一、知識點梳理
新課程標準進一步明確了數(shù)學文化在教學中的地位，數(shù)學文化作為素養(yǎng)考查的四大內涵之一，以數(shù)學文化為背景的試題將是新高考的考察內容，數(shù)列與數(shù)學文化有著緊密的聯(lián)系，本專輯總結了數(shù)學文化在數(shù)列中出現(xiàn)的真題和模擬題。
二、題型精講精練
【典例1】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結構，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（ ）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
【典例2】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務后，繼續(xù)進行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則（ ）
A．B．C．D．
【題型訓練-刷模擬】
一、單選題
1．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考模擬預測）“埃拉托塞尼篩法”是保證能夠挑選全部素數(shù)的一種古老的方法.這種方法是依次寫出2和2以上的自然數(shù)，留下第一個數(shù)2不動，剔除掉所有2的倍數(shù)；接著，在剩余的數(shù)中2后面的一個數(shù)3不動，剔除掉所有3的倍數(shù)；接下來，再在剩余的數(shù)中對3后面的一個數(shù)5作同樣處理；……，依次進行同樣的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素數(shù).在利用“埃拉托塞尼篩法”挑選2到20的全部素數(shù)過程中剔除的所有數(shù)的和為（ ）
A．130B．132C．134D．141
2．（2023·廣東深圳·校考二模）宋代制酒業(yè)很發(fā)達，為了存儲方便，酒缸是要一層一層堆起來的，形成堆垛，用簡便的方法算出堆垛中酒缸的總數(shù)，古代稱之為堆垛術.有這么一道關于“堆垛”求和的問題：將半徑相等的圓球堆成一個三角垛，底層是每邊為n個圓球的三角形，向上逐層每邊減少一個圓球，頂層為一個圓球，記自上而下第n層的圓球總數(shù)為，容易發(fā)現(xiàn)：，，，則（ ）
A．45B．40C．35D．30
3．（2023·湖南郴州·校聯(lián)考模擬預測）2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內舉行，也是繼2002年韓日世界杯之后時隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽.某網(wǎng)站全程轉播了該次世界杯，為紀念本次世界杯，該網(wǎng)站舉辦了一針對本網(wǎng)站會員的獎品派發(fā)活動，派發(fā)規(guī)則如下：①對于會員編號能被2整除余1且被7整除余1的可以獲得精品足球一個；②對于不符合①中條件的可以獲得普通足球一個.已知該網(wǎng)站的會員共有1456人（編號為1號到1456號，中間沒有空缺），則獲得精品足球的人數(shù)為（ ）
A．102B．103C．104D．105
4．（2023·全國·模擬預測）離子是指原子由于自身或外界的作用而失去或得到一個或幾個電子后達到的穩(wěn)定結構，得到電子為陰離子，失去電子為陽離子，在外界作用下陰離子與陽離子之間可以相互轉化．科學家們在試驗過程中發(fā)現(xiàn)，在特定外界作用下，1個陰離子可以轉化為1個陽離子和1個陰離子，1個陽離子可以轉化為1個陰離子，如果再次施加同樣的外界作用，又能產(chǎn)生同樣的轉化．若一開始有1個陰離子和1個陽離子，則在9次該作用下，陰離子的個數(shù)為（ ）
A．87B．89C．91D．93
5．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預測）“勾股樹”，也被稱為畢達哥拉斯樹，是根據(jù)勾股定理所畫出來的一個可以無限重復的樹形圖形.如圖所示，以正方形的一邊為直角三角形的斜邊向外作一個等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的兩直角邊為正方形的邊長向外作兩個正方形，如此繼續(xù)，若共得到127個正方形，且，則這127個正方形中，最小的正方形邊長為（ ）

A．1B．C．2D．
6．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）數(shù)學家楊輝在其專著《詳解九章算術法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的高階等差數(shù)列．其中二階等差數(shù)列是一個常見的高階等差數(shù)列、如數(shù)列2，4，7，11，16，從第二項起，每一項與前一項的差組成新數(shù)列2，3，4，5，新數(shù)列2，3，4，5為等差數(shù)列，則稱數(shù)列2，4，7，11，16為二階等差數(shù)列，現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前七項分別為2，2，3，5，8，12，17．則該數(shù)列的第20項為（ ）
A．173B．171C．155D．151
7．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？既＃轫憫獓姨栒?，某地出臺了相關的優(yōu)惠政策鼓勵“個體經(jīng)濟”.個體戶小王2022年6月初向銀行借了1年期的免息貸款8000元，用于進貨，因質優(yōu)價廉，供不應求.據(jù)測算：他每月月底獲得的利潤是該月初投入資金的20%，并且每月月底需扣除生活費800元，余款作為資金全部用于下月再進貨，如此繼續(xù)，預計到2023年5月底他的年所得收入（扣除當月生活費且還完貸款）為（ ）元（參考數(shù)據(jù)：，）
A．35200B．43200C．30000D．32000
