式、函數(shù)的周期性的定義與求解、由奇偶性求函數(shù)解析式
【分析】由函數(shù)關系式及偶函數(shù)的性質可知在、上分別是周期為2的函數(shù)，并可寫出其對應的函數(shù)解析式，結合函數(shù)圖象，即可判斷各項的正誤.
【詳解】由題設，，即是周期為2的函數(shù)，
令，則，而時；，
∴.
∴綜上：且在上周期為2.
∵f(x)為定義在上的偶函數(shù)，
∴在上周期為2且.
①，正確；
②函數(shù)f(x)在定義域上是周期為2的周期函數(shù)，錯誤；
③直線與函數(shù)的圖象如下圖示，只有1個交點，正確；
④函數(shù)f(x)如下圖示，其值域為，正確；
故選：D.
【點睛】關鍵點點睛：利用函數(shù)關系及偶函數(shù)性質，判斷函數(shù)的周期性及相應區(qū)間上的解析式，應用數(shù)形結合的方法判斷各項的正誤即可.
9．（2024·湖南永州·三模）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).若，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識點】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由函數(shù)奇偶性解不等式、用導數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性
【分析】求導后結合基本不等式可得在上單調(diào)遞增，令g，從而可得在上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，從而可化為，求解即可.
【詳解】，
在上單調(diào)遞增.
令，在上單調(diào)遞增，
因為，所以為奇函數(shù)，
則化為
所以，解得，
.
故選：C
10．（2023·四川雅安·一模）已知函數(shù)的定義域為恒成立.當時，，則不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知識點】由對稱性研究單調(diào)性、定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、判斷或證明函數(shù)的對稱性
【分析】先得到關于對稱，結合得到，結合條件得到的單調(diào)性，結合，得到，由單調(diào)性求出解集.
【詳解】因為，所以關于對稱，
所以，
因為，所以，
因為，，
故在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，
因為，，
所以，
當時，，結合單調(diào)性可知，
當時，，結合單調(diào)性可知，
故的解集為.
故選：A
二、填空題
11．（2023·天津濱海新·三模）已知正實數(shù)m，n，滿足，則的最小值為 .
【答案】
【知識點】用導數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式求和的最小值、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值
【分析】，利用函數(shù)單調(diào)性可得，又注意到，后由基本不等式可得答案.
【詳解】，構造函數(shù)，則，即在上單調(diào)遞增，
則.則，
當且僅當，即時取等號.
故答案為：.
12．（2023·新疆阿勒泰·三模）正數(shù)滿足，則a與大小關系為．
【答案】/
【知識點】判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、比較函數(shù)值的大小關系、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應用
【分析】構造函數(shù)，并運用其單調(diào)性比較大小即可.
【詳解】因為，
所以，
設，則，
所以，
又因為與在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，
所以.
故答案為：.
13．（23-24高二下·廣東深圳·期末）已知函數(shù)，則不等式的解集為 .
【答案】
【知識點】用導數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、由函數(shù)奇偶性解不等式、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式
【分析】利用導數(shù)判斷單調(diào)性，再判斷奇偶性，即可求解不等式.
【詳解】由得，
所以函數(shù)是R上的增函數(shù)，
又由得函數(shù)是奇函數(shù)，
則由得，
所以，
解得.
故答案為：.
14．（2024·天津南開·一模）已知函數(shù)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)的值為
【答案】－1或
【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、函數(shù)奇偶性的應用
【分析】由已知可得函數(shù)有唯一零點，證明函數(shù)為偶函數(shù)，結合偶函數(shù)的性質，根據(jù)條件列方程求的值.
【詳解】因為函數(shù)有唯一零點，
所以函數(shù)有唯一零點，又，
，
所以函數(shù)是偶函數(shù)，又函數(shù)有唯一零點，
則的零點為0，所以，
因為是R上的奇函數(shù)，所以，
由，解得，
所以，解得或.
故答案為：或.
【點睛】關鍵點睛：解題關鍵是證明函數(shù)是偶函數(shù)，結合有唯一零點確定的零點為0，由此列式運算得解.
15．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，則不等式的解集為．
【答案】
【知識點】根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性、復合函數(shù)的單調(diào)性、由函數(shù)奇偶性解不等式、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式
【分析】設函數(shù)，得到關于函數(shù)的不等式，判斷函數(shù)的性質，利用函數(shù)性質得到簡單的一元一次不等式，解不等式，得結果.
【詳解】設函數(shù)，則，，，
所以，
化簡得．
因為的定義域為，關于原點對稱，
且，
，
所以為奇函數(shù)，
當時，函數(shù)單調(diào)遞增，又函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞增，又函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)單調(diào)遞增，又為奇函數(shù)，
所以在上單調(diào)遞增，
故，得，
解得:，即原不等式的解集為．
故答案為：.
三年考情分析
2025考向預測
2022年，第5題，考察指對冪比較大小
2023年，第3題，考察指對冪比較大小
2024年，第5題，考察指對冪比較大小
函數(shù)的定義域、函數(shù)值以及分段函數(shù)與基本初等函數(shù)及其性質，指對冪比大小依舊是重點關注方向，主要是選擇填空題為主
（1）函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性與在給定區(qū)間上的單調(diào)性相反；
（2）函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性與的單調(diào)性相同；
（3）和的公共定義區(qū)間，有如下結論；
增
增
增
不確定
增
減
不確定
增
減
減
減
不確定
減
增
不確定
減
設函數(shù)，.
①若，則函數(shù)的周期；
②若，則函數(shù)的周期；
③若，則函數(shù)的周期；
④若，則函數(shù)的周期；
⑤，則函數(shù)的周期
①對數(shù)型復合函數(shù)判斷奇偶性常用或來判斷奇偶性.
②，在它們的公共定義域上有下面的結論：
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
不能確定
不能確定
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
偶函數(shù)
不能確定
不能確定
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
③若是定義在區(qū)間上奇函數(shù)，且，則（注意：反之不成立）
（1）軸對稱：若函數(shù)關于直線對稱，則
①；
②；
③
（2）點對稱：若函數(shù)關于直線對稱，則
①
②
③
（3）點對稱：若函數(shù)關于直線對稱，則
①
②
③
通常涉及單調(diào)性+奇偶性
通常涉及單調(diào)性+奇偶性
（1）每段都要單調(diào)
（2）分段點是比較的重點

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