1. 初步體會(huì)一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式的內(nèi)在關(guān)系；
2. 會(huì)用圖像法解一元一次方程和一元一次不等式.
一根長(zhǎng)25cm的彈簧，一端固定，另一端掛物體. 在彈簧伸長(zhǎng)后的長(zhǎng)度不超過35cm的限度內(nèi)，每掛1kg質(zhì)量的物體，彈簧伸長(zhǎng)0.5cm.
(1) 設(shè)所掛物體的質(zhì)量為xkg，彈簧的長(zhǎng)度是ycm，求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并畫出函數(shù)的圖像.
(2)求彈簧所掛物體的最大質(zhì)量是多少？
彈簧所掛物體的質(zhì)量越大，彈簧長(zhǎng)度越長(zhǎng)，因?yàn)殚L(zhǎng)度不超過35cm，所以當(dāng)y=35時(shí)，該彈簧所掛物體的質(zhì)量最大.
0.5x+25=35，
(3)當(dāng)彈簧的長(zhǎng)度為30cm、32.5cm時(shí)，掛物的質(zhì)量分別是多少？
0.5x+25=30， x=10
0.5x+25=32.5， x=15
你能利用函數(shù)圖像解上面的方程嗎？
一次函數(shù)與一元一次方程之間有什么關(guān)系呢？
下面三個(gè)方程，它們有什么共同特點(diǎn)？
（1）2x+4=2；（2）2x+4=0； （3）2x+4=-2．
如果等號(hào)右邊的數(shù)字用y代替，你能給這三個(gè)式子新的解釋嗎？
解一元一次方程 ax +b =k 就是求當(dāng)函數(shù)(y=ax +b)值為k 時(shí)，對(duì)應(yīng)的自變量的值．
一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系：
1. 試根據(jù)一次函數(shù)y＝2x＋4的圖像說出方程2x＋4＝0、2x＋4＝6的解.
2. 方程2x＋4=0的解為x=-2，則直線y＝2x＋4與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為__________;
方程2x＋4=-2的解為x=-3，則點(diǎn)__________在直線y＝2x＋4上.
由圖像可得，當(dāng)y＝30時(shí)，x=10
當(dāng)y＝32.5時(shí)，x=15
例1 利用函數(shù)圖像解下列方程:
(1)0.5x-3=1；
解法1：(1)畫出函數(shù)y=0.5x-3的圖像，
如圖，∵直線y=0.5x-3與y=1的交點(diǎn)坐標(biāo)為(8，1)，∴方程0.5x-3=1的解為x=8.
(2)0.5x-3=1；
解法2：(1)將0.5x-3=1化為0.5x-4=0，畫出函數(shù)y=0.5x-4的圖像，
如圖，∵直線y=0.5x-4與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(8，0)，∴方程0.5x-3=1的解為x=8.
(2)3x-2=x+4.
如圖，直線y=3x-2與直線y=x+4的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,7)，所以方程3x-2=x+4的解為x=3.
解法1：畫出函數(shù)y=3x-2和函數(shù)y=x+4的圖像,
如圖，直線y=2x-6與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，所以方程3x-2=x+4的解為x=3.
解法2：(2)把3x-2=x+4化為y=2x-6，畫出函數(shù)y=2x-6的圖像，
2.用圖像法解一元一次方程應(yīng)先將方程轉(zhuǎn)化為kx+b=0的形式，再畫出函數(shù)y=kx+b的圖像，找出直線y=kx+b與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即得方程kx+b=0的解.
1. 解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)，當(dāng)函數(shù)值y確定時(shí)，求與之對(duì)應(yīng)的自變量x的值；從圖像上看，這相當(dāng)于已知縱坐標(biāo)確定橫坐標(biāo)的值.
你能根據(jù)一次函數(shù)y＝2x＋4的圖像說出不等式2x＋4＞0、2x＋4＜6的解集嗎？
例2 已知函數(shù)y1＝2x－4與y2＝－2x＋8 的圖像，觀察圖像并回答問題：
(1)x取何值時(shí)， 2x－4 ＞0？
(2)x取何值時(shí)，－2x＋8 ＞0？
(3)x取何值時(shí)， 2x－4 ＞0與－2x＋8 ＞0同時(shí)成立？
(4)求不等式2x－4＞－2x＋8的解集.
(5)求函數(shù)y1＝2x－4與y2＝－2x＋8的圖像與 x 軸所圍成的三角形的面積？
例3 x取什么值時(shí)，函數(shù)y＝－2(x+1)＋4的值是正數(shù)？負(fù)數(shù)？非負(fù)數(shù)？
解：解不等式-2(x+1)+4>0，得 x < 1，解不等式-2(x+1)+4 1，解不等式-2(x+1)+4≥0，得 x ≤ 1，∴x < 1時(shí)，函數(shù)y=-2(x+1)+4的值是正數(shù)，x>1時(shí)，函數(shù)y=-2(x+1)+4的值是負(fù)數(shù)，x≤1時(shí)，函數(shù)y=-2(x+1)+4的值是非負(fù)數(shù).
一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系：
y=kx+b的值大于(或小于)0時(shí)，x的取值范圍
確定直線y=kx+b在x軸上方(或下方)的圖像所對(duì)應(yīng)的x取值范圍
求kx+b＞0(或 350，解得，x≥3，答:汽車在高速公路上至少行駛3小時(shí).
3.某地長(zhǎng)途汽車客運(yùn)公司規(guī)定旅客可隨身攜帶一定質(zhì)量的行李, 當(dāng)行李的質(zhì)量超過規(guī)定時(shí)，需付的行李票費(fèi)y(元)是行李質(zhì)量x(kg)之間的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，這個(gè)函數(shù)的圖像如圖所示. 求：(1) k和b的值；(2)旅客最多可免費(fèi)攜帶行李的質(zhì)量；(3)行李費(fèi)為4～15元，旅客攜帶行李的質(zhì)量為多少？
一次函數(shù)、一元一次方程和一元一次不等式
解一元一次方程 對(duì)應(yīng)一次函數(shù)的值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值，即一次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
解一元一次不等式 對(duì)應(yīng)一次函數(shù)的函數(shù)值大(小)于0時(shí)，求自變量的取值范圍，即在x軸上方(或下方)的圖象所對(duì)應(yīng)的x取值范圍.
2.如圖，已知直線y=kx+b與x軸交于點(diǎn)(-4，0)，則當(dāng)y>0時(shí)，x的取值范圍是( )A. x>-4 B. x>0 C. x0的解集;(2)求不等式-3x+12≤0的解集;(3)如果y的值在-6≤y≤6的范圍內(nèi)，那么相應(yīng)的x的值在什么范圍內(nèi)?
解:取點(diǎn)(0,12)，(4,0)，圖像如圖所示.(1)不等式-3x+12>0的解集為x

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6.6 一次函數(shù)、一元一次方程和一元一次不等式

版本： 蘇科版（2024）

年級(jí)： 八年級(jí)上冊(cè)

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