8．（2023·河南·洛寧縣第一高級中學校聯(lián)考模擬預測）歐拉是18世紀最優(yōu)秀的數(shù)學家之一，幾乎每個數(shù)學領域都可以看到歐拉的名字，例如初等幾何中的歐拉線、多面體中的歐拉定理、微分方程中的歐拉方程，以及數(shù)論中的歐拉函數(shù)等等．個數(shù)叫互質數(shù)）的正整數(shù)（包括1）的個數(shù)，記作．例如：小于或等于4的正整數(shù)中與4互質的正整數(shù)有1，3這兩個，即．記為數(shù)列的前n項和，則（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學?？级＃皸钶x三角”是中國古代重要的數(shù)學成就，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中虛線上的數(shù)構成的數(shù)列的第項，則的值為（ ）

A．1275B．1276C．1270D．1280
10．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預測）北宋大科學家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)的“隙積術”，就是關于高階等差數(shù)列求和的問題．現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有1個貨物，第二層比第一層多2個，第三層比第二層多3個，以此類推，記第n層貨物的個數(shù)為，則數(shù)列的前2023項和為（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023·湖南長沙·長沙一中校考模擬預測）等比數(shù)列的歷史由來已久，我國古代數(shù)學文獻《孫子算經(jīng)》、《九章算術》、《算法統(tǒng)宗》中都有相關問題的記載．現(xiàn)在我們不僅可以通過代數(shù)計算來研究等比數(shù)列，還可以構造出等比數(shù)列的圖象，從圖形的角度更為直觀的認識它．以前n項和為，且，的等比數(shù)列為例，先畫出直線OQ：，并確定x軸上一點，過點作y軸的平行線，交直線OQ于點，則．再過點作平行于x軸，長度等于的線段，……，不斷重復上述步驟，可以得到點列，和．下列說法錯誤的是（ ）

A．B．
C．點的坐標為D．
12．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學校考三模）刻漏是中國古代用來計時的儀器，利用附有刻度的浮箭隨著受水壺的水面上升來指示時間.為了使受水壺得到均勻水流，古代的科學家們發(fā)明了一種三級漏壺，壺形都為正四棱臺，自上而下，三個漏壺的上口寬依次遞減1寸（約3.3厘米），下底寬和深度也依次遞減1寸.設三個漏壺的側面與底面所成銳二面角依次為，，，則（ ）

A．B．
C．D．
13．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學?？寄M預測）元代數(shù)學家朱世杰所創(chuàng)立的“招差術”是我國古代數(shù)學領域的一項重要成就，曾被科學家牛頓加以利用，在世界上產(chǎn)生了深遠的影響.已知利用“招差術”得到以下公式：，具體原理如下：，，類比上述方法，的值是（ ）
A．90B．210C．420D．756
14．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預測）北宋大科學家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)的“隙積術”，就是關于高階等差數(shù)列求和的問題．現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有1個貨物，第二層比第一層多2個，第三層比第二層多3個，以此類推，記第n層貨物的個數(shù)為，則使得成立的n的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
15．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）我國古代數(shù)學家對近似值的確定做出了巨大貢獻，早在東漢初年的數(shù)學古籍《周髀算經(jīng)》里便記載“徑一周三”，并稱之為“古率”，即“直徑為1的圓，周長為3”，之后三國時期數(shù)學家劉徽證明了圓內接正六邊形的周長是圓直徑的三倍，說明“徑一周三”實際上是圓的內接正六邊形的周長與圓直徑的比值，而不是圓周率．若將圓內接正n邊形的周長與其外接圓的直徑之比記為，則下列說法錯誤的是（ ）
A．
B．
C．存在，當時，
D．存在，使得
二、填空題
16．（2023·湖南長沙·長沙市明德中學?？既＃┲袊糯鷶?shù)學著作《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，如此六日過其關.” 則此人在第六天行走的路程是 里（用數(shù)字作答）.
17．（2023·甘肅金昌·永昌縣第一高級中學統(tǒng)考模擬預測）我國古代數(shù)學著作《九章算術》有如下問題，“今有金箠，長五尺．斬本一尺，重四斤．斬末一尺，重二斤．問次一尺各重幾何？”意思是“現(xiàn)有一根金杖，長五尺，一頭粗，一頭細．在粗的一端截下1尺，重4斤；在細的一端截下1尺，重2斤；問依次每一尺各重多少斤？”根據(jù)上題的已知條件，若金杖由粗到細是均勻變化的，估計此金杖總重量約為 斤．
18．（2023·云南·云南師大附中?？寄M預測）幻方又稱為魔方，方陣或廳平方，最早記載于中國公元前500年的春秋時期《大戴禮》中，宋代數(shù)學家楊輝稱之為縱橫圖.如圖所示，將1，2，3，…，9填入的方格內，使三行?三列?兩對角線的三個數(shù)之和都等于15，便得到一個3階幻方；一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，…，填入的方格內，使得每行?每列?每條對角線上的數(shù)字的和相等，這個正方形就叫做階幻方.記階幻方的一條對角線上的數(shù)字之和為（如：），則 .
