線段與角的有關(guān)計(jì)算 類型一　與線段有關(guān)的計(jì)算 (一)利用線段的中點(diǎn)及線段的和差求線段的長 1.如圖,AB=10 cm,BC=6 cm,AD=6.5 cm,求CD的長. 2.如圖,C、D是線段AB上兩點(diǎn),若AB=10 cm,BC=4 cm,且D是線段AC的中點(diǎn),求BD的長. 3.如圖,AB=3 cm,BC=2 cm,且D是線段AC的中點(diǎn),求BD的長. (二)利用方程思想求線段的長 4.(2021山東濟(jì)南萊蕪期末)如圖,已知點(diǎn)C、D在線段AB上,點(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn),AC=13AB,CD=2.求線段AB的長. (三)利用整體思想求線段的長 5.如圖,點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn),點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn),點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn). (1)如果AB=12 cm,AM=5 cm,求BC的長; (2)如果MN=8 cm,求AB的長. (四)利用分類思想求線段的長 6.如圖,已知線段AB=4,延長AB到點(diǎn)C,使得AB=2BC,反向延長AB到點(diǎn)D,使得AC=2AD. (1)求線段CD的長; (2)若Q為AB的中點(diǎn),P為線段CD上一點(diǎn),且BP=12BC,求線段PQ的長. 7.(2021山東煙臺龍口期中)已知點(diǎn)A、B、C在同一條直線上,AC=6 cm,BC=4 cm,點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn),求線段MN的長. (五)利用點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)求線段的長 8.如圖,數(shù)軸上點(diǎn)A,B表示的有理數(shù)分別為-6,3,點(diǎn)P是射線AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合).M是線段AP靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn),N是線段BP靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn). (1)如果點(diǎn)P表示的有理數(shù)是0,那么MN的長為　　　;如果點(diǎn)P表示的有理數(shù)是6,那么MN的長為　　　;? (2)點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)A,B重合)的過程中,MN的長是否發(fā)生改變?若不改變,請寫出求MN的長的過程;若改變,請說明理由. 類型二　與角有關(guān)的計(jì)算 (一)利用角的平分線及角的和差求角度 9.(2021北京東城期末)如圖,點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn),∠BOC=36°,OD平分∠AOC,∠DOE=90°,求∠AOE的度數(shù). (二)利用方程思想求角度 10.(2022湖北潛江期末)如圖,已知∠BOC=2∠AOC,OD平分∠AOB,且∠COD=20°,求∠AOB的度數(shù). 11.如圖,OC平分∠AOB,∠AOD∶∠BOD=3∶5,已知∠COD=15°,求∠AOB的度數(shù). (三)利用整體思想求角度 12.(2021山東泰安肥城期末)如圖,已知∠AOB=120°,∠COD=50°,OM平分∠BOD,ON平分∠AOC. (1)若∠BOD=30°,則∠MOB=　　　　;? (2)若∠COD可以在∠AOB內(nèi)部繞點(diǎn)O任意旋轉(zhuǎn)(射線OC與射線OA不重合,射線OD與射線OB不重合),則∠MON的大小是否改變?試說明理由. 13.如圖,OC是∠AOD的平分線,OE是∠DOB的平分線. (1)如果∠AOB=130°,那么∠COE是多少度? (2)如果∠COE=α,那么∠AOB是多少度? (四)利用分類思想求角度 14.已知,如圖,∠AOB=70°,以O(shè)為端點(diǎn)作射線OC,使∠AOC=42°,試求∠BOC的度數(shù). 15.已知:∠BOC在∠AOB的外部,OE平分∠AOB,OF平分∠BOC,OD平分∠AOC,∠AOE=30°,∠BOD=10°,試求∠COF的度數(shù). (五)利用角的旋轉(zhuǎn)求角度 16.(2022山東濟(jì)南長清期末)如圖,以直線AB上一點(diǎn)O為端點(diǎn)作射線OC,使∠BOC=70°,將一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處.(注:∠DOE=90°) (1)如圖①,若直角三角板DOE的一邊OD放在射線OB上,則∠COE=　　　　°;? (2)如圖②,將直角三角板DOE繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)到某個(gè)位置,若OC恰好平分∠BOE,求∠COD的度數(shù); (3)如圖③,將直角三角板DOE繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng),如果OD始終在∠BOC的內(nèi)部,試猜想∠BOD和∠COE有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說明理由. 圖①　圖② 圖③ 答案全解全析 1.解析　因?yàn)锳B=10 cm,BC=6 cm,所以AC=AB-BC=10-6=4 cm.因?yàn)锳D=6.5 cm,AC=4 cm,所以CD=AD-AC=6.5-4=2.5 cm. 2.解析　因?yàn)锳B=10 cm,BC=4 cm, 所以AC=AB-BC=10-4=6 cm. 因?yàn)镈是線段AC的中點(diǎn), 所以CD=12AC=12×6=3 cm. 所以BD=BC+CD=4+3=7 cm. 3.解析　因?yàn)锳B=3 cm,BC=2 cm, 所以AC=AB+BC=3+2=5 cm. 因?yàn)镈是線段AC的中點(diǎn), 所以CD=12AC=12×5=2.5 cm. 所以BD=CD-BC=2.5-2=0.5 cm. 4.解析　因?yàn)锳C=13AB,所以設(shè)AC=x,則AB=3x. 所以BC=AB-AC=2x. 因?yàn)镈是線段AB的中點(diǎn),所以AD=12AB=1.5x, 因?yàn)镃D=2,AD-AC=CD, 所以1.5x-x=2, 解得x=4,所以AB=3x=12. 5.解析　(1)因?yàn)辄c(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn),所以AC=2AM, 因?yàn)锳M=5 cm,所以AC=10 cm, 因?yàn)锳B=12 cm,所以BC=AB-AC=2 cm. (2)因?yàn)辄c(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn),點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn),所以BC=2NC,AC=2MC, 因?yàn)镸N=NC+MC=8 cm, 所以AB=BC+AC=2MN=2×8=16 cm. 6.解析　(1)因?yàn)锳B=4,AB=2BC, 所以BC=2,所以AC=AB+BC=6, 因?yàn)锳C=2AD,所以AD=3, 所以CD=AC+AD=6+3=9. (2)因?yàn)镼為AB的中點(diǎn),所以BQ=12AB=2, 因?yàn)锽P=12BC,所以BP=1, 當(dāng)點(diǎn)P在B、C之間時(shí),PQ=BQ+BP=2+1=3; 當(dāng)點(diǎn)P在A、B之間時(shí),PQ=BQ-BP=2-1=1. 綜上,PQ的長為1或3. 7.解析　當(dāng)點(diǎn)B在線段AC上時(shí),如圖, 由題意得MC=12AC=12×6=3(cm), NC=12BC=12×4=2(cm), 所以MN=MC-NC=3-2=1(cm); 當(dāng)點(diǎn)B在線段AC的延長線上時(shí),如圖, 由題意得MC=12AC=12×6=3(cm), NC=12BC=12×4=2(cm), 所以MN=MC+NC=3+2=5(cm). 綜上所述,MN的長為1 cm或5 cm. 8.解析　(1)6;6. (2)MN的長不會發(fā)生改變. 設(shè)點(diǎn)P表示的有理數(shù)是a(a>-6且a≠3). 當(dāng)-6

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