新定義型試題 1.如圖1,計(jì)算82×34,將乘數(shù)82記在格子上面,乘數(shù)34記在格子右側(cè),然后用乘數(shù)82的每位數(shù)字乘乘數(shù)34的每位數(shù)字,將結(jié)果記入相應(yīng)的格子中,最后按斜行加起來,得到2 788.如圖2,用“鋪地錦”的方法表示兩位數(shù)相乘,下列結(jié)論不正確的是(　　) A.b的值為6 B.a為奇數(shù) C.乘積結(jié)果可以表示為101b+10(a+1)-1 D.a的值小于3 2.小明在電腦中設(shè)置了一個(gè)有理數(shù)運(yùn)算程序:輸入數(shù)a,加*鍵,再輸入數(shù)b,就可以得到運(yùn)算a*b=3a+2b,請(qǐng)照此程序計(jì)算:(-4)*3=　　　　.? 3.符號(hào)“f ”表示一種運(yùn)算,f(x)表示x在運(yùn)算f作用下的結(jié)果,如f(x)=2x+1表示x在運(yùn)算f作用下的結(jié)果,它對(duì)一些數(shù)或式的運(yùn)算結(jié)果如下: f(1)=2×1+1=3, f(-3)=2×(-3)+1=-5, f(m+1)=2(m+1)+1=2m+3,…… 利用以上規(guī)律計(jì)算: (1)f(2 021)-f(2 020); (2)f(2m2+3n)-f(2m2-3n). 4.定義一種新的運(yùn)算:對(duì)于任意的有理數(shù)a,b,都有a?b=a+b,a⊕b=a-b,等式右邊是通常的加法、減法運(yùn)算,如a=2,b=1時(shí),a?b=2+1=3,a⊕b=2-1=1. (1)求(-2)?3+4⊕(-2)的值;(2)化簡(jiǎn):a2b?3ab+5a2b⊕4ab. 5.請(qǐng)你先看懂下面給出的例題,再按要求計(jì)算. 例:規(guī)定a1a2　b1b2=a1b2?a2b1,計(jì)算34　23. 解:由規(guī)定,得34　23=3×3-4×2=1. 問題:規(guī)定a1a2a3　b1b2b3　c1c2c3=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a3b2c1-a1b3c2-a2b1c3. 請(qǐng)你計(jì)算315-21　1-24　-13-5. 6.定義:若a+b=2,則稱a與b是關(guān)于1的平衡數(shù). (1)3與　　　　是關(guān)于1的平衡數(shù),5-x與　　　　是關(guān)于1的平衡數(shù)(用含x的式子表示);? (2)若a=2x2-3(x2+x)+4,b=2x-[3x-(4x+x2)-2],判斷a與b是不是關(guān)于1的平衡數(shù),并說明理由. 7.閱讀理解. 已知(a×b)2=a2×b2,(a×b)3=a3×b3,(a×b)4=a4×b4. (1)用特例驗(yàn)證上述等式是否成立(取a=1,b=-2); (2)通過上述驗(yàn)證,猜一猜:(a×b)100=　　　,歸納得出:(a×b)n=　　　　;? (3)上述性質(zhì)可以用來進(jìn)行積的乘方運(yùn)算,反之仍然成立,試計(jì)算:-142 015×42 016. 答案全解全析 1.D　易知乘積結(jié)果可以表示為100b+10(a+1)+b-1=101b+10(a+1)-1. 如圖,設(shè)5a的十位數(shù)字是m,個(gè)位數(shù)字是n, 由題意,得b=2+4=6,a+m=a+1,n=b-1,所以m=1,n=5.所以a=15÷5=3,所以A,B,C中的結(jié)論正確,D中的結(jié)論錯(cuò)誤.故選D. 2.-6 解析　根據(jù)題意得,原式=3×(-4)+2×3=-12+6=-6. 3.解析　(1)由題意可知,f(2 021)-f(2 020) =2×2 021+1-2×2 020-1=4 042-4 040=2. (2)f(2m2+3n)-f(2m2-3n) =2(2m2+3n)+1-2(2m2-3n)-1 =4m2+6n-4m2+6n=12n. 4.解析　(1)根據(jù)題中的新定義得(-2)?3+4⊕(-2)=(-2)+3+4-(-2)=7. (2)根據(jù)題中的新定義得a2b?3ab+5a2b⊕4ab=a2b+3ab+5a2b-4ab=6a2b-ab. 5.解析　由規(guī)定,得315-21　1-24　-13-5=3×(-2)×(-5)+15×4×(-1)+(-21)×1×3-(-21)×(-2)×(-1)-3×4×3-15×1×(-5)=30-60-63+42-36+75=-12. 6.解析　(1)設(shè)3關(guān)于1的平衡數(shù)為a,則3+a=2,所以a=-1,所以3與-1是關(guān)于1的平衡數(shù). 設(shè)5-x關(guān)于1的平衡數(shù)為b,則5-x+b=2,所以b=2-(5-x)=x-3,所以5-x與x-3是關(guān)于1的平衡數(shù). (2)a與b不是關(guān)于1的平衡數(shù).理由如下: 因?yàn)閍=2x2-3(x2+x)+4,b=2x-[3x-(4x+x2)-2], 所以a+b=2x2-3(x2+x)+4+2x-[3x-(4x+x2)-2]=2x2-3x2-3x+4+2x-3x+4x+x2+2=6≠2, 所以a與b不是關(guān)于1的平衡數(shù). 7.解析　(1)成立.[1×(-2)]2=4,12×(-2)2=4, 則[1×(-2)]2=12×(-2)2; [1×(-2)]3=-8,13×(-2)3=-8, 則[1×(-2)]3=13×(-2)3; [1×(-2)]4=16,14×(-2)4=16, 則[1×(-2)]4=14×(-2)4. (2)a100×b100;an×bn. (3)-142 015×42 016=-14×42 015×4=(-1)×4=-4. 8.解析　(1)由“南麓數(shù)”的定義可知,由于1+7=8,所以187是“南麓數(shù)”.而6+2≠9,因此692不是“南麓數(shù)”. (2)證明:設(shè)一個(gè)“南麓數(shù)”的個(gè)位數(shù)字為a,百位數(shù)字為b,則十位數(shù)字為a+b,這個(gè)“南麓數(shù)”可表示為100b+10(a+b)+a=110b+11a,與這個(gè)“南麓數(shù)”相對(duì)應(yīng)的“南麓數(shù)”為100a+10(a+b)+b=110a+11b,所以這一對(duì)“南麓數(shù)”的和為110b+11a+110a+11b=121b+121a=11×(11b+11a),因此任意一對(duì)“南麓數(shù)”的和都能被11整除.

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