19．（2023·廣西南寧·南寧三中校考一模）唐代酒宴上的助興游戲“擊鼓傳花”，也稱傳彩球．游戲規(guī)則為：鼓響時，眾人開始依次傳花，至鼓停為止，此時花在誰手中，誰就上臺表演節(jié)目．甲、乙、丙三人玩擊鼓傳花，鼓響時，第1次由甲將花傳出，每次傳花時，傳花者都等可能地將花傳給另外兩人中的任何一人，經(jīng)過6次傳遞后，花又在甲手中的概率為 ．
20．（2023·全國·模擬預測）斐波那契數(shù)列由意大利數(shù)學家斐波那契以兔子繁殖為例引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在實際生活中，很多花朵（如梅花、飛燕草、萬壽菊等）的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學等領域也有著廣泛的應用．斐波那契數(shù)列滿足：，，則是斐波那契數(shù)列中的第 項．
21．（2023·浙江金華·統(tǒng)考模擬預測）數(shù)學王子高斯在小時候計算時，他是這樣計算的：，共有50組，故和為5050，事實上，高斯發(fā)現(xiàn)并利用了等差數(shù)列的對稱性.若函數(shù)圖象關于對稱，，則 .
22．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考二模）歐拉是瑞士數(shù)學家和物理學家，近代數(shù)學先驅之一，在許多數(shù)學的分支中經(jīng)?？梢砸姷揭运拿置闹匾瘮?shù)、公式和定理．如著名的歐拉函數(shù)：對于正整數(shù)n，表示小于或等于n的正整數(shù)中與n互質的數(shù)的個數(shù)，如，．那么，數(shù)列的前n項和為 ．
23．（2023·黑龍江大慶·大慶實驗中學?？寄M預測）古印度數(shù)學家婆什伽羅在《麗拉沃蒂》一書中提出如下問題：某人給一個人布施，初日施2子安貝（古印度貨幣單位），以后逐日倍增，問一月共施幾何？在這個問題中，以一個月31天計算，記此人第n日布施了子安貝（其中，），數(shù)列的前n項和為．若關于n的不等式恒成立，則實數(shù)t的取值范圍為 ．
三、解答題
24．（2023·云南昆明·統(tǒng)考模擬預測）雪花是一種美麗的結晶體，放大任意一片雪花的局部，會發(fā)現(xiàn)雪花的局部和整體的形狀竟是相似的，如圖是瑞典科學家科赫在1904年構造的能夠描述雪花形狀的圖案，其作法如下：
將圖①中正三角形的每條邊三等分，并以中間的那一條線段為一邊向形外作正三角形，再去掉底邊，得到圖②；
將圖②的每條邊三等分，重復上述的作圖方法，得到圖③；
……
按上述方法，所得到的曲線稱為科赫雪花曲線（Kch snwflake）．
現(xiàn)將圖①、圖②、圖③、…中的圖形依次記為、、…、、…．小明為了研究圖形的面積，把圖形的面積記為，假設a1＝1，并作了如下探究：
根據(jù)小明的假設與思路，解答下列問題．
(1)填寫表格最后一列，并寫出與的關系式；
(2)根據(jù)（1）得到的遞推公式，求的通項公式；
(3)從第幾個圖形開始，雪花曲線所圍成的面積大于．
參考數(shù)據(jù)（，）
25．（2023·福建福州·福州四中?？寄M預測）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊渾所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球設各層球數(shù)構成一個數(shù)列.

(1)寫出與的遞推關系，并求數(shù)列的通項公式；
(2)記數(shù)列的前項和為，且，在與之間插入個數(shù)，若這個數(shù)恰能組成一個公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和.
2024年高考數(shù)學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養(yǎng)拓展23 數(shù)列與數(shù)學文化（精講+精練）
一、知識點梳理
新課程標準進一步明確了數(shù)學文化在教學中的地位，數(shù)學文化作為素養(yǎng)考查的四大內涵之一，以數(shù)學文化為背景的試題將是新高考的考察內容，數(shù)列與數(shù)學文化有著緊密的聯(lián)系，本專輯總結了數(shù)學文化在數(shù)列中出現(xiàn)的真題和模擬題。
二、題型精講精練
【典例1】（單選題）（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結構，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（ ）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
【答案】D
【分析】設，則可得關于的方程，求出其解后可得正確的選項.
【詳解】設，則，
依題意，有，且，
所以，故，故選：D
【典例2】（單選題）（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務后，繼續(xù)進行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)，再利用數(shù)列與的關系判斷中各項的大小，即可求解.
【詳解】[方法一]:常規(guī)解法
因為，
所以，，得到，
同理，可得，
又因為，
故，；
以此類推，可得，，故A錯誤；
，故B錯誤；
，得，故C錯誤；
，得，故D正確.
[方法二]：特值法
不妨設則故D正確.
【題型訓練-刷模擬】
一、單選題
1．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考模擬預測）“埃拉托塞尼篩法”是保證能夠挑選全部素數(shù)的一種古老的方法.這種方法是依次寫出2和2以上的自然數(shù)，留下第一個數(shù)2不動，剔除掉所有2的倍數(shù)；接著，在剩余的數(shù)中2后面的一個數(shù)3不動，剔除掉所有3的倍數(shù)；接下來，再在剩余的數(shù)中對3后面的一個數(shù)5作同樣處理；……，依次進行同樣的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素數(shù).在利用“埃拉托塞尼篩法”挑選2到20的全部素數(shù)過程中剔除的所有數(shù)的和為（ ）
A．130B．132C．134D．141
【答案】B
【分析】利用等差數(shù)列求和公式及素數(shù)的定義即可求解.
【詳解】由題可知，2到20的全部整數(shù)和為，
2到20的全部素數(shù)和為，
所以挑選2到20的全部素數(shù)過程中剔除的所有數(shù)的和為.
故選：B.
2．（2023·廣東深圳·校考二模）宋代制酒業(yè)很發(fā)達，為了存儲方便，酒缸是要一層一層堆起來的，形成堆垛，用簡便的方法算出堆垛中酒缸的總數(shù)，古代稱之為堆垛術.有這么一道關于“堆垛”求和的問題：將半徑相等的圓球堆成一個三角垛，底層是每邊為n個圓球的三角形，向上逐層每邊減少一個圓球，頂層為一個圓球，記自上而下第n層的圓球總數(shù)為，容易發(fā)現(xiàn)：，，，則（ ）
A．45B．40C．35D．30
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，歸納推理，第層的圓球總數(shù)個數(shù)表達式，再將，，代入求解即可．
【詳解】當時，第1層的圓球總數(shù)為，
當時，第2層的圓球總數(shù)為，
當時，第3層的圓球總數(shù)為，
．
所以第層的圓球總數(shù)為，
當時，，當時，，
故．
故選：B．
3．（2023·湖南郴州·校聯(lián)考模擬預測）2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內舉行，也是繼2002年韓日世界杯之后時隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽.某網(wǎng)站全程轉播了該次世界杯，為紀念本次世界杯，該網(wǎng)站舉辦了一針對本網(wǎng)站會員的獎品派發(fā)活動，派發(fā)規(guī)則如下：①對于會員編號能被2整除余1且被7整除余1的可以獲得精品足球一個；②對于不符合①中條件的可以獲得普通足球一個.已知該網(wǎng)站的會員共有1456人（編號為1號到1456號，中間沒有空缺），則獲得精品足球的人數(shù)為（ ）
A．102B．103C．104D．105
【答案】C
【分析】將能被2整除余1且被7整除余1的正整數(shù)按從小到大排列所得的數(shù)列記為，求出其通項，結合條件列不等式求出結果.
【詳解】將能被2整除余1且被7整除余1的正整數(shù)按從小到大排列所得的數(shù)列記為，
由已知是的倍數(shù)，也是的倍數(shù)，
故為的倍數(shù)，
所以首項為，公差為的等差數(shù)列，
所以，
令，可得，又
解得，且，
故獲得精品足球的人數(shù)為.
故選：C.
4．（2023·全國·模擬預測）離子是指原子由于自身或外界的作用而失去或得到一個或幾個電子后達到的穩(wěn)定結構，得到電子為陰離子，失去電子為陽離子，在外界作用下陰離子與陽離子之間可以相互轉化．科學家們在試驗過程中發(fā)現(xiàn)，在特定外界作用下，1個陰離子可以轉化為1個陽離子和1個陰離子，1個陽離子可以轉化為1個陰離子，如果再次施加同樣的外界作用，又能產(chǎn)生同樣的轉化．若一開始有1個陰離子和1個陽離子，則在9次該作用下，陰離子的個數(shù)為（ ）
A．87B．89C．91D．93
【答案】B
【分析】作用后的陽離子個數(shù)是作用前陰離子個數(shù)，作用后的陰離子個數(shù)是作用前陰陽離子個數(shù)之和，然后逐次推斷即可.
【詳解】由題目知，作用后的陽離子個數(shù)是作用前陰離子個數(shù)，作用后的陰離子個數(shù)是作用前陰陽離子個數(shù)之和。
現(xiàn)在有1個陰離子和1個陽離子，經(jīng)過逐次作用后：
則在9次該作用下，陰離子的個數(shù)為.
故選：B.
5．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預測）“勾股樹”，也被稱為畢達哥拉斯樹，是根據(jù)勾股定理所畫出來的一個可以無限重復的樹形圖形.如圖所示，以正方形的一邊為直角三角形的斜邊向外作一個等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的兩直角邊為正方形的邊長向外作兩個正方形，如此繼續(xù)，若共得到127個正方形，且，則這127個正方形中，最小的正方形邊長為（ ）

A．1B．C．2D．
【答案】C
【分析】由題意可得不同邊長的正方形的個數(shù)，構成以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，從而可得小正方形的種類數(shù)，再由正方形的邊長構成以16為首項，為公比的等比數(shù)列，即可得到結果.
【詳解】依題意，不同邊長的正方形的個數(shù)，構成以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，即，解得，即有7種邊長不同的正方形；又正方形的邊長構成以16為首項，為公比的等比數(shù)列.
因此，最小的正方形邊長.
故選:C
6．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）數(shù)學家楊輝在其專著《詳解九章算術法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的高階等差數(shù)列．其中二階等差數(shù)列是一個常見的高階等差數(shù)列、如數(shù)列2，4，7，11，16，從第二項起，每一項與前一項的差組成新數(shù)列2，3，4，5，新數(shù)列2，3，4，5為等差數(shù)列，則稱數(shù)列2，4，7，11，16為二階等差數(shù)列，現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前七項分別為2，2，3，5，8，12，17．則該數(shù)列的第20項為（ ）
A．173B．171C．155D．151
【答案】A
【分析】根據(jù)題意得到的通項公式即可得到答案.
【詳解】根據(jù)題意得新數(shù)列為，則二階等差數(shù)列 的通項公式為，則
故選：A.
7．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？既＃轫憫獓姨栒伲车爻雠_了相關的優(yōu)惠政策鼓勵“個體經(jīng)濟”.個體戶小王2022年6月初向銀行借了1年期的免息貸款8000元，用于進貨，因質優(yōu)價廉，供不應求.據(jù)測算：他每月月底獲得的利潤是該月初投入資金的20%，并且每月月底需扣除生活費800元，余款作為資金全部用于下月再進貨，如此繼續(xù)，預計到2023年5月底他的年所得收入（扣除當月生活費且還完貸款）為（ ）元（參考數(shù)據(jù)：，）
A．35200B．43200C．30000D．32000
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，由條件可得數(shù)列是首項為4800，公比為1.2的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的通項公式即可得到結果.
【詳解】設2022年6月底小王手中有現(xiàn)款為元，
設2022年6月底為第一個月，以此類推，設第個月底小王手中有現(xiàn)款為，第個月月底小王手中有現(xiàn)款為，
則，即，
所以數(shù)列是首項為4800，公比為1.2的等比數(shù)列，
∴，即，
年所得收入為元.
故選：D.
8．（2023·河南·洛寧縣第一高級中學校聯(lián)考模擬預測）歐拉是18世紀最優(yōu)秀的數(shù)學家之一，幾乎每個數(shù)學領域都可以看到歐拉的名字，例如初等幾何中的歐拉線、多面體中的歐拉定理、微分方程中的歐拉方程，以及數(shù)論中的歐拉函數(shù)等等．個數(shù)叫互質數(shù)）的正整數(shù)（包括1）的個數(shù)，記作．例如：小于或等于4的正整數(shù)中與4互質的正整數(shù)有1，3這兩個，即．記為數(shù)列的前n項和，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，得到，結合等比數(shù)列的求和公式，即可求解.
【詳解】由題意，若正整數(shù)，且與不互質，則這個數(shù)為偶數(shù)或的倍數(shù)，共有個，所以，
即數(shù)列是首項為2，公比為6的等比數(shù)列，所以．
故選：B.
9．（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學校考二模）“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學成就，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中虛線上的數(shù)構成的數(shù)列的第項，則的值為（ ）

A．1275B．1276C．1270D．1280
【答案】A
【分析】根據(jù)題意分析可得，利用累加法運算求解.
【詳解】由題意可得：，即，
所以.
故選：A.
10．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預測）北宋大科學家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)的“隙積術”，就是關于高階等差數(shù)列求和的問題．現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有1個貨物，第二層比第一層多2個，第三層比第二層多3個，以此類推，記第n層貨物的個數(shù)為，則數(shù)列的前2023項和為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由累加法可得，利用裂項相消求和法求出，即可得解.
【詳解】由題意知，，且，
則由累加法可知，，
所以，，
，
∴.
故選：D．
11．（2023·湖南長沙·長沙一中?？寄M預測）等比數(shù)列的歷史由來已久，我國古代數(shù)學文獻《孫子算經(jīng)》、《九章算術》、《算法統(tǒng)宗》中都有相關問題的記載．現(xiàn)在我們不僅可以通過代數(shù)計算來研究等比數(shù)列，還可以構造出等比數(shù)列的圖象，從圖形的角度更為直觀的認識它．以前n項和為，且，的等比數(shù)列為例，先畫出直線OQ：，并確定x軸上一點，過點作y軸的平行線，交直線OQ于點，則．再過點作平行于x軸，長度等于的線段，……，不斷重復上述步驟，可以得到點列，和．下列說法錯誤的是（ ）

A．B．
C．點的坐標為D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題設描述，確定題圖中相關線段的數(shù)量關系，結合直線斜率定義、等比數(shù)列前n項和判斷各項的正誤即可.
【詳解】選項A，由題設及圖象知：，故正確；
選項B，因為表示直線OQ:斜率，即為q，故正確；
選項C，點的橫坐標為，故正確；
選項D，由，
而，，則，
又△為等腰直角三角形，即，
綜上，，故錯誤．
故選：D
12．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學?？既＃┛搪┦侵袊糯脕碛嫊r的儀器，利用附有刻度的浮箭隨著受水壺的水面上升來指示時間.為了使受水壺得到均勻水流，古代的科學家們發(fā)明了一種三級漏壺，壺形都為正四棱臺，自上而下，三個漏壺的上口寬依次遞減1寸（約3.3厘米），下底寬和深度也依次遞減1寸.設三個漏壺的側面與底面所成銳二面角依次為，，，則（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】連結，過邊的中點作，垂足為，則就是漏壺的側面與底面所成銳二面角的一個平面角，記為，設漏壺上口寬為，下底寬為，高為，在中，根據(jù)等差數(shù)列即可求解．
【詳解】三級漏壺，壺形都為正四棱臺，自上而下，三個漏壺的上口寬依次遞減1寸（約3.3厘米），下底寬和深度也依次遞減1寸，
如圖，在正四棱臺中，為正方形的中心，是邊的中點，
連結，過邊的中點作，垂足為，

則就是漏壺的側面與底面所成銳二面角的一個平面角，記為，
設漏壺上口寬為，下底寬為，高為，在中，，，
因為自上而下三個漏壺的上口寬成等差數(shù)列，下底寬也成等差數(shù)列，所以為定值，
又因為三個漏壺的高成等差數(shù)列，所以．
故選：D．
13．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學?？寄M預測）元代數(shù)學家朱世杰所創(chuàng)立的“招差術”是我國古代數(shù)學領域的一項重要成就，曾被科學家牛頓加以利用，在世界上產(chǎn)生了深遠的影響.已知利用“招差術”得到以下公式：，具體原理如下：，，類比上述方法，的值是（ ）
A．90B．210C．420D．756
【答案】C
【分析】由類比把通項化為
，相加即可求和.
【詳解】.
故選：C
14．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預測）北宋大科學家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)的“隙積術”，就是關于高階等差數(shù)列求和的問題．現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有1個貨物，第二層比第一層多2個，第三層比第二層多3個，以此類推，記第n層貨物的個數(shù)為，則使得成立的n的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】由題設及累加可得，應用等差數(shù)列前n項和公式及已知不等關系求n范圍，即可得結果.
【詳解】由題意，，且，
累加可得，所以，
∴，得，即．
故選：C．
15．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）我國古代數(shù)學家對近似值的確定做出了巨大貢獻，早在東漢初年的數(shù)學古籍《周髀算經(jīng)》里便記載“徑一周三”，并稱之為“古率”，即“直徑為1的圓，周長為3”，之后三國時期數(shù)學家劉徽證明了圓內接正六邊形的周長是圓直徑的三倍，說明“徑一周三”實際上是圓的內接正六邊形的周長與圓直徑的比值，而不是圓周率．若將圓內接正n邊形的周長與其外接圓的直徑之比記為，則下列說法錯誤的是（ ）
A．
B．
C．存在，當時，
D．存在，使得
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，設外接圓的半徑為R，求出的通項公式，代入即可判斷AD，利用導數(shù)求解單調性即可判斷BC.
【詳解】解：根據(jù)題意，正n邊形內接于圓，設圓的半徑為R，則正n邊形的周長，則，
對于A，當時，，A正確；
對于B，設，其導數(shù)，
接下來證明，
令，
則
故均為上的單調遞減函數(shù)，所以，
故，
則有當時，有，故，函數(shù)在上為增函數(shù)，
故數(shù)列為遞增數(shù)列，則有，B正確；
對于C，當時，，對于，必有，對于數(shù)列，必有，C錯誤；
對于D，當時，，，D正確；
故選：C．
二、填空題
16．（2023·湖南長沙·長沙市明德中學?？既＃┲袊糯鷶?shù)學著作《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，如此六日過其關.” 則此人在第六天行走的路程是 里（用數(shù)字作答）.
【答案】6
【分析】根據(jù)題意分析，看成首項，公比的等比數(shù)列，已知，繼而求出，即可得出答案.
【詳解】將這個人行走的路程依次排成一列得等比數(shù)列，
，其公比，令數(shù)列的前n項和為，
則，而，
因此，解得，
所以此人在第六天行走的路程（里）.
故答案為：6
17．（2023·甘肅金昌·永昌縣第一高級中學統(tǒng)考模擬預測）我國古代數(shù)學著作《九章算術》有如下問題，“今有金箠，長五尺．斬本一尺，重四斤．斬末一尺，重二斤．問次一尺各重幾何？”意思是“現(xiàn)有一根金杖，長五尺，一頭粗，一頭細．在粗的一端截下1尺，重4斤；在細的一端截下1尺，重2斤；問依次每一尺各重多少斤？”根據(jù)上題的已知條件，若金杖由粗到細是均勻變化的，估計此金杖總重量約為 斤．
【答案】15
【分析】根據(jù)題意，每節(jié)重量構成等差數(shù)列，由等差數(shù)列求和公式得解.
【詳解】由題意知每節(jié)的重量構成等差數(shù)列，
設首項為2，則第5項為4，
所以總重量為斤．
故答案為：15
18．（2023·云南·云南師大附中?？寄M預測）幻方又稱為魔方，方陣或廳平方，最早記載于中國公元前500年的春秋時期《大戴禮》中，宋代數(shù)學家楊輝稱之為縱橫圖.如圖所示，將1，2，3，…，9填入的方格內，使三行?三列?兩對角線的三個數(shù)之和都等于15，便得到一個3階幻方；一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，…，填入的方格內，使得每行?每列?每條對角線上的數(shù)字的和相等，這個正方形就叫做階幻方.記階幻方的一條對角線上的數(shù)字之和為（如：），則 .
【答案】
【分析】利用等差數(shù)列求和公式得出n階幻方的所有數(shù)之和，再計算每行數(shù)之和即可得出對角線上數(shù)字之和.
【詳解】n階幻方共有個數(shù)，其和為，
∵n階幻方共有n行，
∴每行的和為.
故答案為：505
19．（2023·廣西南寧·南寧三中?？家荒＃┨拼蒲缟系闹d游戲“擊鼓傳花”，也稱傳彩球．游戲規(guī)則為：鼓響時，眾人開始依次傳花，至鼓停為止，此時花在誰手中，誰就上臺表演節(jié)目．甲、乙、丙三人玩擊鼓傳花，鼓響時，第1次由甲將花傳出，每次傳花時，傳花者都等可能地將花傳給另外兩人中的任何一人，經(jīng)過6次傳遞后，花又在甲手中的概率為 ．
【答案】
【分析】設第n次傳球后球在甲手中的概率為，根據(jù)題意找出的遞推關系，寫出的通項公式，然后求即可.
【詳解】設第n次傳球后球在甲手中的概率為，.則，得，.
一次傳球后，花不在甲手上，故，所以數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，所以.
即，所以．
故答案為：
20．（2023·全國·模擬預測）斐波那契數(shù)列由意大利數(shù)學家斐波那契以兔子繁殖為例引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在實際生活中，很多花朵（如梅花、飛燕草、萬壽菊等）的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學等領域也有著廣泛的應用．斐波那契數(shù)列滿足：，，則是斐波那契數(shù)列中的第 項．
【答案】
【分析】利用遞推關系，將所求關系式中的“”換為，再利用即可求得答案．
【詳解】由可得
.
故答案為：.
21．（2023·浙江金華·統(tǒng)考模擬預測）數(shù)學王子高斯在小時候計算時，他是這樣計算的：，共有50組，故和為5050，事實上，高斯發(fā)現(xiàn)并利用了等差數(shù)列的對稱性.若函數(shù)圖象關于對稱，，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的對稱性可得，由題意得，根據(jù)可得，即，結合裂項相消求和法即可求解.
【詳解】由函數(shù)圖象關于點對稱，得，
得，所以.
因為，
所以，
所以，則，
所以.
故答案為：.
22．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考二模）歐拉是瑞士數(shù)學家和物理學家，近代數(shù)學先驅之一，在許多數(shù)學的分支中經(jīng)?？梢砸姷揭运拿置闹匾瘮?shù)、公式和定理．如著名的歐拉函數(shù)：對于正整數(shù)n，表示小于或等于n的正整數(shù)中與n互質的數(shù)的個數(shù)，如，．那么，數(shù)列的前n項和為 ．
【答案】
【分析】利用錯位相減法求和.
【詳解】在中，與不互質的數(shù)有，共有個，
所以，
所以，
設數(shù)列的前項和為，
所以，
，
兩式相減可得,
所以,
即,
故答案為：.
23．（2023·黑龍江大慶·大慶實驗中學?？寄M預測）古印度數(shù)學家婆什伽羅在《麗拉沃蒂》一書中提出如下問題：某人給一個人布施，初日施2子安貝（古印度貨幣單位），以后逐日倍增，問一月共施幾何？在這個問題中，以一個月31天計算，記此人第n日布施了子安貝（其中，），數(shù)列的前n項和為．若關于n的不等式恒成立，則實數(shù)t的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】先求得數(shù)列的通項公式和前n項和，化簡題給不等式為，求得的最小值，進而得到實數(shù)t的取值范圍.
【詳解】由題意可知，數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
故．
所以．
由，得，
整理得對任意，且恒成立．
又，
當且僅當，即時等號成立，
所以t＜15，即實數(shù)t的取值范圍是
故答案為：
三、解答題
24．（2023·云南昆明·統(tǒng)考模擬預測）雪花是一種美麗的結晶體，放大任意一片雪花的局部，會發(fā)現(xiàn)雪花的局部和整體的形狀竟是相似的，如圖是瑞典科學家科赫在1904年構造的能夠描述雪花形狀的圖案，其作法如下：
將圖①中正三角形的每條邊三等分，并以中間的那一條線段為一邊向形外作正三角形，再去掉底邊，得到圖②；
將圖②的每條邊三等分，重復上述的作圖方法，得到圖③；
……
按上述方法，所得到的曲線稱為科赫雪花曲線（Kch snwflake）．
現(xiàn)將圖①、圖②、圖③、…中的圖形依次記為、、…、、…．小明為了研究圖形的面積，把圖形的面積記為，假設a1＝1，并作了如下探究：
根據(jù)小明的假設與思路，解答下列問題．
(1)填寫表格最后一列，并寫出與的關系式；
(2)根據(jù)（1）得到的遞推公式，求的通項公式；
(3)從第幾個圖形開始，雪花曲線所圍成的面積大于．
參考數(shù)據(jù)（，）
【答案】(1)填表見解析；
(2)
(3)第7個
【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)的規(guī)律及等比數(shù)列的通項公式填寫表格最后一列，進而得出與的關系式；
（2）利用累加法求解；
（3）由題意，利用指數(shù)函數(shù)的性質及對數(shù)的運算性質求解．
【詳解】（1）圖形、、…、、…的邊數(shù)是以3為首項，4為公比的等比數(shù)列，則圖形的邊數(shù)為；
從P2起，每一個比前一個圖形多出的三角形的個數(shù)是以3為首項，4為公比的等比數(shù)列，則比前一個圖形多出的三角形的個數(shù)為；
從P2起，每一個比前一個圖形多出的每一個三角形的面積是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則比前一個圖形多出的每一個三角形的面積是．
所以，即．
（2）當時，
，
又因為，符合上式，
所以．
（3）由，得，則，
所以，故，
由，，故，又因為，所以，
所以從第7個圖形開始雪花曲線所圍成的面積大于．
25．（2023·福建福州·福州四中校考模擬預測）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊渾所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球設各層球數(shù)構成一個數(shù)列.

(1)寫出與的遞推關系，并求數(shù)列的通項公式；
(2)記數(shù)列的前項和為，且，在與之間插入個數(shù)，若這個數(shù)恰能組成一個公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用每一層小球的數(shù)量找到遞推關系，再利用累加法求通項公式即可；
（2）利用與的關系求出數(shù)列，進而求得，再利用錯位相減法求即可.
【詳解】（1）由題意可知，，
，
所以數(shù)列的一個遞推關系為，
所以當時，利用累加法可得
，
將代入得，符合，
所以數(shù)列的通項公式為.
（2）當時，，即，
當時，，①
，②
①-②，得，即，
所以數(shù)列是以3為首項，3為公比等比數(shù)列，
所以，
由題意可知，所以，
所以，
所以，③
，④
③-④得，
所以，
所以數(shù)列的前項和.
4
9
2
3
5
7
8
1
6
P1
P2
P3
P4
…
Pn
邊數(shù)
3
12
48
192
…
從P2起，每一個比前一個圖形多出的三角形的個數(shù)
3
12
48
…
從P2起，每一個比前一個圖形多出的每一個三角形的面積
…
作用次數(shù)
陽離子個數(shù)
陰離子個數(shù)
0
1
1
1
1
2
2
2
3
3
3
5
4
5
8
5
8
13
6
13
21
7
21
34
8
34
55
9
55
89
4
9
2
3
5
7
8
1
6
P1
P2
P3
P4
…
Pn
邊數(shù)
3
12
48
192
…
從P2起，每一個比前一個圖形多出的三角形的個數(shù)
3
12
48
…
從P2起，每一個比前一個圖形多出的每一個三角形的面積
…
P1
P2
P3
P4
…
Pn
邊數(shù)
3
12
48
192
…
從P2起，每一個比前一個圖形多出的三角形的個數(shù)
3
12
48
…
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